原子物理试题集及答案

第一章 填空 1、（ ）实验否定了汤姆逊原子结构模形。答：（?粒子散射）。 2、原子核式结构模型是（ ）。 3、夫兰克—赫兹实验证明了（ ） 答原子能级的存在。

4、德布罗意波的实验验证是（ ） 答电子衍射实验。

选择题

1、原子核式模型的实验依据是：（只选一个） （A）?粒子散射实验。（B）光电效应，（C）康谱顿效应，（D）夫兰克—赫兹实验。答（A） 2、?粒子散射实验实验得到的结果：

。

（A）绝大多数?粒子的偏转角大于90，

（B）只有1/800的?粒子平均在2—3度的偏转角。

。。

（C）只有1/800的?粒子偏转角大于90，其中有接近180的。

。

（D）全部?粒子偏转角大于90 答（C） 第二章 填空

1、光谱的类型（ ）光谱、 （ ）光谱 ， （ ）光谱。 答：线状、带状，连续。

2、巴耳末线系的可见光区中的四条谱线颜色是（ ）、 （ ）、（ ）、（ ） 答；（红、深绿、青、紫）

3、氢原子光谱的前4个谱线系是（ ）、（ ）、（ ）、（ ）。 答“（赖曼系，巴巴耳末、帕邢、布喇开） 4、玻尔理论的三个假设是（1）、（ （2）（ ） （3）（ ） 5、能级简并是指（n个状态的能量是相同的状况）

6、氢原子和类氢离子在不考虑相对论效应时能级是（简并）的，简并度为（n）

7、当氢原子和类氢离子在不考虑相对论效应时，在n=3的能级中可能有多少个不同状态的椭圆轨道？（答案3个）（可作填空或选择）

8、氢原子的玻尔半径a0=0.529A,在n=2能级的椭圆轨道半长轴为（ ）A，半短轴分别为（ ）A、（ ）A 。 解：根据半长轴a?n因n??1,2 由b?a2a0Z可得：a?2.116A

n?n得 b1=1.053A, b2=2.116A

9在气体放电管中，用能量为12.1eV的电子去轰击处于基态的氢原子，此时氢原子所能发

射的光子能量中能是

（A）12.1eV , (B)10.2 Ev .

（C）12.1 eV 、 10.2 eV 、19 eV ，（D）12.1 eV 、 10.2 eV 、3.4 eV . 答案(C)

10在气体放电管中，用能量为12.1eV的电子去轰击处于基态的氢原子，此时氢原子所能发射的普线有( )条 答案(3) 问答

5、玻尔理论是建立在物理学那三方面的基础上？ 答（1）光谱的实验资料和经验规律，（2）以实验基础的原子核式结构模型，（3）从黑体辐射的事实发展出来的量子论。

6、在玻尔氢原子中，势能为负值，其绝对值比动能大，它说明什么含义？

答说明电子被原子核所束缚得很紧，电子具有的动能不能挣脱原子核束缚而离开变为自由电子。 7、对处于第一激发态（n=2）的氢原子，如果用可见光照射能否例之电离？为什么？ 答不能。

因为根据玻尔能级跃迁公式，

1??RH(11?)得 222?224???? 7R1.0967758?10 而可见光中最短波长是 所不能使之电离。

8、轻原子被激发到某一能级后，跃迁回到基态一共放出三条谱线，（1）试确定被激发到的能级的主量子数，（2）用能级跃迁图把这三条谱线表示出来，（3）并说明是属于什么线系？ 答：（1）n=3.

巴尔末系

赖曼系 9、用量子化通则证明玻尔对氢原子的电子轨道角动量是量子化的。 证明：因为对氢原子电子轨道角动量是守恒的，由量子化通则得：

nh??Ld??L?d??L2?

?L?nh 得证。 2????mA?sin?t ?Acos?t，动量：p?mq22*10、用量子化通则证明普朗克能量量子化。

证明；因为谐振子的坐标为：q由量子化通则得：nh?而谐振子能量是E??pdq?Am??T0sin2?tdt?1m?2A2T 21m?2A2 2?E?nh?nh? 得证。 T第三章

1、波函数的标准条件是：（ ）、 （ ）、 （ ）。 答（单值的、有限的、连续的）。

?，测量此波长的精确度为10-6倍，此光子的位置的不确定量是 2、一个光子的波长为300A（ ）mm。 答23.9mm (解: p?h? 由?x?p??xh(1?2?1?1)??xh???2?h得 4??2?x??23.9mm

4???3、若一个电子处于原子中某能态的时间为10s，则该能态的能量最小不确定量是（ ）。 答案3.3?10eV 解: ?t?E??8-8

hh ?E??3.3?10?8eV 4?4??t4、一维简谐振子在n=2能级的量子化能量是（ ） 答：(n?5、已知德布罗意波函数为?，在t时刻，单位体积内发现一个粒子的几率是（ ）

*答：?? 或 ?2115)h?=(2?)h??h? 222

6、若质量为m的中子的德布罗意波长为?，（不考虑相对论效应）则它的动能为（ ）。

h2答案

2m?27为使电子的德布罗意波长为?，需要的加速电压为（ ）。

h2答案U? 22me?

7、波函数为什么要归一化？ 答：因为粒子必定要在空间中某一点出现，所以粒子在某时刻在空间的各点出现的几率总和等于1，所以波函数要归一化。 选择

2玻恩对实物粒子的德布罗意波波涵数?(x,y,z)的统计解释：答案（B） （A）?(x,y,z) 表示t时刻，（x，y，z）处单位体积内发现粒子的几率。

（B）?(x,y,z) 表示t时刻，（x，y，z）处单位体积内发现粒子的几率。 （C）?(x,y,z)d?表示t时刻在体积d?中发现一个粒子的几率表达为

（D）以上都不对。

3、从玻恩对实物粒子的德布罗意波的统计观点看粒子（电子）衍射结果是：答案（D） （A）亮纹处是粒子 | ? |2小到达几率小的地方，暗纹处是粒子 | ? |2大到达几率大的地方。 （B）亮纹处是粒子 | ? |2小到达几率大的地方，暗纹处是粒子 | ? |2大到达几率大的地方。 （C）亮纹暗纹处都是粒子 | ? |2大到达几率一样的地方。

（D）亮纹处是粒子 | ? |2大到达几率大的地方，暗纹处是粒子 | ? |2小到达几率小的地方。

4、若?粒子（电荷为2e）在磁感应强度为B均匀磁场中沿半径为R的圆形轨道运动，则?粒子的德布罗意波长是： （A）

2h1h1 ，（B） ，（C） ， （D） 。

eRB2eRBh2eRBeRBh

答案（A）

hhv22eBR过程2eBv?m v? ??。 ?p2eRBRm

计算：

8、求氢原子中电子在第二能级（n=2）的轨道角动量大小？（结果用?表示） 解：n=2时，l?0,1 所以由轨道角动量L?l(l?1)?得：

l?0?L?0l?1?L?2?

?，它们的动量和总能量下面哪一个是对的 [ ]答C 9、电子和光子的波长都是2A（A）电子、光子的动量和总能量都不相等。

（B）电子、光子的动量和总能量都相等。 （C）电子、光子的动量相等，总能量不相等。 （D）电子、光子的动量不相等，总能量相等。

第四、五指章

1、碱金属光谱一般易观察的四个线系是（ ）、（ ）、 （ ）、（ ） 答：（主线系、第一辅助线系、第二辅助线系、柏格曼线系）

2、碱金属原子能级与氢原子能级的差别（引起主量子数亏损）的原因是（ ）、（ ）。 答：（原子实的极化，、轨道贯穿）

3、碱金属原子的能级中S能级是（ ），其余能级是（ ）。 答（单层的、双层的）

3、第二族元素的光谱结构（ ），它们的能级分两套分别是（ ）和（ ）的结构。

答（相仿，单层，三层）

4、泡利原理（ ）。 答：在一原子中,不能有两个电子处于同一状态。

5、标志电子态的量子数是（ n,l,s,ml,ms ）五个量子数。 选择

1*标志电子态的量子数各表示的意义下面哪一个是正确的 [ ]答D （A）n为轨道量子数。 （B）l为主量子数。

（C）S为轨道取向量子数。

（D）ml,ms分别为轨道和自旋空间取向量子数。

1、氦原子能级跃迁特点下面那一个不正确： [ ]答B （A）氦的基态和第一激发态之间能量相差很大有19.77eV

（B）三重态（三层能级）与单一态（单层能级）之间可以相互跃迁。

（C）第一激发态3S1

1不可能自发跃迁到基态S0 。

（D）两套能级之间没有相互跃迁，而各自内部跃迁产生各自谱线。 2、判断下列各态中那一个原子态是存在的 [ ]答A

（A） 1S ， （B）1P）2D5

2 ， （C2 ， （D）F0 。 3、判断下列各态中那一个原子态是存在的 [ ]答A

（A） 3F （B）5F36

2 ，0 ， （C）D1/2 ， （D）P1/2 。

4、感金属元素的原子光谱的共同特点下面那一个是错的 [ ]（A）原子光谱具有相仿结构，只是波长不同。 （B）一般都能易观察到四个线系。

（C）碱金属原子光谱线的波数也可表达为二光谱项之差 （D）碱金属原子光谱项可表达为：T?Rn* 5、碱金属原子能级发生精细分裂的原因是下面那一个是对的 （A）电子自旋与轨道运动的相互作用。 （B）原子实极化。 （C）原子轨道贯穿。

