逻辑学第三版答案第五章 复合命题及其推理

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第五章 复合命题及其推理

一、分析下列语句各表达什么复合命题？请写出其逻辑式。

1.书山有路巧为径，学海无涯乐作舟。

答：这是一个二支联言命题，可表示为：p∧q

2．只有发展外向型经济，才能打入国际市场。

答：这是一个必要条件假言命题，可表示为：p←q

3．但凡家庭之事，不是东风压倒西风，就是西风压倒东风。

答：这是一个二支不相容选言命题，可表示为：p  q

4．并不是每一个科学家都是上过大学的。

答：这是个负A 命题，它等值一个O 命题：¬(SAP) ←→ SOP

5．足球的进攻方式，主要是中路突破，此外或边线进攻，或长传短切， 或单刀直入。

答：这是一个四支不相容选言命题：p  q  r  s

6．法律如果并且只有推开特权的大门，才能跨进人民的心。

答：这是一个充分必要条件假言命题：p←→ q

二、下列语句是否表达选言命题？如表达，各表达什么选言命题？请

写出逻辑式。

1．身体不好，或者是由于有病，或者是由于锻炼差，或者是由于营养 不良。

答：表达一个三支相容选言命题：p∨q∨r

2．这堂课是你上，还是我上？

答：表达一个二支不相容选言命题：p  q

3．这次围棋名人赛，要么小林光一取得胜利，要么马晓春取得胜利。 答：表达一个二支不相容选言命题：p  q

4．雇用的女工大抵非馋即懒，或者馋而且懒。

答：表达一个二支相容选言命题，用p 表示“女工馋”，用q 表示“女 工懒”，其逻辑式为：p∨q，也可理解为三支不相容选言命题：（¬p∧q） (p∧¬q) (p∧q),二者等值。

三、下列语句是否表达假言命题？如表达，各表达哪种假言命题？请

写出它们的逻辑式。

1．一人抽烟，大家受害。

答：表达一个充分条件假言命题：如果一人抽烟，那么大家受害，p

→q

2．人们首先必须吃、喝、住、穿，然后才能从事政治、科学、艺术、 宗教等等。

答：表达一个必要条件假言命题：p←q

3．如果说幼年时期的无知是天真的表现的话，那么，成年以后还满足 于自己的无知就是愚蠢的表现了。

答：这个假设句不表达假言命题，而表达转折联言命题。

4．人不犯我，我不犯人；人若犯我，我必犯人。

答：表达一个充分必要条件假言命题，用p 表示"人犯我"，用q 表示

“我犯人”：p←→q

5．没有共产党，就没有新中国。

答：可有两种理解：一是充分条件假言命题，一是必要条件假言命题。

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用p 表示“有共产党”，用q 表示“有新中国”，可表示为：

p←q 或 ¬p→¬q [(p←q )←→（¬p→¬q)]

