理论力学基础(北师大)习题

第一章思考题

1.1. 如思考题1.1图所示, 岸距水面高为h, 岸上有汽车拉着绳子以匀速率u向左开行,

绳子另一端通过滑轮A连于小船B上, 绳与水面交角为?, 小船到岸的距离为s. 则

?的关系为: u与s?cos?；(2) u??s?cos? ；(3)s??ucos?；(4) s???ucos? (1)u?s

??ee1.2. 在参考系上建立一个与之固连的极坐标系, 但其单位矢量r和?随质点位置变化而

改变, 这是否与固连相矛盾? 是否说明极坐标系是动坐标系?

?v1.3. 质点沿一与极轴Ox正交的直线以0做匀速运动, 如思考题1.3图所示. 试求质点运

思考题1.1图

动加速度在极坐标系中的分量ar和

a?.

思考题1.3图

?OAOu?m1.4. 杆在平面内绕固定端以匀角速转动. 杆上有一滑块, 相对杆以匀速沿

杆滑动, 如思考题1.4图所示. 有人认为研究m的运动有如下结论: (1) ar=0, 上述结论是否正确.

a??a故=0； (2) O为OA转动中心, 所以在自然坐标法中向心加速度指向O点. 试分析

=0,

思考题1.4图

第一章习题

?11.1. 如题1.1图所示,曲柄连杆OA以匀角速??10s转动, 已知长度

________OA?AB?80cm, t?0时?AOB??. 求连杆AB的中点的运动学方程、轨道、速

度和加速度.

题1.1图

1.2. 一质点沿圆锥曲线y?2mx?nx质点速度的x分量和y分量.

2222

?0运动 (m, n为常数), 其速率为常量c. 求

1.3. 一质点的径向与横向速度分别为λr和??(λ, ?为常量). 试证其径向与横向加速

度分别为

?r?2??r和

??(???r).

1.4. 一质点做平面运动, 其速率为常量v0, 径向速度亦为常量b(b?0,b?v0), 求质

点的轨道方程. 设t?0时r?r0,??0.

1.5. 一质点做平面曲线运动, 其径向速度为正值常量, vr?c (c?0)；其径向加速度为

负值, 并与到极点的距离的三次方成反比,

?r?r0???0设t?0时, , , 且运动中??0.

ar??br23 (b?0). 求质点的运动学方程.

1.6. 如题1.6图所示,已知一直管OA保持其与竖直方向的夹角?不变, 绕过其O端的竖

??直轴以角速度做均匀转动. 一质点从O点开始沿管做匀加速运动, 加速度的大小为

a, 初速度为零. 试用柱坐标系求质点对地面的速度和加速度, 并用球坐标系求质点

对地的速度.

题1.6图

1.7. 一质点的轨道曲线在Oxy平面内, 其速度的y分量为正值常量c(c?0), 试证质点

加速度的大小可表示为

a?v3

c?, 其中v为速率, ?为轨道曲率半径.

v1.8. 质点沿半径为r的圆周运动, 初速度为0, 其加速度矢量与速度矢量间的夹角?保

持不变, 求质点速率随时间的变化规律.

1.9. 已知质点运动的轨道为圆锥曲线

2r?p(1?ecos?), 如题1.9图所示. p和e为正值

?常量. 已知r??c, c亦为正值常量. 试证质点加速度的方向必指向原点(即圆锥曲

线的一个焦点), 其大小与r成反比.

2

题1.9图

1.10. 试用数值计算方法, 在直角坐标系O2xy中, 描绘教材中第一章例题1中质点运动的

情况.

1.11. 试用数值计算方法, 描绘教材中第一章例题3中质点运动的情况.

第二章思考题

2.1. 教材中第二章例题1中(2)式是否说明A点加速度aA?0?

??2.2. 教材中第二章例题1中对(3)式求时间导数是否可以得到R??a?

2.3. 如思考题2.3图所示, 半径为r的圆柱A沿半径为R的固定圆柱B由最高点无滑动地

???滚下, 由于弧长PP?PP??, 所以无滑条件可表示为r??R?, 对r??R?求导数

??R??r??R??可得r?, 所以圆柱A的角速度为?, 上述各结论是否正确?

思考题2.3图

2.4. 有人认为: 由于每瞬时刚体的平面平行运动都可以看成是绕瞬心的纯转动, 所以刚体

???上任一点的加速度由向心加速度和切向加速度组成, a??2ren?r??et, r为该点到瞬心的距离. 这种看法是否正确? 为什么? 2.5. 参见教材中第二章例题3图2.16, 甲认为: “B为固定不动的点, 故B为定点, 又因

O点速度为零, 所以OB为瞬时轴.” 乙认为: “我看定点应为点O, 由于B点不动,

所以OB为瞬时轴.” 试指出甲、乙二人的错误.

