城市经济发展与竞争的博弈分析

课程设计（论文）

《经济博弈论》课程PBL教学模式问题研究报告

城市经济发展与竞争的博弈分析

学 院经济与贸易学院

专 业 国际经济与贸易 年级班别2011级3班 组 别2011级3班3组 组 长 梁秀君 组员姓名：欧燕吟、林凤兰、林 伶

刘 璐、赖海燕、李文健

梁洁怡、唐天月、褚颖珊 黄雪琴

指导教师 朱怀念

2013 年11月

摘 要

本研究报告运用博弈论中的完全信息静态博弈、不完全信息静态博弈、完全信息动态博弈和不完全信息动态博弈来研究城市经济的发展与合作的关系问题。在经济全球化背景下，都市圈以其独特的集聚优势，对区域经济发展乃至国民经济发展起到了强劲的推动作用，都市圈内产业的发展水平是都市圈能否良性发展的关键。尤其是在市场经济条件下，它通过对经济行为主体的动机等心理因素的分析，对经济行为主体的理性选择、理性预期与决策过程的研究，对区域经济发展的不确定性、信息非对称性及决策的静动态进行深入分析。

本文试图以城市作为博弈的参与人，以其产业的收益作为支付，基于博弈理论，分析城市群内城市产业的博弈行为。本文可分为四部分：论文首先介绍了博弈论的相关理论，其次运用基本的博弈模型分析了城市经济竞争与合作的博弈均衡。再次选取古诺模型、Stackelberg模型来分析城市产业博弈，从一维博弈拓展到多维博弈，从静态分析拓展到动态分析，并得出相关结论。最后为城市产业合作提出了合作的机制。

关键词：城市经济,竞争,合作,博弈

Abstract

Relationship between development and cooperation in this study by using complete information static game, incomplete information static game, dynamic game of complete information and incomplete information dynamic game to study the city economy. With the background of globalization,metropolitan areas play an important role in promoting the development of regional economy and even national economy with its unique superiority of accumulation.Especially under the condition of market economy, it is through the analysis of the behavior of economic subject motivation and other psychological factors, the rational choice of the behavior of economic subject, the rational expectation and decision process,static and dynamic analysis on the uncertainty of the regional economic development, information asymmetry and decision making.

This paper attempts to as a participant in the game in the city, with its industry income as a payment, based on game theory, game analysis of city industry within the city group. This paper can be divided into four parts: firstly, introduces the related theory of game theory, by using game model analysis of game equilibrium city economic competition and cooperation. Analysis of industry game again city selected Cournot model, Stackelberg model,extended from one-dimensional game to multidimensional game,expanding from static analysis to dynamic analysis, and draws the related conclusion. Finally put forward the cooperation mechanism for the city industry cooperation.

Key word: city economy,competition,cooperation,gam

目 录

1 绪论............................................................. 1

1.1选题背景及研究意义........................................... 1 1.2国内外研究现状............................................... 2

1.2.1博弈理论 ............................................... 2 1.2.2城市经济研究现状 ....................................... 2 1.3研究方法与研究内容........................................... 4 2 博弈论的相关理论................................................. 5

2.1博弈的基本概念............................................... 5 2.2完全信息静态博弈的基本概念和基本模型......................... 6 2.3完全信息动态博弈的基本概念和基本模型......................... 7 2.4 不完全信息静态博弈的基本概念和基本模型 ..................... 10 2.5不完全信息动态博弈基本概念和基本模型........................ 10 2.6城市产业经济博弈的模型...................................... 12 3 城市经济合作与竞争的博弈模型.................................... 14

3.1 完全信息静态博弈合作与竞争的分析 .......................... 14 3.2 完全信息动态博弈合作与竞争的分析 .......................... 14 3.3 结论 ...................................................... 15 4 基于完全信息静态博弈模型的城市产业发展分析....... 16

4.1一维无优势城市产业古诺模型与分析............................ 16

4.1.1古诺模型 .............................................. 16 4.1.2 一维古诺博弈模型...................................... 17 4.1.3结论 .................................................. 18 4.2多维无优势城市产业古诺模型与分析............................ 19

4.2.1问题描述与求解 ........................................ 19 4.2.2结论 .................................................. 21 4.3多维绝对优势城市产业古诺模型与分析.......................... 23

4.3.1模型描述与分析 ........................................ 23 4.3.2结论 .................................................. 26

5 基于完全信息动态博弈模型的城市产业发展分析....................... 27

5.1.完全信息动态博弈合作与竞争的分析 ........................... 27

5.1.1简单分析 .............................................. 27 5.1.2结论 .................................................. 27 5.2基于完全信息动态博弈模型的城市产业发展分析.................. 28

5.2.1模型描述及分析 ........................................ 28 5.2.2结论 .................................................. 32

6 基于不完全信息多维静态博弈模型的城市产业分析..................... 33

6.1模型的描述与求解............................................ 33 6.2结论........................................................ 40 7 基于不完全信息动态博弈模型的城市产业发展分析..................... 42

7.1模型的描述及分析——不完全信息下城市产业的Stackelberg多维博弈模型及其分析 ................................................... 42 7.2结论........................................................ 49 8 对模型的思考：城市经济合作的实现机制............................. 50 总结............................................................... 55 参考文献........................................................... 56

1 绪论

1.1选题背景及研究意义

进入20世纪90年代以来, 全球经济一体化进程加快, 形成了新的科技与经济关系格局。在全球化和新经济两大潮流推动下, 为适应全球竞争和国际合作向更高层次和更新形态发展, 提高资源优化配置、产业结构调整、科技创新和增强城市竞争能力, 城市之间的相互依存性大大增强, 形成了新的城市空间结构。城市之间的恶性竞争的局面将有所改变, 城市之间的合作博弈时代已经来临。城市之间的合作博弈产生城市联盟。各国城市化进程发展迅猛，在发达国家，以连绵城市群为特征的大都市化成为当今发达国家城市化的主流。如著名的有美国的三大城市连绵带（北部大西洋沿岸、五大湖南岸、加利福尼亚州）、英国的以伦敦为主的大伦敦城市区及日本的三大城市圈（东京、大阪、名古屋）；在韩国也有以汉城为首的六大城市组成的大城市区。

我国自改革开放以来，也初步形成了三大城市群的经济合作，分别是长江三角洲城市群、珠江三角洲城市群、京津唐城市群。后中央又提出包括福建、 江西、 湖南、 广西、 海南、 四川、 贵州、 云南、 广东以及南沙、前海、横琴“金三角”的破茧而出，珠三角与粤港澳从渐进协作走向多边融合.继这些以后,西部云、贵、川、渝四省市加强合作发展，上海自由贸易区开放,都充分发挥着城市合作的优越性。

需要认识到，尽管我国城市群发展迅猛，但由于我国长期的计划经济体制和区域分制的行政管理体制，各城市在经济合作与发展中，往往只从自身视角出发考虑决策行为，各地方政府之间画地为牢、各自为政、内耗不止、过度竞争，地区利益与市场经济的本质要求即生产要素按照追求利润最大化的原则自由流动和配置发生冲突矛盾，交易成本加大，造成了行政干预大于市场作用的局面，在一定程度上阻碍了城市区域经济互惠互利、互动互补的协调发展。

其实城市在城市群经济中既有竞争的关系，又有合作的意愿，本质上是竞合关系。因此，在城市经济与发展中对于各城市产业选择与发展的研究是引人深思且具有重大的现实意义和指导意义。

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1.2国内外研究现状 1.2.1博弈理论

博弈论(Game Theory)，又称对策论，是二人在平等的对局中各自利用对方的策略变换自己的对抗策略，达到取胜的目的。博弈论思想古已有之，中国古代的《孙子兵法》等著作就不仅是一部军事著作，而且算是最早的一部博弈论著作。博弈论最初主要研究象棋、桥牌、赌博中的胜负问题，人们对博弈局势的把握只停留在经验上，没有向理论化发展。博弈论考虑游戏中的个体的预测行为和实际行为，并研究它们的优化策略。

近代对于博弈论的研究，开始于策墨洛（Zermelo），波雷尔（Borel）及冯·诺依曼（von Neumann）。1928年，冯·诺依曼证明了博弈论的基本原理，从而宣告了博弈论的正式诞生。1944年，冯·诺依曼和摩根斯坦共著的划时代巨著《博弈论与经济行为》将二人博弈推广到n人博弈结构并将博弈论系统地应用于经济领域，从而奠定了这一学科的基础和理论体系。1950～1951年，约翰·福布斯·纳什（John Forbes Nash Jr）利用不动点定理证明了均衡点的存在，为博弈论的一般化奠定了坚实的基础。纳什的开创性论文《n人博弈的均衡点》（1950），《非合作博弈》（1951）等等，给出了纳什均衡的概念和均衡存在定理。此外，塞尔顿、哈桑尼的研究也对博弈论发展起到推动作用。

今天博弈论已发展成一门较完善的学科。应用范围非常广泛，博弈论涉及学科知识广，如数学、统计学、运筹学、工程学、经济学等，博弈论已被看作是重要的经济理论和经济学的核心分析方法。 1.2.2城市经济研究现状

城市经济合作与发展的研究，从总体来看，其观点经历了一个由均衡发展到不均衡发展，不均衡发展到不均衡协调发展的变化过程。1826年德国农业经济和农业地理学家杜能(J . H . V . Thunec )在其《农业和国民经济中的孤立国》（第一卷）一书中提出区位论以来，至今己有170多年的历史。上世纪四五十年代，著名发展经济学家Rosenstein Rodan (1943)以传统发展经济学的经济增长理论作为基础提出了大推进理论。大推进理论兼顾了关于经济增长生产函数、需求、储蓄供给三个“不可分割”的方面，但是忽略了经济学强调的资源稀缺性。后来美

