2011年数学暑假作业答案（全）

2011年高一数学暑假作业答案

2011年高一数学暑假作业（1）答案

一.填空题

2

1．{-1,0,1}； 2 ．(-3,-1)； 3．4； 4． 0 ； 5．② ；6．{x|x≥1}；7．f(x)=-2x+4； 8．（1）a?1；（2）(2,3)；9．（1）7；（2）(0，1］；10． (-3,0)∪(3,+∞)； 11．(-∞,-6)∪(6,+∞)；12．［2,＋∞） 二.解答题 15．解:(1)由2－

9；13．①④； 14．1． 2x?3x?1≥0，得≥0, ∴x＜－1或x≥1,即A=(－∞,－1)∪［1,+∞）． x?1x?1(2) 由(x－a－1)(2a－x)＞0，得(x―a―1)(x－2a)＜0．∵a＜1,∴a+1＞2a,∴B=(2a,a+1)．

11或a≤－2．而a＜1，∴≤a＜1或a≤－2． 221故当BA时，实数a的取值范围是(－∞,－2］∪［,1)．

2x?3?0，得P?{x|?1?x?3}． 16．解：（1）由

x?1（2）Q?{x||x?1|?1}?{x|0?x?2}． 由a?0,得P?{x|?1?x?a}，又Q?P,所以a?2，即a的取值范围是(2,??)．

1x17．解:(1)当x＜0时,f(x)=0； 当x≥0时,f(x)=2?x．

21x2xxx由条件可知2?x=2,即2?2?2?1?0,解得2?1?2．

2x∵2?0,∴x?log2(1?2)．

11t2tt(2)当t∈［1,2］时, 2(2?2t)?m(2?t)?0,即m(22t?1)??(24t?1)．

222t2t2t∵2?1?0,∴m??(2?1)．∵t∈［1,2］,∴?(2?1)?[?17,?5],

∵B

A,∴2a≥1或a+1≤－1，即a≥故m的取值范围是［-5,+∞)．

18．解： ?log2(x?2)?2,??2?x?2?A?(?2,2).当m?0时，1?m?x?1?m?(x?1?m)(x?1?m)?0

∴ B?(1?m,1?m), ∴0?m?1.

又B?A ∴

?1?m??2??1?m?2当m?0时，1?m?x?1?m ∴综合得：?1?m?1.

?1?m??2??1?m?2∴ －1≤m＜0．

当m?0时，B???A成立. 19．解：⑴设f(x)?ax?bx?c(a?0)，则

2f(x?1)?f(x)?[a(x?1)2b(x?1)?c]?(ax2?bx?c)?2ax?a?b与已知条件比较得：?

?2a?2,?a?1,解之得，?又f(0)?c?1，

a?b?0b??1???f(x)?x2?x?1

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2011年高一数学暑假作业答案

⑵由题意得：x2?x?1?2x?m即m?x2?3x?1对x???1,1?恒成立， 易得m?(x2?3x?1)min??1

20．（1）解：（1）当k＝2时， ① 当时， x≥1或x≤－1时，方程化为2

x?解得②当

?1?3?1?3?1?30??1x?222，因为，舍去，所以.

时，－1＜x＜1时，方程化为

解得

，

x?由①②得当k＝2时，方程(2)解：不妨设0＜x1＜x2＜2，

的解所以

?1?32或

.

?2x2?kx?1|x|?1f(x)??|x|?1?kx?1因为

所以f(x)在（0,1］是单调函数，故f(x)＝0在（0,1］上至多一个解， 1若1＜x1＜x2＜2，则x1x2＝－2＜0，故不符题意，因此0＜x1≤1＜x2＜2.

由

得

， 所以

；

k?由

得

17?2x2??k??1x2， 所以2；

在(0，2)上有两个解.

27?k??12故当时，方程

?因为0＜x1≤1＜x2＜2，所以

， 2x2?kx2?1＝0

11??2x22xx2消去k 得2x1x2?x1?x2?0 即1，

11??4因为x2＜2，所以x1x2.

2011年高一数学暑假作业（2）答案

1．（1）2，（2）１； 2．８； 3．?； 4． (1) (2)

133153?133?13,]（2）y?(??,?]（3）[?,]（4）[,30]

244822；

1216．（1）(2,4)；（2）(??， 2) 7．（1）a?0；（2）．． 8．??m?23．319．(??,?4)?(?1,0)?(1,4)．10．3800； 11．奇函数． 12．2；1． 13．．

25．（1）[14．(??,0]．

3?x3x?, 15．解：（1）当?2?x?0时，0??x?2,f(?x)??x9?19x?1第 2 页 共 29 页

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3x又f(x)为奇函数，?f(x)??f(?x)??， x1?9当x?0时，由f(?0)??f(0)?f(0)?0?f(x)有最小正周期4， ?f(?2)?f(?2?4)?f(2)?f(?2)?f(2)?0

?3x?9x?1,0?x?2,??综上，f(x)??0,x?{?2,0,2},

?3x??x,?2?x?0??9?1?x?0???1?x?0或0?x?1?1?x?0?1?x?16．解：⑴，故f(x)的定义域为（－1,0）∪（0,1）．

11?x11?xf(?x)???log2??(?log2)??f(x)x1?xx1?x⑵ ∵， ∴f(x)是奇函数．

⑶ 设0＜x1＜x2＜1，则

1?x21?x1x2?x1(1?x1)(1?x2)11f(x1)?f(x2)?(?)?(log2?log2??log2x1x21?x21?x1x1x2(1?x1)(1?x2)

∵ 0＜x1＜x2＜1， ∴x2－x1＞0， x1x2＞0，

x2?x1(1?x1)(1?x2)(1?x1)(1?x2)?0?1,log2?0(1?x1)(1?x2)∴ (1?x1)(1?x2)，x1x2

f(x1)?f(x2)?0f(x1)?f(x2)∴， 即 ∴f(x)在（0,1）内递减．

(1?x1)(1?x2)?1?x1x2?(x2?x1)?1?x1x2?(x2?x1)?(1?x1)(1?x2)?0

17．解（1）F(x)max1?1?a,a????22??（2）令2x?t,则存在t?(0,1)使得t?at?1 ?1,a??1?2?4a22所以存在t?(0,1)使得t?at?1或t?at??1，即存在t?(0,1)使得

