相似矩阵的判定及其应用

相似矩阵的判定及其应用

摘要： 相似矩阵是高等代数中重要的知识点，在本文中，我们先给出了判定两个矩阵相似

的三种方法，然后我们知道矩阵相似于对角矩阵是高等代数中一个重要而基本的问题,我们给出怎样判断矩阵A是否可对角化，然而我们知道一个矩阵未必相似于对角矩阵，但是在复数域上任何一个矩阵都与一个若而当形矩阵相似，因此我们给出了矩阵的相似标准形及其应用；最后，我们给出了矩阵相似在实际生活中（尤其是考研中）的应用.

关键字： 相似矩阵，对角矩阵，若尔当标准形

1.相似矩阵及其判定

这一节我们在系统归纳相似矩阵的一些相关概念和性质的基础上，着重介绍相似矩阵的几种判定方法。并通过一些具体的例子加以说明。下面我们首先介绍相关的概念和性质。

定义1 设A，B为数域P上两个n级矩阵，如果可以找到数域P上的n级可逆矩阵X，使得B=X?1AX，就说A相似于B，记A~B

过渡矩阵 矩阵等价 特征矩阵 行列式因子 不变因子 初等因子

相似是矩阵之间的一种关系，这种关系具有三个性质： ⑴反身性: A~A

⑵对称性：如果A~B，那么B~A

⑶传递性：如果A~B，B~C，那么A~C

在此基础上，

定理1.1 线性变换在不同基下所对应的矩阵相似。 我们从下面的例1来看这个定理的应用。 例1

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?a11a12a13??a33a32a31??，B??a?是数域P上的矩阵，证明A，B相似.设A=?aaaaa212223232221???????a31a32a33???a13a12a11??证明：设数域P上的三维线性空间V的一个线性变换?在V中的一组基?1，?2，?3下的矩阵为A， （??1，??2，??3）=（?1，?2，?3）A???1?a11?1?a21?2?a31?3?即：???2?a12?1?a22?2?a32?3????a??a??a?131232333?3???3?a33?3?a23?2?a13?1?于是???2?a32?3?a22?2?a12?1????a??a??a?313212111?1?在基?3，?2,?1下的矩阵?a33a32a31??,A,B为同一线性变换?在两组不同的基下的矩阵，B??aaa232221????a13a12a11??由定理1可得：同一线性变换在两组不同的基下的矩阵相似，可得A,B相似.

例2 设P的线性变换?将基?1=（-1，0，-2），?2=（0，1，2）?3=（1，2，5）变成?（?1）=（2，0，-1），?（?2）=（0，0，1），?（?3）=（0，1，2）求?在基?1，?2，?3下的矩阵，其中?1=（-1，1，0），?2=（1，0，1），?3=（0，1，2）. 解题步骤：（1）先求出?在基?1，?2，?3下的矩阵A；

（2）求出由基?1，?2，?3到?1，?2，?3的过渡矩阵P； （3）求出?在基?1，?2，?3下的矩阵B=PAP.

解：我们从平常的解题中知道，我们通常取标准基?1=（1，0，0），?2=（0，1，0），?3=（0，0，1）

?13

?200???101?????为中介，若令M?001 ， N= 012， T????????225????112??则?（?1，?2，?3）=（?1，?2，?3）M （?1，?2，?3）=（?1，?2，?3）N

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??110???=101 ????012?? （?1，?2，?3）=（?1，?2，?3）T，

故?在基?1，?2，?3下的矩阵A?NM，并且由基?1，?2，?3到基?1，?2，?3的过渡矩阵P?NT，从而?在基?1，?2，?3下的矩阵

?1?1?22?1??

B?P?1AP?T?1NN?1MN?1T??42?1?????2?11??定理1.2 设A，Ｂ为数域P上两个n?n矩阵，它们的特征矩阵?E?A和?E?B等

价则可得A与Ｂ相似.

想保留证明过程，可以把它作为用定义1来判定矩阵相似的例子。

证明： ?E?A和?E?B等价就是有可逆的?—矩阵U(?)和V(?)，使 ?E?A=U(?)（?E?B）V(?). （1） 则存在?—矩阵Q(?)和R(?)以及数字矩阵U0和V0使

U(?)=（?E?A）Q(?)+U0 （2）

V(?)=（?E?A）R(?)+V0 （3）

成立，把（1）改写成U(?)（?E?A）=（?E?B）V(?)， 式中的V(?)用（3）代入，再移项，得

{U(?)?1?（?E?B）R(?)}（?E?A）=（?E?B）V0 右端次数等于1或V0=O，因此U(?)?1?（?E?B）R(?)是一个数字矩阵（后一情形下是零矩阵），记作T，即 T=U(?)?1?1?（?E?B）R(?)