（D）电子的椭圆轨道运动。

6、计算：某金属的原子态是3 2

D3/2表示下面那一个是对的： [ ]（A）n?3,l?3/2,j?2的原子态。多重数是2 （B）n?3,l?1,j?3/2的原子态。多重数是2

答D [ ]答A 答C

（C）n?3,l?2,j?3/2的原子态。多重数是2 （D）n?9,l?2,j?3/2的原子态。多重数是1

7、LS耦合下的洪特定则下面表达那一个是错的 [ ]答D 从同一电子组态形成的各能级中：

（A） 那重数最高的，即S值最大的能级位置最低。

（B） 具有相同S值的能级中，具有最大L值的位置最你。

（C） 对于同科电子，不同J值的各能级顺序是：电子数小于闭壳层电子占有数的一半时，

最小J值的能级为最低。

（D） 对于同科电子，不同J值的各能级顺序是：电子数大于闭壳层电子占有数的一半时，

最小J值的能级为最低。

8、下列原子态中那些态之间可能发生跃迁的，请画出能级跃迁图

2P1,2P3,2D3,2D5

2222解图：

2222D52D32P32

P129、下列原子态中那些态之间可能发生跃迁的，请画出能级跃迁图

2F7,2F5,2D5,2D3

22222F722F52

22D52D32第六章 填空

1、原子总磁矩是由（ ）、（ ）、（ ）合成的。 答（电子轨道磁矩、电子自旋磁矩、原子核磁矩）

2、具有二个或二个以上电子的原子总磁矩大小计算式是（ ）

答（?g?gePJ） 2m3、外磁场对原子的作用使原子能级分裂成（ ）层。 答（2J+1）

4、塞曼效应是（ ）。 答

5、拉莫尔旋进是（ ） 答在外磁场B中，原子磁矩?J受磁场力矩的作用，绕B连续进动的现象。

选择

1、原子态2P3/2的g因子是： [ ]答A （A）4/3 ，（B）17/15 （C）28/15， （D）0 。 2、原子态4D1/2的g因子是： [ ]答D （A）-5 ，（B）3 ，（C）8， （D）0

3、外磁场对原子4F3/2能级分裂成几层 [ ]答C （A）-5 ，（B）3 ，（C）4， （D）0 4、外磁场对原子3P2能级分裂成几层 [ ]答A （A）5 ，（B）3 ，（C）4， （D）0

5下面那一个是史特恩—盖拉赫实验证明证确的 [ ]答案A （A） 角动量空间取向量子化，电子自旋假设是正确的，而且自旋量子数S=1/2 （B） 角动量空间取向量子化，但不能证明电子自旋假设正确的。 （C） 不能证明角动量空间取向量子化，但电子自旋假设是正确的，而且自旋量子数S=1/2 （D） 以上都不对。 计算

1、计算在L-S耦合下，4F3/2原子态在磁场中分裂成多少层能级，原子受磁场作用时引起的附加能量?

解：由题可知L=3，J=3/2，2S+1=4，所以 S=3/2

?3113M=J，J-1，?,-J=,,?,分裂成4层.

2222g?1?J(J?1)?L(L?1)?S(S?1)2?

2J(J?1)53113?E?Mg?BB??BB,?BB,??BB,??BB

55551*、计算在L-S耦合下，3 2P3/2原子态在磁场中分裂成多少层能级，原子受磁场作用时引起

的附加能量?

解：由题可知L=1，J=3/2，2S+1=2，所以 S=1/2

4114M?,,?,? 分裂成4层能级

3333g?1?J(J?1)?L(L?1)?S(S?1)4?

2J(J?1)3?E?Mg?BB?4114?BB,?BB,??BB,??BB 3333

第七章 问答

1、能量最低原理

答：原子在正常状态时，每个电子在不违背泡利不相容原理的前提下，总是尽先占有能量最低的状态。

1、有一种原子在基态时电子壳层是这样填充的：n=1、n=2壳层和3S次壳层都填满，3p次壳层填了一半，这原子的原子序数是： [ ]答C （A）12， （B）18， （C）15， （D）13 。 解各层填满为

?2n??22(2l?1)

2(2?1?1)?15

2其中3p次壳层填了一半故2?2?22?2?2、有一种原子在基态时电子壳层是这样填充的：n=1、n=2、n=3壳层和4S、4p、4d次壳层都填满，这原子的原子序数是： [ ]答A （A）46， （B）44， （C）40， （D）38 。 解各层填满为

?2n??22(2l?1)?46

3、原子的3d次壳层按泡利原理一共可以填多少个电子，下面那一个是对的： [ ]答B （A）8．， （B）10 ，（C）5， （D）12 解：3d次壳层即nl相同（不含主壳层n=3的电子），l?2按泡利原理一共可以填

2(2l?1)?10个电子

4、原子中能够有下列量子数：

(1)n,l,m;(2)n,l;(3)n，相同的最大电子数（是多少？）下面那一个是正确的。

[ ]答D （A）、（1）是2个，（2）是2(2l?1)，（3）是n （B）、（1）是2个，（2）是2l?1，（3）是n

2

2

（C）、（1）是4个，（2）是2(2l?1)，（3）是2n

（D）、（1）是2个，（2）是2(2l?1)，（3）是2n

2

第十章 填空

1、?衰变的三种形式是（ ）， （ ），（ ）。 答（放出负电子），（放出正电子），（原子核俘获核外电子）。 2、核力的主要性质是( )、( )、（ ）、（ ）。 答：（短程强力、具有饱和性的交换力、核力与电荷无关、非有心力的存在）。 3、原子核的结合能是（ ），大小为（ ）。 答是核子结合成原子核过程中亏损的质量，以能量的形式放出。?mc。

4、不稳定的原子核自发地蜕变，变为另一种状态或另一原子核，同时放出一些射线的现象称为（ ）。 答原子核的放射性衰变。

5、?,?,?的衰变条件是（ ）。

答是衰变能大于零，即衰变前原子核质量大于衰变后原子核质量。 ]

名词解释

6、半衰期是指（ ） 答，原子核的数目减到原数目的一半，所经过的一段时间T。

7、原子反应堆是（ ）。

答：把铀和其它材料按一定的设计装置起来，使其发生裂变的链式反应，从而取得能量的装置。

8、原子核的液滴模型解释那些实验现象？存在什么问题？ 答解释了原子核的结合能，也解释了核反应的复核上的过程重核裂变过程。存在的问题是它没能说明原子核内部的结构。 选择

1、在原子核的放射性衰变中，放出的射线粒子下面一种是对的 [ ]答A （A）?射线是氦核，?射线是电子，?射线是光子。 （B）?射线是电子，?射线是?粒子，?射线是光子。 （C）?射线是光子，?射线是电子，?射线是?粒子。 （D）?射线是?粒子，?射线是光子，?射线是电子。

2、自然界中原子核结合能大小情况下面那一种是错的。 [ ]答B （A）在中等质量数（40——120）之间的那些原子核中核子的平均结合能较大，并在8.6MeV左右。

（B）质量数在30以上原子核中，核子的平均结合能显出随A值有周期性变化，最大值落在A等于8的倍数上。

（C）质量数在30以上原子核中，核子的平均结合能变化不大（即几乎是?E?2A）。

（D）质量数在30以下原子核中，核子的平均结合能显出随A值有周期性变化，最大值落在A等于4的倍数上。

3、原子核的?辐射跃迁遵守三个守恒定律下面那一个是对的： [ ]答C （A）总能量守恒，总动量守恒，宇称守恒。 （B）总动能守恒，总动量守恒，宇称守恒。 （C）总能量守恒，总角动量守恒，宇称守恒。 （D）总能量守恒，总动量守恒，机械能守恒。