四、指出下列各对命题或其形式，哪是等值关系，哪是矛盾关系。

1．商品物美价廉才能畅销。

商品畅销必须物美价廉

答：等值。前者是“只有p，才q”形式，后者为“如果q,就p”,按假

言命题等值转换关系，二者等值。

2．这次会议或者他参加，或者你参加。

这次会议如果他不参加，那么你就参加。

答：等值。按选言命题与假言命题的等值转换关系，二者等值：

（p∨q）←→ （¬p→q）

3．如果一个人有知识，他就有能力。

有的人有知识而无能力。

答：矛盾关系。前者的形式为p→q，后者为p∧¬q，按负充分条件假

言命题的等值关系¬（p→q） ←→ p∧¬q，即 p∧¬q 与p→q 相矛盾。

4．只有一个人有能力，他才有知识。

有的人没有能力却有知识。

答：矛盾关系。前者形式为p←q，后者为¬p∧q，用真值表判定，可 知二者是矛盾关系。

5．如果非p，就非q

只有P，才q

答：等值。根据假言命题等值转换关系，¬p→¬q 与p←q 等值：

（¬p→¬q） ←→ （p←q）

五、将下列假言命题或其形式转换成与之等值的另一种形式的假言命

题，并用公式表示之。

1．只有优生，才能优育。

答：这个必要条件假言命题可以转换成与之等值的充分条件假言

命题“如果不优生，就不能优育”，也可转换为“如果要优育，就必须

优生”，还可转换为等值的必要条件假言命题“只有不优育，才不优生”。 （p←q） ←→（¬p→¬q） ←→（q→p） ←→ （¬q←¬p）。

2．如果想占领市场，就必须先了解市场。

答：这个充分条件假言命题可以转换成等值的“只有先了解市场，才

能占领市场”或“只有不想占领市场，才不去了解市场”或“如果不先了 解市场，就不能占领市场”。其形式为：

（p→q）←→ （q←p）←→（¬p←¬q）←→（¬q→¬p）。

3．如果非p，就q

答：其等值转换的公式为：

（¬p→ q）←→（q←¬p）←→（¬q→p）←→（p←¬q）。

4．只有p，才非q

答：其等值转换公式为：

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（p←¬q）←→（¬q→p）←→（¬p→q）←→（q←¬p）。

5．当且仅当推理的前提真实并且形式有效，则推理的结论是真实的。 答：可转换成等值的“当且仅当推理的结论是正确的，则推理的前提

真实并且形式有效”：((p∧q)←→r)←→(r←→ (p∧q))。

六、指出下列命题的负命题的种类及其等值命题（一个或两个），并写 出它们的逻辑式。

1．所有劳动产品都是商品。答：其负命题是“并非所有劳动产品都是

商品”，这是个负A 命题，其等值命题为“有些劳动产品不是商品”，用公 式表示为： A¯ ←→O

2．如果刮风就下雨。

答：其负命题是“并非如果刮风就下雨”，这是负充分条件假言命题，其 等值命题为“有时刮风不下雨”，用公式表示为：¬（p→q）←→（p∧¬q）

3．光打雷不下雨。

答：其负命题为“并非光打雷不下雨”，这是个负联言命题，其等值命

题为“或者不打雷，或者下雨”，也可等值于“如果打雷，就下雨”。可用 公式表示为：¬（p∧¬q） ←→ （¬p∨q）←→（p→q）

4．只有他发烧，他才有病。

答：其负命题为“并非只有他发烧，他才有病”，这是负必要条件假言 命题，其等值命题为“他不发烧却有病”。可用公式表示为：

¬（p←q）←→（¬p∧q）

5．所有金属都是固态，或者所有金属都是液态。

答：其负命题为“并不是所有金属都是固态，或者所有金属都是液态”， 这是个负相容选言命题，它等值于“有的金属不是固态，并且有的金属不 是液态”。可用公式表示为：¬（SAP1∨SAP2）←→（SOP1∧SOP2）

七、简答

1．设A 为一支命题，对任意支命题B 而言，要使“A 并且B”为假，

则A 应取何值？

答：A 应取假值。因为对联言命题“A 并且B”而言A 假，B 无论真

假，它都是假的。

2．设A 为一支命题，对任意支命题B 而言，要使“A 或者B”为真，

则A 应取何值？

答：A 应取真值。因为对相容选言命题“A 或者B”而言，只要A 真，

B 无论真假，它都是真的

3．设A 为前件，对任意后件B 而言，要使“如果A，则B”为真，

则A 应取何值？

答：A 应取假值。因为对充分条件假言命题“如果A，则B”而言，

只要A 假，后件无论真假，它都是真的。

4．一个复合命题为真，是否它的支命题都是真的？为什么？请举例说 明之。

答：一个复合命题为真，它的支命题不一定都真，因为决定一个复合

命题真假的除了支命题的真假，关键是联结支命题的真值联结词（并非； 并且；或者；如果，那么；当且仅当），每一种真值联词决定着复合命题的 真假值，即复合命题与各支命题之间的真假关系。如负命题，它断定一个 命题是假的，其支命假，它才真，其支命题真，它则假。再如，充分条件

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假言命题，它断定当“前件假或后件真时”它是真的，而当“前件真而后 件假时”它是假的。只有联言命题，它断定支命题都真，一个联言命题真， 其支命题都真，其他复命题均不是如此。