T（?E?A）=（?E?B）V0 （4） 现在我们来证明T是可逆的.（4）的第一式可得 E=U(?)T+U(?)（?E?B）R(?) =U(?)T+（?E?A）V(?) =U0?1R(?)

T +（?E?A）{Q(?)T+V(?)?1R(?)}

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等式右端的第二项必须为零，否则它的次数至少为1，由于 E和U0不可能成立.此

E?U0T

这就是说，T是可逆的.由（4）的第二式可得 ?E?A=T（?E?B）V0 因为T（?E?B）V0=?T?1?1?1T都是数字矩阵，等式

V0?T?1BV0

?1 T?1V0=E TBV0=A则可得A和B相似.

定理1.3 矩阵A和B相似?①A和B有相同的各级行列式因子；

②A和B有相同的不变因子； ③A和B有相同的初等因子

一般我们用定理1.3比用定理1.2多，我们从两个例子看： 例2 判断矩阵

??1?26??320?? ， C???2?10?是否相似？

A???103????????1?14????1?11??解： 对A，C的特征矩阵?E?A，?E?C分别作初等变换可得：

00????12?6??1???0??1?

??30 ?E?A=1?????2??1??4?0(??1)??1??0?0?00????3?2?1??0??1?

?E?C=?2??100?????2??1??1?0(??1)??1??0?2故A，C有相同的初等因子??1，(??1)，所以A，C相似.

例3 A是数领P上一个n×n矩阵，证明A与A相似. 证明：

'?a11?a21设A??????an1a12a22?an2?a1n??a11?a?a2n?'?则A=?12???????ann??a1na21a22?a2n?an1??an2??因为?E?A?(?E?A)'，即矩

????ann?''阵A与A的特征矩阵互为转置矩阵，因而对应的K级子式相等，所以?E?A与(?E?A)有

相同的各级行列式因子，则A与A相似.

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''也可以证明?E?A与(?E?A)'等价来说明A与A相似。这个例子可以作为定理1.2的应

用。

3.相似矩阵与矩阵对角化

矩阵相似与矩阵对角化之间的关系，矩阵对角化的好处是？ 特征值和特征向量的概念：

定义2：设A是n阶方阵，如果存在数?和非零列向量x，满足关系式Ax??x，则数?称为A的 特征值，非零列向量x称为A的 对应?的特征向量.

易证：?0是A的特征值，则?E?A?0 定义3(特征值与特征多项式)：称f(?)?它是??E?A为n阶方阵A的特征多项式，

的n次多项式.

这样A的特征多项式的根为A的特征值.

若n阶方阵A可与对角矩阵相似，则称A是可对角化的，简称A可对角化. 设n阶矩阵A相似与对角矩阵B，相似变换为P：PAP?B， AP?PB

记P的列向量为Pi，B的对角元素为?i，i=1，2，???n，则上式为

?1??1??? （1）

? A(p1,???,pn)?(p1,???,pn)????n???比较上式两端各列，得Api??ipi i=1，2，???n，这就是说?i为A的特征值，pi为A的对应于?i的特征向量.因为P可逆，其列向量向量线性无关，所以可以得到结论：可以相似于对角矩阵的n阶矩阵有n个线性无关. 反之，n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量，设为

p1,???,pn，对应的特征值分别为

?1，?2，????n，即Api??ipi i=1，2，???n. 矩阵P以Pi为列向量，B以?i为对角线构

成的对角矩阵，则A，pi，?i满足（1） ，则AP?PB，因为Pi线性无关，所以P可逆，这样可得PAP?B.所以又可得到结论：若n阶矩阵有n个线性无关，则相似与对角矩阵.

由以上的讨论可得到如下的定理：

定理2.1 n阶矩阵相似于对角矩阵充分必要条件是此矩阵有n个线性无关的特征向量.

推论1 若一个矩阵的特征值互不相同，则此矩阵相似于对角矩阵. 证明：n阶矩阵必有n个特征值，若它们互不相同，则它们对应的特征向量也线性无关，即此矩阵有n个线性无关的特征向量.，由定理2.1可得此矩阵相似于对角矩阵.证毕.

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?1

注：若矩阵A与一对角矩阵相似，A的特征值未必互相相同.

??4?100???，我们判断其是否可对角化，若可对角化其特征值

30例1 对于阵A=1???61??3?是否互不相同.

