振动力学答案

请打双面

习题与综合训练 第一章

2-1 一单层房屋结构可简化为题2-1图所示的模型，房顶质量为m，视为一刚性杆；柱子

高h，视为无质量的弹性杆，其抗弯刚度为EJ。求该房屋作水平方向振动时的固有频率。

解：由于两根杆都是弹性的，

可以看作是两根相同的弹簧的并联。

等效弹簧系数为k

则 mg?k?

其中?为两根杆的静形变量，由材料力学易知

mgh3??=24EJ

24EJ 则 k=h3

设静平衡位置水平向右为正方向，则有 \ mx??kx

p24EJn? 所以固有频率

mh3 ?

F F

h

?

mg

2-2 一均质等直杆，长为 l，重量为 W，用两根长h的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如题2-2图所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。

解：给杆一个微转角?

a2?＝h?

2F＝mg

由动量矩定理： I????MI??112ml2??Fasin??cos?2??mga2???mga2M8ha

其中

sin???cos?2?1 1a212ml2????mg?4h??0p2?3ga2nl2h T?2πl2h2πlhp?2π?n3ga2a3g2-3 求题2-3图中系统的固有频率，悬臂梁

端点的刚度分别是k1和k3，悬臂梁的质量忽略不

计。

解：悬臂梁可看成刚度分别为k1和k3的弹簧，因此，k1与k2串联，设总刚度为k1ˊ。k1ˊ与k3并联，设总刚度为k2ˊ。k2ˊ与k4串联，设总刚度为k。即为

Fsin?

1k2k1k2?k 1???2k

k1?kk?2?k3?2，

k1?k2，

k?k1k2k4?k2k3k4?k1k2k4k1k3?k2k3?k1k2?k1k4?k2k4 p2?k1k2k4?k2k3k4?k1k2k4m(k1k3?k2k3?k1k2?k1k4?k2k4)

2-4 求题2-4图所示的阶梯轴一圆盘系统扭

转振动的固有频率。其中J1、J2和

J3是

三个轴段截面的极惯性矩，I是圆盘的转动惯量，各个轴段的转动惯量不计，材料剪切弹性模量为G。 解：

k1?GJ1/l1 （1） k2?GJ2/l2 （2） k3?GJ3/l3 （3）

（4）

dE?0dt??R1?3I??????0????m1?2m2?R2?xx??k1R?k2??xx2?2???

?得系统的运动方程为： 消去x??R1?3I??????m?m?x?k?k2??122R2??1R?x?02?2??? 系统的固有频率为：

Rk11?k2R2p??3I?m?m??122R22?k23?GJ2J3/(J2l3?J3l2)????

Pn2?(k1?k23)/I由（1）(2)(3)(4)知Pn2?G(J1J2l3?J3J1l2?J2J3l1)/Il1(J2l3?J3l2)

2-5 如题2-5图所示，质量为m2的均质圆

2-6 如题2-6图所示，刚性曲臂绕支点的转动惯量为

I0盘在水平面上可作无滑动的滚动，鼓轮绕轴的转动惯量为I，忽略绳子的弹性、质量及个轴承间的摩擦力，求此系统的固有频率。

解：此系统是一个保守系统，能量守恒 系统的动能为：

???111?11?x??x?2?m2x?2??m2r2????I?T?m1x222?22???r??R22，求系统的固

有频率。

解：设曲臂顺时针方向转动的?角为广义坐标，

系统作简谐运动，其运动方程为

???sinp(nt??)?。很小，系统的动能为

????

2T?111?2?m1(a??)2?m2(l??)2IO?222 ???pncosp(nt??)?系统的势能为：

U?1?x?12?k1?R?kx12?2?2?R2?