4、物质有四种相互作用（下面那一个是对的） [ ]答C （A）万有引力作出，弱相互作用、电磁相互作用、弹力作用 （B）万有引力作出，弱相互作用、磁相互作用、摩擦力作用 。 （C）万有引力作出，弱相互作用、电磁相互作用、强相互作用 。 （D）强相互作用，弱相互作用、电磁相互作用、弹力作用 。

5、关于粒子相互作用的对象下面哪一个是正确的 [ ]答C （A）强相互作用对象是轻子。 （B）弱相互作用对象是所有粒子。

（C）电磁相互作用对象是光了、带有电及有磁矩的粒子。 （D）万有引力相互作用对象是强子

第八章，

1、下面是关于X射线的一些性质哪个是错的 [ ]答案是D （A）X射线能使照相底片感光； （B）X射线有很大的贯穿本领；

（C）X射线能使某些物质的原子、分子电离；

（D）X射线是可见的电磁波，它能使某些物质发出可见的荧光。 2、X射线的标识（特征）谱是（ ）

答：当电子的能量(加速电压) 超过某一临界值时,在连续谱的背景上迭加一些线状谱。 3下面是关于X射线标识谱的特点哪个是错的 [ ] 答案是D （A）对一定的阳极靶材料，产生标识谱的外加电压有一个临界值

（B）标识谱线的位置与外加电压无关，而只与靶材元素有关，因而这些线状谱可作为元素的标识

（C）靶材元素的标识谱的线系结构是相似的

（D）改变靶物质时，随Z的增大，同一线系的线状谱波长向长波方向移动，并有周期性变化；

4、标识谱的产生机制是（ ）。

答案（当高速电子使重元素原子的内层电子电离，形成空位，在外壳层上的电子跃迁到这空位时，就形成了X射线的标识谱）。

第一章 原子的基本状况

1.1 若卢瑟福散射用的?粒子是放射性物质镭C放射的，其动能为7.68?10电子伏特。散射物质是原子序数Z'6?79的金箔。试问散射角??150?所对应的瞄准距离b多大？

解：根据卢瑟福散射公式：

ctg得到：

?2?4??0K?Mv2b?4??b0222ZeZe?

Ze2ctg?79?(1.60?1019)2ctg150?1522b???3.97?10米

4??0K?(4??8.85?10?12)?(7.68?106?10?19)式中K?2?12Mv是?粒子的功能。

1.2已知散射角为?的?粒子与散射核的最短距离为

rm2Ze21?()(1?4??0Mv2sin1?) ，试问上题?粒子与散射的金原子核之间的

2最短距离rm多大？

解：将1.1题中各量代入rm的表达式，得：rmin2Ze21?()(1?)

2?4??0Mvsin214?79?(1.60?10?19)21?9?10??(1?)6?19?

7.68?10?1.60?10sin759?3.02?10?14米

1.3 若用动能为1兆电子伏特的质子射向金箔。问质子与金箔。问质子与金箔原子核可能达到的最小距离多大？又问如果用同样能量的氘核（氘核带一个?e电荷而质量是质子的两倍，是氢的一种同位素的原子核）代替质子，其与金箔原子核的最小距离多大？

解：当入射粒子与靶核对心碰撞时，散射角为180。当入射粒子的动能全部转化为两粒子间的势能时，两粒子间的作用距离最小。

根据上面的分析可得：

?1Ze22Mv?Kp?24??0rmin9，故有：

rminZe2?4??0Kp

79?(1.60?10?19)2?13?9?10??1.14?10米 6?1910?1.60?10由上式看出：rmin与入射粒子的质量无关，所以当用相同能量质量和相同电量得到核代替质子时，其

与靶核的作用的最小距离仍为1.14?10?13米。

7?71.4 钋放射的一种?粒子的速度为1.597?10米/秒，正面垂直入射于厚度为10米、密度为

1.932?104公斤/米3的金箔。试求所有散射在??90?的?粒子占全部入射粒子数的百分比。已知

金的原子量为197。

解：散射角在????d?之间的?粒子数dn与入射到箔上的总粒子数n的比是：

dn?Ntd?n其中单位体积中的金原子数：

0N??/mAu??N0/AAu

而散射角大于90的粒子数为：

dn'??dn?nNt???d?2

所以有：

dn'?Nt???d?2n

??N0AAu?t?(14??0)2?(2Ze2180?2d?)?90?2?Musin322cos?

180等式右边的积分：I??90??cossin3??2d??2?180?90?2dsinsin3?2?1

?2故

?N0dn'122Ze22??t?()?()

2nAAu4??0Mu?8.5?10?6?8.5?10?4即速度为1.597?10700

米/秒的?粒子在金箔上散射，散射角大于90?以上的粒子数大约是

8.5?10?400。

1.5

（??15?）时与理论值差得较远，时什么原因？ ?粒子散射实验的数据在散射角很小

答：?粒子散射的理论值是在“一次散射“的假定下得出的。而?粒子通过金属箔，经过好多原子核的附近，实际上经过多次散射。至于实际观察到较小的?角，那是多次小角散射合成的结果。既然都是小角散射，哪一个也不能忽略，一次散射的理论就不适用。所以，?粒子散射的实验数据在散射角很小时与理论值差得较远。

1.6 已知?粒子质量比电子质量大7300倍。试利用中性粒子碰撞来证明：?粒子散射“受电子的影响是微不足道的”。

证明：设碰撞前、后?粒子与电子的速度分别为：v,v',0,ve。根据动量守恒定律，得：

???'??'?Mv??Mv??mve'

??'m?'由此得：v?v?ve???M又根据能量守恒定律，得：

?' …… (1) 1ve73001112'2'2 Mv??Mv??mve22222'v??v??m'2ve ……（2） M

将（1）式代入（2）式，得：

??'22'2v??v??7300(v??v?)

整理，得：v?(730022''?1)?v?(7300?1)?2?7300v?v?cos??0

?7300?1??'2?上式可写为：7300（v??v?)?0

??'?v??v??0即?粒子散射“受电子的影响是微不足道的”。

1.7能量为3.5兆电子伏特的细?粒子束射到单位面积上质量为1.05?10粒子与银箔表面成60角。在离L=0.12米处放一窗口面积为6.0?10??5?2公斤/米2的银箔上，?米2的计数器。测得散射进此窗

口的?粒子是全部入射?粒子的百万分之29。若已知银的原子量为107.9。试求银的核电荷数Z。

解：设靶厚度为t。非垂直入射时引起?粒子在靶物质中通过的距离不再是靶物质的厚度t，而是''t?t/sin60'?20o ，如图1-1所示。

因为散射到?与??d?之间d?立体

60° t, 角内的粒子数dn与总入射粒子数n的比为：

dn?Ntd?n而d?为：

(1)

60o 2t 图1.1 d??(14??0)2(ze2)2Mvd?sin4? （2）

2把（2）式代入（1）式，得：

dn12ze22d??Nt()(2)?n4??0Mvsin42式中立体角元d?……（3）

?ds/L2,t?t'/sin600?2t'/3,??200

''N为原子密度。Nt为单位面上的原子数，Nt的质量；mAg是银原子的质量；

将各量代入（3）式，得：

??/mAg??(AAg/N0)?1，其中?是单位面积式上

AAg是银原子的原子量；N0是阿佛加德罗常数。

dn2?N01ze22d? 2?()()?nMv23AAg4??0sin42由此，得：Z=47

1.8 设想铅（Z=82）原子的正电荷不是集中在很小的核上，而是均匀分布在半径约为106?10米的球形

原子内，如果有能量为10电子伏特的?粒子射向这样一个“原子”，试通过计算论证这样的?粒子不可能被具有上述设想结构的原子产生散射角大于90的散射。这个结论与卢瑟福实验结果差的很远，这说明原子的汤姆逊模型是不能成立的（原子中电子的影响可以忽略）。

解：设?粒子和铅原子对心碰撞，则?粒子到达原子边界而不进入原子内部时的能量有下式决定：

01Mv2?2Ze2/4??0R?3.78?10?16焦耳?2.36?103电子伏特 2由此可见，具有10电子伏特能量的?粒子能够很容易的穿过铅原子球。?粒子在到达原子表面和原子内部时，所受原子中正电荷的排斥力不同，它们分别为：F6?2Ze2/4??0R2和F?2Ze2r/4??0R3。

可见，原子表面处?粒子所受的斥力最大，越靠近原子的中心?粒子所受的斥力越小，而且瞄准距离越小，使?粒子发生散射最强的垂直入射方向的分力越小。我们考虑粒子散射最强的情形。设?粒子擦原子表面而过。此时受力为F?2Ze2/4??0R2。可以认为?粒子只在原子大小的范围内受到原子中正电荷的作

用，即作用距离为原子的直径D。并且在作用范围D之内，力的方向始终与入射方向垂直，大小不变。这是一种受力最大的情形。

根据上述分析，力的作用时间为t=D/v, 以，t?粒子的动能为Mv2?K，因此，v?2K/M12，所

?D/v?DM/2K

0根据动量定理：而

t?t02Fdt?p??p??Mv??0 /4??0R2?Fdt?2Ze02?dt?2Zet/4??0t20R2

所以有：2Zet/4??0R2?Mv?

