SXSY - 04a-线性代数实验

////根标题=数学实验 ////主标题=线性代数实验 ////作者=

////地址1=电子科技大学~~数学科学学院 ////地址2= ////地址3=

////标题缩减级别=1

1.1

实验基础：线性代数知识 ................................................................................................. 1 1.1.1 1.1.2 1.2 1.3 1.4 1.5

1.2.1

解线性方程组 ......................................................................................................... 1 矩阵特征值 ............................................................................................................. 1 应用问题：在减肥食谱中的应用 ......................................................................... 2

线性方程组求解 ................................................................................................................. 2 矩阵的幂与特征值、特征向量 ......................................................................................... 4 Leslie模型及其应用 .......................................................................................................... 3 1.4.1

案例1. 简单迁移模型 ........................................................................................... 3

线性变换 ........................................................................................... 错误！未定义书签。

1.1 实验基础：线性代数知识

1.1.1 解线性方程组

解线性方程组：Ax?b Matlab命令：A\\b 示例：

A=rand(3,3); truesol=rand(3,1) b=A*truesol mysol=A\\b 比较数值结果与真解.

1.1.2 矩阵特征值

A是n阶方阵,求非零向量?和数?

A????

称?为特征向量, 称?为特征值.

lamda=eig(A) —— 计算A的特征值,这里lamda是A的全部特征值构成的列向量。

[P,D]=eig(A) ——计算出A的全部特征值和对应的特征向量. 其中, D是对角矩阵,保存矩阵A的全部特征值; P是满阵, P的列向量构成对应于D的特征向量组。

1.2 线性方程组求解

1. 线性方程组的理论应用已经渗透到数学发展的许多分支

很多实际问题的处理最后往往归结为比较容易处理的线性方程组的问题 2. 线性方程组在工程技术上、空间几何和国民经济的许多领域都有着广泛的

应用

1.2.1 应用问题：在减肥食谱中的应用

下表是该食谱中的3种食物以及100克每种食物成分含有某些营养素的数量。 营养 每100克食物所含营养（g） 减肥所要求的每日营养量 脱脂牛奶 大豆面粉 乳清 蛋白质 碳水化合物 脂肪 36 52 0 51 34 7 13 74 1.1 33 45 3 如果用这三种食物作为每天的主要食物，那么它们的用量应各取多少才能全面准确地实现这个营养要求？

以100克为一个单位，为了保证减肥所要求的每日营养量，设每日需食用的脱脂牛奶x1个单位，大豆面粉x2个单位，乳清x3个单位，则由所给条件得

?36x1?51x2?13x13?33??52x1?34x2?74x3?45 ? 7x2?1.1x3?3?解上方程组得，解为

x1?0.2772, x2?0.3919, x3?0.2332.

即为了保证减肥所要求的每日营养量，每日需食用脱脂牛奶27.72克，大豆面

粉39.19克，乳清23.32克。 求解上述线性方程组的程序：

>> A=[36 51 13; 52 34 74; 0 7 1.1]; b=[33;45;3]; x=A\\b x =

0.2772 0.3919 0.2332

1.3 Leslie模型及其应用

科学家LesliePH.于1945年引进一种数学方法,利用某一初始时刻种群的年龄结构现状,动态地预测种群年龄结构及数量随时间的演变过程。

1.3.1 案例1. 简单迁移模型

每年A镇的人口10%迁往B镇;B镇的人口15%迁往A镇. 假设某年A、B两镇人口各有120人和80人. 问两年后两镇人口数量分布如何?

设两镇总人口不变, 人口流动只限于两镇之间. 引入变量:

x1(k)表示 A 镇第 k 年人口数量;

(k)表示 B 镇第 k 年人口数量. x2由第 k 年到第 k?1年两镇人口数量变化规律如下

?x1(k?1)??0.90.15??x1(k)??120?(0)?(k?1)?????(k)?, X??? 0.10.85????80??x2????x2??(k) x1(k?1)?0.9x1(k)?0.15x2(k?1)(k) x2?0.1x1(k)?0.85x2X(k?1)?AX(k)

X(2)?AX(1)?A(AX(0))?A2X(0)

?120?X(0)???