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国经济学家North(1955)又提出了出口基地理论，从外生需求的扩大是内生增长的主要原动力这一主要观点出发，论证了区域均衡发展的可行性。法国经济学家Perroux (1950)提出增长极理论，主张集中力量发展优势主导产业即增长极，通过外部经济和产业之间关联乘数效应推动其他产业的发展。增长极理论只强调了增长极正面的影响，而忽视了其负面的影响。Myrdal(1957)所提出的“地理上的二元结构”理论则认为经济发展的不平衡由于“积累性的因果循环”会扩大区域的经济差距。美国经济学家Hirschman(1958)利用聚集经济的分析“核心—边缘”理论，提出在区域发展不平衡的条件下，会形成区域发展的核心地区和边缘地区。

蒋清海(1994)指出，中国区域经济研究的热点问题主要有布局原则的研究结构的研究、宏观区域发展战略的研究、区域性地方发展战略的研究、区域产业区域经济管理体制的研究、区域市场发育的研究、区域经济协调发展的研究等。

夏禹龙，冯之浚(1982)提出梯度发展战略。他们指出，我国由于历史、自然、社会等多方面的原因，区域经济技术发展不平衡，我国生产力的空间推移，应当承认这种客观存在的梯度，因势利导，让高梯度的东部地带掌握先进技术， 然后逐步向梯度较低的中西部推移。陆大道(1984)根据区位论和“空间结构理论”的基本原理，提出了点轴开发论。所谓点轴开发，是在全国或地区范围内，确定若干等级的具有有利发展条件的线状基础设施轴线，对轴线地带的若干个点——中心城市给予重点发展。晏学峰(1986)，徐炳文(1987)先后提出“?”字型发展战略。该理论主张是，国家的开发重点除了“一”“ L”(沿海和长江流域)以外，还应把陇海——兰新作为另一条“?”字型开发轴线。魏后凯(1995)提出了网络开发理论。他认为区域经济发展是一个动态的过程， 在发展中呈现出增长极点开发、点轴开发和网络开发三个不同阶段。任何一个区域经济的发展， 总是最先从一些点开始，然后沿着一定的轴线在空间上延伸。厉以宁(2000)针对现实中社会经济发展的不平衡状况，提出了中心辐射战略。

陈广汉（2013）指出，粤港澳新的合作模式是广东省及国家需要考虑的问题。广东省要进一步开放市场、降低港澳资本和服务业进入的门槛，推进和深化粤港澳合作，构建更紧密的粤港澳区域经贸关系，促进粤港澳区域服务贸易自由化和投资便利化。必须在经济发展中彻底改变传统的以行政区划相分割的观念，而代之以发展统一的区域经济的意识，联合协调，优势互补。“H”型战略结构（沿海

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为一竖，西部为一竖，长江成为连接沿海和西部的一横）形象地描绘了长江经济带的特点，突出了其在全国经济战略中的地位，也为我们从整体上规划长江沿岸经济发展的格局提供了依据。

根据已有文献，可见目前学界对于城市产业合作竞争的文献大多数都是基于宏观视角对城市群产业结构，产业发展的研究，研究视角是对整个城市群而言。在目前的研究中，从城市群内单个城市的视角研究产业发展较少。 1.3研究方法与研究内容

在经济快速发展的二十一世纪，不同城市之间存在着激烈的竞争。每个城市都希望在竞争中立于不败之地，实现利益最大化。城市的竞争，归根到底是利益的竞争，而作为城市发展之基，城市的产业发展至关重要，在城市参与城市区域经济的竞合时，很大程度上是城市产业的竞合。但是由于市场环境的不确定性以及信息的不对称性等因素的存在，往往约束了城市战略目标的实现。作为市场环境中决策的主体——城市如何决策自身产业的发展实现自身利益最大化就成为亟待解决的问题。

本文将从博弈的角度，从静态拓博弈拓展到动态博弈，从完全信息博弈拓展到不完全信息的博弈，又由于城市之间涉及到的不仅是一个产业，为了不失一般性，本文试图将城市产业经济之间的博弈从一维拓展到多维，得出结论对城市政府的决策具有一定的参考价值。本文共分为四部分：

第一部分，论文首先介绍了博弈论的相关理论，对博弈论的基本概念和基本模型和本文用到的相关理论进行了重点介绍。

第二部分运用基本的博弈模型分析了城市经济竞争与合作的博弈均衡。 第三部分选取完全信息静态博弈模型中经典的古诺模型、完全信息动态博弈的Stackelberg模型以及不完全信息静态博弈的古诺模型，来分析城市产业博弈，从一维古诺模型到多维古诺模型，依次分析了城市产业具有无优势和绝对优势两种情况，并对效率进行对比。

第四部分，面对信息部对称以及动态博弈的情况，这部分为城市产业合作提出了合作的机制，主要从良好的信息沟通机制、城市经济合作的利益协调机制、城市经济合作的激励机制、城市经济合作的约束机制四方面提出了相关建议。

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2 博弈论的相关理论

2.1博弈的基本概念

博弈论(Game Theory)，直译为“游戏理论”又称对策论)博弈是指决策主体（可能是个人，也可能是团体，如企业，国家，国际组织等）在相互对抗中，对抗双方或多方相互依存的一系列策略和行动的过程集合，而博弈论就是系统研究博弈如何出现均衡的规律的科学。研究决策主体行为存在直接相互作用时，行为主体如何利用所掌握的信息进行决策，以及这种决策的均衡问题，反映了博弈局中人的行动及相互作用间冲突、竞争、协调与合作关系。博弈论的基本概念包括博弈参与人、行动、信息、战略、支付(效用)、结果和均衡。其中参与人、战略、支付构成博弈的三个基本要素，也是博弈不可缺少的主要要素。

(1)参与人(player)，又称局中人或博弈方，是指一个博弈中的决策主体，他的目的是通过选择行动（或策略）以最大化自己的支付（效用）水平，根据自己的利益要求决定自己的行为。参与人可以是自然人，也可以是各种社会组织，团体，如企业、家庭、社团及政府，国家。一般用i?1,2,…,n表示。n代表参与人，为了分析方便，在博弈论中“自然”作为“虚拟参与人”来处理。这里，“自然”是指决定外生的随机变量的概率分布的机制。

(2)行动(actions or moves)，是参与人在博弈某个时点的决策变量。一般用a表示第i个参与人的一个决策，Ai?{ai}表示第i个参与人的决策集合。

(3)信息(information)，是参与人关于博弈的知识，特别是有关于自然的选择，如博弈规则以及其他参与人的特征、行动和选择的知识。信息集包含参与人有关其他参与人之前行动的知识。

(4)战略(strategy)，是参与人在给定信息集情况下博弈中选择行动的规则，它说明参与人在什么时候选择什么行动，称为“相机行动方案”。一般用si表示第i参与人的一个战略，Si?{si}表示第i参与人所有可选择的战略集合。

(5)支付(payoff)，是参与人从博弈中获得的效用水平，或者是期望效用水平，所以是参与者最关心的事情。参与人的支付不仅取决于自己的战略选择，而且取决于所有其他参与人的战略选择，参与人的目标是选择自己的战略

i5

以最大化其期望效用函数,一般用ui表示第i参与人的效用。由于博弈参与者决策的相互影响，它是所有参与人战略选择的函数，即ui?ui(s1,s2,…,si,…,sn)。

(6)结果(outcome)，是博弈分析者所感兴趣的所有东西，如均衡战略组合、均衡行动组合、均衡支付组合等。

(7)均衡(equilibrium)，是所有参与人的最优战略或行动组合，一般记为

***s*?(s1,s2,…,si*,…,sn)其中si*表示第i参与人在均衡情况下的最优战略，它是i的

所有可能的战略中使效用Ui或期望效用EUi最大化的战略。在博弈论里，有各种各样的均衡概念，这里给出的是所有均衡概念的共同特征。

博弈可以划分为，合作博弈和非合作博弈。合作博弈与非合作博弈之间的区别主要在于人们的行为相互作用时，当事人能否达成一个具有约束力的协议。如果有，就是合作博弈；反之，则是非合作博弈,其次，根据博弈的时间或参与人的行动顺序，可将博弈分为静态博弈和动态博弈，静态博弈是指博弈中参与人同时选择行动，或虽非同时行动但后行动者并不知道前者采取什么行动，动态博弈指的是参与人的行动有先后顺序，且后行动者能够观察前者的行动。再次，根据参与人所拥有的有关博弈的信息知识，可将博弈分为完全信息博弈和不完全信息博弈，完全信息博弈指的是博弈中每一个参与人对其他参与人的特征，策略空间及支付函数有准确的知识。否则，就是不完全信息博弈。

博弈论，在非特指情况下都是指非合作博弈。根据(1)参与博弈的人行动是否有先后顺序；(2)参与人对有关其他参与人的特征、战略空间、及支付函数的知识是否完全掌握着两个角度来划分，可以构造出四种不同类型的博弈，即完全信息静态博弈、完全信息动态博弈、非完全信息静态博弈、非完全信息动态博弈。 2.2完全信息静态博弈的基本概念和基本模型 1、完全信息

就是在博弈中，参与人对所有其他参与人的特征，战略，总支付（偏好）函数有完全的了解，并且所有参与人知道所有参与人知道所有参与人的信息和支付函数，即信息和支付函数是所有参与人的共同知识。 2、完全信息静态博弈

就是在完全信息条件下，博弈参与人“同时”行动选择策略进行博弈且只选

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择一次，同时行动不一定只指时间概念，还可以是只要参与人在选择自己的行动时不知道其他参与人的行动，我们称为完全信息静态博弈。 3、战略式

战略式又称标准式，其一般用于表述静态博弈。博弈的策略式描述为： (1)博弈参与人集合：i?????????…?n； (2)每个参与人的战略空间：Sii??????…?n；

(3)每个参与人的支付函数：ui(s1,s2,…,si,…,sn), i??????…?n 。 则博弈的战略式表达为：G?{S1,…,Sn;u1,…,un} 4、纳什均衡