由此可得：v??2Ze2t/4??0R2M

?粒子所受的平行于入射方向的合力近似为0，入射方向上速度不变。据此，有：

tg??v??2Ze2t/4??0R2Mv?2Ze2D/4??0R2Mv2 v?2.4?10?3‘ ???2.4?10?3弧度，大约是8.2。这时?很小，因此tg?这就是说，按题中假设，能量为1兆电子伏特的?

粒子被铅原子散射，不可能产生散射角

??900的散射。但是在卢瑟福的原子有核模型的情况下，当?粒子无限靠近原子核时，会受到原子核的

无限大的排斥力，所以可以产生?原子的汤姆逊模型是不成立的。

第二章 原子的能级和辐射

2.1 试计算氢原子的第一玻尔轨道上电子绕核转动的频率、线速度和加速度。 解：电子在第一玻尔轨道上即年n=1。根据量子化条件，

?900的散射，甚至会产生??1800的散射，这与实验相符合。因此，

p??mvr?nh2?

vnhh??可得：频率 ??22?a12?ma12?ma12?6.58?1015赫兹

速度：

v?2?a1??h/ma1?2.188?106米/秒

22222w?v/r?v/a?9.046?10米/秒加速度： 12.2 试由氢原子的里德伯常数计算基态氢原子的电离电势和第一激发电势。 解：电离能为Ei?E??E1，把氢原子的能级公式En??Rhc/n2代入，得：

11Ei?RHhc(2?)?Rhc=13.60电子伏特。

?1电离电势：Vi?Ei?13.60伏特 e1133E?Rhc(?)?Rhc??13.60?10.20电子伏特 第一激发能：iH224412第一激发电势：V1?E1?10.20伏特 e

2.3 用能量为12.5电子伏特的电子去激发基态氢原子，问受激发的氢原子向低能基跃迁时，会出现那些波长的光谱线？

解：把氢原子有基态激发到你n=2,3,4……等能级上去所需要的能量是：

11E?hcRH(2?2) 其中hcRH?13.6电子伏特

1n1E1?13.6?(1?2)?10.2电子伏特

21E2?13.6?(1?2)?12.1电子伏特

31E3?13.6?(1?2)?12.8电子伏特

4其中E1和E2小于12.5电子伏特，E3大于12.5电子伏特。可见，具有12.5电子伏特能量的电子不足以把基态氢原子激发到n波长为：

?4的能级上去，所以只能出现n?3的能级间的跃迁。跃迁时可能发出的光谱线的

1?11?RH(11?)?5RH/362223??1?6565A?21?RH(113?)?RH22412?

?2?1215A?3?RH(118?)?RH22913??3?1025A2.4 试估算一次电离的氦离子He、二次电离的锂离子Li的第一玻尔轨道半径、电离电势、第一激发电势和赖曼系第一条谱线波长分别与氢原子的上述物理量之比值。

解：在估算时，不考虑原子核的运动所产生的影响，即把原子核视为不动，这样简单些。 a)

氢原子和类氢离子的轨道半径：

??4??0h2n2n2r??a1,n?1,2,3??Z4?2mZe24??0h2其中a1??0.529177?10?10米，是氢原子的玻尔第一轨道半径；224?me

??Z是核电荷数，对于H,Z?1；对于H,Z?2；对于Li，Z?3；rZZ1r??1因此，玻尔第一轨道半径之比是He?H?,Li?H?rHZH?2rHZLi??3e?b) 氢和类氢离子的能量公式：

2?2me4Z2Z2E???E1?2,n?1,2,3?? 222(4??0)nhn2?2me4??13.6电子伏特，是氢原子的基态能量。其中E1?? 22(4??0)h电离能之比：

0?EHe0?EH?2ZHe?2?4,ZH0?ELi0?EHc)

???2ZLi??

Z2H?9第一激发能之比：

2222E12?E1221EHe?EHe21?4?212EH?EH112E12?E1221 2233E12?E1221ELi?ELi21?9?21EH?EH1212E12?E1221d)

氢原子和类氢离子的广义巴耳末公式：

n1?1,2,3??112~v?ZR(2?2)，{n2?(n1?1),(n1?2)??

n1n22?2me4其中R?(4??0)2h3是里德伯常数。

氢原子赖曼系第一条谱线的波数为：

~H?R(1?1)?1v11222?H相应地，对类氢离子有：

111He?2~v1?2R(2?2)?He?12?1111Li??2~v1?3R(2?2)?Li??12?1因此，

He?Li???11?11?,? HH4?19?12.5 试问二次电离的锂离子Li从其第一激发态向基态跃迁时发出的光子，是否有可能使处于基态的一次电离的氦粒子He的电子电离掉？

解：Li由第一激发态向基态跃迁时发出的光子的能量为：

?????He?的电离能量为：

11vHe?4hcRHe(2?)?4hcRHe?1hvLi??27RLi271?m/MHe???hvHe?16RHe161?m/MLi?

由于MHe?MLi,所以1?m/MHe?1?m/MLi，

?hvHe?，所以能将He?的电子电离掉。

?1.0967758?107米?1，氘

从而有hvLi??2.6 氢与其同位素氘（质量数为2）混在同一放电管中，摄下两种原子的光谱线。试问其巴耳末系的第一条（H?）光谱线之间的波长差??有多大？已知氢的里德伯常数RH的里德伯常数RD?1.0970742?107米?1。

解：

1?H1?RH(11?)，?H?36/5RH 2223?D?RD(11?)，?D?36/5RD 22323611(?)5RHRD

????H??D??1.79A?2.7 已知一对正负电子绕其共同的质心转动会暂时形成类似于氢原子结构的“正电子素”。试计算“正电子素”由第一激发态向基态跃迁发射光谱的波长?为多少

A？

?解：

11?Re?e?(2?2)?R??12111?mm?33?R 48?81???米?2430A

3R?3?109737312.8 试证明氢原子中的电子从n+1轨道跃迁到n轨道，发射光子的频率?n。当n>>1时光子频率即为电子绕第n玻尔轨道转动的频率。

证明：在氢原子中电子从n+1轨道跃迁到n轨道所发光子的波数为：vn1~?1?R[1?] 22?nn(n?1)频率为：vn?c??Rc[112n?1?]?Rc n2(n?1)2n2(n?1)22当n>>时，有(2n?1)/n(n?1)2?2n/n4?2/n3，所以在n>>1时，氢原子中电子从n+1

轨道跃迁到n轨道所发光子的频率为：vn设电子在第n轨道上的转动频率为

?2Rc/n3。

fn，则

fn?vmvrP2Rc 其中r书中（8）式。 ???2232?r2?mr2?mrn因此，在n>>1时，有

vn?fn

由上可见，当n>>1时，请原子中电子跃迁所发出的光子的频率即等于电子绕第n玻尔轨道转动的频率。这说明，在n很大时，玻尔理论过渡到经典理论，这就是对应原理。

2.9

Li原子序数Z=3，其光谱的主线系可用下式表示：

。已知锂原子电离成Li???~?vRR?(1?0.5951)2(n?0.0401)2???离子需要203.44电子伏特的功。问如

把Li离子电离成Li离子，需要多少电子伏特的功？

解：与氢光谱类似，碱金属光谱亦是单电子原子光谱。锂光谱的主线系是锂原子的价电子由高的p能级向基态跃迁而产生的。一次电离能对应于主线系的系限能量，所以Li离子电离成Li???离子时，有

E1?R?hcRhcRhc???5.35电子伏特 22?(1?0.5951)(1?0.5951)Li??是类氢离子，可用氢原子的能量公式，因此Li???Li???时，电离能E3为：