??vaOxyz2.6. 教材中第二章例题3图2.16中的坐标系为动坐标系. 甲认为求出的P和P是

相对Oxyz系的速度和加速度. 乙认为题中要求的是相对水平面的速度和加速度, 所

以选用动坐标系是不合适的. 你认为如何?

???v2.7. 速度是极矢量, 角速度是轴矢量, 阅读参考书(赵凯华, 罗蔚茵. 新概念物理教

程·力学), 说明它们的共性与差异.

第二章习题

2.1. 半径为R的线轴在水平面上沿直线做无滑滚动, 中部绕线轴的半径为r, 线无滑地绕

?uA在轴上, 线端点以不变速度沿水平方向运动, 如题2.1图所示. 求: (1)轴心C的

速度和线轴的角速度; (2) 线轴与水平面接触点B的加速度.

题2.1图

2.2. 半径为b的小圆盘在一半径为a的固定大圆盘的边缘上运动,两圆盘在水平面内,

Oxy为固定直角坐标系, 如题2.2图所示.x轴与两圆心连线OO?夹角的时间导数??已知, 求下列3种情况中小圆盘的角速度: (1) 小圆盘上某一确定半径的空间指向不变；(2) 小圆盘上某一确定半径始终指向O点; (3) 小圆盘在大圆盘上做无滑滚动.

题2.2图

2.3. 曲柄OA以匀角速度?绕O点转动, 曲柄OA借助连杆AB推动滑块B沿轨道OD运

动. 设OA?r, AB?l, DO与OA夹角为?t, 如题2.3图所示. 求杆AB的角速度和B点的速度.

??v2.4. 半径为a的圆柱夹在互相平行的两板间, 两板分别以不变的速度1,v2反向运动, 如

题2.4图所示. 设圆柱与两板间均无滑动, 求: (1) 瞬心位置；(2)圆柱上与上板的接

题2.3图

触点A的加速度.

题2.4图 ??vvOxyl2.5. 长为的细杆AB在平面内运动,A的大小和方向已知, 且知道B的方向, 如题

???v2.5图所示. 求: (1) 杆的角速度?及vB的大小；(2)杆上某点C的位置, C刚好沿杆的方向.

?

题2.5图 ??2.6. 圆盘以角速度?1绕水平轴CD转动, CD轴又以角速度?2绕过盘心O的竖直AB轴

?转动, 如题2.6图所示. 已知?1?5rads, ?2?3rads, 求圆盘角速度?及?.

???

题2.6图

?2.7. 转轮AB绕过轮心且与轮面垂直的OD轴以角速度?1转动, 而OD绕竖直线OE以

??角速度2转动. 已知转轮半径CB?a, OC?b, ?EOD??, 如题2.7图所示.

?v试求转轮最低点速度B.

?2??h2.8. 高为, 顶角为的圆锥在水平面上做无滑滚动, 若此圆锥以不变角速度绕竖直

O?轴转动, 如题2.8图所示. 试求: (1) 圆锥角速度； (2) 圆锥底面最高点P的速?v度; (3) P点的转动加速度和向轴加速度的量值a1和a2.

题2.7图

题2.8图

第三章思考题

3.1. 有一质量为m的珠子, 沿一根置于水平面内的铁丝滑动, 采用自然坐标法描述. 珠

???????FeF?Fe?Fe?FeW?mgNtt即为滑动NttNnnNbb.子受重力, 铁丝施与的约束力N摩擦力 ?F??mgF??FNbFf, 设动摩擦因数为?. 试判断下列各式正误: (1) f； (2) f

（3）

Ff??FNn；(4)

Ff??FNn?FNb22

3.2. 用极坐标系描述单摆的运动. 某甲如思考题3.2图(a)规定?角正向, 得到动力学方

??程ml???mgsin?； 某乙如思考题3.2图(b)规定?角正向, 则得到????mgsinml??. 你认为谁的做法正确?

(a) (b)

思考题3.2图

?Ff3.3. 质量为m的质点, 由静止开始自高处自由落下. 设空气阻力

与速度成正比, 比例

???mg?ky?. y系数为k. 某甲建立竖直向上的坐标如思考题3.3图(a), 得到方程为m???mg?ky?.他们列出的y某乙建立竖直向下的坐标如思考题3.3图(b), 得到方程为m?方程对吗?