纳什均衡是完全信息静态博弈解的一般概念。纳什均衡在博弈分析中具有十分关键的作用和地位，其定义如下

定义l：在一个有n个参与人的博弈G?{S1,…,Sn;u1,…,un}中，战略组合

***Si*?(s1,s2,…,si*,…,sn)是一个纳什均衡，如果对于每一个i，S?是给定参与人选

i*****择S?i?(s1,…,si?1,si?1,…,sn)的情况下第**?si?Si，?i?n。 ui?(si*,s?i)?(si,s?i)i人的最优战略，即

因此，当且仅当没有一个参与人能单方面背离某个策略组合的遇见中增加自己的收益时，这策略组合就是纳什均衡。

通过定义我们可以看出，纳什均衡具有一致预测性，具有稳定性和自我强制性，即纳什均衡使得协议能够自我约束，无外力作用下也能保证协议的生效。因此纳什均衡在博弈分析中具有不可替代的重要地位。 2.3完全信息动态博弈的基本概念和基本模型 1.基本概念

完全信息动态博弈指各博弈方先后行动，后行动者知道先行动者的具体行动是什么，且各博弈方对博弈中各种策略组合情况下所有参与人相应的得益都完全了解的博弈。

参与人的行动向量选择有先后顺序，后行动者在自己选择行动向量之前能观

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测到先行动者选择的行动向量。从信息角度上，完全信息动态博弈与完全信息静态博弈类似，博弈参与者对博弈结构、博弈顺序、双方收益等信息都具备完全了解。

在博弈论中，描述和分析动态博弈一般都用扩展式表述形式，扩展式是博弈论中的一个基本概念，它主要来描述动态博弈的。下面，我们给出扩展式表述包含的信息：

(1)参与人：i??????…?n，并用 N代表虚拟参与人“自然”； (2)参与人的行动顺序：哪个参与人在什么时候采取什么行动；

(3)参与人的行动空间：在每次行动时，参与人能够选择的所有战略空间； (4)参与人的信息集：每次行动时，参与人所知道的所有信息；

(5)参与人的支付函数：参与人选择行动向量结束后，每个参与人所得到的（如利润等）；

(6)外生事件（即自然的选择）的概率分布。 2.博弈树与子博弈

在动态博弈中，由于博弈参与者的行动存在先后顺序，因此可以用更形象的方法来表示动态博弈：博弈树（Game Tree），对于两个参与人有限博弈的扩展式表述可以用博弈树来表述，博弈树在博弈论中应用很广泛，它给出了有限博弈的几乎所有信息。博弈树的构成要素：

（1）博弈参与者

（2）行动顺序：在动态博弈中，博弈参与者的行动存在先后次序。 （3）行动策略空间（Action Set）：指博弈参与者可以采取的所有可能策略。 （4）信息集（Information Set）：指博弈参与者在博弈过程中所知道的信息。 （5）支付函数指博弈参与者采用特定策略与所能得到的收益之间的关系。 子博弈概念：对于动态博弈，我们要找出其博弈结果，首先需要了解“子博弈”的概念。子博弈就是在一个扩展式博弈中，由一个决策结（是一个单结信息集）和所有该决策结的后续结组成的部分。由定义易知，子博弈是原博弈的一部分，并且其本身可以作为一个独立的博弈进行分析。一个博弈的子博弈需要满足以下四个条件：

①子博弈的起始节点不能是原来博弈的起始节点

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②子博弈不能分割信息集 ③有些博弈包含多个子博弈 ④有些博弈没有子博弈

假如一个扩展式博弈的博弈树为如下形式：

图2.1 博弈树

如图2.1，参与人1和参与人2的信息集是单结的，因此由参与人1和参与人2的任何一个决策结开始及后面的所有决策结均可构成子博弈，而参与人3的信息集不是单结的，因此图中的参与人3左侧的一个决策结就不能构成子博弈。 3.子博弈精炼纳什均衡有了子博弈的概念后，我们就可以给出动态博弈的一个均衡——子博弈精练纳什均衡的定义。

定义2：扩展式搏弈的战略组合是一个子精练纳什均衡，如果：(1)它是原博弈的纳什均衡；(2)它在每一个子博弈上给出纳什均衡。（3）纳什均衡要求：给定其他参与者在均衡处的策略，任何一方博弈参与者在均衡处选择的策略都是自己所能选择的最优策略，没有博弈参与者有动机改变自己在均衡时的策略。（4）子博弈精炼纳什均衡不仅要求均衡解是纳什均衡，而且要求均衡解在每一个信息集上都是最优解。

对于有限完美信息博弈，利用动态规划中的逆推归纳法，该方法是求解子博弈精练纳什均衡的最简便方法。这是因为有限完美信息博弈的每一个决策结都是一个单独的信息集，每一个决策结都开始于一个子博弈，因此，求解子博弈精练纳什均衡，要从最后一个子博弈开始。

(1)通过逆向归纳法求解博弈树得到的均衡是子博弈精炼纳什均衡。 (2)纳什均衡仅需要在均衡处，每个博弈参与者没有动机改变自己的策略。 (3)子博弈纳什均衡不仅要求均衡满足纳什均衡要求的条件，还要求在 动

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态博弈中，此均衡是每个子博弈的最优解。

(4)也就是说：纳什均衡只对均衡处的策略有要求。

(5)子博弈精炼纳什均衡不仅对均衡处的策略有要求，而且对到达均衡的路径有要求。要求从博弈初始节点开始，博弈参与者到达均衡处所经过的路径也必须是最优的。

2.4 不完全信息静态博弈的基本概念和基本模型 1、基本概念

不完全信息静态博弈是指至少有一个参与人不知道其他参与人的支付函数，而博弈参与人“同时”行动选择策略进行博弈，我们称为不完全信息静态博弈。 2、贝叶斯纳什均衡

定义3：n人不完全信息静态博弈的纯战略贝叶斯纳什均衡

G?{A1,…,An;?1,…,?n;p1,…,pn;u1,…,un}的纯战略贝叶斯纳什均衡是一个类型依存战略组合

*，其中每个参与人i在给定自己的类型?i和其他参与人类

型依存战略a?i(??i)的情况下最大化自己的期望效用函数vi,换言之，战略组合

*a*?[a1*(?1),…,an(?n)]是一个贝叶斯纳什均衡，如果对于所有的ai(?i)?Ai(?i)：

ai*(?i)?arg max?pi(?i/??i)ui[ai(?i),a?i(??i);?i,??i] ai??i在上述定义中，A1,…,An表示战略空间，?1,…,?n表示参与人的类型空间，

p1,…,pn表示条件概率，u1,…,un表示类型依存支付函数。和纳什均衡一样，贝叶斯纳什均衡在本质上也是一个一致性预测。 2.5不完全信息动态博弈基本概念和基本模型

1、在不完全信息动态博弈的情况下，每个参与人只知道自己的类型而不知道其他参与人的类型，这样就好像是在博弈的开始阶段，存在参与人，名为“自然”，它先选择每个参与人的类型，然后参与人开始行动，参与人的行动有先有后，后行动者可以观察到先行动者的行动，但不能观察到先行动者所属类型。同样，先行动者能设法迷惑后行动者，因此，博弈过程不仅仅是参与人选择行动的过程，

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而且是参与人不断修正自己信念的过程，对于参与人的信念分为两类：一类是先验概率，另一类是后验概率，先验概率代表参与人原先的信念，后验概率代表参与人对信念进行修正，并得出新的信念。 2、精炼贝叶斯均衡

精炼贝叶斯均衡是贝叶斯均衡，子博弈精炼均衡和贝叶斯推断的结合。要求：（1）在每一个信息集上，决策者必须有一个定义在属于该信息集的所有决策结上的一个概率分布（信念），（2）给定该信息集上的概率分布和其他参与人的后续战略，参与人的行动必须是最优，（3）每一个参与人根据贝叶斯法则和均衡战略修正后验概率。

假设博弈中有n个参与人，参与人的所属的类型是?i??i,i?1,2,???,n,?i 是参与人i的私人信息，其他参与人不知道且观察不到，记除了参与人i之外所有其他参与人的所属类型为??i，即?-i?(?1,????i?1,?i?1,????n),条件概率pi(??1?i)是参与人i认为除自己外其他参与人所属类型的信念，即先验概率，设Si是参与人i的战略空间，它包含参与人i所有的可能的战略si?Si，是的一个特定战略，它依赖于参

oooooo与人i的类型?i。a????an)代表在第o个信息集上参与人i观察到i?(a1,a2,???ai?1,ai?1，（S1，???Si?1,Si?1,???Sn)的一部分，S?i是的其他参与人的行动组合,它是战略组合S?i?o除了参与人i之外的所有参与人的战略组合，条件概率Pi(??ia?i)是参与人i在观察

o到a?i行动的情况下，认为其他n?1个参与人属于类型??i的后验概率，Pi是所有

o后验概率Pi(??ia?i)的集合，ui(Si,S?i,??i)是属于类型?i的参与人i在选择战略si，

其他参与人选择战略s?i的情况下的效用函数。

定义：精炼贝叶斯均衡时一个战略组合S?(?)??S?(?1),????,S?(?n)?和一个后验

???Pn),满足： 概率组合P?(P1，精炼条件P对于所有参与人i，在每一个信息集0,有

ooSi?(S?i,?i)?argmax?Pi(??ia?i)ui(Si,S?i,?i)Pi(??ia?i)是使用贝叶斯从先验概率?i的以及最优战略S?i得到。 Pi(??i?i)观察到ao

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??定义的核心：给定信念P?(P1,P2,???,Pn),战略S??(S1?，S2，???,Sn)是最优的，给

??定战略S??(S1?，S2，???,Sn)，信念P?(P1,P2,???,Pn)是使用贝叶斯法则从均衡战略和所

观察到的参与人的行动得到的。因此，在数学概念上精炼贝叶斯均衡时一个对应的不动点 S?S?(P(S))P?P?(S?(P)) 2.6城市产业经济博弈的模型

在城市经济中，城市群内部各个地区在构建合作关系时，根本动力是利益关系，以经济促动性为主，当合作是有利可图时，则城市群内的城市选择合作，在合作过程中，通过利益协调和利益分享的机制使得区域内各城市都能获得好处，取得“双赢”局面。本文将以产业角度分析城市经济博弈。假设城市群中有n个城市，假设整个圈域中有m种产业，设Sim为在i城市发展的第m种产业，则i城市产业结构为Si?{Si1,Si2,…,Sim}，每个城市的收益为其辖区内各产业产出产品效用之和，每个城市的目标为收益最大化。注意到产业在每个城市发展程度不尽相同。 每个博弈人的策略为一个m维向量，则城市产业博弈可表示为