Z2Rhc2RE3??ZR?hc?122.4电子伏特。

21设Li??Li??的电离能为E2。而Li?Li???需要的总能量是E=203.44电子伏特，所以有

E2?E?E1?E3?75.7电子伏特

2.10 具有磁矩的原子，在横向均匀磁场和横向非均匀磁场中运动时有什么不同？

答：设原子的磁矩为?，磁场沿Z方向，则原子磁矩在磁场方向的分量记为?Z，于是具有磁矩的原子在磁场中所受的力为

F??Z?B?Z，其中

?B?B是磁场沿Z方向的梯度。对均匀磁场，?0，?Z?Z原子在磁场中不受力，原子磁矩绕磁场方向做拉摩进动，且对磁场的 取向服从空间量子化规则。对于非均磁场，

?B?0原子在磁场中除做上述运动外，还受到力的作用，原子射束的路径要发生偏转。 ?Z?B2.11 史特恩-盖拉赫实验中，处于基态的窄银原子束通过不均匀横向磁场，磁场的梯度为?103特

?Z?5?102米/

斯拉/米，磁极纵向范围L1=0.04米(见图2-2)，从磁极到屏距离L2=0.10米，原子的速度v秒。在屏上两束分开的距离d影响可忽略不计）。

?0.002米。试确定原子磁矩在磁场方向上投影?的大小（设磁场边缘的

解：银原子在非均匀磁场中受到垂直于入射方向的磁场力作用。其轨道为抛物线；在L2区域粒子不受力作惯性运动。经磁场区域L1后向外射出时粒子的速度为v，出射方向与入射方向间的夹角为?。?与

?'速度间的关系为：tg??v?v

粒子经过磁场L1出射时偏离入射方向的距离S为：

S?1?BL12()?Z……（1）

2m?Zv将上式中用已知量表示出来变可以求出?Z

f??B?,t?L1/vmm?Z??BL1?v??Zm?Zv

?Z?BL1L2S'?L2tg??m?Zv2dd??BL1L2S??S'??Z22m?Zv2v??at,a?把S代入（1）式中，得：

2d?Z?BL1L2?Z?BL1??22m?Zv2m?Zv2整理，得：

?Z?BL12m?Zv2(L1?2L2)?d2

由此得：?Z?0.93?10?23焦耳/特

2.12 观察高真空玻璃管中由激发原子束所发光谱线的强度沿原子射线束的减弱情况，可以测定各激发态的平均寿命。若已知原子束中原子速度v?103米/秒，在沿粒子束方向上相距1.5毫米其共振光谱线

强度减少到1/3.32。试计算这种原子在共振激发态的平均寿命。

解：设沿粒子束上某点A和距这点的距离S=1.5毫米的 B点，共振谱线强度分别为I0和I1，并设粒子束在A点的时刻为零时刻，且此时处于激发态的粒子数为N20，原子束经过t时间间隔从A到达B点，在B点处于激发态的粒子数为N2。

光谱线的强度与处于激发态的原子数和单位时间内的跃迁几率成正比。设发射共振谱线的跃迁几率为

A21，则有

I1ANN?212?2I0A21N20N20

适当选取单位，使

I1N?2?1/3.32， I0N20并注意到

N2?N20e?A21t,而t?S/v，

则有：

N2?e?A21t?1/3.32 N20由此求得：

1vA21?(ln3.32?ln1)?ln3.32ts1s1.5?10?3t???3A21vln3.3210?ln3.32?1.25?10?6秒

第三章 量子力学初步

3.1 波长为1A的X光光子的动量和能量各为多少？ 解：根据德布罗意关系式，得：

?6.63?10?34?24?1??6.63?10千克?米?秒动量为：p? ?10?10h能量为：

E?hv?hc/?

?6.63?10?34?3?108/10?10?1.986?10?15焦耳。

3.2 经过10000伏特电势差加速的电子束的德布罗意波长?意波长是多少？

?? 用上述电压加速的质子束的德布罗

解：德布罗意波长与加速电压之间有如下关系：

??h/2meV 对于电子：m?9.11?10?31公斤，e?1.60?10?19库仑

把上述二量及h的值代入波长的表示式，可得：

??12.25VA??12.2510000A?0.1225A

??对于质子，m?1.67?10?27公斤，e?1.60?10?19库仑，代入波长的表示式，得：

??6.626?10?342?1.67?10?27?1.60?10?19?10000?2.862?10?12.25V?3A

?3.3 电子被加速后的速度很大，必须考虑相对论修正。因而原来?与加速电压的关系式应改为：

A的电子德布罗意波长

???12.25V(1?0.489?10V)A

?6?其中V是以伏特为单位的电子加速电压。试证明之。

证明：德布罗意波长：??h/p

2对高速粒子在考虑相对论效应时，其动能K与其动量p之间有如下关系：K而被电压V加速的电子的动能为：K2?2Km0c2?p2c2

?eV

(eV)2?p??2m0eVc2p?2m0eV?(eV)2/c2因此有：

??h/p?h2m0eV?1?1eV2m0c2

一般情况下，等式右边根式中eV开。只取前两项，得：

/2m0c2一项的值都是很小的。所以，可以将上式的根式作泰勒展

??h2m0eV(1?eV)?24m0ch2m0eV(1?0.489?10?6V)

由于上式中h/2m0eV?12.25VA，其中V以伏特为单位，代回原式得：

???12.25V(1?0.489?10V)A

?6?由此可见，随着加速电压逐渐升高，电子的速度增大，由于相对论效应引起的德布罗意波长变短。

3.4 试证明氢原子稳定轨道上正好能容纳下整数个电子的德布罗意波波长。上述结果不但适用于圆轨道，同样适用于椭圆轨道，试证明之。

证明：轨道量子化条件是：

?pdq?nh

2?对氢原子圆轨道来说，所以有：

pr?0,p??mr??mvr

?pd??2??mvr?nh

hS?2?r?n?n?,n?1,2,3??mv所以,氢原子稳定轨道上正好能容纳下整数个电子的德布罗意波长。椭圆轨道的量子化条件是：

?p?d??n?h

?pdr?nhrr其中

pr?mr,p??mr???(prdr?p?d?)?nh,其中n?n??nr而

?2?

?(pdr?p?d?)??(mrdr?mrr??2?d?)

??d?dr2??(mrdt?mr?dt)dtdt??mv2dt??mvdshds??ds?h?r?ds???n

?因此，椭圆轨道也正好包含整数个德布罗意波波长。

3.5 带电粒子在威耳孙云室（一种径迹探测器）中的轨迹是一串小雾滴，雾滴德线度约为1微米。当观察能量为1000电子伏特的电子径迹时其动量与精典力学动量的相对偏差不小于多少？

解：由题知,电子动能K=1000电子伏特，?x根据测不准原理，有?p?x经典力学的动量为：

?10?6米，动量相对偏差为?p/p。

?hh，由此得：?p? 22?xp?2mK??ph

??3.09?10?5p2?x2mK?0）的能量可以有连续的值。

电子横向动量的不准确量与经典力学动量之比如此之小，足见电子的径迹与直线不会有明显区别。

3.6 证明自由运动的粒子（势能V证明：自由粒子的波函数为：

i???(p?r?Et)h??Ae ??（1）

h22自由粒子的哈密顿量是：H??? ??（2）

2m自由粒子的能量的本征方程为：H??E? ??（3）

i???(p?r?Et)h22?[Aeh]?E?把（1）式和（2）式代入（3）式，得：?2m

h22d2d2d2?h(pxx?pyy?pzz?Et)??A(2?2?2)e?E?2mdxdydzp2??E?即： 2mp2?E?2m3.7 粒子位于一维对称势场中，势场形式入图3-1，即

i自由粒子的动量p可以取任意连续值，所以它的能量E也可以有任意的连续值。

?x?L,V?0{0x?0,x?L,V?V0

（1）试推导粒子在E?V0情况下其总能量E满足的关系式。

（2）试利用上述关系式，以图解法证明，粒子的能量只能是一些不连续的值。 解：为方便起见,将势场划分为Ⅰ?Ⅱ?Ⅲ三个区域。

（1） 定态振幅方程为

d2?(x)dx2?2?(E?V(x))?(x)?0式中?是粒子的质量。 2hd2?2?22????0其中??(V0?E) Ⅰ区：22dxh波函数处处为有限的解是：?1(x)?Ae?x,A是一任意常数。

d2?2?22????0其中??E Ⅱ区：

dx2h2处处有限的解是：?2(x) ?Bsin(?x??),B,?是任意常数。d2?2?22Ⅲ区：????0其中??(V0?E)

dx2h2处处有限的解是：?3(x)?De??x,D是任意常数。

有上面可以得到：

1d?11d?21d?3??,??ctg(?x??),???,

?1dx?2dx?3dx??ctg??{有连续性条件，得： ???ctg(?L??)

