广东省惠州市2017届高三上学期第二次调研模拟考试数学（理）试卷

机密★启用前

惠州市2017届第二次调研考试

理科数学

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号等考生信息填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的。

（1）若复数z满足iz?1?2i，其中i为虚数单位，则在复平面上复数z对应的点的坐标为

（ ）

（A）(?2,?1) （B）(?2,1) （C）(2,1) （D）(2,?1)

x（2）已知全集U?R，集合A?x0?2?1，B?xlog3x?0，

????则A?CUB?（ ）

（A）xx?0 （B）xx?0 （C）x0?x?1 （D）xx?1 （3）如图，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，

那么EF＝（ ）

???????????1????1???11（A）AB?AD （B）AB?AD

2342?1?????2????1???1???（C）AB?AD （D）AB?AD

3223（4）已知?an?为等比数列，a4?a7?2，a5?a6??8，则a1?a10?（ ） （A）7 （B）?7 （C）?5 （D）5 （5）已知随机变量?服从正态分布N(1,1)，若P(??3)?0.977，

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则P(?1???3)?（ ）

（A）0.683 （B）0.853 （C）0.954 （D）0.977

x2y22（6）已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)的一个焦点到一条渐近线的距离为c（c为

ab3双曲线的半焦距），则双曲线的离心率为（ ） （A）

73737 （B） （C）37 （D） 327（7）设Sn是等差数列{an}的前n项和，若（A）1

（B）?1

（C）2

a69S?，则11＝（ ） a511S9（D）

（8）如图给出了计算

1111??????的值的程序框图， 2466012

其中①②分别是（ ）

（A）i?30，n?n?2 （B）i?30，n?n?2 （C）i?30，n?n?2 （D）i?30，n?n?1

?x??)(??0,?????0)的最小正（9）已知函数f(x)?sin(周期是?，将函数f(x)图象向左平移

?个单位长度后所得3的函数图象过点P(0,1)，则函数f(x)?sin(?x??)（ ） （A）在区间[?（C）在区间[?????,]上单调递减 （B）在区间[?,]上单调递增 6363??,]上单调递减 （D）在区间[?,]上单调递增 3636n??1??（10）若?x6??的展开式中含有常数项，则n的最小值等于（ ）

xx??（A）3 （B）4 （C）5 （D）6

（11）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的（ ） （A）外接球的半径为3 （B）表面积为7?3?1 311正视图

31（C）体积为3 （D）外接球的表面积为4?

侧视图

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俯视图 （12）已知定义在R上的函数y?f(x)满足：函数y?f(x?1)的图象关于直线x?1对称，

且当x?(??,0),f(x)?xf'(x)?0成立(f'(x)是函数f(x)的导函数), 若

111a?(sin)f(sin)，b?(ln2)f(ln2)，c?2f(log1),

2224则a,b,c的大小关系是（ ）

（A）a?b?c （B）b?a?c （C）c?a?b （D）a?c?b

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个考生都必须做答。第22题和第23题为选考题，考生根据要求做答。 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）若直线2ax?by?2?0（a?0，b?0）经过圆x2?y2?2x?4y?1?0的圆心，

则

11?的最小值为___________． ab（14）已知直线y?x?1与曲线y?ln?x?a?相切，则a的值为___________．

?x?2y?3?0?（15）已知x、y满足不等式组 ?x?3y?3?0，则z?2x?y的最大值是 ．

?y?1?（16）在正四棱锥P?ABCD中，PA?2，直线PA与平面ABCD所成角为60?，E为PC的中点，则异面直线PA与BE所成角的大小为___________．

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分）

222在???C中，角?,?,C所对的边分别为a,b,c，已知b?c?a?bc．

（Ⅰ）求角?的大小； （Ⅱ）如果sin??

3，b?2，求???C的面积． 3北京正确教育投资有限公司 010-57798222

（18）（本小题满分12分）

一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样．．本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为5,15，?15,25?，?25,35?，?35,45?，由

??此得到样本的重量频率分布直方图（如图）. （Ⅰ）求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中

小球重量的众数与平均值；

（Ⅱ）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在

0.032频率组距a0.0200.018?5,15?内的小球个数为X，求X的分布列和

O数学期望. (以直方图中的频率作为概率).

515253545重量克

（19）（本小题满分12分）

如图，四边形ABCD是矩形，AB?1,AD?2，E是AD的中点，BE与AC交于点F，GF?平面ABCD. （Ⅰ）求证：AF?面BEG；

（Ⅱ）若AF?FG，求直线EG与平面ABG所成角的正弦值.