G?{S11×S12×…×SmS×1,…,Sn×1n×2…S,U…,,U}nm;U12n

其中Si?{Si1×Si2×…×Sim}是一个m维向量，表示在m各产业的发展策略，

Ui为第i个城市的效用。

根据博弈均衡的定义，我们给出城市产业经济博弈的均衡，即 定义

4：设

n

个城市

m

的多维博弈为：

G?{S11×S12×…×S1m,…,Sn1×Sn2×…×Snm;U1,U2,…,Un}，如果有一战略组合

**s*?{(s11,s12,…,sm,,(ss…,s,),1)…i1,i2im…,s(1s,…,s,*，满足对)}nn2nm所有参与者

i??????…?n而言，在其他n?1位城市分别采用战略

*s?,s1m)*,…,(si?1,1,si?1,2,…,si?1,m)*,(si?1,1,si?1,2,…,si?1,m)*,…,(sn1,sn2,…,snm)*}i?{(s11,s12,…**s?(s,s,…,s)ii1i2im的情况下，满足

**,s1m)?Si1×Si2×…×Sim Ui?(si*,s?)?(s,sii?i)?si?(s11,s12,…

12

上述即为城市产业经济的纳什均衡，特别地，当m?1时（即所有参与人在同一产业内博弈），城市产业经济博弈均衡就是常见的一维博弈纳什均衡。

根据纳什均衡的定义，当所有参与者都采用它的纳什均衡策略时，每位参与者都没有意欲偏离纳什均衡策略，因此纳什均衡是自动实施的。

13

3 城市经济合作与竞争的博弈模型

城市在城市群经济中既有竞争的关系，又有合作的意愿，本质上是竞合关系。本章将对这种竞合关系建立博弈模型进行讨论。 3.1 完全信息静态博弈合作与竞争的分析

假设某区域内存在两个城市，分别为城市1和城市2。当地的城市政府的目标中有提高本地区的经济发展速度、增加财政收入，完善投资环境等因素在内，但其主要的出发点是在城市之间的竞争中取得优势，获得本城市的最大收益。

如果两个政府之间选择合作，则各自得到的收益都为a1；如果一个选择合作，一个选择竞争，则选择合作的收益为a2，选择竞争的收益为a3；如果两个政府之间都选择竞争，则各自得到的收益都为a4；其中a3?a1?a4?a2，且

a1?a1?a2?a3。其战略式表示如下：

城市1 竞争 合作 合作 城市2 竞争 a1，a1 a3，a2 a2，a3 a4，a4 图3.1 城市合作与竞争静态博弈的战略式 运用博弈理论中的下划线法，在这次博弈中，我们可以得出竞争是两个政府的严格优势策略即（竞争，竞争）是博弈唯一的纳什均衡。但是从区域整体利益出发，双方合作才是最优的选择。在一次博弈中，双方的机会主义行为使双方陷入“囚徒困境”。

3.2 完全信息动态博弈合作与竞争的分析

以上我们分析的是两个政府之间的静态博弈，即两个政府同时行动做决策。事实上，各个城市之间在考虑是否合作时是有先后顺序的。我们仍假设某区域内存在两个城市，分别为城市1和城市2。如果两个政府之间选择合作，则各自得

14

到的收益都为a1；如果一个选择合作，一个选择竞争，则选择合作的收益为a2，选择竞争的收益为a3；如果两个政府之间都选择竞争，则各自得到的收益都为a4；其中a3?a1?a4?a2，且a1?a1?a2?a3。但城市1先行动，城市2后行动，而且是完全信息，扩展式如下：

城市1

合作 竞争 城市2 城市2 ?a1,a1??a2,a3??a3,a2??a4,a4? 图3.2 城市合作与竞争动态博弈的扩展式

用逆推归纳法，就城市1而言，他知道如果自己选择合作，城市2的最优选择是竞争，如果自己选择竞争，城市2的最优选择也是竞争。由于城市1先行动，因此他自然会选择竞争。 3.3 结论

通过上面的分析，我们可以看出，双方都选择合作是对区域整体发展最有利的解，此时的收益总和最大。但这个解并不稳定，因为如果双方处于这种均衡，无论是城市1还是城市2都存在选择竞争的经济动因，任何一方选择合作，另一方都有选择竞争的动机。因此，当各地方政府都只从本地区的利益出发，又缺少有效的外部约束的情况下，这种地区间的非合作恶性竞争只会继续进行下去。

15

4 基于完全信息静态博弈模型的城市产业发展分析

古诺模型(The Cournot Model)是由法国数学家、哲学家和经济学家安东尼·奥古斯丁·古诺(Antoine Augustin Cournot)在1838年出版的《财富理论的数学原理研究》一书中首先提出来的，古诺建立了寡头厂商理论，把垄断和完全竞争看作极端的情况，发展出寡头竞争的博弈模型，在模型中用纳什均衡的整套方法进行了分析。古诺寡头模型在博弈论的发展中具有深远影响。

针对区域经济问题，在完全信息静态博弈的条件下，亚当·斯密(1776)研究了在某地区具有绝对优势的时候，应该生产具有绝对优势的产品并出口，不要生产成本较高的产品，则双方都能从中获得利益。谭德庆(2004)讨论了具有一定替代性的两种产品关于产量策略的双寡头二维博弈模型及均衡。罗仁会等(2005)讨论了以产业之间产品需求相互影响为背景下的双寡头垄断古诺博弈及均衡，并对模型需求相关时纳什均衡与需求不相关时纳什均衡的差异进行了研究。刘晓顺、张良桥(2006)指出是两地区之间会选择互补性强的产业来作为主导产业，合作的稳定性随着主导产业互补性的增加而增加。靳景玉(2008)探讨了城市联盟不仅可以优化资源配置，还具有协同效应，并加速城市一体化的进程。

从上述文献可以看出，早期只是从定性方面进行了产业分工研究，近年来学者们大部分从产业的相关性进行了博弈分析。本章将试图从单产业拓展到无明显相关性的多产业分析，同时从无优势产业拓展到绝对优势产业，运用定量分析研究城市产业分工的古诺模型纳什均衡以及帕累托最优。 4.1一维无优势城市产业古诺模型与分析 4.1.1古诺模型

古诺模型是一个只有两个寡头厂商的简单模型，该模型也被称为“双寡头模型”。该模型阐述了相互竞争而没有相互协调的厂商的产量决策是如何相互作用从而产生一个位于竞争均衡和垄断均衡之间的结果。

16

4.1.2 一维古诺博弈模型

城市产业发展过程中，同一地域，因为资源、自然、地理条件相似，且有着相同的经济社会发展历史，所以他们的发展态势是趋同的。在这里我们要了解的是无优势产业的城市之间完全信息静态古诺博弈，在完全信息静态博弈的古诺模型中，假设厂商都是相互了解对方的产量和成本，市场价格是统一的，所以博弈双方的得益情况是共识，没有秘密。也相当于现实区域经济中产业集聚地城市之间产业的博弈。由此，我们需要先分析无优势产业的城市一维古诺博弈模型。

现在，假设博弈方只有两个城市，博弈领域仅为一个相同的产业，则博弈双方的决策空间即为其产业的产量，博弈方的支付为该产业的产出产品收益之和。假设有两个发展条件，经济条件差不多的城市（i=1,2）,每个城市都拥有的产业是G，这个产业在两城市之间的发展水平相同，假设两城市的产业之间所产出产品无显著的相关关系，再假设有如下线性需求方程：

p?a?r(q1?q2)

这里我们假设a为该产业G生产产品的最高价格，p为该产业生产的产品价

q格,qi 为城市i所拥有的产业的产品数量，r为产业产量对价格的影响系数。i是两个城市同时决定的各自的产量，产品成本函数为线性，设两城市皆无固定成本，每个城市以边际成本C发展G产业，其中c?a。

两城市利润函数如下：

u1?pq1?cq1u2?pq2?cq2

17

假设两城市古诺竞争，则城市1的博弈化问题为：

q1:Max?q1(p?c)?s.t.p?a?r(q1?q2)q1?0,q2?0

城市2的博弈化问题则为：

q2:Max?q2(p?c)?s.t.p?a?r(q1?q2) q1?0,q2?0我们需要找出纳什均衡的解?q1?,q2??,根据纳什均衡的定义，

???q1,q2?必然是城市1、2博弈化问题的解，求利润函数的一阶导数并让其为

零，得：

du1?a?2rq1?rq2?c?0dp1du2?a?2rq2?rq1?c?0dq2

通过求解以上反应函数，我们求得纳什均衡结果是：

q1*?q2*?p?a?2c32?a?c?*?a?c3r

U1*?U29r?a?ca?c?,所以两城市的策略??是唯一的纳什均衡。 3r3r??4.1.3结论

上述博弈是否具有效率，我们假设两城市进行完全分工，也就是只存在一个垄断城市产业，求产业收益最大化和均衡利润。设该垄断产业的总产量为Q，则有：

U?Q(a?rQ?c)

使其利益最大化，则：

18

MaxU?Q(a?rQ?c)

s.t.Q?0求解目标函数的一阶导数且令其为零：

dU?a?2rQ1?c?0 dQ得：

a?c2ra?c p?22?a?c?U?4rQ?通过和古诺产业产量相比，Q?2?a?c?U?a?c2?a?c??q1*?q2*?，利润

2r9r4r?U1*?U2*?2?a?c?,这个时候产业产出的产品总量减少，利润提

9r高。所以如果两个城市是在完全分工的基础上合作，则两个城市将得到更多收益。但如果要促成合作是需要强有力的约束和有效的协调机制的。 4.2多维无优势城市产业古诺模型与分析 4.2.1问题描述与求解