??????解得： tg(?L)???21?2?因此得：?L

?n??2tg?1(?/?)这就是总能量所满足的关系式。

（2） 有上式可得：

?n??L?tg(?) ?22?{2?Lctg??n?奇数2?tg?L??n?偶数，包括零亦即

?L??(?L)ctg?L?(?L)tg2?L2

?L令

?L?u,?L?v，则上面两方程变为：

uv??utg??（1）2另uv?utg??（2）2外，注意到

u和v还必须满足关系：

u2?v2?2?V0L2/h2??（3）所以方程（1）和（2）要分别与方程（3）联立求解。

3.8 有一粒子，其质量为m,在一个三维势箱中运动。势箱的长、宽、高分别为a、b、c在势箱外，势能V??；在势箱内，V?0。式计算出粒子可能具有的能量。

解：势能分布情况，由题意知：

Vx?0,0?x?a;Vy?0,0?y?b;Vz?0,0?z?c;Vx??,x?0和x?aVy??,y?0和y?bVz??,z?0和z?c在势箱内波函数?(x,y,z)满足方程：

?2??2??2?2m???[E?(Vx?Vy?Vz)]??0 2x22y22z2h2解这类问题，通常是运用分离变量法将偏微分方程分成三个常微分方程。令

?(x,y,z)?X(x)Y(y)Z(z)

代入（1）式，并将两边同除以

X(x)Y(y)Z(z)，得：

1d2X2m1d2Y2m1d2Z2m2m(?V)?(?V)?(?V)??E xyzXdx2Ydy2h2Zdz2h2h2h2方程左边分解成三个相互独立的部分，它们之和等于一个常数。因此，每一部分都应等于一个常数。由此，得到三个方程如下：

1d2X2m2m?V??Exx222Xdxhh1d2Y2m2m?V??EyyYdy2h2h2

1d2Z2m2m?V??EzzZdz2h2h2其中E?Ex?Ey?Ez,Ex,Ey,Ez皆为常数。d2X2m?2(Ex?Vx)X?0??（2） 将上面三个方程中的第一个整数，得： 2dxh边界条件：

X(0)?X(l)?0

可见，方程（2）的形式及边界条件与一维箱完全相同，因此，其解为：

n?2sinxxaa类似地，有

22?h2Ex?nx,nx?1,2,3??22?aXn?Yn?ny?2sinybbZn??2h22Ey?ny,ny?1,2,3??22?bnz?2csincz

?2h22Ez?nz,nz?1,2,3??22?cny?yn?xn?z8??(x,y,z)?sinxsinsinzabcnyabcE?2?2h2nx22m(a2?b2n?z2)c2可见，三维势箱中粒子的波函数相当于三个一维箱中粒子的波函数之积。而粒子的能量相当于三个一维箱中粒子的能量之和。

对于方势箱，a?b?c,波函数和能量为： ny?ynx?xnz?z8sinsinsinaaaa3222?(x,y,z)?E??h2ma222

n2,n2?nx?ny?nz第四章 碱金属原子

4.1 已知Li原子光谱主线系最长波长??6707A，辅线系系限波长

????3519A。求锂原子第一激发电势和电离电势。

解：主线系最长波长是电子从第一激发态向基态跃迁产生的。辅线系系限波长是电子从无穷处向第一激发态跃迁产生的。设第一激发电势为V1，电离电势为

V?，则有：

?eV1?h?V1?c?

hc?1.850伏特?ecceV??h?h????V??hc11(?)?5.375伏特。e????4.2 Na原子的基态3S。已知其共振线波长为5893A，漫线系第一条的波长为8193A，基线系第一条的波长为18459A，主线系的系限波长为2413A。试

???求3S、3P、3D、4F各谱项的项值。

解：将上述波长依次记为 ?pmax,?dmax,?fmax,?p?,即?pmax?5893A,?dmax?8193A,?fmax?18459A,?p??2413A????

容易看出：

~?T3S?v?T3P?11?P???4.144?106米?11?2.447?106米?1?P??pmax1

?1.227?106米?1?0.685?106米?1??T3D?T3p?T4F?T3D??dmax1?fmax4.3 K原子共振线波长7665A，主线系的系限波长为2858A。已知K原子的基态4S。试求4S、4P谱项的量子数修正项?s,?p值各为多少？

~?1/? 解：由题意知：?pmax?7665A,?p??2858A,T4s?vP?P由T4S?R，得：4??s?Rk/T4S

(4??s)21?1??设RK?R,则有?s?2.229,T4P?与上类似

?p?4?R?/T4P?1.764

?P??Pmax

4.4 Li原子的基态项2S。当把Li原子激发到3P态后，问当3P激发态向低能级跃迁时可能产生哪些谱线（不考虑精细结构）？

答：由于原子实的极化和轨道贯穿的影响，使碱金属原子中n相同而l不同的能级有很大差别，即碱金属原子价电子的能量不仅与主量子数n有关，而且与角量子数l有关，可以记为E?E(n,l)。理论计算和实验结果都表明l越小，能量越低于相应的氢原子的能量。当从3P激发态向低能级跃迁时，考虑到选择定则：?l??1，可能产生四条光谱，分别由以下能级跃迁产生：

3P?3S;3S?2P;2P?2S;3P?2S。4.5 为什么谱项S项的精细结构总是单层结构？试直接从碱金属光谱双线

的规律和从电子自旋与轨道相互作用的物理概念两方面分别说明之。

答：碱金属光谱线三个线系头四条谱线精细结构的规律性。第二辅线系每一

条谱线的二成分的间隔相等，这必然是由于同一原因。第二辅线系是诸S能级到最低P能级的跃迁产生的。最低P能级是这线系中诸线共同有关的，所以如果我们认为P能级是双层的，而S能级是单层的，就可以得到第二辅线系的每一条谱线都是双线，且波数差是相等的情况。

主线系的每条谱线中二成分的波数差随着波数的增加逐渐减少，足见不是同一个来源。主线系是诸P能级跃迁到最低S能级所产生的。我们同样认定S能级是单层的，而推广所有P能级是双层的，且这双层结构的间隔随主量子数n的增加而逐渐减小。这样的推论完全符合碱金属原子光谱双线的规律性。因此，肯定S项是单层结构，与实验结果相符合。

碱金属能级的精细结构是由于碱金属原子中电子的轨道磁矩与自旋磁矩相互作用产生附加能量的结果。S能级的轨道磁矩等于0，不产生附加能量，只有一个能量值，因而S能级是单层的。

4.6 计算氢原子赖曼系第一条的精细结构分裂的波长差。

解：赖曼系的第一条谱线是n=2的能级跃迁到n=1的能级产生的。根据选择定则，跃迁只能发生在22P?12S之间。而S能级是单层的，所以，赖曼系的第一条谱线之精细结构是由P能级分裂产生的。

氢原子能级的能量值由下式决定：

?Rhc(Z??)2Rhca2(Z?S)413E???(?) 2314nnnj?2其中(Z??)?(Z?S)?1

?E(22P3/2)?E(12S1/2)?h??1?c?1

hcE(22P3/2)?E(12S1/2)c?E(22P1/2)?E(12S1/2)?h??2??2hcE(22P1/2)?E(12S1/2)因此，有：

????2??1?hc[E(22P3/2)?E(12S1/2)][E(22P3/2)?E(12S1/2)][E(22P1/2)?E(12S1/2)]16?a2E(2P3/2)??Rhc6416?5a22E(2P1/2)??Rhc644?a22E(1S1/2)??Rhc42

将以上三个能量值代入??的表达式，得：

4a2164????48?11a248?15a2R?6464644a2 ?R(48?11a2)(48?15a2)?5.39?10?13米?5.39?10?3A?4.7 Na原子光谱中得知其3D项的项值T3D?1.2274?106米?1，试计算该谱项之精细结构裂距。

解：已知T3D??1.2274?106米?1,RNa?1.0974?107米?1

?n*?RNa?2.9901T3D而Z*?n/n*Ra2Z*4所以有：?T?3?3.655米?1nl(l?1)

4.8 原子在热平衡条件下处在各种不同能量激发态的原子的数目是按玻尔兹曼分布的，即能量为E的激发态原子数目N?N0g?(E?E0)/KTe。其中N0g0是能量为E0的状态的原子数，g和g0是相应能量状态的统计权重，K是玻尔兹曼常数。从高温铯原子气体光谱中测出其共振光谱双线