11a?(t?)ma或a?(t?)mi xttn?a?0或a?2（3）由f(x?1)?f(2x?a)2得x?1?(2x?a)2恒成立

因为a?0,且x?[0,15]，所以问题即为x?1?2x?a恒成立?a?(?2x?设m(x)??2x???x?1)max

x?1 令x?1?t,则x?t2?1,t?[1,4]

117?m(t)??2(t2?1)?t??2(t?)2?所以，当t=1时，m(x)max?1 ?a?1

48318．解：当a=0时，函数为f (x)=2x -3，其零点x=不在区间[-1，1]上．

2当a≠0时，函数f (x) 在区间[-1，1]分为两种情况： ①函数在区间[─1，1]上只有一个零点，此时

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???4?8a(?3?a)?0 ??f(?1)f(1)?(a?5)(a?3)?0???4?8a(?3?a)?0?3?7?或? 解得1≤a≤5或a= 12?1???1?2a?②函数在区间[─1，1]上有两个零点，此时

解得a?5或a＜

或

?3?7 2综上所述，如果函数在区间[─1，1]上有零点，那么实数a的取值范围为

?3?7]∪[1, +∞). 219．解：（1）显然函数y?f(x)的值域为[22,??)；

(-∞, （2）若函数

y?f(x)在定义域上是减函数，则任取x1,x2?(0.1]且x1?x2都有

12)?0 f(x1)?f(x2) 成立， 即(x1?x2)(2?xax只要a??2x1x2即可，

由x1,x2?(0.1]，故?2x1x2?(?2,0)，所以a??2， 故a的取值范围是(??,?2]；

（3）当a?0时，函数y?f(x)在(0.1]上单调增，无最小值， 当x?1时取得最大值2?a；

由（2）得当a??2时，函数y?f(x)在(0.1]上单调减，无最大值， 当x＝1时取得最小值2－a； 当?2?a?0时，函数y?f(x)在(0. 当x??2a2?2a2]上单调减，在[?2a2,1]上单调增，无最大值，

时取得最小值2?2a．

2220．解?f(x)?ax?(b?1)x?b?2(a?0),

（1）当a＝2，b＝－2时， f(x)?2x?x?4. 设x为其不动点，即2x?x?4?x.

则2x?2x?4?0. ?x1??1,x2?2.即f(x)的不动点是－1，2． （2）由f(x)?x得：ax?bx?b?2?0． 由已知，此方程有相异二实根，

222?x?0恒成立，即b2?4a(b?2)?0.即b2?4ab?8a?0对任意b?R恒成立．

??b?0.?16a2?32a?0?0?a?2. （3）设A(x1,x1),B(x2,x2)，

1直线y?kx?是线段AB的垂直平分线， ?k??1

2a2?1第 4 页 共 29 页

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记AB的中点M(x0,x0).由（2）知x0???M在y?kx?b2a2a2?1a1化简得：b????12a2?12a?a上,??即b??1b, 2ab1??2. 2a2a?1122时，等号成立）． ????(当a?42122a?a2. 42011年高一数学暑假作业（3）答案

7?3??k?)(k?Z) 5. [?3,1] 4. (??k?,38832?6?925??56. ?cos3x 7. (0,] 8.9. 安10. 1 11． ?2,2? 24??

512.－3或1 13. ? 14.（3）（4）（5）

61. 1 2. 2010 3.

15.解：（Ⅰ）依题意得AB?(?2,2),AC?(cos2x?2,sin2x)

??f(x)?AB?AC?4?2cos2x?sin2x?22sin(2x?)?4

4?2??? （Ⅱ） 由(Ⅰ)得f(x)?22sin(2x?)?4,所以f(x)的最小正周期为T?42 ?0?x??2,???4?2x??4?3?2? ∴??sin(2x?)?1 424 ∴2?f(x)?4?22 所以函数f(x)的值域是(2,4?22]

51?cos2x5?sin2x?53??3?5sin(2x?) 2223????5??x?k??(k?Z) ?由2k???2x??2k??得，k??2321212?5??增区间为（k??，k??）(k?Z)

1212??3?5?11?同理：由2k???2x??2k??得，k???x?k??(k?Z)

23212125?11??减区间为（k??，k??）(k?Z)

1212??5?15?，即x?k??(2)令2x??k??(k?Z)，则2x?k??

32621215??函数f(x)的图像的对称轴为：x?k??(k?Z)

212??1?令2x??k?(k?Z)，则2x?k??，即x?k??

332616. 解：(1)?f(x)?第 5 页 共 29 页

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1??函数f(x)的图像的对称中心为：(k??,0)(k?Z)

2617.解：依题意有：AD?BD?30m,AE?DE?103m,?在?ABC中有

cos2???2??302?(103)2?(103)22?30?103?3,又2?为锐角2?6即???12，在?ACE中有：AC?AEsin4??103sin(4??12)?15m

?铁塔的高h?15?1.5?16.5m

18.解：（1）由题意化简可知，f(x)?Asin(2?x??)

T512????T?2?2???? 463T1?将点P(,2)代入y?2sin(?x??)得：sin(??)?1

33A?2,所以??2k??（2）由?x??6(k?Z)，即函数的表达式为f(x)?2sin(?x??6)(x?R)

?62211235965?k???k?令，解得： 4341212?k???(k?Z)，解得：x?k?1 3由于k?Z,所以k?5 所以函数f(x)在区间[19.解：（1）

2123,]上的对称轴的方程为x?16 443f1?x?,f2?x?是“三角形函数”, f3?x?不是“三角形函数”

任给三角形，设它的三边长分别为a,b,c，则a?b?c，不妨假设c?a?b，由于

a?b?a?b?c?0，所以f1?x?,f2?x?是“三角形函数”.