在同一个地区，由于自然、资源，地理条件相似，城市拥有相同的经济发展的历史基础，产业在这些城市发展态势相似。本小节探讨的是无比较优势产业的城市之间完全信息静态博弈，相当于在现实区域经济中，产业集聚地城市之间产业的博弈。为了既方便分析又不失一般性，我们假设博弈方只有两个城市，博弈领域为两个产业，博弈方的决策空间为其产业的二位产量向量，博弈方的支付为两产业的产出产品收益之和。

假设现在我们有两个实力相当的城市(i?1,2)，每个城市都各自拥有两个产业ki(i?1,2)；这两个产业在两个城市的发展水平相同，假设两产业所产出产品没有显著相关关系，设线性需求方程如下：

p1?a1?r1(q11?q21)

19

p2?a2?r2(q12?q22) （4.1）

其中，我们设ai为产业ki生产产品的最高价格，pi为产业i生产的产品价格，

qij为城市i所拥有的产业j生产的产品数量，ri为产业i中产量对价格的影响系数。

两城市同时决定各自产量(qi1,qi2)?0,(i?1,2)，决策前都不知道对方的决策。

产品成本函数为线性，每个城市以边际成本ci发展两个产业ki(i?1,2)，其中

ci?ai。

两城市的利润函数为：

U1?p1q11?p2q12?c1q11?c2q12

U2?p1q21?p2q22?c1q21?c2q22 （4.2）

假设两城市古诺竞争，城市1的博弈优化问题为：

q11?q12Max?q11(p1?c1)?q12(p2?c2)?

s.t.p1?a1?r1(q11?q21)（4.3）

p2?a2?r2(q12?q22)

q21?0,q22?0，

城市2的博弈优化问题为：

q21?q22Max?q21(p1?c1)?q22(p2?c2)?

s.t.p1?a1?r1(q11?q21)

p2?a2?r2(q12?q22)（4.4）

q21?0,q22?0

我们需要找出纳什均衡解?(q11,q12)*,(q21,q22)*?，根据其定义，?(q11,q12)*,(q21,q22)*?必然是式（4.3）、式（4.4）的解，通过求取利润函数的一阶导数并令其为0，可以得到：

20

??U1??q?a1?2r1q11?r1q21?c1?0?11??U1?a2?2r2q12?r2q22?c2?0???q12（4.5） ??U?2?a?rq?2rq?c?011111211??q21???U2?a?rq?2rq?c?022122222???q22求解上述反应函数，得到纳什均衡结果为：

q11?q21?q12?q22?a1?c13r1a2?c23r2a?2c1a?2c2p1?1,p2?23322??a1?c1?a2?c2?U1?U2??9r19r2（4.6）

则两城市的策略?(4.2.2结论

?a1?c1a2?c2a1?c1a2?c2?,),(,)?为唯一的纳什均衡。 3r3r3r3r1222??为了对此博弈结果进行效率评价，我们只从产业发展角度，求使产业收益最大的产业产品产量。设产业1的总产量为Q1，则产业1的总收益为：

Uk1?(p1?c1)Q1（4.7）

??a1?r1Q1?c1?Q1

为使其收益最大，也就是：

MaxUk1??p1?c1?Q1（4.8）

Q1??a1?r1Q1?c1?Q1

s.t.Q1?0

通过求解目标函数的偏导数，求得：

?Uk1?a1?2r1Q1?c1?0（4.9） ?Q121

解得：

(a1?c1)2a?ca1?c1Q1?Uk1?,p1?11（4.10）

2r14r12同理，可求得使产业2总体收益最大化的产量

(a2?c2)2a?ca2?c2Q2?Uk2?,p2?22（4.11）

2r24r22通过和古诺产业产量对比，此时Q1?a1?c12(a1?c1)?q11?q21?，2r13r1(a1?c1)22(a1?c1)2Uk1??p1(q11?q21)?，由此可知，此时产业1产量减少，利

4r19r1润却得到提高；同理得出产业2产出的产量减少，利润提高。也就是说从两个城市总体看，根据总体收益最大化确定产业产量收益最高，就是两城市在完全分工的基础上合作，两城市将得到更多的收益。但是，根据纳什均衡的性质，我们可以知道，尽管两城市完全分工，分别发展不同的产业，两城市的总体收益最高，但是如果缺乏强有力的约束和有效的协调机制，上述这种合作是难以实现的，即使实现也是很不稳定的。

22

4.3多维绝对优势城市产业古诺模型与分析

绝对优势是指一个城市较之另一个城市在生产同种商品中所拥有的最高的劳动生产率――表现为单位劳动投入带来的产出率最大。前面已经讨论了两个城市发展条件相似，没有绝对优势情况下的博弈，而在现实情况下，两个城市会存在地域差异如自然资源差异、人口差异等等会导致城市产业出现绝对优势。 4.3.1模型描述与分析

假设有两个发展条件相似的城市(i= 1,2 )，它们分别拥有两个产业(ki=1,2) ；假设产业在不同城市的发展态势不同， 由于地域差异如自然资源差异，劳动力差异等因素，会导致每个城市具有绝对优势的产业也有差异，此时假设cij为i城市j产业的边际成本，同时假设城市1的产业1开发了新技术，导致城市1的产业1拥有更低的边际成本，即c11

c22需求函数仍为：

p1?a1?r1(q11?q21)

p2?a2?r2(q12?q21)

此时城市1、2利润函数为：

U1?p1q11?p2q12?c11q11?c12q12

U2?p1q21?p2q22?c21q21?c22q22在二维古诺博弈竞争中，城市1和城市2博弈优化问题为

Max?pqq11,q12111?p2q12?c11q11?c12q12?

s.t.p1?a1?r1(q11?q21)q11?0,q12?0Max?pqq21,q22121?p2q22?c21q21?c22q22?s.t.p1?a1?r1(q11?q21)p2?a2?r2(q12?q22)q21?0,q22?0

23

通过求取目标函数的一阶偏导并令其等于0，可以获取城市目标函数的最大值。可得：

?U1?a1?2r1q11?r1q21?c11?0?q12?U1?a2?2r2q12?r2q22?c12?0?q12

?U2?a1?r1q11?2r1q21?c21?0?q21?U2?a2?r2q12?2r2q22?c22?0?q22求解反应函数，有

11（1）当c12?(a2?c22),c21?(a1?c11)时，解得

22

q11?a1?c21?2c11a?c?2c12,q12?2223r13r2a1?c11?2c21a?c?2c22,q22?2123r13r2a1?c11?c21a?c?c,p2?2122233q21?p1?

U122?a1?c21?2c21??a2?c12?2c22???9r19r2U222?a1?c11?2c21??a2?c12?2c22???9r19r2此时，有唯一纳什均衡：

???a1?c21?2c11a2?c22?2c12??a1?c11?2c21a2?c12?2c22?????? ,,,???????3r3r3r3r??1212??????含义是：相对于产品的价格，当边际成本较小时，不具备绝对优势的城市仍然发展少量该产业，此时为不完全分工，但具有绝对优势产业的城市会多生产优势产品，即q11?q21,q22?q12。

（2）当c12?1?a2?c22?,c21?1?a1?a11?，可解得 22

24

q11?a1?c11,q12?02r1a2?c222r2q21?0,q22?

p1?a1?c11a?c,p2?222222?a2?c22??U12?a1?c11??,U4r124r2

此时，有唯一纳什均衡：

???a1?c11??a2?c22??????,0,0,??? ????2r2???????2r1?这表明当产业边际成本很大时，对于不具备绝对优势的城市而言，发展该产业不经济，此时就会出现完全分工现象。即城市1和城市2都只发展自己具有优势的产业，形成垄断。与情况（1）相，可发现此时对于产业而言，产业产品价格高，产量低，总体收益高。总的来说，效率最高。 （3）当c12??a2?c22?,c21??a1?c11?时，解得

q11?a1?c21?2c11,q12?03r1a1?c11?2c21a?c,q22?2223r12r2a1?c11?c21a?c,p2?222321212q21?p1?

U12?a1?c21?2c21??9r1U222?a1?c11?2c21??a2?c22???9r14r2此时，有唯一纳什均衡解：

???a1?c212c11??a1?c11?2c21a2?c22?????? ,o,,???????3r3r2r??112??????博弈结果表明：由于产业1的边际成本相对于城市2而言，处于可容忍范围，此时城市2尽管在产业1上没有绝对优势，仍会少量生产；而产业2的边际成本

25

超出了城市1的可容忍范围，选择完全不生产产业2。此时出现了城市2对产业2的垄断，除此之外城市2还是会少量生产产业1产品。从产业发展而言，产业1总产量比垄断时多，而价格比垄断时低，总收益不比产业垄断下的收益；产业2形成垄断，达到最大收益。

（4）当c12?1?a2?a22?,c21?1?a1?c11?时，解得： 22a?ca?c?2c12q11?111,q12?222

2r13r2q21?0,q22?a2?c12?2c22

3r2p1?a1?c11a?c?c,p2?21222 23U122?a1?c11??a2?c22?2c12???4r19r2

U22?a2?c12?2c22??9r2

此时有唯一纳什均衡解：

???a1?c11a2?c22?2c12??a2?c12?2c22??????,,0,??? ????2r3r3r?122???????结果表明：由于此时产业2的边际成本处于可容忍的范围，城市1尽管在产业2上没有优势，仍然会少量生产；而对于城市2来说产业1的边际成本超出了可容忍范围，选择不发展产业1。此时城市1垄断产业1，并少量生产产业2。产业1因形成垄断，收益达到最高；产业2总产量比垄断时多，价格比垄断时低，总收益不比垄断下收益。 4.3.2结论