八、下列联言推理或选言推理是否正确？为什么？

1．毁我教育者是千古罪人，不尊重知识与人才者必定受到历史惩罚。 所以，毁我教育者是千古罪人。

答：这是二支联言推理的分解式，正确。

2．我们的干部要有德，我们的干部要有才；所以，我们的干部要德才 兼备。

答：这是二支联言推理的组合式，正确。

3．“或SOP，或SIP；SOP；所以，并非SIP”。

答：这是二支相容选言推理的肯定否定式，无效，因为违反相容选言

推理“肯定一部分选言支，不能否定余下的选言支”的规则。

4．“并非所有犯罪是反革命犯罪，或者，并非所有犯罪都不是反革命 犯罪；并非所有犯罪都不是反革命犯罪；所以，并非有的犯罪不是反革命 犯罪。

答：这是一个二支相容选言推理的肯定否定式，无效。其逻辑式为：

（¬（SAP）∨¬（SEP）∧¬（SEP））→SOP 而¬（SOP）←→¬ ¬（SAP）。

九、下列推理是什么假言推理？是否正确有效？为什么？

1．只有努力学习，才能考上大学；刘忠学习努力，所以刘忠能考上大学。 答：无效。这是必要条件假言推理的肯定前件式，违反了这种推理“肯 定前件不能肯定后件”的规则。

2．要是他妈妈病了，他既得做饭又得照顾弟弟，就不能按时到校；他 现在还没来，肯定是他妈妈病了。

答：无效。这是充分条件假言推理的肯定后件式，违反了这种推理“肯 定后件不能肯定前件”的规则。

3．甲对乙说：“如果同意你的意见，我就来电话；否则，就不来电话 了。”结果甲没给乙来电话。

答：有效。这是个省略结论的充要条件假言推理的否定后件式，符合

规则。其结论是：甲不同意乙的意见。

4．逻辑教师出了一道题：“有一个三段论，它的小前提必须是肯定的。 请问：这个三段论属于哪一格？

学生甲答：“属于第一格。因为如果它是第一格，那么小前提必是肯定

的，而这个三段论的小前提是肯定的，所以它属于第一格。”学生乙表示同 意，并补充说：“只有小前提是肯定的，才是第一格的正确三段论，现在这 个三段论小前提是肯定的，那它是第一格无疑了。”

答：学生甲和学生乙所用的假言推理均无效。学生甲的话包含一个充

分条件假言推理的肯定后件式，学生乙的话包含一个必要条件假言推理的 肯定前件式，均是无效式，违反规则。

5．有调查研究才有发言权。此人没有发言权；所以，他没有调查研究。 答：无效。这是个必要条件假言推理的否定后件式，违反该推理规则： 否定后件不能否定前件。

6．只有非p，才非q；只有非q，才非r；所以，如果r，就p。

答：无效。这是个必要条件纯假言推理的否定后件式，违反规则。

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十、用真值表方法解决下列问题

1．用真值表方法判定下列A、B 两个命题是否等值：

A：要么小周当选为班长，要么小李当选为班长。

B：小周当选为班长，而小李没有当选为班长。

答：设P 代“小周当选为班长”，q 代“小李当选为班长”，则A 命题 表示为：p  q；B 命题表示为：p∧¬q，列真值表如下：

2．写出下述命题的等值命题，并用真值表加以验证：“并非他既有德 又有才”

答：并非“他既有德又有才”是个负联言命题，这等值于一个相容选

言命题“他或者无德，或者无才”，可用公式表示为：

¬（p∧q）←→ （¬p∨¬q） 用真值表验证如下：

3．列出A、B 两命题的真值表，并回答当A、B 恰有一个为假时，某

公司是否录用了小黄？是否录用了小林？

A：如果某公司录用了小黄，那么就不录用小林。

B：某公司没有录用小黄。

答：用p 代“某公司录用了小黄”，用q 代“录用了小林”，A 命题可 表示为：p→¬q，B 命题可表示为¬p。列真值表如下：

十一、下列推理属于何种推理？列出其推理形式，并说明其正确与否， 为什么？

1．如果一个推理的内容是真实的，并且其形式是有效的，那么它是正

确的推理；这个推理是不正确的；所以，这个推理的内容不真实，且形式无效。 答：这个推理的形式可表示为（（p∧q）→r）∧¬r→(¬p∧¬q),这是个

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充分条件假言推理的否定后件式，否定后件r 导致否定前件得结论¬（p ∧ p），该式应等值于“¬p∨¬q”，而不应等值于“¬p∧¬q”，故整个推理形式 是无效的。