??4解：特征多项式

1000=(??1)2(??2)的特征值1，1，-2

??1?E?A=?1?3??3?6??2??0?????对于其中?=1，解方程（E-A）x=0，得到基础解系?1??1? ，?2??0?

?0??1???????5???对于其中?=-2，解方程（-2E-A）x=0，得到基础解系?3???1?

??3???故可得A有三个线性无关的特征向量?1，?2，?3，由定理2.1可知

A与对角矩阵相似，但A有两个相同的特征值1，其特征值并非互不相同.

设n阶矩阵A有h个不同的特征值?1，?2，???，?h，它们的代数重数和几何重数分别为mi，ki，i=1，2，???h，A的特征多项式为

?E?A=(???1)m???(???h)m，

1h显然有m1?m2?mh?n.A有h个特征子空间，各个子空间的维数分别为k1,???,kh，把各个子空间的基向量合在一起，得到一个k1?????kh个向量的向量组，称为A的特征向量系.A的每一个特征向量都可由A的特征向量系表示出来.

用证明“不同特征值所对应的特征向量线性无关”的方法，对特征子空间的个数运用数学归纳法，可证明：不同特征值的特征子空间的基，合在一起所得的向量组是线性无关的.因此，A的特征向量系是线性无关的，而且是A的所有特征向量构成的集合中最大线性无关组.这样，A最多有k1?????kh个线性无关的特征向量.由于特征值的 几何重数不大于代数重数，故k1?????kh?im1?m2?mh?n，而且，只要有一个特征值的几何重数严格地小于代数重数，就有k1?????kh〈n，结合定理2.1，可得如下结论：

定理2.2 矩阵相似于对角矩阵的充分必要条件是其每一个特征值的几何重数都等于代数重数.

由于矩阵特征值的代数重数和几何重数都至少为1，因此在运用定理2.2来判别一个矩

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阵是否相似于对角矩阵时，只要检查代数重数大于1的特征值 的几何重数即可. 用相似变换化对角矩阵的求法： 设A???aij??是一个n阶矩阵，

1) 计算A的特征多项式f2) 求出f???=?E?A.

???的全部的根，这就是A的全部的特征值（在求时要注意给定的数域）.

3) 对于每个特征值?0，求出齐次线性方程组的

?(?0?a11)x1?a12x2?????a1nx1n?0??ax?(??a)x?????ax?0?21101221n1n ????????????????????????????????????????????an1x1?an2?????(?0?ann)xn?0

的一个基础解系，设其为?1，?2，??? ，?s，那么k1?1+k2?2+ks?s（k1，k2，ks 是指定数域中任意s个不全为零的数）就是A的属于特征值?0的全部特征向量.这样我们求出了属于每个特征值的全部线性无关的特征向量.

4）若A有n个线性无关的特征向量p1,p2,?pn它们对应特征值分别为?1,?2,??n 设P=（p1,p2,?pn），则

??1????2?1? PAP=B????????n??这类问题关键在去特征值和特征向量，在此基础上写出相似变换矩阵P及对角矩阵B，它

们分别由A的线性无关的特征向量和对应特征值构成.

例2 下列矩阵是否相似于对角矩阵：

?200??1?1???（1）A=? ； （2）A=05?2 ????3?3???06?2??解：（1）

?E?A=

??1?301??(??2),?1?0,?2??2. A的特征值互不相同，??302?(??1)(??2)2， ??2第 7 页 共 14 页

故相似于对角矩阵.

??2 （2）

?E?A=00??5?6?1=1，?2??3?2.

对于?1=1方程组(E?A)x?0的基础解系为{(0,1,2)T}；

对于?2??3?2，方程组(2E?A)x?0的基础解系为{(0,2,3)T,(1,0,0)T}.3阶矩阵A有3个线性无关的特征向量，故相似于对角矩阵.

例3 设A为n阶方阵，??2,4,?,2n是A的n个特征值，试求行列式A?3E的值. 解：由题设知A由n个互异的特征值，所以A可与对角矩阵相似，即存在可逆矩阵P,

?2??4??1???由此可得：A =P?1?P，从而： 使得PAP??????n?2??A?3E=

P?P?1?3E?P?P?1?3PP?1?P(??3E)P?1?P??3EP?1?11???3E?3?2n?33．相似矩阵与矩阵的标准形

相似矩阵与矩阵标准型之间的关系？标准型的好处是？

定理3.1每个n级复数矩阵A都与一个若而当形矩阵相似，这个若而当形矩阵除去其

中若而当块的排列次序外是被矩阵A唯一决定的，它称为A的若而当标准形. 证明：设n级矩阵A的的初等因子是

(???1)1,(???2)2,?(???s)s,

（其中?1,?2,??s可能有相同的，指数k1,k2,?ks也可能有相同的）.每一个初等因子

kkk??1?1?3?(2n?3)