（20）（本小题满分12分）

2已知点??1,0?，点?是圆C:?x?1??y?8上的任意一点，线段??的垂直平分线

2GBFCAED与直线C?交于点?． （Ⅰ）求点?的轨迹方程；

（Ⅱ）若直线y?kx?m与点?的轨迹有两个不同的交点?和Q，且原点?总在以?Q为

直径的圆的内部，求实数m的取值范围．

（21）（本小题满分12分）

已知函数f(x)?lnx，h(x)?ax(a?R).

（Ⅰ）函数f(x)的图象与h(x)的图象无公共点，求实数a的取值范围；

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（Ⅱ）是否存在实数m，使得对任意的x?(,??)，都有函数y?f(x)?12m的图象xex在g(x)?的图象的下方？若存在，请求出整数m的最大值；若不存在，

x请说理由.

（参考数据：ln2?0.6931，ln3?1.0986,e?1.6487,3e?1.3956）.

请考生在第22、23题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。

（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

?3x?t?m??2 已知过点P(m,0)的直线l的参数方程是?（t为参数）．以平面直角坐?y?1t??2标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程式为

??2cos?.

（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（Ⅱ）若直线l与曲线C交于两点A,B，且|PA|?|PB|?1，求实数m的值．

(23)（本小题满分10分）选修 4-5：不等式选讲

设函数f(x)?|2x?3|?|x?1|. （Ⅰ）解不等式f(x)?4；

（Ⅱ）若存在x???,1?使不等式a?1?f(x)成立，求实数a的取值范围．

?3??2?北京正确教育投资有限公司 010-57798222

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数 学（理科）答案与评分标准

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。 题号 答案 1 D 2 A 3 D 4 B 5 C 6 D 7 A 8 C 9 B 10 C 11 B 12 A

（1）解析：z=

（2）【解析】2?1?x?0?A??x|x?0? ,log3x?0?x?1?B??x|x?1??x1?2i(1?2i)(?i)??2?i，故选D. 2i?i

CUB??x|x?1? 所以A??CUB???x|x?0? ，故选A．

→→→→1→

（3）【解析】解析：在△CEF中，EF＝EC＋CF.因为点E为DC的中点，所以EC＝DC.因为点

2→2→→1→2→1→2→1→2→

F为BC的一个三等分点，所以CF＝CB.所以EF＝DC＋CB＝AB＋DA＝AB－AD，故选D.

3232323(4)【解析】由??a4?a7?2?a4??2?a4?4得?，所以或??a7??2?a5?a6?a4?a7??8?a7?4?a1??8?a1?1?a1?1?a1??8?，所以a1?a10??7，故选B. 或?或?3?31，所以?a??8a?1q???10?10?q??2??2(5)【解析】因为已知随机变量?服从正态分布N(1,1)，所以正态曲线关于直线x?1对称，又P(??3)?0.977，所以P(??3)?1?0.977?0.023，P(?1???3) 所以?1?P(???1)?P(??3)?1?2P(??3)?1?0.046?0.954，故选C

b2x的距离为b，则b?c，有a32(6)【解析】任取一焦点F(c,0)到一条渐近线y?c29373b?2c?9b?2c?9(c?a)?2c?7c?9a?2??e?，故选

a77222222北京正确教育投资有限公司 010-57798222

D．

11(a1?a11)11a6Sa92(7)【解析】因为6?，由等差数列前n项和公式得，11???1，故

9(a?a)a511S99a5192选A．

(8)【解析】因为2,4,6,8，…，60构成等差数列，首项为2，公差为2，所以2＋2(n－1)＝60，解得n＝30，所以该程序循环了30次，即i>30，n＝n＋2，故选C． (9)【解析】依题 ??2, f(x)?sin(2x??)，平移后得到的函数是

y?sin(2x???2?2?)，其图象过（0，1）)=1，因为?????0，∴ ，∴sin(??33?????，f(x)?sin(2x?)，故选B

66

rn6n?r(10)【解析】由展开式的通项公式Tr?1?C(x) 得6n??(1xx)?Cxrrn6n?15r2,(r?0,1,?,n)，

?n?Z515r?0即n?r有符合条件?的解，∴ 当r?4时，n的最小

42?r?0,1,?,n值等于5，故选C．

(11)【解析】观察三视图可知，该几何体是一三棱锥底面等腰三角形底边长为2，高为1，有一侧面是正三角形且垂直于底面，该几何体高为3，根据图中数据，另两侧面为腰长为2，底边长为2的等腰三角形，所以其表面积为

1121?2?1?2??2?(2)2?()2??2?3?7?3?1，故选B. 2222(12)【解析】∵函数y?f(x?1)的图象关于直线x?1对称，∴y?f(x)关于y轴对称， ∴函数y?xf(x)为奇函数. 因为[xf(x)]'?f(x)?xf'(x)，

∴当x?(??,0)时，[xf(x)]'?f(x)?xf'(x)?0，函数y?xf(x)单调递减， 当x?(0,??)时，函数y?xf(x)单调递减.