(a) (b)

思考题3.3

3.4. 有人认为: 用极坐标系讨论质点的平面运动时, 如果Fr?0, 则沿径向动量守恒, ??常量；若F??0, 则沿横向动量守恒. 这种看法对吗? pr?mr3.5. 试判断以下二论断是否正确:

(1) 若质点对固定点O的角动量守恒, 则对过O点的任意固定轴的角动量守恒.

(2) 若质点对固定轴的角动量守恒, 则对该轴上任一固定点的角动量守恒.

3.6. 一质点动量守恒, 它对空间任一固定点的角动量是否守恒? 如质点对空间某一固定点

角动量守恒, 该质点动量是否守恒?

3.7. 当质点做匀速直线运动时, 其动量是否守恒? 角动量是否守恒?

????v?vxi?vyj?vzk3.8. 在固定的直角坐标系Oxyz中, 质量为m的质点的速度, 所受合

力为

????F?Fxi?Fyj?Fzkd(12??2mv)?F?dr. 能否将质点的动能定理

向x轴方向投

影而得出分量方程

d(12mvx)?Fxdx2? 该方程是否正确?

第三章习题

3.1. 研究自由电子在沿x轴的振荡电场中的运动. 已知电场强度

??E?E0cos?(t??)i,E0,?,?为常量. 电子电量为?e, 质量为m. 初始时, 即当

t?0时

??r0?x0i,

??v0?v0i3.2. 以很大的初速度

?v0. 忽略重力及阻力, 求电子的运动学方程.

?g质点能达到的最大高度. 已知地球半径为R, 地球表面处重力加速度为.

自地球表面竖直上抛一质点, 设地球无自转并忽略空气阻力, 求

223.3. 将质量为m的质点竖直上抛, 设空气阻力与速度平方成正比, 其大小FR?mkgv.v?v01?kv0如上抛初速度为v0, 试证该质点落回抛出点时的速率.

????3.4. 向电场强度为E、磁感应强度为B的均匀稳定电磁场中入射一电子. 已知E?B, 电

???v0子初速与E和B均垂直, 如题3.4图所示. 试求电子的运动规律. 设电子电量为?e.

22

题3.4图

3.5. 旋轮线如题3.5图所示, 可理解为一半径为a的圆轮在直线上做无滑滚动时轮缘上一

点P的轨迹, 其参数方程为x?a(??sin?), y?a(1?cos?). 在重力场中, 设y轴竖直向上, 一质点沿光滑旋轮线滑动, 试证质点运动具有等时性(绕O点运动周期与振幅无关).

题3.5图

3.6. 一小球质量为m, 系在不可伸长的轻绳之一端, 可在光滑水平桌面上滑动. 绳的另

一端穿过桌面上的小孔, 握在一个人的手中使它向下做匀速运动, 速率为a, 如题

3.6图所示. 设初始时绳是拉直的, 小球与小孔的距离为R, 其初速度在垂直绳方向上的投影为

v0

. 试求小球的运动规律及绳的张力.

题3.6图

3.7. 一质量为m的珠子串在一半径为R的铁丝做成的圆环上, 圆环水平放置. 设珠子的初始速率为v0, 珠子与圆环间动摩擦因数为?, 求珠子经过多少弧长后停止运动 (根据牛顿第二定律求解).

3.8. 质量为m的小球沿光滑的、半长轴为a、半短轴为b的椭圆弧滑下, 此椭圆弧在竖直

??FF3.9. 力1和2分别作用在长方体的顶角A和B上, 长方体的尺寸和坐标系如题3.9图所

??示. 试计算F1和F2对原点O及3个坐标轴的力矩.

平面内且短轴沿竖直方向. 设小球自长轴端点开始运动时其初速度为零. 求小球达到椭圆弧最低点时对椭圆弧的压力 (根据牛顿第二定律求解).

题3.9图

x?r0cos?tmy?r0sin?t3.10. 已知质量为0的质点做螺旋运动, 其运动学方程为, ,

z?kt,r0,?,k为常量. 试求: (1)t时刻质点对坐标原点的角动量；(2) t时刻质点对

过P(a,b,c)点, 方向余弦为(l,m,n)的轴的角动量.

3.11. 如题3.11图所示, 质量为m的小球安装在长为l的细轻杆的A端, 杆的B端与轴

O1O2垂直地固连. 小球在液体中可绕O1O2轴做定轴转动, 轴承O1和O2是光滑的.

?转动中小球所受液体阻力与角速度成正比, FR??m?,?为常量. 设初始角速度为

, 试求经多少时间后, 角速度减小为初始值的一半,以及在这段时间内小球所转圈数.(忽略杆的质量及所受阻力.)