(???i)ks对应于一个若而当块

??i?1?Ji??0?????00??i?00??1?00?(i?1,2,?,s)

?????0?1?i??0?0第 8 页 共 14 页

?J1???J2?. 这些若而当块构成一若而当形矩阵J??????Js??根据以上的计算，J的初等因子也是（1）.因为J与A有相同的初等因子，所以它们相似.

如果另一若而当形矩阵J与A相似，那么J与A就有相同的初等因子，因此J与J除了其中若而当块排列的次序外是相同的，由此即得唯一性.

这个定理告诉了我们，如何将一个n?n矩阵A化成与A相似的Jordan标准形， 其步骤是：

（1）写出A的特征矩阵?I?A； （2）求出?I?A的全部的初等因子；

（3）写出每个初等因子对应的Jordan块； （4）写出Jordan标准形.

例1 求出A的Jordan标准形J.

'''??110??

A???430????102??0????1?1?4?

??30解：1）A(?)??I?A????0??2???1??1(??1)(??2)??0? r1?(??1)r3,r2?4r30??34(??2)??（2）A(?)??????????0??2??1?0?10???

0 A(?)?01??2??00(??2)(??1)??A(?)的初等因子是??2，(??1)2

（3）??2对应的Jordan块是J1?(2)

?11?(??1)对应的Jordan块是J2???

01??2?200???（4）J?011 ????001??例2 令A是复数域上一个n级方阵，

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（1） 证明：A相似于一个下三角形矩阵

（2） 令f(?)是A的特征多项式，证明：f(A)?0.

3.1得，每个n级复数矩阵A都于一个若而当形矩阵相似， （1）证明：由定理?J1?设A的若而当标准形为J???????k?1其中Jk?????J2??? ???JS????? ，(k?1,2,?s) ????1?k??1由于Jk是下三角形矩阵则J为下三角形矩阵.则T（3） 设f(?)为A的特征多项式，

AT?J

且f(?)=?E?A?(???1)1(???2)2?(???s)s(其中?1,?2,??s互异)

kkkf(A)=(A??E1)k1(A??2E)k2?(A??sE)ks

由(1)可得A?TAT?1

A??iE?T(J??iE)T?1

(A??iE)ki?T(J??iE)T?1?(J??iE)ki???T??????(J??iE)ki?(J??iE)ki????T? ?????(J??iE)ki???=T?????????0*???????0????????T?1 ?????ks(J??iE)??T?1f(A)T?[T?1(A??1E)k1T][T?1(A??2E)k2T]?[T?1(A??sE)ksT]

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=

???0*???(J1??sE)ks?????????????0????????????(J2??1E)k1?????????????(J)kS??1Es???????

???0*?????????????0?????(Jk?2??1E)1???????(JE)ks?S??1???(J1??sE)ks???(J?2??1E)k1??????????0

??0*????????????0?????f(A)?0

推论1 n?n方阵可对角化的充分条件是矩阵A的特征矩阵?I?A的初等因子的都是

一次的.

我们知道了对于矩阵A，要将其化为对角矩阵，我们要求存在可逆P，使得

P?1AP为对角形，进一步可将过渡矩阵P加强为酉矩阵.

我们看下面的定理：

定理3.2 （舒尔（Schur））设A为n阶矩阵，其特征值为?1，?2，???，?n，则存在酉矩阵U，使得UHAU?T，其中T为上三角矩阵，其对角元素为?1，?2，???，?n. 证明：设en

1,为A的对应于?1的单位特征向量，把它扩充为C的一组标准正交基e1,g2,?,gn，并用他们构成酉矩阵U1=(e1,g2,?,gn)，于是有

UHAU???1B1?11??0A? 1?第 11 页 共 14 页

????????????????由于相似矩阵同的特征值，因此可以推得n-1阶矩阵A1的特征值为?2，???，?n. 对A1可作同样的处理，即有n-1阶酉矩阵V2，使得，

??2V2AV12???0HB2? ?A2??10??，U2社会n阶酉矩阵，则 0V?2?其中n-2阶矩阵A2的特征值为?3，???，?n，令U2??BV??12?U2HU1AU1U2?U2H?1U2?H?0V2AV12??10???1B1??10??????H???0V2??0A1??0V2?