对于f3?x?，3，3，5可作为一个三角形的三边长，但32?32?52，所以不存在三角形以． 32,32,52为三边长，故f3?x?不是“三角形函数”

（2）设T?0为g?x?的一个周期，由于其值域为?0,???，所以，存在n?m?0，使得

g?m??1,g?n??2，取正整数??n?m，可知?T?m,?T?m,n这三个数可作为一个T三角形的三边长，但g??T?m??1，g??T?m??1,g?n??2不能作为任何一个三角形的三边长．故g?x?不是“三角形函数”．

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（3）取

,??0,A?，显然这三个数可作为一个三角形的三边长，但66?5?15?1sin?1,sin?,sin?不能作为任何一个三角形的三边长，故F?x?不是“三角

262622,?5?5?形函数”

20.由题意得sin?(sin??cos?)?sin?(cos??sin?)

?0??,???2,?sin??0,sin??0,?sin??cos?与cos??sin?同号或同时为0

?sin??cos??0??????

2?cos??sin??02315 （2） （3）23?26 20.解：（1）R?52分类讨论之后可得?2011年高一数学暑假作业（4）答案

一．填空题：（请把答案写在试卷的空白处）

1.6?2 2.213 3.等腰或直角三角形 4.0 5. 103 6.（1，5）或（－3，－5）或（5，－5） 7.9 8.?1 9. 1:2:3

n?1153

10.?8 11. 12. (6－2) 13. 1:3 14.

42a2?c2?b21?， 15.解：(Ⅰ)∵a?c?b?ac，∴cosB?2ac2222又∵0?B??，∴B??3．

???（Ⅱ）m?n??6sinA?cos2A

311?2sin2A?6sinA?1?2(sinA?)2?，

222?∵0?A?，∴0?sinA?1．∴当sinA?1时，取得最小值为?5

3tanA?tanB??3， 16.解：由tanA?tanB?3?3tanA?tanB。可得：

1?tanA?tanB即：tan(A?B)??3，∴tanC?3，C＝又∵a?4，b?c?5，∴c=5-b,

2222∴由c?a?b?2abcosC可得：?5?b??16?b?4b，解得：b?2?， 33。 2∴△ABC的面积S△ABC＝

133absinC＝ 2217.证:?BD?PD?PB,AC?PC?PA

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?|BD|2?(PD?PB)2?|PD|2?2PBPD?|PB|2|AC|?(PC?PA)?|PC|?2PCPA?|PA|2222

BD,AC为直径,故PD?PB,PA?PC?PD?PB?PA?PC?0 ?|BD|2?|AC|2?|PA|2?|PB|2?|PC|2?|PD|2

即4r?4r?PA?PB?PC?PD?8r 18.解：设AB?c，AC?b，BC?a （1）?2222222?bccosA?9434?tanA?，sinA?，cosA?，bc?15，

553?bcsinA?12?15?b?3?sinBb3?bc?cosA??，由?b3??，用余弦定理得a?4

?sinCc5?c?5??c5（2）设内切圆半径为r，则

122由S△ABC?6?(3?4?5)r，得r?1，∴方程为x?y?1

2?x?cos?设?，则3x?4y?3cos??4sin??5sin(???)?5

y?sin??∴3x?4y的最大值为5

19.解：⑴ 由已知：|a2+b2－c2|=ab ,∴a2+b2－c2=±ab.

又∵∠C为锐角,∴a2+b2－c2=ab.知cosC?⑵ 由⑴知,A?B?2π2π,∴B??A. 331,∴?C?60?. 2??0?A?,????2??A?. 又?ABC为锐角三角形, ∴?2?0?2??A??,6?32?∴?A的取值范围为?????,?. ?62?3π??2π?3??A??sinA?cosA?3sin?A??,

26??3?2? (3)∵sinA?sinB?sinA?sin?3π?3?πππ2π?∵?A?,∴?A??,∴?sin?A??≤1,∴?sinA?sinB≤3.

26?262363?∴sinA+sinB的最大值为3.

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2011年高一数学暑假作业（5）答案

1．24； 2.5； 3.5； 4.3； 5.10； 6. 34950 7.18 8．

5?11?5 提示：依题意：a3=a1+a2，则有a1q2=a1+a1q，∵a1>0，∴q2=1+q?q=． 225?1a3?a415?1，==； 9．5、6、7； 22a4?a5q又∵an>0．∴q>0，∴q=

a，?a，a，?a，?(a?0),r与s同为奇数或偶数； 10．[(1?r)6?(1?r)]元；11.ar12．π(2k＋3)2 ； 13.

1； 14．1, 提示：令n?0，则a1?f(a0)?2，令n?1，22则a2?f(a1)?f(2)?1，令n?2，则a3?f(a2)?f(1)?4，令n?3，则

a4?f(a3)?f(4)?5，令n?4，则a5?f(a4)?f(5)?2，令n?5，则a6?f(a5)?f(2)?1，?，所以a2010?a502?4?2?a2?1．

?4k?b?1015.解（1）因为f(4)?10,又f(1),f(2),f(6)成等比数列，所以?； 2(2k?b)?(k?b)(6k?b)?x)?x3?解得：k?3,b??2,?f(；（2）Sn?n?(3n?2)，①n?1,a1?S1?1；②

n?2,an?Sn?Sn?1?6n?5；n?1时，6n?5?1,所以an?6n?5(n??N；)（3）

bn?23n?2nbn?12(8n?1)'2(1?8)??8,所以{bn}是等比数列。所以Sn=,

1?87bn16.(1)解：由题意知S6=

?5a1?10d?5,-15=-3,A6=S6-S5=-8所以?

a?5d??8.S5?1解得a1=7所以S6= -3,a1=7

(2)解：因为S5S6+15=0,所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即2a12+9da1+10d2+1=0. 故(4a1+9d)2=d2-8. 所以d2≥8.故d的取值范围为d≤-22或d≥22. [