?0

题3.11图

3.12. 质量为m的质点沿椭圆轨道运动, 其运动学方程为x?acoskt, y?bsinkt

(a,b,k为常量). 用两种方法计算质点所受合力在t?0到t??4k时间内所做的功.

3.13. 试用动能定理求解3.7题.

3.14. 有一小球质量为m, 沿如题3.14图所示的光滑的水平的对数螺旋线轨道滑动. 螺旋

线轨道方程为r?r0e?FN小球的水平约束力角,tg??a.)

?a?, a为常数. 已知当极角??0时,小球初速为

?e??v0. 求轨道对

的大小. (用角动量及动能定理求解, 图中?为

?v与方向间夹

题3.14图

?F?a21x?a22y?a23zF3.15. 已知质点所受力的3个分量为Fx?a11x?a12y?a13z,y, a(i,j?1,2,3)aFz?a31x?a32y?a33z,系数ij都是常量. 这些ij满足什么条件时与

?力F相关的势能存在? 在这些条件被满足的条件下, 计算其势能.

3.16. 一带有电荷q的质点在电偶极子的场中所受的力为

3Fr?2pqcos?r,F??pqsin?r,p为偶极距, r为质点到偶极子中心的距离.

3试证此力场为有势场.

3.17. 如题3.17图所示, 自由质点在Oxy平面内运动, 静止中心A和B均以与距离成正

比的力吸引质点M, 比例系数为k. 试证明势能存在并求出质点的势能.

题3.17图

3.18. 试用机械能守恒定律求解3.8题.

3.19. 设空气阻力与速率的n次方成正比, 求有阻力抛体运动微分方程数值解, 并描绘其

运动情况.

3.20. 求带电粒子在均匀稳定电磁场中运动微分方程数值解, 并描绘其运动情况. 3.21. 求大摆角单摆运动微分方程数值解, 并研究周期与摆角的关系.

第四章思考题

4.1. 线性振动与非线性振动有什么根本区别? 4.2. 基频与固有频率有何不同?

4.3. 用小参量级数展开方法求解非线性振动问题时, 什么情况下会出现长期项? 应如何处

理长期项?

4.4. 如何理解吸引子的概念? 你知道有哪些类型的吸引子? 4.5. 如何理解混沌运动? 如何判断混沌运动?

第四章习题

4.1. 试用微扰法求方程

????02x??x2?0x

?(0)?0. 准确到第二级的解. 设初始条件为t?0时, x(0)?A, x4.2. 做一维运动的质点的质量为m, 当x?0时受到恒力?F0的作用, 当x?0时受到恒力?F0的作用. 画出描述此运动的相图, 计算运动的周期(以m,?F0和总能量E表

示)和振幅A. 不考虑阻尼.

4.3. 在非线性动力学发展过程中有三大著名的方程起了重大作用, 除了已介绍过的

Duffing方程和Van.der.pol方程外, 还有洛伦茨(Lorenz)方程, 它是由E. N. Lorenz在研究大气对流问题中引进的, 他在对此方程进行数值计算研究中首次发现混沌现象. 经过许多简化后得到的Lorenz方程是一个三阶的无量纲的常微分方程组: ?dx?dt??10x?10y??dy?28x?y?xz??dt?dz??8z?xy ?3?dt

试用计算机数值计算方法作出它的相图(通常称为Lorenz吸引子). 4.4. 试用近似计算方法证明教材中第四章方程(4.5.1)(即范·德·波尔方程)具有精确到一

级的稳态周期解(其中取

x0?1)

?4?(3sin?t?sin3?t)x?2cos?t?并证明

???0

其周期为T?2??近于常数,与初始条件无关.

第五章思考题

5.1. 有人说“牵连运动就是动坐标系的运动”, 这种说法是否正确? 为什么?

???dtdvv5.2. 某习题要求求出. 于是有人提出疑问: “?是质点相对s?系的速度, 它的存在

呢?”你能解决他的疑虑吗?

5.3. 有一光滑水平圆盘, 在其上离中心O点距离为a处放一光滑小球, 初始时盘与小球

均静止. 当圆盘绕过O点的竖直轴做均匀转动后, 有人认为“小球并未被盘带着运动,

所以它的牵连速度与牵连加速度均为零”. 他的看法正确吗? 5.4. 一竖直圆盘沿水平直线轨道做无滑滚动, 其盘心O点的加速度为

?a0?????svvvss依赖于系. 质点相对系的速度是而不是. 为什么可以对系求?的时间变率

. 以地面为s系,

以O为原点建立平动Oxyz为s?系, 如思考题5.4图所示. 则轮边上一点P的绝对加

?????????r????(??r?)a?a0??速度为. 试问

??(1)?是绝对变率还是相对变率? (2) 等式右方三项各是什么加速度?