2．张同志或者不想来，或者误了车；如果他误了车，他会打电话来。

张同志是想来的；所以，他必定打电话来。（提示：本题中不止含有一个推 理，可分别说明其所属种类。公式表达可以分别列出，也可用一个综合公 式表示之）

答：用p 代“张同志想来”，q 代“张同志误了车”，用r 代“他打电

话来”，其推理形式为①：（¬p∨q）∧p →q；②（q→r）∧q→r，这两个 推理是有效的：①为相容选言推理的否定肯定式，②为充分条件假言推理 的肯定前件式。

3．如果承认群众的要求是合理的，就不能对群众横加指责；如果不承 认群众的要求是合理的，就不要按群众的要求去反腐败；或者承认群众的 要求是合理的，或者不承认群众的要求是合理的；所以，或者不能对群众 横加指责，或者不要按群众的要求去反腐败。

答：该推理是二难推理的复杂构成式，是有效式，其形式是：（p→r） ∧（q→S）∧（p∨q）→r∨S

4．《资治通鉴》卷192 记载了唐太宗关于“人君之患”的议论。他对

侍臣们说：“夫欲盛则费广，费广则赋重，赋重则民愁，民愁则国危，国危 则君丧矣。朕常以此思之，故不敢纵欲也。”

答：唐太宗的话包含一个充分条件假言联锁推理的否定式，有效。其形式 可示为：（p →q）∧（q→r）∧（r →S）∧（S→t）∧(t→M)∧¬M→¬p. 十二、用复合命题推理的有关知识解答下列问题：

1．已知： 只有张明和李东至少一人没得奖，王洪和高亮才得奖。 “王洪没得奖或高亮没得奖”是不真的。

李东得奖了。

问：张明、王洪、高亮谁得奖了？谁未得奖？（写出推导过程与推导根据） 答：张明没得奖，而王洪、高亮得奖。用p 代“张明得奖”，用q 代“李 东得奖”，用r 代“王洪得奖”，用S 代“高亮得奖”。

已知：（¬p∨¬q）←（r∧S）①

¬（¬r∨¬s） ②

q ③

据②可得r∧s ④（负命题等值推理）

据①④可得¬p∨¬q ⑤（必要条件假言推理肯定后件式）

据⑤③可得 ¬p ⑥（相容选言推理否定肯定式）

据④⑥可知：r∧S∧¬p 即王洪、高亮得奖，张明没得奖。

2．w 市女子排球队有2 号、4 号、6 号、8 号、10 号和12 号等六名主 力队员。在长期训练和实际比赛中，教练对主力队员之间的最佳配合总结 出以下几条规律：

（1）要是6 号上场，则8 号也要上

（2）只有2 号不上，4 号才不上

（3）4 号和8 号只有1 人上场

（4）如果10 号和12 号同时上，则6 号也要上场。

现在需要2 号和12 号同时上场。

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问：为了保持球场上的最佳阵容，10 号该不该上场？写出推导过程并 且每一步推导追加逻辑理由。

答：10 号不该上场。

已知：要是6 号上场，则8 号也要上。 ①

只有2 号不上，4 号才不上。 ②

4 号和8 号只有一人上场。 ③

如果10 号和12 号同时上，则6 号也要上场。 ④

现在需要2 号和12 号同时上场。 ⑤

据②和⑤可知“4 号上场”。⑥（联言推理的分解式和必要条件假言推 理的否定前件式）。

据③和⑥可知“8 号不上场”。⑦（不相容选言推理的肯定否定式）。 据①和⑦可知“6 号不上场”。⑧（充分条件假言推理的否定后件式）。 据④和⑧可知“并非10 号和12 号同时上。” ⑨（充分条件假言推理 的否定后件式）。

据⑨可知“或者10 号不上，或者12 号不上”。⑩（负联言命题等值推 理）。

据⑩与⑤可知“10 号不上场”。⑾（联言推理的分解式和相容选言推 理的否定肯定式）。

3．已知：①A 真包含于B②有C 不是B

③若C 不真包含A，则C 真包含于A

问：A 与C 什么关系？用欧拉图将A、B、C 三概念在外延上可能有 的关系表示出来。

答：C 真包含A。

已知：A 真包含于B。①

有C 不是B。②

若C 不真包含A，则C 真包含于A。③

据①②可知“有C 不是A”。④

据④可知“C 不真包含于A”。⑤

据③⑤可知“C 真包含A”。⑥（充分条件假言推理否定后件式） 总之，A、B、C 三概念在外延上可能有下述关系：

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