高中数学 学案73坐标系与参数方程

学案73 坐标系与参数方程

导学目标： 1.了解坐标系的有关概念，理解简单图形的极坐标方程.2.会进行极坐标方程与直角坐标方程的互化.3.理解直线、圆及椭圆的参数方程，会进行参数方程与普通方程的互化，并能进行简单应用．

自主梳理

1．极坐标系的概念

在平面上取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做________；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个____________．

设M是平面上任一点，极点O与点M的距离OM叫做点M的________，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的________，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的__________，记作(ρ，θ)．

2．极坐标和直角坐标的互化

把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x＝__________，y＝__________.另一种关系为：ρ2＝__________，tan θ＝______________.

3．简单曲线的极坐标方程

(1)一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程φ(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程φ(ρ，θ)＝0的点都在曲线上，那么方程φ(ρ，θ)＝0叫做曲线的________________________________________________________________________．

(2)常见曲线的极坐标方程 ①圆的极坐标方程

____________表示圆心在(r,0)半径为|r|的圆；

π

____________表示圆心在(r，)半径为|r|的圆；

2

________表示圆心在极点，半径为|r|的圆． ②直线的极坐标方程

________________表示过极点且与极轴成α角的直线； __________表示过(a,0)且垂直于极轴的直线；

π

__________表示过(b，)且平行于极轴的直线；

2

ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)表示过(ρ0，θ0)且与极轴成α角的直线方程． 4．常见曲线的参数方程 (1)直线的参数方程

x＝x0＋lcos α，

若直线过(x0，y0)，α为直线的倾斜角，则直线的参数方程为 这是直线

y＝y0＋lsin α.

的参数方程，其中参数l有明显的几何意义．

(2)圆的参数方程

x＝a＋rcos α，

若圆心在点M(a，b)，半径为R，则圆的参数方程为 0≤α<2π.

y＝b＋rsin α，

(3)椭圆的参数方程

x＝acos φx2y2

中心在坐标原点的椭圆＋＝1的参数方程为 (φ为参数)．

ab y＝bsin φ

(4)抛物线的参数方程

2

x＝2pt， 2

抛物线y＝2px(p>0)的参数方程为 y＝2pt.

自我检测

1．(教材改编题)点M的直角坐标为(－3，－1)，则它的极坐标为________． 2．(原创题)在极坐标系中，点(ρ，θ)与(－ρ，π＋θ)的位置关系为________． 3．(2011·陕西)在直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标

x＝3＋cos θ，

系，设点A，B分别在曲线C1： (θ为参数)和曲线C2：ρ＝1上，则|AB|的最

y＝4＋sin θ

小值为________．

π

4．(2011·广州一模)在极坐标中，直线ρsin(θ＋)＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________．

4

x＝cos α，

5．(2010·陕西)已知圆C的参数方程为 (α为参数)，以原点为极点，x轴正

y＝1＋sin α

半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin θ＝1，则直线l与圆C的交点的直角坐标为________________.

探究点一 求曲线的极坐标方程

aπa

例1 在极坐标系中，以(为圆心，为半径的圆的方程为________．

222

变式迁移1 如图，求经过点A(a,0)(a>0)，且与极轴垂直的直线l的极坐标方程．

探究点二 极坐标方程与直角坐标方程的互化 例2 (2009·辽宁)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．曲

π

θ－ ＝1，M、N分别为C与x轴，y轴的交点． 线C的极坐标方程为ρcos 3

(1)写出C的直角坐标方程，并求M、N的极坐标； (2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．

变式迁移2 (2010·东北三校第一次联考)在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直

π2

线l：ρsin(θ－)＝

42

(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；

(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．

探究点三 参数方程与普通方程的互化 例3 将下列参数方程化为普通方程：

3kx1＋k(1)；

6k2y＝

1＋k

x＝1－sin 2θ(2) ； y＝sin θ＋cos θ

(3) t

y 1＋t

1－t2x1＋t

.

变式迁移3 化下列参数方程为普通方程，并作出曲线的草图．

1 x＝2sin 2θ

(1) (θ为参数)；

y＝sin θ＋cos θ

1t－1

xt(2) 1

y＝ t

(t为参数)．

探究点四 参数方程与极坐标的综合应用

x＝2＋2t

例4 求圆ρ＝3cos θ被直线 (t是参数)截得的弦长．

y＝1＋4t

x＝2cos α，

变式迁移4 (2011·课标全国)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为

y＝2＋2sin α.