题8.8图

8.9. 如题8.9图所示, 质量为m1的滑块A可以沿水平轴x运动, 质量为m2的小球P被长

为l的轻杆与滑块相连, 组成的摆可在竖直平面内摆动, 试写出下面两种情况下的拉格朗日函数, 并判断存在哪些初积分.(1) 滑块在x轴上自由滑动；(2) 滑块以x?Asin?t的规律在x轴上滑动.A,?为常量.

题8.9图

8.10. 如题8.10图所示, 离心节速器由四根长度均为l的相同的轻杆和两个质量均为m1的

质点A和B, 以及可沿竖直轴滑动的质量为m2的套管C组成. 杆均用光滑铰链连接.O点是固定点. 整个系统可绕竖直轴无摩擦地滑动. 试由此系统的拉格朗日函数判断存在的初积分.

题8.10图

8.11. 如题8.11图所示, 质量为m的小环P套在半径为a的光滑圆圈上, 并可沿圆圈运动.

??如果圆圈在水平面内以等角速度绕过圈上某一点的竖直轴转动, 用拉格朗日方程求

小环相对大环的运动微分方程, 并判断存在的初积分.

题8.11图

8.12. 如题8.12图所示, 质量为m1的圆柱体s放在质量为m2的圆柱体P上做无滑动滚动,

P放置在粗糙平面上. 已知两圆柱的对称轴都是水平的, 且质心在同一竖直面内, 开

始时系统是静止的, 两圆柱连心线沿竖直方向. 若以圆柱体P的初始位置为固定坐标原点, 试证明圆柱s的质心在任意时刻的坐标为

m1??(3m2?m1)sin??x?C?C3(m2?m1)??y?Ccos? ?C

式中C为两圆柱对称轴间的距离, ?为两圆柱连心线与竖直向上的直线的夹角.

题8.12图

8.13. 如题8.13图所示, 一匀质直杆AB, 质量为m, 长为2l, 两端约束在半径为R的

光滑水平圆圈上, l?R, 圆圈被固定在水平面内. 一质量为m的甲虫以不变的相对

???u速度沿杆运动. 初始时甲虫在杆的中点, 杆的转动角速度为0. 设杆与水平固定直

?t??

线的夹角为,试用拉格朗日方法求杆在时刻的转动角速度.

题8.13图

8.14. 如题8.14图所示, 匀质细杆AB, 质量为m, 长2a,A端可在水平光滑导轨上运

?动, 杆在铅垂平面内绕A端摆动. 杆除重力作用外,B端还受到水平力F的作用.试用

拉格朗日方法求出摆角很小时杆的运动微分方程.

题8.14图

8.15. 如题8.15图所示, 水平放置的行星齿轮, 曲柄OA带动齿轮S2在固定齿轮S1上滚

动. 已知曲柄的质量为m1, S2的质量为m2, 半径为r, 齿轮S1的半径为R. 今在的转动角速度.

?M曲柄上作用一个不变的力矩, 并把齿轮视为匀质圆盘, 试用拉格朗日方程求出曲柄

题8.15图

8.16. 如题8.16图所示, 质量为m的质点P1固定在长为l的轻杆的一端, 轻杆的另一端铰

接在固定点O上；长为l的另一轻杆的上端与质点P1铰接, 另一端与质量也为m的质点P2连接. 各铰链光滑. 以两杆分别与竖直向下方向所夹的角度?1, ?2作为广义坐标, 求此系统的微振动运动方程及简正频率,并讨论其简正模式.

题8.16图

8.17. 如题8.17图所示, 耦合摆由两个相同的摆和一个水平弹簧组成. 两摆均在同一竖直

平面内摆动. 弹簧原长a等于摆的两悬挂点之距离. 已知摆锤质量为m, 杆的长度为

l, 忽略杆的质量. 弹簧两端与摆锤相连, 弹簧的劲度系数为k. 试求该系统的简正

频率及简正模式.

题8.17图

8.18. 如题8.18图所示, 3个质量相等的珠子只能沿水平圆轨道运动, 圆的半径为R, 珠

子由3个无质量的, 自然长度为2?R3的弹簧相联, 弹簧的劲度系数为k. (1) 试求系统的简正频率；

(2) 假设初始时3质点静止, 质点2和3在它们自己的平衡位置, 而质点1偏离了

?R6的距离, 求质点1,2,3的运动.