2

所以，

11122222222T?I?p?m?pa??pnlaxOn1n?131I?2?1R11?m2222??? E?T?U???2k1R?2k2??x?2m1?4m2?2R2??x2?? 取系统平衡位置为势能零点。设各弹簧在静2??总能量

由于能量守恒

平衡位置伸长为

?1,?2,?3，由

，

?mO(F)?0k1?1a?m1ga?k3?3b?k2?2l?0（A）

由题意可知，系统势能为

V?2-8l、质量为m的均质刚性杆铰

一长度为

接于O点并以弹簧和粘性阻尼器支承，如题2-8

图所示。写出运动微分方程，并求临界阻尼系数

111和阻尼固有频率的表达式。 k1[(?a??1)2??12]?k3[(?b??3)2??32]?k2[(?l??2)2??22]?m1g?a222解：图（1）为系统的静平衡位置，画受力（B）

图如（2）。由动量矩定理，列系统的运动微分方

将（A）式代入（B）式，可得系统最大势能为，

程为：

111???c??l2?k?a2?0I0?Vmax?k1?2a2?k3?2b2?k2?2l2 222 1?I0?ml2T?Vmax3由， max

11122222IO?2pn?m1?2pna??2pnl?222得

?c3ka2??????????0mml23ka2?p?ml22n111k1?2a2?k3?2b2?k2?2l2222

k1a2?k3b2?k2l22pn?22I?ma?mlO12所以，有

2-7 一个有阻尼的弹簧--质量系统，质量为10 kg，弹簧静伸长是1cm，自由振动20个循环后，振幅从0.64 cm减至0.16cm，求阻尼系数c。

解：振动衰减曲线得包络方程为：X?Ae?nt2n?3cm

当n＝pn时，c＝cC

2nm2pnm2amk?cC???33l3

2-9 如题2-9图所示的系统中，刚杆质量不计，试写出运动微分方程，并求临界阻尼系数及

固有频率。

0.64?e20nTd振动20个循环后，振幅比为：0.16

ln4Td?20n ?Tln424?2Td?()?22220nP?N1?5n代入,得：

解：

Pn?又

g?10gdst

4?2ln42()2100g?N20n?＝

?c = 6.9 N s /m 2acc?lmk3ka22p?3，nml2

YO

XO

FK

O

?

FC

mg

I???kb?b?ca?aml2???kb2??ca2?kb2ca2???ml2??ml2??0?p2?kb2nml2p?bknlmca22n?ml2当n?pn时ca2bk2ml2?lm?c?2blca2mk224pd?p2kbcan?n2?ml2?4m2l4?12ml4kmb2l2?c2a422-10 如题2-10图所示，质量为2000 kg

的重

物以3 cm/s的速度匀速运动，与弹簧及阻尼器相撞后一起作自由振动。已知k =48020 N/m，c =1960 Ns/m，问重物在碰撞后多少时间达到最大振幅?最大振幅是多少?

解：以系统平衡位置为坐标原点，建立系统运动微分方程为

?x??2nx??p2nx?0

ck所以有 x+mx+mx =0

196048020其特征方程为：r2+2000r+2000=0 r =-0.49?4.875i

所以：x =c1e?0.49tcos4.875t+c2e?0.49tsin4.875t 由于n < pn，由已知条件， n?c2m?19602?2000?0.49，

p2n?km?480202000?24.01，x0?0，x?0?0.03m/s。

故通解为

x?e?nt(C1cospdt?C2sinpdt)

其中，

pd?p2n?n2?4.875。

（代入初始条件，当t=0时，x=0, c1=0

当t=0时，x=0,

c2=0.006

x=0.006e?0.49tsin4.875t

x=0.006e?0.49t(-0.49) sin4.875t+0.006?4.875cos4.875

当x=0时，振幅最大，此时t=0.03s。当 t=0.03s时，x=0.005m）

代入初始条件，得

Cnx0?x?01?x0?0,C?x?02?p?0.006dpd，得

x?Cnt2e?sinpdt

物体达到最大振幅时，有

x???nCnt2e?sinpdt?C2e?ntpdcospdt?0

既得t = 0.30 s时，物体最大振幅为

x?0.006e?0.49?0.3sin(4.875?0.3)?0.528 cm

2-11 由实验测得一个系统的阻尼固有频率为

pd，在简谐激振力作用下出现最大位移值的

激振频率为

?m，求系统的无阻尼固有频率pn、

相对阻尼系数?及对数衰减率?。

?22??n解：m?pn1?2?， pd?pn?n2，

pn；

三个方程联立，解得：

p22??d??m2p22d??m p2n?2pd??2m

2?2?2??nT22d??pnp?d??m?2?1???dppd??m??p?d??