(α为参数)

→→

M是C1上的动点，P点满足OP＝2OM，P点的轨迹为曲线C2. (1)求C2的方程；

π

(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝C1的异于极点的交

3

点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|.

本节内容要注意以下两点：一、简单曲线的极坐标方程可结合极坐标系中ρ和θ的具体含义求出，也可利用极坐标方程与直角坐标方程的互化得出．同直角坐标方程一样，由于建系的不同，曲线的极坐标方程也会不同．在没有充分理解极坐标的前提下，可先化成直角坐标解决问题．二、在普通方程中，有些F(x，y)＝0不易得到，这时可借助于一个中间变量(即参数)来找到变量x，y之间的关系．同时，在直角坐标系中，很多比较复杂的计算(如圆锥曲线)，若借助于参数方程来解决，将会大大简化计算量．将曲线的参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数，此时要注意其中的x，y(它们都是参数的函数)的取值范围，也即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．参数方程化普通方程常用的消参技巧有：代入消元、加减消元、平方后相加减消元等．同极坐标方程一样，在没有充分理解参数方程的前提下，可先化成直角坐标方程再去解决相关问题．

(满分：90分)

一、填空题(每小题6分，共48分)

x＝3＋at，

1．直角 (t为参数)恒过定点________．

y＝－1＋4t

π

2．点M(5为极坐标系中的一点，给出如下各点的坐标：

6π7ππ7π

①(－5，－；②(5，；③(－5，；④(－5，－)．

6666

其中可以作为点M关于极点的对称点的坐标的是______(填序号)．

ππ

3．在极坐标系中，若点A，B的坐标分别为(3，(4，－)，则AB＝________，S△AOB

36

＝________.(其中O是极点)

5 x＝4t2， x5cos θ，

4．(2011·广东)已知两曲线参数方程分别为 (0≤θ<π)和 (t∈

y＝sin θ y＝t

R)，它们的交点坐标为________．

x＝8t2

5．(2011·天津)已知抛物线C的参数方程为 (t为参数)．若斜率为1的直线经过

y＝8t

抛物线C的焦点，且与圆(x－4)2＋y2＝r2(r>0)相切，则r＝________.

6．(2010·广东韶关一模)在极坐标系中，圆心在(2，π)且过极点的圆的方程为________． 7．(2009·安徽)以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中

x＝1＋2cos α，π

取相同的长度单位．已知直线的极坐标方程为θ＝ρ∈R)，它与曲线 (α为

4 y＝2＋2sin α

参数)相交于两点A和B，则AB＝________.

x＝2cos α

8．(2010·广东深圳高级中学一模)在直角坐标系中圆C的参数方程为 (α

y＝2＋2sin α

为参数)，若以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C的极坐标方程为

________．

二、解答题(共42分)

9．(14分)⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ＝4cosθ，ρ＝－4sinθ. (1)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程．

x＝5cos φ，

10．(14分)(2011·江苏，21C)在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆 (φ为参

y＝3sin φ x＝4－2t，

数)的右焦点，且与直线 (t为参数)平行的直线的普通方程．

y＝3－t

x＝3－22t，

11．(14分)(2010·福建)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为

y＝＋ 2

(t

为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正

半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ＝25sin θ.

(1)求圆C的直角坐标方程；

(2)设圆C与直线l交于点A，B.若点P的坐标为(3，5)，求PA＋PB.

学案73 坐标系与参数方程

答案

自主梳理

y

1．极轴 极坐标系 极径 极角 极坐标 2.ρcos θ ρsin θ x2＋y2 (x≠0) 3.(1)极

x

坐标方程 (2)①ρ＝2rcos θ ρ＝2rsin θ ρ＝r ②θ＝α(ρ∈R) ρcos θ＝a ρsin θ＝b

自我检测

7

1．(2，π)(答案不唯一)

6

2．重合 3．3

解析 ∵C1：(x－3)2＋(y－4)2＝1，C2：x2＋y2＝1，

∴两圆心之间的距离为d＝3＋4＝5.

∵A∈曲线C1，B∈曲线C2，∴|AB|min＝5－2＝3. 4．3

π

解析 直线ρsin(θ＝2可化为x＋y－2＝0，圆ρ＝4可化为x2＋y2＝16，

4由圆中的弦长公式得r－d＝2＝3.