?0?sin111111?，1?ln2?lne?，log1?2 0?sin?ln2?log1，

22222424北京正确教育投资有限公司 010-57798222

?a?b?c，故选A.

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

0（13）4， （14）2， （15） 6， （16）45或?4

(13)

圆心坐标为 ??1,2?，?2a?2b?2?0?a?b?1?11?11????a?b???? ab?ab?ba??2?2?4 ab

(14)【解析】根据题意y'??2?

切线上，从而求得0?1?a?1，即a?2.

1?1，求得x?1?a，从而求得切点为(1?a,0)，该点在x?a

(15)【解析】先根据约束条件画出可行域，再利用z的几何意义求最大值

?x?2y?3?0? x, y满足不等式组?x?3y?3?0?y?1?

表示的可行域如图：目标函数为z?2x?y

当x?3,y?0时，z?2x?y取得最大值是6.

（16）【解析】如图，由题意易知?PAC?60?，因为EO//PA，所以?BEO为异面直

线PA与BE所成角，又PA?2，Rt?BEO中，EO?1，BO?AO?1，得?BEO为等腰直角三角形，故异面直线PA与BE所成角为45.

?

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三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分）

b2?c2?a21?…………3分 解：?1?∵b?c?a?bc∴cos??2bc2222∵???0,??………4分∴???3abbsin??2?由正弦定理得：sin??sin?……6分∴a?sin??3………8分

……5分

∵b2?c2?a2?bc∴c2?2c?5?0………9分解得：c?1?6∵c?0

132?3∴c?1?6……10分∴???C的面积S?bcsin??……12分

22（18）（本小题满分12分）

解（Ⅰ）由题意，得?0.02?0.032?a?0.018??10?1，…………1分 解得a?0.03； …………2分

又由最高矩形中点的的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20（克）…3分 而50个样本小球重量的平均值为：X?0.2?10?0.32?20?0.3?30?0.18?40?24.6（克） …………5分

故由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克；

（Ⅱ）利用样本估计总体，该盒子中小球重量在?5,15内的概率为0.2， …………6分

则X?B(3,).X的可能取值为0、1、2、3， …………7分

032?156448?1??4?1?1??4?，P?X?1??C3， P?X?0??C????????????5??5?125?5??5?125031?1??4?123?1??4?，P?X?3??C3. …………9分 P?X?2??C????????????5??5?125?5??5?12523230

?X的分布列为：

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X 0 1 48125 2 12125 3 P 64125 1125 …………10分 ?EX?0?64481213?1??2??3??.（或者EX125125125125513?3??）………12分

55

（19）（本小题满分12分） 19. 证法1：

∵四边形ABCD为矩形，∴?AEF∽?CBF，∴

AFEFAE1??? ………1分 CFBFBC2 又∵矩形ABCD中，AB?1,AD?2，∴AE?2,AC?3 2 在Rt?BEA中，BE?AB2?AE2?61326 ∴AF?AC?，BF?BE? 23333326)?()2?1?AB2 33 在?ABF中，AF2?BF2?(? ∴?AFB?90，即AC?BE ……………3分

∵GF?平面ABCD，AC?平面ABCD ∴AC?GF ……………4分 又∵BE?GF?F，BE,GF?平面BCE ∴AF?平面BEG ……………5分 证法2：（坐标法）证明KAC?KBE??1，得AC?BE，往下同证法1． 证法3：（向量法）以AD,AB为基底， ∵AC?AD?AB,BE?1AD?AB，2AD?AB?0

11?AD ∴AC?BE?(AD?AB)?(AD?AB)22 ∴AC?BE，往下同证法1． （2）在Rt?AGF中，AG?2?AB?1?2?1?0

22AF2?GF2?(3236 )?()2?333北京正确教育投资有限公司 010-57798222

在Rt?BGF中，BG?BF2?GF2?(623)?()2?1 ……………7分 33 在?ABG中，AG?6，BG?AB?1 3 ∴S?ABG?16305166 ………………9分 ????1?()2??2366236 设点E到平面ABG的距离为d，则

123??1?S?GF22113?30 ? S?ABG?d?S?ABF?GF，∴d?ABF3310S?ABG56 EG?GF2?EF2?(3262 ……………11分 )?()2?362 设直线EG与平面ABG所成角的大小为?，则

3015d?10?. ……………12分 sin??EG522另法：由（1）得AD,BE,FG两两垂直,以点F为原点，FA,FE,FG所在直线分别为x轴，

y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，…………6分

z

G?3????6?3?6??，B?0,??，G?0,0,?，E?0,,0,0,0 则A?， ,0??3???????3?3??????6?BCFD??36?33????? AB???3,?3,0?，AG???3,0,3?， ???? EG??0,????63??， …………8分 ,63??AEx y 设n?(x,y,z)是平面ABG的法向量，则