17.解：假设存在这样的三个数，∵a、b、c成等差数列，∴2b=a+c，又a+b+c=6，∴b=2． 设a=2－d，b=2，c=2+d．①若2为等比中项，则22=（2+d）（2－d），∴d=0，则a=b=c，不符合题意．

②若2+d为等比中项，则（2+d）2=2（2－d），解得d=0（舍去）或d=－6．∴a=8，b=2，c=－4．

③若2－d为等比中项，则（2－d）2=2（2+d），解得d=0（舍去）或d=6，∴a=－4，b=2，c=8

综上所述，存在这样的三个不相等数，同时满足3个条件，它们是8，2，－4或－4，2，8．

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18.解：（1）由an＋2＝2an＋1－an?an＋2－an＋1＝an＋1－an，可知{an}成等差数列，d＝

a4－a1

＝4－1

－2，∴an＝10－2n

（2）由an＝10－2n≥0得n≤5，∴当n≤5时，Sn＝－n2＋9n，当n>5时，Sn＝n2－9n＋40

?－n2＋9n 1≤n≤5

故Sn＝?2 （n∈N）

?n－9n＋40 n＞5

11111

（3）bn＝ ＝ ＝ (－ )

n(12－an)n(2n＋2)2nn＋1

111111111

∴Tn＝ b1＋b2＋?＋bn＝ [(1－ )＋( － )＋( － )＋??＋( － )]＝ (1－

222334n2n－1n－11n

)＝ ＞ ＞Tn－1＞Tn－2＞??＞T1.

2nn＋12(n＋1)

mm1

∴要使Tn> 总成立，需

32324值为7．

19.（1）由题意知：d?0，

Sn?S1?(n?1)d?a1?(n?1)d

2a2?a1?a3?3a2?S3?3(S2?S1)?S3，3[(a1?d)2?a1]2?(a1?2d)2,

化简，得：a1?2a1?d?d2?0,a1?d,a1?d2

Sn?d?(n?1)d?nd,Sn?n2d2，

当n?2时，an?Sn?Sn?1?n2d2?(n?1)2d2?(2n?1)d2，适合n?1情形。 故所求an?(2n?1)d2

m2?n2（2）Sm?Sn?cSk?md?nd?c?kd?m?n?c?k， c?恒成立。

k2222222222m2?n29?， 又m?n?3k且m?n，2(m?n)?(m?n)?9k?2k22222故c?99，即c的最大值为。

2220.解：设{an}的公差为d，由a1?b1a,2b?2?a1（1）因为bk?am，所以a1qk?1,q1?，，知d?0（a1?0） d?a1?q?1??a1??m?1?a1?q?1?，

qk?1?1??m?1??q?1??2?m??m?1?q，

所以Sk?1?a1?1?qk?1?1?q?a1?m?1??m?1?q?q??m?1?a1

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（2）b3?a1q2,ai?a1??i?1?a1?q?1?，由b3?ai，

所以q2?1??i?1??q?1?,q2??i?1?q??i?2??0,解得，q?1或q?i?2，但q?1，所以q?i?2，因为i是正整数，所以i?2是整数，即q是整数，设数列{bn}中任意一项

n?1n?N?，设数列{an}中的某一项amm?N?=a1??m?1?a1?q?1? 为bn?a1q????现在只要证明存在正整数m，使得bn?am，即在方程a1qn?1?a1??m?1?a1?q?1?中m有正整数解即可，qn?1qn?1?1?1??m?1??q?1?,m?1??1?q?q2??qn?2，所以

q?1m?2?q?q2??qn?2，若i?1，则q??1，那么b2n?1?b1?a1,b2n?b2?a2，当i?3时，因为a1?b1,a2?b2，只要考虑n?3的情况，因为b3?ai，所以i?3，因此q是正整数，所以m是正整数，因此数列{bn}中任意一项为

bn?a1qn?1?n?N??与数列{an}的第2?q?q2??qn?2项相等，从而结论成立。

?（3）设数列{bn}中有三项bm,bn,bpm?n?p,m,n,p?N成等差数列，则有

???2a1qn?1?a1qm?1?a1qp?1,设n?m?x,p?n?y,x,y?N，所以2???1?qy，令xq3x?1,y?2，则q?2q?1?0,?q?1??q2?q?1??20，因为q?1，所以q?q?1?0，

所以q?5?15?1舍去负值?，即存在q?使得{bn}中有三项?22bm,bm?1,bm?3?m?N??成等差数列。

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2011年高一数学暑假作业答案

2011年高一数学暑假作业（6）答案

4(m?n)314n?11．5； 2.－； 3.11； 4. 5.150; 6. 显然

3mn16119(1?q3)1-q6q?1，所以=?1?q3?q?2，所以{}是首项为1，公比为的等比数

2an1-q1?q11?()52?31. 7. -1.提示：由已知：an+1=an2－1=（an+1）列， 前5项和T5?（an－1），1161?2∴a2=0，a3=－1，a4=0，a5=－1． 8.2600

?1，n?1,?9．an=?14n?2提示：∵an+1=Sn,∴an=Sn-1(n≥2).，相减得,an+1-an=an,∴

?(),n?2.??33?1，n?1,?n-2

(n≥2)，∵a2=S1=×1=,∴当n≥2时，an=· （）. an=?14n?2?(),n?2.??3321。【解析】an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+?+(a2-a1)+a1=2[1+2+?(n-1)]+33=33+n2-n 2a3333?33?n?1设f(n)??n?1，所以n?令f(n)?2?1?0，则f(n)在(33,??)上

nnnn10．

是单调递增，在(0,33)上是递减的，因为n∈N+,所以当n=5或6时f(n)有最小值。 又因为

a553a66321aa21?，??，所以，n的最小值为6? 5566262nn2?7n?18211．an? ； 12.2；

?9n(n?1)9n?1?n?n?1??an?an?1?10n1013．a8、a9最大．提示：设{an}中第n项最大，则有?，即?，

nn?1a?an?1?n?9(n?1)?9(n?2)?10n?1?10n∴8≤n≤9．即a8、a9最大．

14． 4，【解析】本题主要考查了等比数列的前n项和公式与通项及平均值不等式的应用，

17a1[1?(2)n]a1[1?(2)2n]?1(2)2n?17(2)n?161?21?2Tn???na1(2)1?2(2)n?11616nn?[(2)n??17](2)?因为≧8，当且仅当=4，即n=4时取(2)nn1?2(2)(2)第 12 页 共 29 页