5．(－1,1)，(1,1) 解析 ∵y＝ρsin θ，

∴直线l的直角坐标方程为y＝1. x＝cos α，由 得x2＋(y－1)2＝1. y＝1＋sin α

222

42－

2

y＝1， x＝－1， x＝1， 由2得或 2

x＋ y－1 ＝1 y＝1 y＝1.

∴直线l与圆C的交点的直角坐标为(－1,1)和(1,1)． 课堂活动区

例1 解题导引 求曲线的极坐标方程的步骤：①建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点；②由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式；③将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线上的极坐标方程；④证明所得方程就是曲线的极坐标方程，若方程的推导过程正确，化简过程都是同解变形，这一证明可以省略．

答案 ρ＝asin θ，0≤θ<π

解析 圆的直径为a，设圆心为C，在圆上任取一点A(ρ，θ)，

πππ

则∠AOC＝θ或θAOC＝|θ－222

π

又ρ＝acos∠AOC＝acos|θ－＝asin θ.

2

∴圆的方程是ρ＝asin θ，0≤θ<π.

变式迁移1 解 设P(ρ，θ)是直线l上任意一点，OPcos θ＝OA，即ρcos θ＝a， 故所求直线的极坐标方程为ρcos θ＝a.

例2 解题导引 直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验．

π13

θ－ ＝1得ρ θ＋sin θ ＝1. 解 (1)由ρcos 3 2 2

13

从而C的直角坐标方程为x＋y＝1，

22

即x3y＝2，当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2,0)．

π2323π当θ＝ρ＝N .

23 32(2)M点的直角坐标为(2,0)．

N点的直角坐标为(0)．

3

3

所以P点的直角坐标为 1，，

3

23π则P点的极坐标为 ，

36π

所以直线OP的极坐标方程为θ＝，ρ∈(－∞，＋∞)．

6

变式迁移2 解 (1)圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 圆O的直角坐标方程为x2＋y2＝x＋y， 即x2＋y2－x－y＝0.

π2

直线l：ρsin(θ－＝ρsin θ－ρcos θ＝1，

42

则直线l的直角坐标方程为y－x＝1， 即x－y＋1＝0.

22 x＋y－x－y＝0， x＝0，(2)由 得

x－y＋1＝0y＝1.

π

故直线l与圆O公共点的一个极坐标为(1，)．

2

例3 解题导引 参数方程通过消去参数化为普通方程．对于(1)直接消去参数k有困难，可通过两式相除，先降低k的次数，再运用代入法消去k；对于(2)可运用恒等式(sin θ＋cos θ)2

1－t222t2

＝1＋sin 2θ消去θ；对于(3)可运用恒等式)＝1消去t. )＋(1＋t1＋t另外，参数方程化为普通方程时，不仅要消去参数，还应注意普通方程与原参数方程的取值范围保持一致．

yy

解 (1)两式相除，得k＝.将k

2x2x

y2x

得x＝.

y2

1＋2x

化简，得所求的普通方程是4x2＋y2－6y＝0(y≠6)． (2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ)， 得y2＝2－x.

又x＝1－sin 2θ∈[0,2]，

得所求的普通方程是y2＝2－x，x∈[0,2]．

1－t222t2

(3)由()＝1， )＋(1＋t1＋t1－t222

得x＋4y＝1.又x＝－1，

1＋t得所求的普通方程是x2＋4y2＝1(x≠－1)．

变式迁移3 解 (1)由y2＝(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝1＋2x，得y2＝2x＋1.

11111θ≤，∴－≤x.

22222

2≤sin θ＋cos θ≤2，∴－2≤y≤2. 故所求普通方程为

111

x＋ (－x≤，－2≤y≤2)，图形为抛物线的一部分． y2＝2 222图形如图甲所示．

11t112222 ＋ t－1 ＝1及x＝≠0，xy＝－(2)由x＋y＝ ≥0知，所求轨迹为两段圆 t t tt

弧x2＋y2＝1 (0<x≤1,0≤y<1或－1≤x<0，－1<y≤0)．

图形如图乙所示．

例4 解题导引 一般将参数方程化为普通方程，极坐标方程化成直角坐标方程解决． 解 将极坐标方程转化成直角坐标方程：

39

ρ＝3cos θ即：x2＋y2＝3x，即(x－)2＋y2＝.