(3) 用计算机符号计算, 算出力学系统的简正频率和本征矢量.

题8.18图

第九章思考题

s9.1. 在拉格朗日表述和哈密顿表述中, H均为??1, 在这两种表述中, H有

何不同?将它们加以区分的意义何在?

9.2. 哈密顿函数在什么情况下为常量? 在什么情况下为机械能? 9.3. 何谓泊松括号和泊松定理? 泊松定理有何功用?

????Lp?q第九章习题

9.1. 一质量为m的质点, 在半径为R的光滑固定球面上运动, 试建立此质点的正则方程,

并判断存在的守恒量. 9.2. 试建立复摆的正则方程.

9.3. 如题9.3图所示, 质量分别为m1, m2的小球同串在一根光滑的水平杆上, 两球用劲

度系数为k的弹簧连接, 弹簧原长为l. (1)试从哈密顿函数判断是否存在广义能量积分和广义动量积分, 并写出表达式；(2) 应用正则方程, 写出两小球的运动微分方程.

题9.3图

9.4. 如题9.4图所示, 一质点用两弹簧连接, 在一直线上运动.已知质点的质量为,弹簧的

劲度系数为k, 原长均为固定点间距离的一半, 弹簧质量不计. 试写出系统的哈密顿函数,并用正则方程, 求出质点的运动学方程.

??pL9.5. 试求由质点系的动量和角动量在直角坐标系中各个分量所组成的泊松括号.

题9.4图

9.6. 求证:

?(1) ?t??,???????????,???t????,?t?????

(2) ??,??,??????,??,??????,??,?

???0

第十章思考题

??F?F(r)rr是保守力场. 10.1. 试从数学上证明有心力场

10.2. 可以试一试, 若用二维直角坐标建立行星的运动方程是否便于求解.

10.3. 教材中第十章方程(10.2.1)式及其解在适当改变后能否适用于平方反比斥力情况? 10.4. 研究人造地球卫星的运动是采用什么参考系? 三个宇宙速度是相对什么参考系而言

的? 10.5. 我国发射的第一颗人造地球卫星的轨道平面和地球赤道平面的交角为68.5, 比苏

联和美国第一次发射的都要大. 为什么说交角越大, 发射的难度越大? 交角大的优点是什么? 10.6. 已知太阳的质量为m?1.99?1030?kg, 设想太阳在不断收缩, 密度不断增大. 试证

8当半径缩小为3km时, 太阳的逃逸速度将等于光速c?2.998?10ms. 此时, 太阳的引力将强到使一切物质都不能从太阳逃逸出来. 这种高密度的恒星被称为黑洞. 10.7. 将?粒子换为带负电的粒子,它的散射轨道应是怎样的?

10.8. 试证二体散射问题中相对质心系的散射角等于相对靶粒子参考系的散射角.

10.9. 试从非惯性系中动力学方程出发, 推导出教材中第十章二体相对运动方程(10.5.9)

式.

??mmv10.10. 在两体问题中, 若r表示质点1相对质点2的位矢, 表示质点m1相对质点m2的相对速度, 试证:

??r?uv(1)两体相对质心的角动量为；

(2)两体相对质心的动能为$(12)uv.

2第十章习题

10.1. 某天体沿偏心率为e的椭圆轨道运动, 如

试证

vpva?vp和va为质点在近日点和远日点处的速率,

1?e1?e

310.2. 如题10.2图所示, 质量为m的质点在有心斥力场mcr中运动, 式中r为质点到力

心O的距离, c为常数. 当质点离O点很远时, 质点的速度为v?, 而其轨道渐近线与O的垂直距离为?. 试求质点与O点的最近距离a.

题10.2图

10.3. 如题10.3图所示,一彗星离太阳的最近距离是地球圆轨道半径的12, 而彗星在该点

的速度为地球轨道速度的2倍, 试求彗星与地球轨道相交时的速度和交角, 及判断其轨道类型.

题10.3图

10.4. 在距月球中心为5倍月球半径处, 以速度

相切着陆. 试求发射角?.

v0

发射一探测器, 欲使探测器与月球表面

210.5. 氢原子中,带正电的核和带负电的电子之间的吸引力为F??ker, 设核固定不

2动,原来在半径为R1的圆周上绕核运动的电子, 突然跳入较小的半径R2的圆轨道上运动, 试求在这过程中原子总能量减少多少.