???1?8943.5A,?2?8521.1A的强度比I1：I2?2：3。试估算此气体的温度。已知相应能级的统计权重g1?2,g2?4。

解：相应于?1，?2的能量分别为：

E1?hc/?1;E2?hc/?2

所测得的光谱线的强度正比于该谱线所对应的激发态能级上的粒子数N，即

I?NINg??1?1?1eI2N2g2e?E1?E2KTE1?E2KT?2 3?2g23g1由此求得T为：

T?E2?E1?2773K 2g2Kln3g1第五章 多电子原子

5.1 He原子的两个电子处在2p3d电子组态。问可能组成哪几种原子态?用原子态的符号表示之。已知电子间是LS耦合。

1解：因为l1?1,l2?2,s1?s2?，

2S?s1?s2或s1?s2;L?l1?l2,l1?l2?1,?，l1?l2, ?S?0,1;L?3,2,1所以可以有如下12个组态：

L?1,S?0,1P1L?1,S?1,3P0,1,2L?2,S?0,1D2L?2,S?1,D1,2,3L?3,S?0,1F3L?3,S?1,3F2,3,43

5.2 已知He原子的两个电子被分别激发到2p和3d轨道，器所构成的原子态为3D，问这两电子的轨道角动量pl1与pl2之间的夹角，自旋角动量ps1与ps2之间的夹角分别为多少？

解：（1）已知原子态为3D，电子组态为2p3d

?L?2,S?1,l1?1,l2?2

因此，

h?2?2?pl2?l2(l2?1)??6?pl1?l1(l1?1)PL?L(L?1)??6?PL?pl1?pl2?2pl1pl2cos?L?cos?L?(PL?pl1?pl2)/2pl1pl2??222222

123?L?106?46'（2）

?s1?s2?123h 2?p1?p2?s(s?1)h?PS?S(S?1)h?2h而

PS?ps1?ps2?2ps1ps2cos?s?cos?s?(PS?ps1?ps2)/2ps1ps2?2222221 3?S?70?32'5.3 锌原子（Z=30）的最外层电子有两个，基态时的组态是4s4s。当其中有一个被激发，考虑两种情况：（1）那电子被激发到5s态；（2）它被激发到4p态。试求出LS耦合情况下这两种电子组态分别组成的原子状态。画出相应的能级图。从（1）和（2）情况形成的激发态向低能级跃迁分别发生几种光谱跃迁？

1解：（1）组态为4s5s时 l1?l2?0,s1?s2?，

2?L?0,S?0,1S?0时，J?L?0,单重态1S0 S?1时;J?1,三重态3S1根据洪特定则可画出相应的能级图，有选择定则能够判断出能级间可以发生的5种跃迁：

51S0?41P1,53S1?43P0;53S1?43P1;53S1?43P2 41P1?41S0所以有5条光谱线。

（2）外层两个电子组态为4s4p时：

1l1?0,l2?1,s1?s2?，

2?L?1,S?0,1S?0时，J?L?1,单重态1P1 S?1时;J?2,1,0,三重态3P2,1,0根据洪特定则可以画出能级图，根据选择定则可以看出，只能产生一种跃迁，

41P1?41S0，因此只有一条光谱线。

5.4 试以两个价电子l1?2和l2?3为例说明,不论是LS耦合还是jj耦合都给出同样数目的可能状态.

证明:(1)LS耦合

S?0，1;L?5,4,3,2,1,S?0时;J?L

5个 L值分别得出5个J值,即5个单重态．

S?1时;J?L?1,L,L?1;

代入一个L值便有一个三重态．５个L值共有５乘３等于１５个原子态：

3P0,1,2;3D1,2,3;3F2,3,4;3G3,4,5;3H4,5,6

因此，LS耦合时共有２０个可能的状态． （２）jj耦合：

5375或;j2?或2222

J?j1?j2,j1?j2,...j1?j2j?l?s或j?l?s;j1?将每个j1、j2合成J得：

5和j223j1?和j225j1?和j223j1?和j22j1?7?，合成J27?，合成J25?，合成J25?，合成J2?6,5,4,3,2,1?5,4,3,2

?5,4,3,2,1,0?4,3,2,157375535共２０个状态：(,)6,5,4,3,2,1,(,)5,4,3,2;(,)5,4,3,2,1,0;(,)4,3,2,1

22222222所以，对于相同的组态无论是LS耦合还是jj耦合，都会给出同样数目的可能状态．

5.5 利用LS耦合、泡利原理和洪特定责来确定碳Z=6、氮Z=7的原子基态。 解:碳原子的两个价电子的组态2p2p,属于同科电子.这两个电子可能有的

11ml值是1,0,-1;可能有ms值是,?,两个电子的主量子数和角量子数相同,根

22据泡利原理,它们的其余两个量子数ml和ms至少要有一个不相同.它们的

ml和ms的可能配合如下表所示.

为了决定合成的光谱项,最好从ML??mli的最高数值开始，因为这就等于L出现的最高数值。现在，ML得最高数值是2，因此可以得出一个D项。又因为这个ML只与MS?0相伴发生，因此这光谱项是1D项。除了ML?2以外，

ML??1,0,?1,?2也属于这一光谱项，它们都是MS?0。这些谱项在表中以ML的

数字右上角的记号“。”表示。共有两项是ML光谱项的过程中，把它们的哪一项选作在表中以ML的

碳原子

1??1,MS?0；有三项是ML?0,MS?0。在寻找

3类似地可以看出有九个组态属于P项，D项的分项并不特别重要。

ms11/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 ms2 1/2 1/2 1/2 -1/2 -1/2 -1/2 -1/2 -1/2 -1/2 -1/2 -1/2 -1/2 -1/2 -1/2 -1/2 ml1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 -1 -1 -1 1 1 0 ml2 0 -1 -1 1 0 -1 1 0 -1 1 0 -1 0 -1 -1 ?misi?MS ?mili?ML 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 -1 -1 氮原子

1 0* *-12100 0 * 0 1 0 -10* * *-1-2**0 0 -1/2 -1/2 -1/2 1 0 -1 *ms11/2 1/2 1/2 ms2 1/2 1/2 1/2 -1/2 -1/2 -1/2 ··· 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 ms3 1/2 1/2 1/2 -1/2 -1/2 -1/2 ··· -1/2 -1/2 -1/2 -1/2 -1/2 -1/2 ml1 1 0 -1 1 0 -1 ··· 1 1 1 -1 -1 1 ml2 0 1 0 0 1 0 ··· 0 0 0 0 0 -1 ml3 -1 -1 1 -1 -1 1 ··· 1 0 -1 0 -1 1 ?misi?MS ?mili?ML 3/2 3/2 3/2 3/2 3/2 3/2 ··· 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 0 0* 0 0* -1/2 -1/2 -1/2 ··· 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 0 0* ··· 2 10 * -1-21 1/2 1/2 ··· 1/2 1/2 ··· -1/2 -1/2 ··· 1 1 ··· -1 -1 ··· 0 -1 ··· 1/2 1/2 ··· 0 -1 ··· 数字右上角的记号“*”表示。剩下一个组态ML子的光谱项是

1?0,MS?0，它们只能给出一个1S项。因此，碳原

D、3P和1S，而没有其它的项。

3因为在碳原子中

P项的S为最大，根据同科电子的洪特定则可知，碳原子的3P项应最低。碳原子两

3个价电子皆在p次壳层，p次壳层的满额电子数是6，因此碳原子的能级是正常次序，

P0是它的基态谱项。

氮原子的三个价电子的组态是2p2p2p，亦属同科电子。它们之间满足泡利原理的可能配合如下表所示。

表中删节号表示还有其它一些配合，相当于此表下半部给出的ms间以及ml间发生交换。由于电子的全同性，那些配合并不改变原子的状态，即不产生新的项。

由表容易判断，氮原子只有

42D、2P和4S。根据同科电子的洪特定则，断定氮原子的基态谱项应为

S3/2。

5.6 已知氦原子的一个电子被激发到2p轨道，而另一个电子还在1s轨道。试作出能级跃迁图来说明

可能出现哪些光谱线跃迁？

解：l1对于S对于S?0,l2?1,s1?s2?1/2;S?0,1;L?1 ?0,J?L?1，单态

1

P1

3

?1,J?2,1,0，三重态

3

3

3

3

3

P2，1，0

1

1

1

1

根据选择定则，可能出现5条谱线，它们分别由下列跃迁产生：2P1→1S0；2P1→2S0 2P0→2S1；2P1→2S1；2P2→2S1

1s2p

1s2s

1s1s

3

333313S1 P0 P1 P2 S0 S1 S0 15.7 Ca原子的能级是单层和三重结构，三重结构中J的的能级高。其锐线系的三重线的频率

v2?v1?v0，其频率间隔为?v1?v1?v0,?v2?v2?v1。试求其频率间隔比值

?v2?v1。

解：Ca原子处基态时两个价电子的组态为4s4s。Ca的锐线系是电子由激发的s能级向4p能级

跃迁产生的光谱线。与氦的情况类似，对4s4p组态可以形成以有4个能级。电子由诸激发

31P1和3P2,1,0的原子态，也就是说对L=1可

S能级上跃迁到3P2,1,0能级上则产生锐线系三重线。

?v1?v0,?v2?v2?v1同有关的J值中

根据朗德间隔定则，在多重结构中能级的二相邻间隔?v1较大的那一个成正比，因此，?v1?2,?v2?1，所以

?v21?。 ?v125.8 Pb原子基态的两个价电子都在6p轨道。若其中一个价电子被激发到7s轨道，而其价电子间相互作用属于

jj耦合。问此时Pb原子可能有哪些状态？

解：激发后铅原子的电子组态是6p7s。

l1?1,l2?0;s1??j?l?s或l?s?j1?11,s2?22311或;j2? 22231j1?和j2?合成J?2,1.2211j1?和j2?合成J?1，022因此，激发后Pb原子可能有四种状态：