总结以上可知，当产业优势达到一定程度时，具有此产业优势的城市就可以垄断此产业，产业收益最大化，产业得到较好的发展；反之，当城市具有的优势不足以形成进入壁垒时，城市会优先发展优势产业，两产业并存。现实中，在发展城市群经济时，积极培育优势产业，积极推进产业结构升级，技术创新可以使城市群获得最大限度的发展。

26

5 基于完全信息动态博弈模型的城市产业发展分析

5.1.完全信息动态博弈合作与竞争的分析 5.1.1简单分析

以上我们分析的是两个政府之间的静态博弈，即两个政府同时行动作决策，事实上，各个城市之间在考虑是否合作时是有先后顺序的。我们仍假设某区域内存在两个城市（城市①和城市②），如果两个政府之间合作，各可以得到的收益c1；如果一个合作，一个不合作，合作的一方得到的收益c2，不合作的一方得到的收益c3；如果两个政府相互竞争，各得的收c4，且c3?c1?c4?c2，但城市①先行动，城市②后行动，而且是完全信息，扩展式如下：

图3.2 城市合作与竞争动态博弈的扩展式

用逆推归纳法，就城市①而言，他知道如果自己选择合作，政府2最好的选择是竞争，如果自己选择竞争，城市②最好的选择也是竞争，城市①先行动，因此他自然会选择竞争。 5.1.2结论

通过上面的分析，我们可以看出，双方都选择合作是对区域整体最有利的解，此时的收益总和最大。但这个解并不稳定，因为如果双方处于这种均衡，无论是城市①还是城市②都存在选择不合作的经济动因，任何一方选择合作，另一方都有选择不合作的动机。因此，当各地方政府都只从本地区利益出发，又缺少有效的外部约束的情况下，这种地区间的非合作恶性竞争只会继续进行下去。

27

5.2基于完全信息动态博弈模型的城市产业发展分析

在实际城市产业博弈中，很难实现静态博弈，更多的情况是城市之间产业的选择行动具有先后顺序，为此，本小节考察城市产业间动态博弈，使用斯坦克尔伯格模型(The Stackelberg Model)。

斯塔伯格博弈（Stackelberg Duopoly Game）是寡头博弈的一种常见形式，是一种完全信息动态博弈,是一种主从动态博弈模型。简单来说，斯塔贝尔伯格寡头博弈就是市场中有两个厂商：厂商 1 先行动，选择自身产量。厂商 2 观察到厂商 1 选择的产量后，再决策自己的产量。厂商 1 通常被称为领先者，厂商 2 通常被称为跟随者。每个博弈方决策时都要考虑对方的产量策略，企业与竞争者是同类产品的生产者，他们之间的博弈是利润最大化条件下的产量分配决策问题。Stackelberg模型与古诺模型的策略空间、得益函数都相同，区别在于Stackelberg模型中两博弈方的选择是具有先后顺序的。

在城市产业发展的过程中，Stackelberg模型与许多现实情况吻合。可以看到在城市发展中，很可能一个城市通常是中心城市或者具有强势地位的城市先行选择产业发展，另外的城市根据中心城市的选择再进行产业选择， 5.2.1模型描述及分析

假设有两个城市，每个城市（①和②），各拥有两个产业（k1和k2）。

假设产业在不同地区发展态势是不同的，由于各方面的原因，如本地资源，劳动力等因素，会出现产业在某地具有竞争力，使得每个城市发展产业的边际成本c不同，此时假设为i城市发展c产业的边际成本，不失一般性，我们假设城市①

ij在产业k发明了新技术，使得城市①发展产业K1的边际成本变小，即c11?c21 ,而

1城市②在产业K2发明了新技术，使得城市②发展产业K2的边际成本变小c22?c12，即。其中c11?c21? a1 ,需求函数仍为式即:

p1?a1-r1(q11?q21) p2?a2-r2(q12?q22)

变量含义不变。此时两城市利润函数为：

28

U1?p1q11?p2q12-c11q11-c12q12

U2?p1q21?p2q22-c21q21-c22q22

博弈过程如下：城市①先选择两产业的产量(q11, q12)，城市②根据城市①的产量决定自己的产量(q21, q22)。

我们利用逆推归纳法分析此博弈，首先分析城市②的决策思路，当城市②决策时，城市l已经宣布了(q11, q12)，即城市②已知(q11, q12)。因此对于城市②而言，也就是在给定(q11, q12)的前提下，求使U2最大的，即(q21, q22)是(q11, q12)的函数，由于

U2?p1q21?p2q22-c21q21-c22q22

?[a1-r1(q11?q21)] q21?[ a2-r2(q12?q22)q22- c21q21-c22q22]假定已知，为使得最大的，令(5.2)的一阶偏导数为零：

U2/21?a1-r1q11-2r1q21-c21?0

U2/22?a2-r2q22-2r2q22-c22?0

解得：

q21? (a1-r1q11-c21)/2r1

q22? (a2-r2q12-c22)/2r2实际式(5.4)为城市②对城市①的反应函数，城市l知道城市②的决策思路，也就是知道城市②的反应函数，因此城市①可以直接将式(5.4)代入自己的利润函数，得到自己的得益函数为(q11, q12)的二元函数：

U1?p1q11?p2q12-c11q11-c12q12（5.5）

?(a1-r1q11?c21)/2q11?(a2-r2q12?c22)/2q12-c11q11-c12q12 此时，满足使城市①收益最大的，有(q11, q12),有

U1/11=（a1-2r1q11+c21）/2-c11=0

U2/12=（a2-2r2q12+c22）/2-c12=0 （5.6）

29

解得：

(1)当c12?a2?c22, c21?a1?2c11时,

q11= (a1+c21-2c11)/2r1, q12= (a2+c22-2c12)/2r2q21= (a1+2c21-3c11)/4r1, q22= (a2+2c12-3c12)/4r2p1= (a1+2c11+c21)/4,p2= (a2+2c12+c22)/4U1=(a1+c21-2c11)2/8r1+(a2+c22-2c12)2/8r222 U2=(a1+2c21-3c11)2/16r1+(a2+2c12-3c22)/16r（5.7）

此时{[(a1?c21-2c11)/2r1, (a2?c22-2c12)/2r2],[ (a1?2c21-3c11)/4r1, (a2?2c12-3c12)/4r2] }为唯一的子博弈完美纳什均衡。此博弈结果表示，相对于产品的价格，当边际成本较小时，不具有绝对优势的城市仍然会选择发展少量该产业，此时为不完全分工，但此时具有生产优势的城市会多生产优势产业的产品。即q11?q12，q22?q12。城市①收益增加，具有先动优势。产业l产出产品价格下降，产量上升，而产业2产品价格下降，产量也下降。因此在两城市博弈中，先行者具有优势，其得益大于其在古诺博弈时收益。 2)当c12?a2?c221/2?2c11, c21?a11时, /3q11= (a1-c11)/2r1, q12= 0q21= 0, q22= (a2-c22)/2r2（5.8）

p1= (a1+c11)/2,p2= (a2+c22)/2 U1=(a1-c11)2/4r1,U2=(a2-c22)2/4r2 此时{[(a1-c11)/2r1,0],[0, (a2-c22)/2r2]}为唯一的子博弈完美纳什均衡。此博弈结果表示，相对于产品的价格，当边际成本较大时，对于不具有比较优势的城市而言，发展该产业为不经济的，不具有比较优势的城市就会选择完全放弃发展劣势产业，只生产优势产业，此时完全分工，相当于两产业形成垄断。可以发现，此

30

时对于产业而言，产业产品价格高，产量低，总体收益最高。总体而言效率最高。

(3)当c12?a2?c221/2?2c11, c21?a11时, /3q11= (a1+c21-2c11)/2r1, q12= 0 q21=(a1+2c11-3c21)/4r1,q22=(a2-c22)/2r2 p1= (a1+2c11+c21)/4,p2= (a2+c22)/2U1=(a1+c21-2c11)2/8r12 U2=(a1+2c11-3c21)2/16r1+( a2-c11)/4r2 （5.9）

此时{[(a1?c21-2c11)/2r1,0],[ (a1?2c11-3c21)/4r1, (a2-c22)/2r2]}为唯一的子博弈完美纳什均衡。此博弈结果表示，由于此时1产业的边际成本处于可容忍的范围，此时城市②尽管在1产业没有比较优势，仍然会少量生产，而产业2的边际成本超出了可容忍范围，则城市①会选择完全不发展产业2。此时出现了城市②对产业2的垄断，而城市②则生产两类产业，在垄断产业2的基础上，还少量生产产业l的产品。对比古诺博弈，可知城市①的收益大于古诺博弈时收益，而城市②收益则小于古诺博弈时收益。产业1产出产品价格下降，产出产量提高。产业1总体收益未能达到最大，即垄断水平。产业2被城市②垄断，得到了最大收益。体现了在动态博弈中，先行者具有先动优势。

需要引起注意的是，由于城市①先行选择产量，在明知自己生产2产品是不经济的情况下，为什么不单方面决定在优势产业1生产垄断产量。假设如此，我们可得：

q11= (a1-c11)/2r1, q12= 0q21=(a1+c11-2c21)/4r1,q22=(a2-c22)/2r2 p1= (a1+c11+2c21)/4,p2= (a2+c22)/2 U1=(a12-4a11c11+2a1c21-2c11c21)/8r1 U222?(a1+c11-2c21)2/16r1+(a2-c22)/4r （5.10）

此时，城市l收益：

U1?U1（5.11）

即小于当他不选择垄断产量时的收益。因为即使他选择垄断产量，也不能阻止城市②选择生产产业1的产品，也就是不能形成真正意义上的垄断，因此城市①尽管先行，其最优策略并不是选择垄断产量。

31

(4)当c12c22a1?2c11时, ?a21?, c?21/21/3q11= (a1-c11)/2r1, q12= (a2+c22-2c12)/2r2q21= 0, q22=(a2+2c12-3c12)/4r2p1= (a1+c11)/2, p2=(a2+2c12+c22)/42U1=(a1-c11)2/4r1+(a2+c22-2c12)/16r2 （5.12）