?80?[newpage] ////codebegin

%%%title1:线性代数实验 %%%title2:应用实验 %%%title:简单迁移模型 A=[0.9,0.15;0.1,0.85]; X0=[120;80]; X2=A^2*X0 D=eig(A)

////codeend

?120??1.00?

??, X2??D??80??0.75??????若?1?1，则A?1??1?1??1

?0.90.15??120??120??0.10.85??80???80? ???????120?X(0)???是特征值1的特征向量.

?80?思考：在无限长时间后，两镇人数的变化规律与矩阵A有何关联？

1.4 矩阵的幂与特征值、特征向量

相关知识点：

相似对角化，特征值，特征向量，正交矩阵

在许多工程计算中，经常遇到计算矩阵的幂的问题，请问有没有快速的计算方法？

概念：

定义 设A,B都是n阶方阵，若存在可逆矩阵P，使

P?1AP?B，

则称B是A的相似矩阵，并称矩阵A与B相似．

对A进行P?1AP运算称为对A进行相似变换，称可逆矩阵P为相似变换矩阵．

易证矩阵的相似关系满足：

①自反性：对于任意n阶方阵A，有A与A相似； ②对称性：若A与B相似，则B与A相似；

③传递性：若A与B相似，B与C相似，则A与C相似．

定理 若n阶矩阵A与B相似，则A与B有相同的特征多项式，从而A与B有相同的特征值．

相似矩阵的一个重要性质：

??1????2??若n阶矩阵A与对角阵???相似，则?1,?2,?,?n即为A的??????n???n个特征值．

??1????2??定义 若n阶矩阵A与对角阵????相似，则称A可以相似?????n???对角化，简称A可对角化．

如果矩阵A可以相似对角化，在存在可逆矩阵P，满足

AP?P? 其中，P?(p1p2?pn)。

??1????2??pn)? ??????n???由AP?P?得，

A(p1p2?pn)?(p1p2??(?1p1?2p2??npn)

可知，?i为矩阵A的特征值，其中pi为对应于特征值?i的特征向量。 则A?P?P?1，如果P是正交矩阵，则A?P?PT（正交矩阵PPT?I）。 进而得到

Ak?P?PTP?PT?P?PT?P?kPT

k??1???k?2??T?P?P. ????k???n??

这样就大大简化了计算矩阵的幂Ak的复杂度. 需要计算矩阵A的特征值、特征向量。

以对称矩阵为例说明：

?2.30??0.89A??0.53??1.07?0.890.531.07??2.880.871.35?

0.873.621.11??1.351.113.60??利用[V,D]=eig(A)得：

V =

0.8658 0.1968 0.2961 0.3521

-0.4463 0.7064 0.2603 0.4837 0.0822 0.0201 -0.8573 0.5078 -0.2108 -0.6796 0.3311 0.6198 D =

1.6310 0 0 0 0 1.8540 0 0 0 0 2.7441 0 0 0 0 6.1709

在命令行输入V*V'得： V*V' ans =

1.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0

0.0000 0.0000 0 1.0000

可知eig所计算得到特征向量矩阵V已经是正交矩阵，则 计算A的5次幂可用如下命令完成： V*D.^5*V'

输入A^5-V*D.^5*V'得： ans =

1.0e-11 *

-0.0227 -0.0227 -0.0909 -0.0455 -0.0227 -0.0455 -0.1364 -0.0455 -0.0909 -0.1364 -0.1819 -0.1819 -0.0227 -0.0455 -0.1364 0 说明二者相差很小。

1.5 特征值的应用

[newpage]

[newpage]

I=imread('cameraman.tif'); [U,S,V]=svd(double(I));

s=diag(S); n1=5;

Snew=diag([s(1:n1);zeros(size(s,1)-n1,1)]); figure,imshow(U*Snew*V',[]) n2=20;

Snew=diag([s(1:n2);zeros(size(s,1)-n2,1)]); figure, imshow(U*Snew*V',[])

1.6 线性变换

[newpage]

X = house dot2dot(X)

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/1hh8.html