习题与综合训练 第二章

2-1已知系统的弹簧刚度k =800 N/m，作自由振动时

Ai4.的阻尼振动周期为1.8s，相邻两振幅的比值

A?2i?11，

若质量块受激振力F(t)?360cos3tN的作用，求系统的稳态响应。

解：由题意，可求出系统的运动微分方程为

?x??p2nx?2nx??360mcos3t

得到稳态解

x?Bcos(3t??)

其中

B?B0360(1??2)2?4?2?2B0?k?0.45m

tg??2n?2??

p2?n??21??2

由

??AiA?4.2?enTdi?1 ln??nTdTd?1.8n?ln?

T?0.797pπd?2dT?3.489d

又

pd?p2n?n2

有

p222n?pd?npn?3.579

???p?33.579?0.838n??np?0.7973.579?0.223nB?0.45(1?0.838)2?4?0.2232?0.8382?0.450.408?1.103tg??2?0.223?0.8381?0.8382?0.3740.298?1.255??51.45?所以 x＝1.103 cos(3t－51?27?)

2-2一个无阻尼弹簧质量系统受简谐激振力作用，当激振频率?1?6rad/s时，系统发生共振；给质量块增

加1 kg的质量后重新试验，测得共振频率?2?5.86rad/s，试求系统原来的质量及弹簧刚度。

解：设原系统的质量为m，弹簧常数为k

pkn?kmpn??1?由

，共振时m 6?k所以 m

又由 当

p? n?2?km?1?5.86

②

①与②联立解出

m＝20.69 kg

k＝744.84 N/m

2-3总质量为W的电机装在弹性梁上，使梁产生静

挠度

?st，转子重Q，重心偏离轴线e，梁重及阻尼可以

不计，求转速为?时电机在垂直方向上稳态强迫振动的振幅。

解：列出平衡方程可得：

W?k(?st?x)?Q2gwesinwt?WgxWgx?kx?Qgw2esin(wt??)x?kgWx?QWw2esin(wt??)

所以：

kgWQh?w2eW Pn?WW?k?st即k??st

又因为

ka2katg??k?mw?kap0p0???arctgp0 k?mw2

1?x(t)?Bsin?wt????1??2?p02k2?asinwt?arctg?k2p?将结果代入B?h?P2?W2?2得：nB=Qw2e?stW(g?w2?st)