10.6. 一质量为m的质点在有心力场中运动, 已知它的掠面速度为h2, 某时刻从力心到

质点所在处轨道的切线的垂直距离为p. 试证此有心力的大小

F?2mh222dp?2

10.7. 如质点受有心力作用做双钮线r?acos2?运动时, 试证质点所受力为

drr.

10.8. 质点在有心力作用下运动,此力的大小为质点到力心距离r的函数, 而质点的速率则

22与此距离成反比, 即v?ar, 如果a?h(h为掠面速度的2倍), 求质点的轨道方

F??3mah742程. 设当r?r0时,??0.

10.9. 质量为m的质点受到一静止中心的吸引力F??2mr作用, 其中r是质点到引力

?中心的距离. 初始时,r0?1,?0?0, v0?2, 且初速方向与径向成45角, 试求质点的轨道.

10.10. 根据汤川(Yukawa)的核力理论, 中子与质子之间的引力具有如下形式的势能

3V(r)?ke?? rr,k?0,??0.

?a(2)求在半径为的圆运动中质点的角动量L和能量E, 设质点的质量为m；

(3)求圆运动的周期、稳定的条件及径向微振动的周期. 10.11. 1970年4月24日,我国成功地发射了第一颗人造地球卫星, 它的近地点离地面的距

试求:

(1)中子与质子间的引力表达式, 并与平方反比力相比较；

离为439km,远地点离地面为2 384km, 试求此卫星在近地点和远地点的速率v1和v2, 以及它绕地运行的周期.

?2?310.12. 一质点在有心力场F(r)??kr?Cr中运动,

(1) 试证它的轨道方程可以写成如下形式: r?p(1?ecos??), 当??1时, 轨道是椭圆； 当??1时, 轨道是一个进动的椭圆.

(2) 试求出后一个近日点比前一个近日点进动了多少角度.

10.13. 一质量为m的人造地球卫星在离地心距离为R的圆轨道上运行, 由于受稀薄气体

的粘性阻力FR?Av的作用(v为卫星的速率, A,?为常数), 卫星与地心距离r的变化率为drdt??c, c是一足够小的正的常数, 使得卫星运行一周损失的能量与总能量相比是小量. 设地球质量为mE, 试求A和?的表示式.

10.14. 设质量为m的质点受重力作用, 约束在半顶角为?的光滑圆锥面上运动. 试研究

质点在锥面上做水平圆运动的稳定性.

10.15. 两质点在引力作用下相互绕转, 做周期为?的圆运动, 假设在某一时刻运动突然停止, 两质点开始在引力作用下相互靠近, 试证经过时间?42后发生碰撞.

10.16. 历史上有人对火星的两个卫星是否由火星上的人发射的问题进行了有兴趣的探索,

其中有些科学家算出卫星的质量小, 但体积大, 因而认为内部是空的, 由此认为是人发射的.设火星绕太阳的运动和卫星绕火星的运动都是两体问题.太阳质量已知, 通过哪些量的测量可以计算出卫星的质量?

10.17. 以速率v1运动的质量为m1的粒子与另一质量为m2的静止粒子相碰时, 试证动能

中能够转化为热能部分的最大值正好等于碰撞前在质心坐标系中观察到的总动能.

?第十一章思考题

11.1. 为什么说刚体定点运动是刚体动力学中最核心、最困难的问题?

11.2. 刚体绕某轴以匀角速转动,问刚体对轴上不同点的角动量是否相同?对不同点的角动

量在此轴上的投影是否相同?

11.3. 已知某轴是刚体中某点O的惯量主轴, 此轴是否为轴上其他点的惯量主轴? 11.4. 试证质心的惯量主轴是轴上各点的惯量主轴.

11.5. 欧拉动力学方程采用的是动坐标系, 为什么方程中没有惯性力?

11.6. 刚体动量定理能提供3个独立方程, 能否用此定理确定刚体绕定点转动的规律? 11.7. 试用欧拉动力学方程建立对称重陀螺的运动方程, 并导出3个第一积分. 11.8. 有人说“由于重力通过重陀螺的对称轴, 它对此轴的力矩为零,所以,陀螺对此轴的角

动量守恒”, 这样分析对吗?

第十一章习题

11.1. 试求均匀立方体绕其对角线转动时的转动惯量.设立方体的边长为a, 质量为m. 11.2. 一个质量为m, 半径为R, 高为h的均匀圆柱体, 它绕过其质心、偏离其对称轴角

度为?的定轴以角速度?转动, 如题11.2图所示. 试求圆柱体的动能.