BV??12???1?H0VAV?212??T??2?0C2?A2?? 其中T2是对角元素为?1，?2上的三角矩阵，假设对于正整数k（(k?n)），可以找到k个酉矩阵U1，?Uk，使得

UkH?U1HA?Uk???Tk?oCk?， ?Ak?其中Tk是对角元素为?1,?,?k的上三角阵，Ak为n?k阶矩阵，其特征值为?k?1,?,?n，如果n?k?1，可按照前面的做法，找到n?k阶酉矩阵Vk?1，使得

??Vk?1HAkVk?1??k?1?0Bk?1? ?Ak?1?其中n?k?1阶矩阵Ak?1阶矩阵的特征值为?k?1,?,?n.令n阶酉矩阵

UH?Ek?10?AUk?1???

0Vk?1???Tk?1Ck?1? ??oAk?1?则Uk?1H?U1HAU1?Uk?1??其中Tk?1是对角元素为?1,??k?1的上三角矩阵.这个过程可继续进行下去，知道找

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到Un，使UnH?U1HAU1?Un?Tn，其中Tn为对角元素为?1,?,?n的上三角矩阵，由于

U1?Un也是酉矩阵，把它记为U，再把Tn记为T，即得UHAU?T.证毕.

4．相似矩阵的实际应用

例4.1 某公司对职工进行分批脱产培训，现有在岗职工8000人，脱产培训2000人，计划每年从在岗职工中抽调30%的人参加脱产培训，而在培训人员中让60%的人结业回到工作岗位上，设n年后在岗职工于脱产培训人数分别为xn,yn，记为向量?变.

?xn??，若职工总人数不?yn??xn?1??xn??xn?1??xn?（1） 求??与??的关系式，并写成矩阵形式??=A??；

yyy?n?1??n??n?1??yn?（2） 求??xn??，且当n充分大时，求在岗职工人数与脱产培训人数之比. ?yn?解 （1）xn?1?0.7xn?0.6yn,yn?1?0.3xn?0.4yn;

?xn?1??0.70.6??xn??xn?得??=???y?=A?y?. （*）

y0.30.4??n??n?1???n?（2）由（*）式可得??xn??xn?A=?n??，其中x0?8000,y0?2000， y?n??yn??xn?n为计算??，先求A.

?yn?由

?E?A???0.7?0.3?0.6?(??0.1)(??1)，

??0.4T对于?1=0.1，解（0.1E-A）x=0，得基础解系(1,?1).

?12?对于?2?1,解(E?A)x?0，得基础解系(2,?1)，令P=??，则

?11??T?0.10?1?1?2??1，P?1??PAP????.

3?11??01??10?n?0.10??1n?A?P??P?P?01???0n0??11?12??10?n?P????1?3??11??00??1?2???? 1??11?第 13 页 共 14 页

?nx?xn?1?(2?10)x0n?0? ???A?????n?yn??y0?3?(1?10)x02(1?10?n)y0?? ?n(1?2?10)y0?当n充分大时，xn:yn?21(x0?y0):(x0?y0)?2:1. 33例4.2 某公司对所生产的产品通过市场营销调查得到的统计资料表明，已经使用本公司的

产品客户中有60%表示仍回继续购买该公司产品，在尚未使用该产品的被调查者中，25%的客户表示将购买该产品，目前该产品在市场的占有率为 60%，能否预测n年后该产品市场占有状况？

解： 设第i年购买该公司产品的客户为xi，不购买该公司产品的客户为yi，则有

xi?1?0.6xi?0.25yi，写成矩阵的形式

?xi?1??0.60.25??xi??x0??0.6??xi??0.60.25?其中，令， ?，?U， P=??????????i=?????0.40.75??yi?1??0.40.75??yi??y0??0.4??yi?则有U1?PU0，由 U2?P2U0，?，Un?PnU0，?E-P?(??1)(??0.35)，得P的特征值?1?1，?2?0.35。分别解

（?iE-P）x=0,i=1,2,得到相应的特征向量为

?51?1?11??1?1??5,8?,?2?(1,?1),令T???，则T???，

8?18?513????TT于是TPT???10?0??1?1?1n，则P?T???T，

?00.35??00.35?Un?0??11??0.6??0.385?1?51??1n?5，当时，计算U?5??????????.

0.64113?8?1??00.35n??8?5??0.4???这说明该产品市场占有率将由0.6下降到0.385，因此该公司应根据这份预测报告分析原因，

采取措施，才能保持并提高是市产场占有率.

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/1hw7.html