即为所求的振幅

2-4如题2-4图所示，作用在质量块上的激振力

F(t)?F0sin?t，弹簧支承端有运动

xs?acos?t，

写出系统的运动微分方程，并求稳态振动。

2-4图

解：选xs?0时物块平衡位置为坐标原点O，建立坐标系，如右图，

则 mx?k(x?xs)?p(t) 即mx?kx?kxs?p(t)即 mx?kx?ka

coswt?p0sinwt （*）p0改成F0，下面也都一样

利用复数求解 ， 用 ejwt代换sinwt 并设方程

（*）的解为这里求的是特解，也就是稳态解。

x(t)?Bejwt 代入方程（*）得B?p0?jkak?mw2?Bej?其中B为振幅，?为响应与激励之间的相位差，有

22B?B???p0??k?mw2?????ka??k?mw2??=

p2p20p2200?ka2m2?p4p42?a2nmm2?p22?na2n?w2?p4??2?2?n?1?1??2?2

?1p201??2k2?a2。

??w其中

p,p?knnm

2-5如题2-5图的弹簧质量系统中，两个弹簧的连接

处有一激振力

F0sin?t，求质量块的振幅。

题2-5图

解：设弹簧1，2的伸长分别为x1和x2，

题

则有，

x?x1?x2

（A）

由图（1）和图（2）的受力分析，得到

k1x1?k2x2?P0sin?t

（B）

m?x???k2x2 （C）

联立解得，

m?x???k1k2kkx?k2?kP0sin?t1?2k12 ?x??k1k2(k)mx?k2(kP0sin?t1?k21?k2)m

pk2n?k1所以

m(k1k2)，n = 0，得，

B?hH1(p22?n??2)2?(2n?)k(1??2)2?(2??)2-6在题2-6图示的系统中，刚性杆AB的质量忽略不计，B端作用有激振力

F0sin?t，写出系统运动微分

方程，并求下列情况中质量m作上下振动的振幅值∶(1)系统发生共振；(2)?等于固有频率

pn的一半。

2-6图

解：图（1）为系统的静平衡位置，以?为系统的广义坐标，画受力如图（2）

I?????2l?c?(2l???)?3l?k(??3l)?3lP0sin?t

又 I＝ml2

?????4c

m????km??3mlP0sin?t

则

???p2?9kn?m?

?4c?2n?m,h?3p0ml

Bh??(p22n??)2?(2n?)2B?lBhl??(p22n??)2?(2n?)2

1）系统共振，即

pn??

?B?hl(3p0/ml)?l2np?n4c9km?m?p0m

4ck

??12）

2Pn

3p0ml?l?B?hl??32??27k2?4p2?2n???(npn)Y??4c29kA ?4m???m2m?4p

01P0sin?t

9kXA 64c21? A ?

81mk

题

mg B

FC

FK

2-7写出题2-7图示系统的运动微分方程，并求系统固有频率

pn、阻尼比?及稳态响应振幅。

题2-7图

解：以刚杆转角?为广义坐标，由系统的动

量矩定理

4l2m?????k(l??xs)l?cl2??

即

????c4m???k4m??kalsin?t

pk令，

n?4m，2n?c4m??n?c，

pn8mpn，h?ka4ml???，pn得到

B??h(p2n??2)2?(2n?)2

kaB?B?2l?4ml?2l?2?2ap22(1??2)2?n(1?n?2p2)?(2np)npn2-8一机器质量为450kg，支承在弹簧隔振器上，弹簧静变形为0.5cm。机器有一偏心重，产生偏心激振力

F?20?2.254gN，其中?是激励频率，g是重力加速

度。求(1)在机器转速为1200 r/min时传入地基的力；(2)

机器的振幅。

解：设系统在平衡位置有位移x， 则

?E?证明

?F02k2??mx?kx?F0?1?????2???222

x?即又有

Fkx?0mm

k?mg 则

?E???c?2B2cos(?t??)dt???c?B20T?st（1）

F0?2B?k1??2（2）且所以机器的振幅为

mg?k?stB?F0/k?1???22?4?2?2F02/k22?E???c??1??2??4?2?2??F02k2??2?1??2???2??????pradn，??40?s（3）

p2?kgn又有

m??st（4）

将（1）（2）（4）代入（2）得机器的振幅

B=0.584 mm 则传入地基的力为

pT?kB?514.7N

2-9一个粘性阻尼系统在激振力

F(t)?F0sin?tx(t)?Bsin???t?π??作用下的强迫振动力为?6?，已知

F0?19.6N，B =5 cm ，??20πrad/s，求最初1秒及

1/4秒内，激振力作的功W1及W2。

由已知可得:P(t)?P0sinwt?19.6sin20?tx(t)?Bwcos(wt???6)??cos(20?t?6)W11=?0P(t)x(t)dt??1?019.6sin20?t??cos(20?t?6)dt??4.93cos40?t1140|0?4.9??0(1?cos80??15.39J同理可得:1W2??400P(t)x(t)dt1???40019.6sin20?t??cos(20?t??6)dt?0.0395J2-10 证明粘性阻尼在一周期内消耗的能量可表示为

2-11证明简谐激振力作用下的结构阻尼系统在

??pn时振幅达最大值。

证明：设结构阻尼的应变幅度为B，则应变改变一周期内所消耗的能量

Ws??B2?

为与材料有关的常数与频率?无关，则等效粘性阻尼系数

c?B2?

e???B2??? B?H由于振幅(k?m?2)2?(c2e?)

