10-11高等数学(A2)期末试题(A)

号 学线 名 姓订 级 班 装 业 专 院 学 浙江海洋学院 2010 - 2011学年第 二 学期

《高等数学A2》课程期末考试卷A

（适用班级 A10土木，船舶，建环，机械，储运，电信，电气，食工，食安，物理，计算机，安工，化工，海渔，港航，航海，轮机，海科，生技，环工，生科，环科）q 考试时间： 120 分钟 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 一、单项选择题（每小题3分，共计18分）

1．函数z?f(x,y)在点(x0,y0)处连续是它在该点偏导数存在的（ ） A．必要非充分条件 B．充分非必要条件 C．充分必要条件 D．无关条件 2．已知|a|?2，|b|?2，且a?b?2，则|a?b|=（ ） A．2 B．22 C．

22 D．1 3．设f(x,y)是连续函数，则?ax0dx?0f(x,y）dy?（ ）

A．?ady?yf(x,y）dx B．?ady?a000yf(x,y）dx

C．?ady?yf(x,y）dx D．?aa0a0dx?xf(x,y）dy

4. 设曲线积分?L?x4?4xyp?dx??6xp?1y2?5y4?dy与路径无关，则p=（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

5. 函数y?Cx?x36（其中C是任意常数）对微分方程d2ydx2?x而言，（ ）

A．是通解 B．是特解 C．是解，但既非通解也非特解 D．不是解

6．设f?x?????1,???x?01?x,0?x??，则该函数以2?为周期的傅里叶级数在点x??处?2收敛于（ ）

A．1??2 B．1??22?22 C．? D．2

二、填空题（每小题3分，共计18分） 1. 设z?exy，则dz? ．

2. 微分方程4y???8y??5y?0的通解为 ．

3. 曲面2ez?z?xy?3在点(2,1,0)处的法线方程为 ． 4．幂级数?n?1?2?x?1?n的收敛域为 ．

n25. 设L是沿抛物线y2?x上从点(1,?1)到点(1,1)的一段弧，则曲线积分

?Lydx= ．

6. 设?:0?x?a,0?y?b,0?z?c，则三重积分???xyzdv? ．

?三、计算题（每小题8分，共计56分）

?x?2y?4z?7?01．求过点M?2,0，垂直的平面方程. ?3?且与直线??3x?5y?2z?1?0

2．设z?uv?sint，而u?et，v?cost，求

3．设区域D为x2?y2?4，求??exD2dz． dt?y2d?.

２

4．计算??xdydz?ydzdx?zdxdy，其中?为半球面z?R2?x2?y2的上侧.

?

5．判断级数???1?n?1?n?11的敛散性，若收敛，请指出是绝对收敛还是条件收敛. n

6．求幂级数?nxn?1?n-1?的收敛域及和函数S?x?，并求?n的和. nn?12

7．求一曲线方程，这曲线过原点，并且它的任一点?x,y?处切线斜率为2x?y.

３

四、解答题（8分）

求函数z?x2?y2?12x?16y在有界闭域x2?y2?25上的最大值和最小值．

浙江海洋学院 2010 - 2011学年第 二 学期

《高等数学A2》课程期末考试卷A

参考答案及评分标准

一、单项选择题（每小题3分，共计18分）

1. D 2. A 3. B 4. C 5. C 6. D

二、填空题（每小题3分，共计18分）

x?2y?1z?? 121414. ?0,2? 5. 6. a2b2c2

38

三、计算题（每小题8分，共计56分）

1. xex2y?2ydx?xdy? 2. y?C1e1?x2?C2e 3.

5x2?x?2y?4z?7?01．求过点M?2,0，垂直的平面方程. ?3?且与直线?3x?5y?2z?1?0?解 由题意知, 平面的法向量可取为 ???ijk? n?1?24???16,14,11?

35?2 则所求平面方程为

?16?x?2??14y?11?z?3??0 即 16x?14y?11z?65?0.

dz2. 设z?uv?sint，而u?et，v?cost，求．

dt ４

dz?zdu?zdv?z??? dt?udt?vdt?tt（cost?sint）?cost ?vet?u??sint??cost?e解

3．设区域D为x2?y2?4，求??exD2?y2d?.

解 D:0???2?， 则 0???2， ??eDx2?y2d????e?d?d???D?22?01?2d??e?d?=?2??e022?220??e4?1.

??

4．计算??xdydz?ydzdx?zdxdy，其中?为半球面z?R2?x2?y2的上侧.

?解 添加辅助曲面?1:z?0,?x,y??Dxy:x2?y2?R2, 取下侧, 且记?与?1所围区域为?, 则 原式=

???1??xdydz?ydzdx?zdxdy???xdydz?ydzdx?zdxdy

?12 =????1?1?1?dv?0=3???dv?3??R3?2?R3.

3??5．判断级数???1?n?1?n?11的敛散性，若收敛，请指出是绝对收敛还是条件收敛. n?11解 ???1?=?, 发散.

nn?1nn?1?111n?11??0, 而???1?是一交错级数, 满足: ,limn??nn?1nnn?1?n?11由莱布尼茨判别法知, ???1?收敛, 因此其是条件收敛.

nn?1??nn-16．求幂级数?nx的收敛域及和函数S?x?，并求?n的和.

n?1n?12?n?1解 ??liman?1n?1?1, 则R?1. =limn??nn??an??n?1n?1n?1当x?1时, 级数?n发散, 当x??1时, 级数??-1?n发散, 因此收敛域为??1,1?.

???x???1,1?, 设S?x???nx,则?s?x?dx?n-1n?10x??n?1x0nxdx=?xn=

n?1?n?1x. 1?x?1?x?于是S?x?=?. x???1,1? ??21?x?1?x??? ５

11??2. 22?1??1???2?7．求一曲线方程，这曲线过原点，并且它的任一点?x,y?处切线斜率为2x?y.

n1而?n?2n?12??1?n???n?1?2??n?1?解 设曲线y?f?x?,

则

dy?2x?y, 且y?0??0, dxdy?y?2x 得通解 y?ex?2xe?x?2e?x?C, dx代入y?0??0, 得C?2, 因此y?f?x?=?2?x?1??2ex.

??

四、解答题（8分）

求函数z?x2?y2?12x?16y在有界闭域x2?y2?25上的最大值和最小值． 解 (1) 求函数在区域x2?y2?25内的驻点:

??z?2x?12?0???x 令 ?

?z??2y?16?0???y 此方程组在区域x2?y2?25内无解,故最大值和最小值必在边界x2?y2?25上取得.

(2) 考虑函数z?x2?y2?12x?16y在边界x2?y2?25上的条件极值问题, 设 L?x,y??x2?y2?12x?16y??x2?y2?25

??L(1)??x?2x?12?2?x?0???L(2） 解方程组??2y?16?2?y?0

?y??x2?y2?25（3）??6?8 由(1),(2)得x?,y?,代入(3)式解得??1和???3,于是,

1??1?? 可得驻点: P1??3,?4?和P2???3,4?,经计算得 z?3,?4???75,z??3,4??125, 所以, zmax?z??3,4??125, zmin?z?3,?4???75.

??

６

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/1htd.html