24

x＝2＋2t 即：2x－y－3＝0. y＝1＋4t

3

|2×－0－3|

2

所以圆心到直线的距离d＝0，

2＋ －1 即直线经过圆心，所以圆被直线截得的弦长为3.

xy

变式迁移4 解 (1)设P(x，y)，则由条件知M(，)．

22

由于M点在C1上，

x

＝2cos α， 2 x＝4cos α，

所以即

y y＝4＋4sin α. ＝2＋2sin α，2

x＝4cos α，

从而C2的参数方程为 (α为参数)

y＝4＋4sin α.

(2)曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8sin θ.

ππ

射线θ＝与C1的交点A的极径为ρ1＝4sin

33ππ

射线θ＝与C2的交点B的极径为ρ2＝8sin33

所以|AB|＝|ρ2－ρ1|＝23. 课后练习区 1．(3，－1)

a

解析 由题知，x－3(y＋1)，∴恒过定点(3，－1)．

4

2．②③ 3．5 6

π

解析 ∵∠AOB＝AOB为直角三角形．

2

1

∴AB＝3＋4＝5，S△AOB＝3×4＝6.

2

5

4．(1，)

5

x22

解析 将两曲线的参数方程化为一般方程分别为y＝1(0≤y≤1，－5<x5)和

5

425y2＝，联立解得交点坐标为(1)．

555.

2

x＝8t，

解析 由 得y2＝8x，抛物线C的焦点坐标为F(2,0)，直线方程为y＝x－2，

y＝8t

|4－0－2|

即x－y－2＝0.因为直线y＝x－2与圆(x－4)2＋y2＝r2相切，由题意得r2.

2

6

．ρ＝－2cos θ

解析 如图，O为极点，OB为直径，A(ρ，θ)，则∠ABO＝θ－90°，

ρ

OB＝2，

sin θ－90°

化简得ρ＝－22cos θ. 714

π

解析 直线的极坐标方程为θ＝(且ρ∈R)，故其直角坐标系下对应的方程为y＝x，参

4

x＝1＋2cos α，

数方程为 (α为参数)的直角坐标系下对应的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝4.

y＝2＋2sin α

2

圆心(1,2)到直线y＝x.又半径为2，

2

1

故弦长为24＝14.

2

8．ρ＝4sin θ

解析 由参数方程消去α得圆C的方程为x2＋(y－2)2＝4，将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入

22

得(ρcos θ)＋(ρsin θ－2)＝4，整理得ρ＝4sin θ.

9．解 以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．(1分)

(1)x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，由ρ＝4cosθ 得ρ2＝4ρcosθ，所以x2＋y2＝4x.

即x2＋y2－4x＝0为⊙O1的直角坐标系方程，(4分) 同理x2＋y2＋4y＝0为⊙O2的直角坐标系方程．(7分)

22 x＋y－4x＝0， x1＝0， x2＝2， (2)由22解得 (11分) x＋y＋4y＝0 y1＝0， y2＝－2. 即⊙O1，⊙O2交于点(0,0)和(2，－2)，过交点的直线的直角坐标系方程为y＝－x.(14分) 10．解 由题设知，椭圆的长半轴长a＝5，短半轴长b＝3，从而c＝a－b＝4，所以右焦点为(4,0)．将已知直线的参数方程化为普通方程：x－2y＋2＝0.(6分)

11

故所求直线的斜率为y＝(x－4)，(8分)

22

即x－2y－4＝0.(14分)

11．解 方法一 (1)ρ＝25sin θ，得x2＋y2－5y＝0， 即x2＋(y5)2＝5.(6分)

(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得

22

(3－t)2＋()2＝5，即t2－2t＋4＝0.(8分)

22

t1＋t2＝32，由于Δ＝2)－4×4＝2>0，故可设t1，t2是上述方程的两实根，所以

t1t2＝4.

2

(10分)

又直线l过点P(35)，

故由上式及t的几何意义得PA＋PB＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝2. (14分) 方法二 (1)同方法一． (6分)

(2)因为圆C的圆心为点(0，5)，半径r5，直线l的普通方程为y＝－x＋35.

22

由 x＋ y5 ＝5， y＝－x＋35

得x2－3x＋2＝0. 解得 x＝1， y＝25 或 x＝2， y＝15.

不妨设A(1,25)，B(2,1＋5)，又点P的坐标为(3，5)， 故PA＋PB8＋2＝32. (10分)

(14分)

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/1ib1.html