U2=(a2+2c12-3c22)2/16r2 此时{[(a1-c11)/2r1 ,(a2?c22-2c12)/2r2],[ 0,(a2?2c12-3c22)/4r2]}为唯一的子博弈完美纳什均衡。博弈结果表示，由于此时产业2的边际成本处于可容忍的范围，此时城市①尽管在产业2没有比较优势，仍然会少量生产，而产业l的边际成本超出了可容忍范围，则城市②会选择完全不发展产业1。此时出现了城市①对产业l的垄断，此时城市l生产两类产业，在垄断产业l的基础上，还少量生产产业2的产品。对比古诺博弈，可知城市①的收益大于古诺博弈时收益，而城市②收益则小于古诺博弈时收益。从产业发展而言，产业1被城市①垄断，得到了最大收益；产业2产出产品价格下降，产出产量提高。体现了在动态博弈中，先行者具有先动优势。 5.2.2结论

通过以上对比我们可知，当每个城市都拥有先进技术使得自己生产某产业具有比较优势时，如果此优势相对别人来说，模仿、获得成本较高，那么博弈的结果即为城市垄断发展此产业，此产业就会得到最大程度的发展。从产业角度上来说，起到了专业分工的效果。在专业分工时，城市总体收益最大。当多个城市进行博弈时，先行者具有先动优势。先行者所得收益大于古诺博弈时的收益。所得结论同一维Stackelberg具有一致性。

32

6 基于不完全信息多维静态博弈模型的城市产业分析

在城市产业发展中,在同一个地区,由于自然资源,地理条件相似,拥有相同的经济社会发展的历史基础,则产业在这些城市发展态势趋同,而在实际情况中,产业在不同城市的发展会因为地域差异,资源优势等因素呈现不同的发展差异。此时,产业在这些城市的发展状况是不同的，很多时候,在现实生活中,作为城市产业发展的决策者,是很难去判断另一个城市的产业发展状况是怎么样的,只能作出一些估计,也就是出现信息不完全的情况。因此这里讨论不完全信息下两产业在两城市之间的多维产业Coumot博弈。为了便于分析，我们假设博弈方只有两个城市,博弈领域仅为两产业,则博弈方的决策空间即为其产业的二维产量价值向量,博弈方的支付为两产业的产出产品收益之和。同样,为了分析方便,下面我们假设城市的两个产业均为提供产品的产业。 6.1模型的描述与求解

假设有两个城市?i?1,2?,每个城市各拥有两个产业ki?i?1,2?；假设如下线性需求方程：

p1?a1?r1q11?q21?

p2?a2?r2?q12?q22?（6.1)

?其中，我们设ai为产业ki生产产品的最高价格，pi为产业i生产的产品价格，

qij为城市i所拥有的产业j生产的产品数量，ri为产业i中产量对价格的影响系数。

两城市同时决定各自产业产量?qi1,qi2??0,?i?1,2?，即决策前都不知道对方的决策。

产品成本函数为线形，有3种类型，而每个城市可能属于三种类型中的其中一种：即可能以边际成本ciH、ci、或者ciL中的一种来发展两个产业ki?i?1,2?，具体以哪种边际成本来发展产业取决于城市本身所属类型；其中ciH?ai,ciH?ci?ciL。在本文中，为了方便分析，我们假设每个城市只属于三种类型：

（1）两产业的边际成本分别为c1和c2（均衡) （2）两产业的边际成本分别为c1H和c2L(产业2占优）

33

（3）两产业的边际成本分别为c1L和c2H(产业1占优）

假设两个城市知道自己的类型，了解自己在每个产业的边际成本是多少，但是不知道对方的类型是什么，只知道对方属于对应的ciH、ci、和ciL三种边际成本的概率可能是多少，并且这种可能性概率是共同知识：其实这是一种正常现象，特别是当两个城市之前并没有交流或者是接触时，他们只能从过去其他城市间的情况去判断对方，出现大家对于彼此所属类型的信念相类似的情况，这时表现为认为对方所属类型的概率是相同的。接下来我们就以城市1为视点，分三种情况对该博弈进行分析（对于城市2的分析与之相类似）。

城市1中两产业的边际成本分别为c1和c2（均衡) 此时，城市1的利润函数为：

U1?p1q11?p2q12?c1q11?c2q12(6.2)

首先，我们假设城市1对于城市2所属类型的信念即概率为：属于均衡的概率为?1；属于产业2占优的概率为?2；属于产业1占优的概率为?3。

根据完全信息静态博弈的相关结论:对应三种类型,城市2的最优产量(决策)分别为

La1?r1q11?c1a2?r2q12?c2a1?r1q11?c1Ha2?r2q12?c2,,（）、（）以及 2r12r22r12r2Ha1?r1q11?c1La2?r2q12?c2,（）。其中，向量的第一项表示产量q21；向量的第

2r12r2二项表产量q22。所以，对于城市2在产业1、2的产量的期望值为：

a1?r1q11??1c1??2c1H??3c1L~q21? (6.3)

2r1LHa2?r2q12??1c2??2c2??3c2~q22?(6.4)

2r2????将上述两式代入城市1的利润函数中,可得城市1的博弈优化问题为:

Max?q11?p1?c1??q12?p2?c2?? ~? s.t.p1?a1?r1?q11?q21

34

~? p2?a2?r2?q12?q22a1?r1q11??1c1??2c1H??3c1L~q21?(6.5)

2r1LHa2?r2q12??1c2??2c2??3c2~q22?

2r2????q11?0,q12?0,

通过求取利润函数的一阶导数并使其为零，可以得到：

??U1~??q?a1?2r1q11?r1q21?c1?0?11?~?c?0(6.6) ??U1?a?2rq?rq22122222???q12整理上式，可得：

?a13r1q11??1?2?c1??2c1H??3c1L???0??222(6.7) ?LH?a2?3r2q12???1?2?c2??2c2??3c2?0?22?2????

通过求解上述反应函数,可以知道,在满足条件：

????-2?c??cH??cL??a,i?1,2i2i3ii?1?a11???HL(6.8) ???1??c1??2c1???3?1?c1?22?????a1?LH??3c2?2???1??c2???2?1?c2?2?2??

的情况下求得纳什均衡结果为：

??a1???1?2?c1??2c1H??3c1L?q11?3r1?(6.9) ??LH??a???2c??c??c?q?222223212?3r2?????若条件??1-2?ci??2ciH??3ciL??ai,i?1,2中的某一个不满足，则所对应的均衡产量为0；也就是说，若条件

35

??1-2?c1??2c1H??3c1L??a1(6.10）

不成立，则q11?0；若条件

???1-2?c2??2c2H??3c2L??a2（6.11）

不成立，则q12?0。同样，若条件

a1（?1?）c1??2c1H???3?1?c1L?1（6.12）

22?不成立，则q11?0；若条件

a1LH（?1?）c2???2-1?c2??3c2?2（6.13）

22?不成立，则q12?0。这里要说明,以上条件是为了保证产量为非负数以及保证价格不少于成本而产生的，也就是为了保证均衡产量和均衡价格的有效性。

我们假设，条件

????1-2?ci??2ciH??3ciL??ai,i?1,2?a11?HL（6.14） （??1?）c1??2c1???3?1?c1?22?a21?LH??（??）c???1c??c?122232?22??在该不完全信息多维静态博弈中成立。因此,在城市1中两产业的边际成本分别为c1和c2的情况下，城市1的贝叶斯Nash均衡产量为：

（q11,q12???a)?（1LH（6.15） ???1?2?c1??2c1H??3c1L?a2???2?2?c2??2c2??3c2，q12?）3r13r2???2.城市1中两产业的边际成本分别为c1H和c2L(产业2占优） 此时，城市1的利润函数为:

LU1?p1q11?p2q12?c1Hq11?c2q12（6.16）

假定城市1对于城市2所属类型的信念如前面所述\同样地,对于城市1来说, 城市2的产量的期望值为:

36

a1?r1q11??1c1??2c1H??3c1L~q21?（6.17）

2r1LHa2?r2q12??1c2??2c2??3c2~q22?（6.18）

2r2????将上述两式代入城市1的利润函数中,可得城市1的博弈优化问题为:

L Maxq11p1?c1H?q12p2?c2??????~? s.t.p1?a1?r1?q11?q21~? p2?a2?r2?q12?q22a1?r1q11??1c1??2c1H??3c1L~q21?（6.19）

2r1LHa2?r2q12??1c2??2c2??3c2~q22?

2r2????q11?0,q12?0,

通过求取利润函数的一阶导数并令其为零,得到:

??U1H~??q?a1?2r1q11?r1q21?c1?0?11?~?cL?0（6.20） ??U1?a?2rq?rq22122222???q12整理上式，可得：

?a13r1q11?1c1???2-2?c1H??3c1L???0??222(6.21) ?LH?a2?3r2q12??1c2???2-2?c2??3c2?0?22?2????

通过求解上述反应函数,可以知道,在满足条件

37

??1c1???2-2?c1H??3c1L??a1?LH??1c2???2-2?c2??3c2??a2(6.22) ???1c1?(?2?1)c1H???3?1?c1L?a1?22?a1LH??1c2?(?2?)c2??3c2?222?的情况下，求得纳什均衡结果为：

??a1??1c1???2?2?c1H??3c1L?q11?(6.23) 3r1???LH?q?a2??1c2???2?2?c2??3c2?123r2?????同样地,对于上述条件,若有其中一个不满足,则相对应的均衡产量为O,这是为保证价格及产量的有效性而得出的,在这里不再作详述,具体参考前面章节， 我们假设,条件

??1c1???2-2?c1H??3c1L??a1?LH??1c2???2-2?c2??3c2??a2（6.24） ?a1HL1??1c1?(?2?)c1???3?1?c1??22?a1LH??1c2?(?2?)c2??3c2?222?

在该不完全信息多维静态博弈中成立\因此,在城市1中两产业的边际成本分别 为c1H和c2L的情况下，城市1的贝叶斯Nash 均衡产量为：

（q11,q12???a)?（1LH(6.25) ??1c1???2-2?c1H??3c1L?a2??1c2???2-2?c2??3c2，q12?）3r13r2???