2011年高一数学暑假作业答案

等号，所以当n0=4时Tn有最大值。 15．解：（1）由题意得（a1＋d）（a1＋13d）=（a1＋4d）2， 整理得2a1d＝d2．∵a1＝1，解得（d＝0舍），d＝2． ∴an＝2n－1（n∈N*）．

11111n(an?3)＝2n(n?1)＝2（n－n?1）

（2）bn＝，

111111∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝2［（1－2）＋（2－3）＋…＋（n－n?1）］

n118S?t(an?3)总成立.

＝2（1－n?1）＝2(n?1)． （3）假设存在整数t满足n得t?2n2n，而?2(n?1)2(n?1)1适合条件 22n1221的最大值为， ??，即21(n?1)2n??22?22n∴t?16.【解】（1）由Sn?(1??)??an?Sn?1?(1??)??an?1(n?2)， 相减得：an???an??an?1，∴an?(n?2)，∴数列{an}是等比数列 ?an?11??（2）f(?)??1??，∴bn?bn11???1，

1?bn?1bnbn?1∴{1111 }是首项为?2，公差为1的等差数列；∴?2?(n?1)?n?1∴bn?n?1bnb1bn12n?1（3）??1时，an?()，∴Cn?an(11?1)?()n?1n， bn2∴Tn?1?2()?3()???n()1212212n?1， ①

11111Tn?()?2()2?3()3???n()n ② 222221112131n?11n②-①得：Tn?1?()?()?()???()?n()，

2222221112131n?11n1n1n∴Tn?1?()?()?()???()?n()?2(1?())?n()， 222222221n1n所以：Tn?4(1?())?2n()

2217.解：(1)由题意，零m＝2,n－1,可得a3＝2a2－a1＋2＝6

再令m＝3,n＝1，可得a5＝2a3－a1＋8＝20

*

(2)当n∈N 时，由已知(以n＋2代替m)可得a2n＋3＋a2n－1＝2a2n＋1＋8

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2011年高一数学暑假作业答案

于是[a2(n＋1)＋1－a2(n＋1)－1]－(a2n＋1－a2n－1)＝8w_w w. k#s5即 bn＋1－bn＝8 所以{bn}是公差为8的等差数列

(3)由(1)(2)解答可知{bn}是首项为b1＝a3－a1＝6,公差为8的等差数列 则bn＝8n－2，即a2n+=1－a2n－1＝8n－2 另由已知(令m＝1)可得an＝那么an＋1－an＝

－

a2n?1?a2n?12a2n?1?a1-(n－1)2. 28n?2－2n＋1＝－2n＋1＝2n

2于是cn＝2nqn1.

当q＝1时，Sn＝2＋4＋6＋??＋2n＝n(n＋1)

－

当q≠1时，Sn＝2·q0＋4·q1＋6·q2＋??＋2n·qn1.

两边同乘以q，可得qSn＝2·q1＋4·q2＋6·q3＋??＋2n·qn.

－

上述两式相减得 (1－q)Sn＝2(1＋q＋q2＋??＋qn1)－2nqnw_w w. k#s5_u.c o*m

1?qn1?(n?1)qn?nqn?1nqn?1?(n?1)qn?1n

＝2·－2nq＝2·所以Sn＝2·

1?q1?q(q?1)2?n(n?1)(q?1)?综上所述，Sn＝?nqn?1?(n?1)qn?1

2?(q?1)?(q?1)2?18．解：（1）由Sn?2an?3n，得Sn?1?2an?1?3(n?1)(n?2)，则有an?2an?1?3(n?2) ∵

an?32an?1?3?3??2(n?2)，∴数列?an?3?是等比数列．

an?1?3an?1?3 ?a1?3．由（1）知an?3?(a1?3)?2n?1，?an?3?2n?3．

（2）?a1?S1?2a1?3,（3）设存在s，p，r∈N*（s?p?r）使as,ap,ar成等差数列，则2ap?as?ar， 即2(3?2?3)?(3?2?3)?(3?2?3)．?2psrp?1?2s?2r．故2p?s?1?1?2r?s（*）．

p?s?1、2r?s为偶数．而1?2r?s为奇数，所以（*）式不可能∵s，p，r∈N*且s?p?r，?2成立，故不存在满足条件的三项． 19.解：⑴由题可知：x1?x2?2?1?1，所以， 212114x?4x?4y1?y2?f?x1??f?x2??x??4?24x?24x?24x?212?1??24x?4x?44x?4x?41?x?x??4?24x?4x?424x?4x?42121212?

?12??12?点P的纵坐标yP?y1?y21?是定值，问题得证． 24第 14 页 共 29 页

2011年高一数学暑假作业答案

⑵由⑴可知：对任意自然数m,n，f?由于Sm?f??n??m?n?1??f???恒成立． mm????2?1??2??m?2??m?1??m?故可考虑利用倒写求和的方法．即??f?????f???f???f??，

?m??m??m??m??m??1??2??m?2??m?1??m?Sm?f???f?????f???f???f???m??m??m??m??m?由于：

?m??m?1??m?2??2??1??f???f???f?????f???f??mmm???????m??m???1???m?1??m?1????2??m?2???1???m?2Sm??f???f?????f???f???????f???f????2f???m????m??m???m???m? ??m???m?所以，

11??m?1??2f(1)??3m?1?26

所以，Sm?1?3m?1? 12⑵∵Sm?