??????AB?n?0 ?，即?????AG?n?0??36x?y?033，取x?2，得n?(2,?1,2)………10分 33x?z?033北京正确教育投资有限公司 010-57798222

设直线EG与平面ABG所成角的大小为?，则

sin??EG?nEGn0?2??0?63?(?1)??26311??2?1?263?15 5 ∴直线EG与平面ABG所成角的正弦值为（20）（本小题满分12分）

15. ………………12分 5解：?1?由题意知：?????，C?????22?C?????22?C??2

x2??的轨迹是以C、?为焦点的椭圆，其轨迹方程为?y2?1…………………4分

2?y?kx?m，消去y，?2?设??x1,y1?，Q?x2,y2?，则将直线与椭圆的方程联立得：?22?x?2y?2222得：2k?1x?4kmx?2m?2?0，??0，m2?2k2?1………①

??2m2?24kmx1?x2??2，x1x2?…………………6分

2k?12k2?1?????????原点?总在以?Q为直径的圆的内部?????Q?0即x1x2?y1y2?0……7分 m2?2k22m2?2m2?2k2??0……9分 而y1y2??kx1?m??kx2?m???22k?12k2?12k2?1?2k2?2266??,即m?…12分 ?m2?，且满足①式m的取值范围是????33?33?2（21）（本小题满分12分）

21. 解：（Ⅰ）函数f(x)与h(x)无公共点，

lnx?a在(0,??)无解 ............. 2分 xlnx1?lnx,令t'(x)?0,得x?e 令t(x)?，则t'(x)?2xx 等价于方程

x t'(x) (0,e) ＋ e 0 (e,??) － 北京正确教育投资有限公司 010-57798222

t(x) 增 极大值 减 因为x?e是唯一的极大值点，故tmax?t(e)? 故要使方程

1……………4分 elnx?a在(0,??)无解， x11 当且仅当a?故实数a的取值范围为(,??)….......…5分

ee

mex1（Ⅱ）假设存在实数m满足题意，则不等式lnx??对x?(,??)恒成立.

2xxx 即m?e?xlnx对x?(,??)恒成立.………………6分

12 令r(x)?ex?xlnx，则r'(x)?ex?lnx?1，

x 令?(x)?ex?lnx?1，则?'(x)?e?1，………………7分 x111 ∵?'(x)在(,??)上单调递增，?'()?e2?2?0，?'(1)?e?1?0，

22 且?'(x)的图象在(,1)上连续，

x ∴存在x0?(,1)，使得?'(x0)?0，即e0?12121?0，则x0??lnx0，………9分 x0 ∴ 当x?(,x0)时，?(x)单调递减； 当x?(x0,??)时，?(x)单调递增， 则?(x)取到最小值?(x0)?e0?lnx0?1?x0?x1211?1?2x0??1?1?0， x0x0 ∴ r'(x)?0，即r(x)在区间(,??)内单调递增.…………11分

111111 m?r()?e2?ln?e2?ln2?1.99525，

222212 ∴存在实数m满足题意，且最大整数m的值为1. ………12分

22.（本小题满分10分）

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?3x?t?m??2 解：（Ⅰ）直线L的参数方程是?，（t为参数）， ?y?1t??2消去参数t可得x?3y?m．……………………2分 由??2cos?，得?2?2?cos?，

可得C的直角坐标方程：x2?y2?2x．……………………5分

?3x?t?m??222（Ⅱ）把?（t为参数），代入x?y?2x， ?y?1t??2得t2?(3m?3)t?m2?2m?0，……………………7分 由??0，解得?1?m?3． ∴t1t2?m2?2m．

2∵|PA|?|PB|?1?t1t2，∴m?2m??1，

解得m?1?2或1．又满足??0．∴实数m?1?2或1．……………………10分 23.（本小题满分10分） 解：（Ⅰ）∵f(x)?|2x?3|?|x?1|. 3??3x?2x???2?3? ?f(x)??x?4??x?1 ………………2分 2?x?1?3x?2??3??3x??????x?1?x?1 f(x)?4?? ………4分 或或?2?2?3x?2?4???3x?2?4??x?4?4 ?x??2或0?x?1或x?1 ………………5分 综上，不等式f(x)?4的解集为：???,?2??(0,??) ………6分 北京正确教育投资有限公司 010-57798222

（Ⅱ）存在x???,1?使不等式a?1?f(x)成立?a?1?(f(x))min…………7分 ?3??2? 由（Ⅰ）知，x???,1?时，f(x)?x?4 ?3??2?35时，(f(x))min? ……………………8分 2253 a?1??a? …………………9分 22 ?x?? ∴实数a的取值范围为??3?,??? …………………10分 ?2?

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