题11.2图

11.3. 若刚体对某点的主转动惯量

Ix?Iy?Iz??体绕该点转动时L,?,z,轴三者必在同一平面, 并讨论哪个量在中间.

, 意即其惯量椭球为旋转椭球, 证明此刚

11.4. 已知一刚体质心的惯量张量在某坐标系中可表示为

?150 0 －100???2I??0 250 0（?kg.m）?－100 0 300???

??10rads?y??z?0刚体绕质心做定点转动, 以恒角速转动, 即x,. 求施加在物体上的总外力矩在该坐标系上的投影.

11.5. 一回转仪

I1?I2?2I3, 依惯性绕质心转动, 并做规则进动. 已知此回转仪的自转

?角速度为?1, 并知其自转轴与进动轴间的夹角为??60, 求进动角速度的大小. 11.6. 如题11.6图所示, 一对称的重陀螺绕铅垂轴Oz1近似做规则进动, 它绕Oz轴的自

转角速度?远较其进动角速度大, 已知陀螺的质量为m, 由O点到陀螺重心之距离为

, 对z轴的转动惯量为C,z与z1轴间的夹角为?. 试求: (1) 陀螺进动角速度；

(2) 定点O处的水平反作用力之近似值.

zC

题11.6图

11.7. 回转仪(题11.7图)在导航系统中有许多应用, 例如可以用来测量速度. 设一回转仪

以角速度?s高速自转, 用万向轴承P固连于运载工具上. 运载工具沿垂直于回转仪自转轴方向以加速度a(可以是变化的)做加速运动, 回转仪将以加速度为轴进动. 设系统从静止开始加速,并测得总进动角?, 试证运载工具最终速度可表示为

v?Is?smL

?

其中Is?s为回转仪的自转角动量, m为被支承部分的总质量,L为支承部分质心到轴承的距离.(此题不考虑重力作用)

题11.7图

11.8. 如题11.8图所示,在长为l的轴的一端装上质量为m的轮子, 轴的另一端吊在长为

L的绳子上, 使轮子转动起来,并且轮子在水平面上均匀进动. 已知轮子的自转角速度为?,对过质心的对称轴的转动惯量为I. 求绳子与铅垂线的夹角?. 假设绳子和

轴的质量可忽略, 且?角很小,sin???.

题11.8图

11.9. 如题11.9图所示, 一质量为m、半径为R的细圆环被一根细绳悬挂起来, 绳的一端

固定在环上, 一端固定在高速转动的支柱上, 角速度为?, 带动环也转动起来, 使环面近于水平, 环的中心在转轴附近,绳与垂线成?角. (1) 近似找出环面与水平面的小夹角?；

(2) 近似找出环的中心绕轴运动形成的圆的半径.

题11.9图

11.10. 当汽车在水平面内沿一曲线高速公路行驶时, 当其内侧轮子的负重变为零时, 将发

生翻车. 为了避免事故, 可在车上安装一个自旋着的大飞轮, 应该在什么方向上安装? 又应当使飞轮沿什么方向转动? 并证明对于质量为m, 半径为R的均匀圆盘形飞轮,为使两车轮的负重相等,要求飞轮的角速度?和汽车的速率v之间满足如下关系

??2vm0LmR2,

其中m0是汽车和飞轮的总质量,L是汽车和飞轮的质心离地面的高度, 并设质心到内、外两侧车轮的水平距离相等.

11.11. 假定自行车及骑车人的质心高于地面2l, 总质量为

2m0. 每一个车轮的质量为m,

半径为l, 对过质心的垂直轴的转动惯量为ml. 自行车以速度v在半径为R的圆形路径上行驶. 试证明自行车倾斜的角度由下式给出,

tan??v2.

11.12. 一质量为m半径为a的匀质圆盘在一平面上沿圆轨道滚动, 盘面与平面保持一定

倾角?, 其质心的速率v为常数. 试求此圆的半径. 11.13. 如题11.13图所示, 半径为a质量为2m的轮子以不变的角速度?1绕水平轴AB转

动, 而轴AB又以不变角速度?2绕铅垂轴CD转动, 此轴通过轮的中心, 转动方向如图所示, 假定轮的质量均匀分布在轮的边缘上, 且AO?BO?h. (1) 试求此轮相对O点的角动量, 并用图表示其变化情况； (2) 试用角动量定理和动量定理求轴承A与B所受的压力.

Rg(1?mm0)

题11.13图

11.14. 试用微扰法求解教材中第十一章例题4. 即从方程(11.4.5)式出发, 利用线性化方

法求出每一扰动量满足的微分方程, 研究它们的解, 确定其稳定性.

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