1?3m?1?， ∴Sm?1?1?3m?2? 1212amam?1a??1?∴等价于12am? ???0 ①SmSm?13m?13m?2??m显然a?0，因为a?0（m?N），所以，需且只需

依题意，①式应对任意m?N恒成立．

1a??0对任意m?N3m?13m?2恒成立．即：a?记g?m??3m?2对m?N恒成立． 3m?13m?23m?53m?2?9（m?N）．∵ g?m?1??g?m?????0， 3m?13m?23m?1?3m?2??3m?1?55，∴ a?． 22∴g?m?（m?N）的最大值为g?1??20.（1）证明：由题设可知，a2?a1?2?2，a3?a2?2?4，a4?a3?4?8，

a5?a4?4?12，a6?a5?6?18。

从而

a6a53??，所以a4，a5，a6成等比数列。 a5a42（2）解：由题设可得a2k?1?a2k?1?4k,k?N*

所以a2k?1?a1??a2k?1?a2k?1???a2k?1?a2k?3??...?a3?a1? ?4k?4?k?1??...?4?1

?2k?k?1?,k?N*.由a1?0，得a2k?1?2k?k?1? ，从而a2k?a2k?1?2k?2k2. ?n2?1n,n为奇数2??1?1??n?2所以数列?an?的通项公式为an??或写为an?，n?N*。 ?224?n,n为偶数??2第 15 页 共 29 页

2011年高一数学暑假作业答案

（3）证明：由（II）可知a2k?1?2k?k?1?，a2k?2k2， 以下分两种情况进行讨论：

n1） 当n为偶数时，设n=2m?m?N*?若m?1，则2n??k2（?2，

k?2akn22若m?2，则?k2m??2k?m?1?2k?1?m4k2m?14k?2a?????k2?4k?12??kk?1a2kk?1a2k?1k?12kk?12k?k?1? ?2m??m?1??4k2?4km?1?1??2m??2?1?1?1??k?1?2k?k?1?2k?k?1????k?1??2??kk?1???? ?2m?2?m?1??1?2??1?1?31m???2n?2?n. n2n??k2?3?1，从而3n?2n?k2所以k?2ak2n2??2,n?4,6,8,....

k?2ak（2） 当n为奇数时，设n?2m?1?m?N*?。

?nk22mk2?2m2?2m?1?2k?2a??kk?2a??1?ka?4m?312m?12?2m?2m?m?1? ?4m?12?12?m?1??2n?312?n?1 n所以2n??k231，从而3n?2n?k?2a??k2k2?n?12?2,n?3,5,7,....

k?2ak综合（1）和（2）可知，对任意n?2,n?N*,有

32?2n?Tn?2. 2011年高一数学暑假作业（7）答案

1. (??,2)?(2,??)； 2. 9 ； 3. 0?a≤1或a≥43 ； 4. ?xx?1/2或x?1? 5. [0, 4/3 ] ； 6. [6,??) ； 7. 4/27 ；?2 ； 9.[42,??)； 10. 1/4 ； 11.

2 ；

12. 16 ； 13. (－4，－1)， (27， 43) ；14. ①④

?9??15.（1） ???3a?b9解得??a??1,所以f(x)?x2(x?2). ?16??b2?x

?4a?b??8?2第 16 页 共 29 页

8.

2011年高一数学暑假作业答案

(k?1)x?kx2?(k?1)x?kx2（2）不等式即为?,可化为?0

2?x2?x2?x即(x?2)(x?1)(x?k)?0.

①当1?k?2,解集为x?(1,k)?(2,??).

②当k?2时,不等式为(x?2)2(x?1)?0解集为x?(1,2)?(2,??); ③当k?2时,解集为x?(1,2)?(k,??).

16．解：（1）t?3,m?2；（2）f(x)?x2?tx?2?0,tx?x2?2,?x?0?t?x?2 x又x?22?2x??22,x?2取“?”?t?22 xx（3）?x2?tx?2?3?t,?x2?tx?t?1?0,?(x?1)[x?(t?1)]?0

?①t?2,x?t?1或x?1；②t?2,x?1；③t?2,x?t?1或x?1

17. 证明：（1）若 a = 0, 则 b = －c ,

2f (0) f (1) = c (3a + 2b + c ) ??c?0， 与已知矛盾， 所以 a ≠ 0.

方程3ax2?2bx?c = 0 的判别式 ??4(b2?3ac),

由条件 a + b + c = 0，消去 b，得??4(a2?b2?ac)?4?(a?c)2?c2??0

24故方程 f (x) = 0 有实根.

??13??2bca?b??, x1?x2?,

3a3a3a4b321所以(x1?x2)2?(x1?x2)2?4x1x2?(?)?.

9a23（2）由条件，知 x1?x2??因为 ?2?b1432??1,所以 ?(x1?x2)2? 故 ?x1?x2? a39332220181618. 分析：列表如下： A B 生产量 甲产品(个) 3 6 45 5 6 55 乙产品(个) 面积(m2) 2 3 1412108解：设用A种金属板x张，B种金属板y张，总用料z张，则 ?3x?6y?45?约束条件是：?5x?6y?55 ??x,y?N?642A(5, 5)20250-551015目标函数是：z＝2x＋3y -2作出可行域，由图可知，当x＝5，y＝5时，Smin＝25. 答：用去A规格的金属板5张，B规格金属板5张时能完成计划，并且使总用料最少2522

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2011年高一数学暑假作业答案

19. 设轮船的燃料费u与速度v之间的关系是:u=kv3, 由已知，v=10时，u=35,∴ 35=k?103 ?k=7/200; 轮船行驶1千米的费用 y=u?1/v+560?1/v =

71560?v3?? 200vv2

7v2280280=7v/200+560/v=7v/200+280/v+280/v?3=42 (元)； ??200vv2

3等号条件：7v2/200=280/v ?v=20(km/h)

20. ①④

2011年高一数学暑假作业（8）答案

1. (?1,)； 2. (－∞，－2)∪(－

1231，1) ； 3. ； 4. 4 8 ； 245.①，③，⑤；【解析】令a?b?1，排除②②；由2?a?b?2ab?ab?1，命题①正确；a?b?(a?b)?2ab?4?2ab?2，命题③正确；⑤正确。6.