31311111（，），（，），（，），（，）2110。 222222225.9 根据LS耦合写出在下列情况下内量子数J的可能值 （1）L（2）L?3,S??3,S?2，

73，（3）L?3,S? 22

解：（1）因为J?L?S,L?S?1,.....,L?S所以

J?5,4,3,2,1,共2S+1=5个值。

1111111?6,5,4,3,2,1,共有7个值。这里L

22222221111（3）同样地，可得：J?3,2,1,。

2222（2）类似地，J第六章 磁场中的原子

6.1 已知钒原子的基态是原子的有效磁矩。

解：（1）原子在不均匀的磁场中将受到力的作用，力的大小与原子磁矩（因而于角动量）在磁场方向

4F3/2。（1）问钒原子束在不均匀横向磁场中将分裂为几束？（2）求基态钒

的分量成正比。钒原子基态

4F3/2之角动量量子数J?3/2，角动量在磁场方向的分量的个数为

2J?1?2?（2）?J3?1?4，因此，基态钒原子束在不均匀横向磁场中将分裂为4束。 2?gePJ 2m15h 2PJ?J(J?1)h?按LS耦合：g?1?J(J?1)?L(L?1)?S(S?1)62??

2J(J?1)155??J?2e1515???h??B?0.7746?B 52m2516.2 已知He原子

P1?1S0跃迁的光谱线在磁场中分裂为三条光谱线，其间距

~?0.467/厘米，试计算所用磁场的感应强度。

?v解：裂开后的谱线同原谱线的波数之差为：

~?1?1?(mg?mg)Be?v2211?'?4?mc氦原子的两个价电子之间是LS型耦合。对应原子态，M11

P1原子态，M2?1,0,?1；S?0,L?1,J?1，对应1S0?0，S?0,L?0,J?0.g1?1?g2。

~?(1,0,?1)Be/4?mc ?v又因谱线间距相等：?v~?Be/4?mc?0.467/厘米。

?B?4?mc ?0.467?1.00特斯拉。e26.3 Li漫线系的一条谱线(3跃迁图。

D3/2?22P1/2)在弱磁场中将分裂成多少条谱线？试作出相应的能级

解：在弱磁场中，不考虑核磁矩。

32D3/2

能级：l13?2,S?,j?,

223113M?,,?,?2222

j(j?1)?l(l?1)?s(s?1)4g2?1??2j(j?1)511?2,S?,j?,

22112M?,?,g1?

223~?(?26,?22,?2,2,22,26)L ?v30303030303022P1/2

能级：l所以：在弱磁场中由32D3/2?22P1/2跃迁产生的光谱线分裂成六条，谱线之间间隔不等。

无磁场 2

有磁场 D3/2 M

3/2 106/3 1/2 -1/2 -3/2

1/2

2

P1/2

-1/2

? ? ? ?? ?

6.4 在平行于磁场方向观察到某光谱线的正常塞曼效应分裂的两谱线间波长差是0.40场的B是2.5特斯拉，试计算该谱线原来的波长。

A。所用的磁

?解：对单重项（自旋等于零）之间的跃迁所产生的谱线可观察到正常塞曼效应。它使原来的一条谱线分裂为三条，两个?成分，一个?成分。?成分仍在原来位置，两个?成分在?成分两侧，且与?成分间的波数间隔都是一个洛仑兹单位L。

又v~?1,?v~??(1)????/?2

??符号表示波长增加波数减少。根据题设，把??近似地看作?成分与?成分间的波长差，则有：

~???/?2?L ?v其中L?因此，?Be/4?mc ?????7?4.1405?10米?4140.5A L?16.5氦原子光谱中波长为6678.1A(1s3dD2?1s2pP1)及7065.1A(1s3s1S1?1s2p3P0)的

1?两条谱线，在磁场中发生塞曼效应时应分裂成几条？分别作出能级跃迁图。问哪一个是正常塞曼效应？哪个不是？为什么？

解：（1）

11D2谱项：L?2,S?0,J?2,M2??2,?1,0,g2?1。

P1谱项：L?1,S?0,J?1,M1??1,0,g1?1

?~?(?1,0,?1)L。可以发生九种跃迁，但只有三个波长，所以??6678.1A的光谱线分裂成三?v条光谱线，且裂开的两谱线与原谱线的波数差均为L，是正常塞曼效应。

（2）对

3S1能级：L?0,S?1,J?1,M2??1,0,g2?2

0对3P0能级：L?1,S?1,J?0,M1?0,g1?，M1g1?0

0?~?v?(?2,0,?2)L，所以??7065.1A的光谱线分裂成三条，裂开的两谱线与原谱线的波数

差均为2L，所以不是正常塞曼效应。

6.6

Na原子从3P1/2?3S1/2跃迁的光谱线波长为5896A，在B=2.5特斯拉的磁场

22?中发生塞曼分裂。问从垂直于磁场方向观察，其分裂为多少条光谱线？其中波长最长和最短的两条光谱线的波长各为多少

A？

1112,J?,M2??,g2? 2223?2解：对于3P1/2能级：L?1,S?2对于3S1/2能级：L?0,S?111,J?,M1??,g1?2 222~?(?4,?2,2,4)L?v，所以从垂直于磁场方向观察，此谱线分裂为四条。

3333根据塞曼效应中裂开后的谱线同原谱线波数之差的表达式：

~???/?2?~??(1)????/?2，?v?v??42L??0.54A 因此，波长改变??为：???34L 3所以，最长的波长?max为：

?max??????5896.54A

最短的波长?min为：

???min??????5895.46A

6.7

Na原子从3P?3S跃迁的精细结构为两条，波长分别为5895.93埃和5889.96埃。试

2求出原能级Ｂ。

P3/2在磁场中分裂后的最低能级与2P1/2分裂后的最高能级相并合时所需要的磁感应强度

13314,j?,M??,?,g?; 22223解：对

2P3/2能级：l?1,s?21112P,j?,M??,g?;磁场引起的附加能量为：1/2能级：l?1,s?2223heB 4?m?E?Mg设

222222P3/2,2P3/2?S1/2,P1/2?S1/2,产生的谱1/2,S1/2,对应的能量分别为E2,E1,E0，跃迁P线波长分别为?2,?1；那么，?22?5889.96A,?1?5895.93A。

??2P能级在磁场中发生分裂，

P3/2,2P1/2,的附加磁能分别记为?E2,?E1；现在寻求E2??E2?E1??E1时的B。

E2?E1??E1??E2?(M1g1?M2g2)由此得：

ehB 4?m(E2?E1)?(?E1??E2)eB ?(M1g1?M2g2)hc4?mc1即：

1?2??1?(M1g1?M2g2)eB4?mc

因此，有：B?4?mc111(?)

eM1g1?M2g2?2?1其中M1g11?,M2g2??2，将它们及各量代入上式得： 3B=15.8特斯拉。

6.8 已知铁的原子束在横向不均匀磁场中分裂为9束。问铁原子的J值多大？其有效磁矩多大？如果已知上述铁原子的速度v?103米/秒，铁的原子量为55.85，磁极范围L1?0.03米 ，磁铁到屏的距

离L2?0.10米 ，磁场中横向的磁感应强度的不均匀度

dB?103特斯拉/米，试求屏上偏离最远的两束dy之间的距离d。

解：分裂得条数为2J+1,现2J+1=9。所以J=4,有效磁矩3为：

?J?g而

ePJ?gJ(J?1)?B 2mJ(J?1)?25

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