3.城市1中两产业的边际成本分别为c1L和c2H(产业2占优) 此时,城市1的利润函数为:

HU1?p1q11?p2q12?c1Lq11?c2q12(6.26)

38

假定城市1对于城市2所属类型的信念如前面所述\同样地,对于城市1来说, 城市2的产量的期望值为:

a1?r1q11??1c1??2c1H??3c1L~q21?(6.27)

2r1LHa2?r2q12??1c2??2c2??3c2~q22?(6.28)

2r2????将上述两式代入城市1的利润函数中,可得城市1的博弈优化问题为

H Maxq11p1?c1L?q12p2?c2??????~? s.t.p1?a1?r1?q11?q21~? p2?a2?r2?q12?q22a1?r1q11??1c1??2c1H??3c1L~q21?(6.29)

2r1LHa2?r2q12??1c2??2c2??3c2~q22?

2r2????q11?0,q12?0,

通过求取利润函数的一阶导数并令其为零,得到:

??U1~?cL?0?a?2rq?rq11111211??q?11?~?cH?0(6.30) ??U1?a?2rq?rq22122222???q12整理上式,可得:

?a13r1q11?1c1??2c1H???3?2?c1L???0??222(6.31) ?LH?a2?3r2q12??1c2??2c2???3?2?c2?0?22?2????通过求解上述反应函数,在满足条件

39

??1c1??2c1H?L??1c2??2c2???1c1??2c1H??L??1c2??2c2????3?2?c1L??a1H???3?2?c2??a21La1(6.32) ?(?3?)c1?221Ha2?(?3?)c2?22

的情况下,求得纳什均衡结果为:

??a1??1c1??2c1H???3?2?c1L?q11?3r1(6.33) ???LH?q?a2??1c2??2c2???3?2?c2?123r2?????同样地,对于上述条件,若有其中一个不满足,则相对应的均衡产量为0,这是 为保证价格既产量的有效性而得出的,在这里不再作详述,具体参考前面章节\我们假设,条件

??1c1??2c1H?L??1c2??2c2???1c1??2c1H??L??1c2??2c2????3?2?c1L??a1H???3?2?c2??a21La1(6.34) ?(?3?)c1?221Ha2?(?3?)c2?22在该不完全信息多维静态博弈中成立\因此,在城市1中两产业的边际成本分别 为c1L和c2H的情况下，城市1的贝叶斯Nash 均衡产量为：

（q11,q12???a)?（1LH(6.35) ??1c1??2c1H???3?2?c1L?a2??1c2??2c2???3?2?c2，q12?）3r13r2???以上就是对城市1的三种情况下的不完全信息静态多维博弈分析。 6.2结论

从上面的分析结果可以看到,在不完全信息的影响下,所得的结果与完全信息多维静态博弈的结果是有差异的:在完全信息的情况下,博弈所得的均衡解只与参与人的利润函数和成本函数有关,也就是与参与人所属类型相关;而在不完

40

全信息的情况下,博弈所得的均衡解除了与参与人的类型有关外,还与参与人对于其他博弈参与人类型的信念(概率)有关,其大小会大大影响不完全信息多维静态博弈的均衡结果,从而得出与完全信息下截然不同的结果。这也是合乎现实的。现实中,作为博弈参与人的城市产业发展的决策者,其对于其他博弈参与人所属类型的信念是一种估计和判断,而进行估计和判断的依据是对于其他博弈参与人的调查和研究,因为其他参与人的所属类型的相关信息包含在过去其他参与人的行动中。这样,对于其他参与人所属类型的信念在博弈中是有效信息,对于参与人来说,这样的信息有利于他在博弈中掌握更多的信息,做出更好的选择。所以,对于其他博弈参与人所属类型的信念会影响到博弈的结果是合情合理的,并且是可靠有效的。

41

7 基于不完全信息动态博弈模型的城市产业发展分析

完全信息的博弈是一种理想的状态，但现实中的许多博弈并不满足完全信息的要求。在实际城市产业博弈中，更多的情况是城市之间产业的选择行动具有先后顺序。我们看到在城市发展中，由于地区之间资源禀赋、经济实力存在一定差异，各个城市在竞争中拥有不同的谈判地位和能力，很可能一个城市通常是中心城市或者具有强势地位的城市先行选择产业发展，另外的城市根据中心城市的选择再进行产业选择。

本章将建立不完全信息下城市产业的Stackelberg多维博弈模型，以两个城市，两个产业为例来分析各城市产业博弈的结果变化情况。

7.1模型的描述及分析——不完全信息下城市产业的Stackelberg多维博弈模型及其分析

假设有两个城市(i=1，2)，每个城市各拥有两个产业Ki(i=1，2)；假设产业在不同地区发展态势是不同的，由于各方面的原因，如本地资源，劳动力等因素，会出现产业在某地具有竞争力，使得每个城市发展产业的边际成本不同，为了叙述方便，我们假设两产业均衡产品产出型产业，此时假设Cij为i城市发展j产业的边际成本，我们假设，城市1是大城市，并且具有先动优势；城市2是新兴城市，因为是刚兴起的关系，所以城市2是从方，属于跟随者。城市2只有一种类型，以产业的边际成本来区分，即城市2的类型为c21?c1和c22?c2 (均衡型)；城市1知道城市2所属类型。而城市1因为其规模的关系，在产业的发展上具有一定优势；城市1知道自己所属于的类型，但是城市2并不知道城市1的具体所属类型，只知道城市1可能属于以下三种类型：

L（1）c11?c1L和c12?c2（在两产业中均占优）

（2）c11?c1和c12?c2（在产业1占优）

H（3）c11?c1和

LHc12?c2（在产业2占优）

，ciHL这里，ciH?ai?ci?ciL，并且知道城市1属于以上三种类型的概率(信

念)对应分别为。?1、?2和?3

42

同样的，我们假设需求函数如下：

p1?a1?r1(q11?q12)p2?a2?r2(q12?q22）（3.1）

其中，我们假设ai为产业产品的最高价格，pi为产业i生产的价格，qij为城市i所拥有的产业j生产的产品数量，ri为产业i中产量对价格的影响系数。进行决策时，城市1先宣布自己的产量（q11，q12）?0，接着城市2再观测到城市1的决策后再决定自己的产量(q21，q22)?0，即决策时城市1是主方，城市2是从方；城市1先行动，城市2再行动

U2?p1q21?p2q22?c1q21?c2q22?q21（p1?c1）?q22（p2?c2）而城市1的利润函数对应三种可能的类型，分别为：

LLLL（1）U1?p1q11?p2q12?c1q11?c2q12?q11(p1?c1)?q12(p2?c2)； LHLH（2）U1?p1q11?p2q12?c1q11?c2q12?q11(p1?c1)?q12(p2?c2)；

（3.2）

HLHL（3）U1?p1q11?p2q12?c1q11?c2q12?q11(p1?c1)?q12(p2?c2)。

我们利用逆推归纳法分析此博弈。首先分析城市2的决策思路，当城市2

（q，（q，决策时，城市l已经宣布了，且城市2己知。因此对于城市2q12）q12）1111（q，（q，而言，也就是在给定的前提下，求使U2最大的。 q12）q22）1121由于，

U2?p1q21?p2q22?c1q21?c2q22??a1?r1(q11?q21)?q21??a2?r2(q12?q22)?q22?c1q21?c2q22（q，（q，假定已知，则使U2最大的必满足： q12）q22）1121（3.3）

??U2??q?a1?r1q11?2r1q21?c1?0?21???U2?a?rq?2rq?c?0（3.4）

22122222??q?22解得：

43

a1?r1q11?c1??q21?2r1??a2?r2q12?c2?q??222r2?实际上式是城市2对城市1的反应函数。

（3.5）

下面，就城市1可能属于的三种类型，先不考虑不完全信息的影响，以及忽略保证产量和价格有效性的条件限制，仅仅就三种情况对城市1的最优产量及均衡结果进行分析:

（1）城市1在两产业的边际成本为c11?c1和c12?c2 (在两产业均占优)：

（q，（q，在城市1己经宣布产量后，城市2根据城市1宣布的产量，q12）q12）1111LL得到最大化自己利润函数的最优产量:

a1?r1q11?c1?q??212r1??（3.6） ?q?a2?r2q12?c222?2r2?此时，城市1的利润函数为：

LU1?p1q11?p2q12?c1Lq11?c2q12L?q11(p1?c1L)?q12(p2?c2)?q11(a1?r1q11?c1?2ca?rq?c22c)?q12(2212)22L1L2（3.7）

为了求得城市1的最优产量，对利润函数求一阶偏导数并使一阶偏导数其为0，得：

??U1a1?2r1q11?c1?2c1L??0?2??q11?L（3.8） ??U1?a2?2r2q12?c2?2c1?0??q2?12 解之，得：

44

?*a1?c1?2c1L?q11?2r1??L（3.9） a?c?2c*?q?222?122r2?同时，有

?*a1?2c1L?3c1?q21?4r1??L?q*?a2?2c2?3c2（3.10） ?224r2?以及

L2?*(a1?c1?2c1L)2(a2?c2?2c2)U???18r18r2??L2L2（3.11） (a?2c?3c)(a?2c?3c)*?U?11122?22?16r116r2?LH（2）城市1在两产业的边际成本为c11?c1和c12?c2 (在产业1占优)： 同理可得，城市1的利润函数为：

HU1?p1q11?p2q12?c1Lq11?c2q12H?q11(p1?c1L)?q12(p2?c2)?q11(a1?r1q11?c1?2ca?rq?c22c)?q12(2212)22L1H2（3.12）

为了求得城市1的最优产量，对利润函数求一阶偏导数并使一阶偏导数其为0，得：

??U1a1?2r1q11?c1?2c1L??0?2??q11?H（3.13） ??U1?a2?2r2q12?c2?2c1?0??q2?12解之，得：

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