22211a?b2????2，命题ababab25112 ； 7. 1 ； 8. 20 ； 9．4；解析：a?＝?4aba?a?b?a2?ab?ab?1111??a(a?b)?w ＝ab?≥2＋2＝4当且仅当ab＝aba(a?b)aba(a?b)1,a(a－b)＝1时等号成立，如取a＝2,b＝2满足条件. 2 10． 4；【解析】由题意知，所求的|AB|的最小值，即为 区域?1中的点到直线3x?4y?9?0的距离的最小值的两倍， 画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，可看出点（1，1） 到直线3x?4y?9?0的距离最小，故|AB|的最小值为

|3?1?4?1?9|?4

57?7 11. ； 12. ； 13. ； 14. a?(??,10]

3422?二．解答题

15. 解：ax?1?x?a?0即：(x?1)(ax?(1?a))?0

2第 18 页 共 29 页

2011年高一数学暑假作业答案

10当a?0时，?1?

1?aa20当a?0时，x??10??1?x?1?aa 1?a2a?13当a?0时，?(?1)?aa1a?11?a?当2a?1?0即a??时，??1,?x??1或x?2aa1当2a?1?0即a??时，x??12

11?a1?a当2a?1?0即a??时，??1,?x?或x??12aa1?a;当a?0时，x??1; a11?a1当??a?0时，x?或x??1，当a??时，x??1

2a211?a当a??时，x??1或x?

2a16.解：M?［1，4］有两种情况 其一是M=?，此时Δ＜0；其二是M≠?，此时Δ=0或

综上所述：当a?0时,?1?x?Δ＞0，分三种情况计算a的取值范围

设f(x)=x2 －2ax+a+2，有Δ=(－2a)2－(4a+2)=4(a2－a－2) (1)当Δ＜0时，－1＜a＜2，M=??［1，4］

(2)当Δ=0时，a=－1或2

当a=－1时M={－1}?［1，4］；当a=2时，m={2}?［1，4］

(3)当Δ＞0时，a＜－1或a＞2

设方程f(x)=0的两根x1，x2，且x1＜x2，

?f(1)?0,且f(4)?0那么M=［x1，x2］，M?［1，4］?1≤x1＜x2≤4??

?1?a?4,且??0??a?3?0?18?7a?018?即?，解得 2＜a＜，

7?a?0??a??1或a?2∴M?［1，4］时，a的取值范围是(－1，

18) 717.解：设利用旧墙的一面矩形边长为x，则矩形的另一面边长为

126 x（1）利用旧墙的一段xm(x<14)为矩形的一面长，则修旧墙的费用为x?的材料建新墙的费用为(14?x)?，其余的建新墙的费用为(2x?故总费用y?x?a4a，剩余的旧墙拆得4a22?126?14)?a x7x252x36(14?x)a252?7)?7a(??1)(0?x?14) ?a(2x??14)?a(?4x4x2x第 19 页 共 29 页

2011年高一数学暑假作业答案

x36x36当且仅当x=12时，y最小=7a(6-1)=35a ???2??6∴

4x4x(2)若利用旧墙的一面矩形边长x≥14,则修旧墙的费用为?14?a，建新墙的费用为

(2x?25272527126?14)?a，故总费用y?a?a(2x??14)?a?2a(x??7)(x?14) x2x2xa472设14?x1?x2则x1??u?x?126126126?(x2?)?(x1?x2)(1?)?0(?x1x2?196) x1x2x1x21267126当x=14时，y最小?a?2a(14?在[14,??)上为增函数，∴?7)?35.5a方案1更好

x21418.(1)解：设f(a)?ax?x2?2，则由题意得，??f(0)?0 ?x??1或x??2

f(3)?0?2x2?2（2）设g(x)?x?ax?2，则由题意得，ax??(x?2),即a??

x2x2?2)max??22 ?a?(?x19.(1)证明 任取x1＜x2，且x1，x2∈［－1，1］，则f(x1)－f(x2)=f(x1)+f(－x2)=

f(x1)?f(?x2)·(x1

x1?x2－x2)

∵－1≤x1＜x2≤1，∴x1+(－x2)≠0，由已知

f(x1)?f(?x2)＞0，又 x1－x2＜0，

x1?x2∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x)在［－1，1］上为增函数

(2)解 ∵f(x)在［－1，1］上为增函数，

1??1?x??1?2?13??1 解得 {x|－≤x＜－1，x∈∴??1?R} x?12?11?x???2x?1?(3)解 由(1)可知f(x)在［－1，1］上为增函数，且f(1)=1， 故对x∈［－1，1］，恒有f(x)≤1， 所以要f(x)≤t2－2at+1对所有x∈［－1，1］，a∈［－1，1］恒成立，即要t2－2at+1≥1成立，

故t2－2at≥0，记g(a)=t2－2at，对a∈［－1，1］，g(a)≥0，

只需g(a)在［－1，1］上的最小值大于等于0，g(－1)≥0，g(1)≥0， 解得，t≤－2或t=0或t≥2 ∴t的取值范围是 {t|t≤－2或t=0或t≥2}

20．解：（1）不等式x?x?(2n?1)x即x(x?2n)?0

解得：0?x?2n，其中整数有2n-1个?an?2n?1

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2

2011年高一数学暑假作业答案

所以kAB?yB?yA?k(xB?1)?k(xA?1)2k?k(xB?xA)???1＝kOP

xB?xAxB?xAxB?xA所以直线AB和OP一定平行.

19. 解：（1）设圆A的圆心A（a，b），由题意得：

?b?2??1??a?0?a?2 ?解得? ?A(0,0)

a?2b?2?b?0???2?0?2?2 设圆A的方程为x2?y2?r2，将点P(2,2)代入得r＝2

∴圆A：x2?y2?4，圆B：(x?2)2?(y?2)2?4

（2）由题意得两圆的公共弦所在直线方程为l：x－y＋2＝0，设(0, 0)到l的距离为d, 则d＝

0?0?22?2, ∴公共弦长m＝2?22?(2)2?22

（3）证明：由题设得：

(x0?2)2?(y0?2)2?422x0?y0?44420226822?0, ∴配方得：(x0?)2?(y0?)2?∴化简得：x0?y0?x0?y0?

33333922217 ∴存在定点M(，?)使得Q到M的距离为定值，且该定值为.

33320. 解：（Ⅰ）∵三角形的面积只与底长和高有关系, 又|AB|＝2为定值, ∴在圆上只要找到

最高点即可.

又∵圆心C坐标为(3, 4) ,半径为2 ∴P1横坐标为3, 纵坐标为4＋2＝6 P1 (3, 6), S?ABP1??2,

1?2?6?6 222（2）设P(x , y), 则由两点之间的距离公式知

2222 AP?BP=?x?1??y??x?1??y?2x?y?2=2OP?2

22??2要使|AP|2?|BP|2取得最小值只要使|OP|2最小即可

又P为圆上的点，所以|OP|min?|OC|?r＝32?42?2?3 （r为半径） ∴AP?BP?22?min?2?32?2?20 此时直线OC:y?4x 3921??4?x?x??3y?x?????553由?解得? 或? （舍去） 1228??x?3?2??y?4?2?4?y??y????55??∴点P的坐标为?,?912??

?55?第 26 页 共 29 页

2011年高一数学暑假作业答案

2011年高一数学暑假作业（11）答案

1、3、4、5、6边形 2、12 3、42 4、（1） 5、60? 6、 22 7、4 8、y?4x或y??x?5或y?x?3 9、(x?2)2?(y?1)2?1 10、A?m 11、相交或异面 12、① 13、③④ 14、?1,???

15、

DFDH2??.?HF//AC又?EG//AC,所以四边形GFFE为梯形 DCDA52EF与BD相交；GH与BD相交；EF与GH相交；

)?0恒成立。??4a?12?0，16、（1）令g(则g(x即有?3?a?3 x)?x2?2ax?3，

（2）??0?a?3或a??3

（3）x?2ax?3?0在??1,???上恒成立

2当x?0时，满足；

当x?0时2a?(x?)min?23，即a?3 当?1?x?0时，2a?(x?)max??4,即a??2 综上：?2?a?3 (4) 由题意：(x2?2ax?3)max?2,(x2?2ax?3)max?0， 所以a??1

17、(1)EF//AC,HG//AC,FG//BD,EH//BD;

3x3xEF?AC,HG?AC,FG?BD,EH?BD; EH?EF,四边形EFGH为正方形； （2）连DE，EF//HG

所以?DEF即为DE与HG所成角，

令所有正三角形边长为a，则DE?3a3a,EF?,DF?a 2223。 618、解：（1）因为直线l：y?mx?(3?4m)过定点T（4，3）

由题意，要使圆O的面积最小, 定点T（4，3）在圆上，

所以圆O的方程为x2?y2?25.

?cos?DEF?22（2）A（-5，0），B（5，0），设P(x0,y0)，则x0?y0?25??（1）

????????PA?(?5?x0,?y0)，PB?(5?x0,?y0)， ????????????????????????由|PA|,|PO|,|PB|成等比数列得，|PO|2?|PA|?|PB|，

222222即x0，整理得：x0?y0??y0?(x0?5)2?y0?(x0?5)2?y0252522,即x0 ??y022第 27 页 共 29 页

2011年高一数学暑假作业答案

????????25?PA?PB?[?,0)

2??????????????????（3）QM?QN?tan?MQN?|QM|?|QN|cos?MQN?tan?MQN

??????????|QM|?|QN|sin?MQN?2S?MQN

?????25???25222由（1）（2）得：0?y?，PA?PB?(x0， ?25)?y0?2y0?2420?????????即QM?QN?tan?MQN有最大值为32， 此时直线l的方程为2x?y?5?0.

19、解：（1）由正弦定理有：

由题意，得直线l与圆O的一个交点为M（4，3），又知定点Q（?4，3），

直线lMQ：y?3，|MQ|?8，则当N(0,?5)时S?MQN有最大值32

BC1AB； ??2??sinxsinsin(?x)33?sin(?x)13∴BC? sinx，AB?2?2?sinsin33????????4?1231∴f(x)?AB?BC?sinx?sin(?x)??(cosx?sinx)sinx

3323221?1??sin(2x?)?(0?x?) 3663??（2）g(x)?6mf(x)?1?2msin(2x?)?m?1(0?x?)

63???5??1?x?(0,) ?2x??，则sin(2x?)?(,1] 假设存在实数m符合题意，

366662?当m?0时， g(x)?2msin(2x?)?m?1的值域为(1,m?1]

631又g(x)的值域为(1,]，解得 m?

22?当m?0时，g(x)?2msin(2x?)?m?1 的值域为[m?1,1)

63又∵g(x)的值域为(1,] 解得m无解

213∴存在实数m?，使函数f(x)的值域恰为(1,]

222220、解1）设圆方程为x?y?Dx?Ey?F?0，

则圆心C(?DE,?)，且PC的斜率为-1 22第 28 页 共 29 页

2011年高一数学暑假作业答案

?1?E?F?0?4?2D?F?0?D2?m????22所以?

E???0?2??1?D??m??2?D?1?E?5?解得?，所以圆方程为x2?y2?x?5y?6?0

?F??6??m??3????????????????（2）①CP?CA?CP?CB?CP?(CA?CB)?0?CP?AB?0?CP?AB，

所以AB斜率为1

②设直线AB方程为y?x?t，代入圆C方程得2x2?(2t?6)x?t2?5t?6?0

????0??7?t?3?设A(x1,y1),B(x2,y2)，则?x1?x2??t?3

?t2?5t?6?x1x2?2?原点O在以AB为直径的圆的内部，即OA?OB?0?x1x2?y1y2?0 整理得，t?2t?6?0??7?1?t?27?1

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