所

以

，

B?H1(k?m?2)2?(??H)2k?(1??2)2?(?2?k)

??? 其中，

pn

B?ht)dt?221/?(p222c??2n??)?2?对?m?求导得

dB-2hp22dp?n(pn??)n?223/2??(p2n??2)2?c??m2??， dB当pn??时，dp?0n，振幅B达到最大值 2-12无阻尼系统受题2-12图示的外力作用，已知x(0)?x?(0)?0，求系统响应。

?

题2-12图

解：由图得激振力方程为

?P10?t?t1F(t)????P?1t1?t?t2?0t?t2

当 0 < t < t1时，F(?)?P1，则有

x(t)??tP10mpsinpd??P1n(t??)2[1?cospntnmp]n 由于p2?knm，所以有 x(t)?P1k[1?cospnt]

当t1 < t < t2时，F(?)??P1，则有

x(t)??t1P10mpsinpn(t??)d?n??t?P1tsinpn(t??)d?1mpn

?P1k[cospt)?cospPn(t1?nt]?1k[1?cospn(t1?t)] 当 t < t2时，F(?)?0，则有

x(t)??t1P10mpsinpn(t??)d?n??t?P1tsinp1mpn(t??)d?n+ 0

?P1k[cosptPn(1?t)?cospnt]?1k[cospn(t2?t)?cos 2-13如题2-13图的系统，基础有阶跃加速度bu(t)，

初始条件为x(0)?x?(0)?0，求质量m的相对位移。

题2-13图

解：由牛顿定律，可得系统的微分方程为

m?x???c(x??x?s)?k(x?xs)

令

xr?(x?xs)，则有

m?x?r?cx?r?kxr??mbu(t) 得到系统的激振力为，F(?)??mbu(?)，可得响应为

xr(t)??t?mb?n(t??)0mpesinpd(t??)d?d??bpe?nt[n22en?sinppdn?d(t??)?22ecosdn?pdn?Pd?bne?nt?n2?p2(1?sinpdt?e?ntcospddpt)d22其中

pd?pn?np2，

n?km，2n?cm。

2-14上题系统中，若基础有阶跃位移au(t)，求零初始条件下的绝对位移。

解：系统振动的微分方程为

m?x???c(x??x?s)?k(x?xs)

即

mx?cx?kx?kxs?cxs

基础有阶跃位移au(t),故

xs=0

xs=

au?t?，则有

m?x??cx??kx?kau(t) 得到系统的激振力为，F(?)?kau(?)，可得响应为

tF????n(tx?t??1?t)]?0e?t???sinpd mp?t???dtd??tkau?t?0mpe?n?t???sinpd?t???dtdx(t)??tka0mpe?n(t??)sinpd(t??)d?d?kapdpdmpe?ntnn2?p2en?[2nt?(1dnensinpdt?n2cospdtd?a[1?e??pnt(?pnpsinpdt?cospdt)]dpn?????pnt??pn?a?1?esinpdt?cospdt???p?d?? ?其中

pd?kcp?2n?p?nm，m。 ，

2n22n2-15 求零初始条件的无阻尼系统对题2-15图示激振力的响应。

题

2-15图

??P0??F(t)??P0??0??tt1t2?tt2?t10?t?t1t1?t?t2t?t2

F(?)?P0?t1，则有

当 0 < t < t1时，

x(t)??tP0?Ptsinpn(t??)d??0[?cospnt]0mptkt1n1F(?)?P0t2??t2?t1

当t1 < t < t2时，

x(t)????)t1，则有

tt10，则有

解：由图得激振力方程为

t?P(1?)?0t1F(t)???0?0?t?t1t?t1

P0?sinpn(t??)d?mpnt1P0t2??sinpn(t??)d?t1mpt?tn21

P0tsinpntt2(t?t1)t2sinpn(t?t1)[???]kt1pnt1t1(t2?t1)pnt1(t2?t1) t1P0?t1x(t)??P0(1?)sinpn(t??)d??[1??cospnt?sinpF]?)?0nt(0mptktpt当 t < t，则有 n11n21时，

t1P?0当t < t1时，F(?)?0，则有 x(t)??sinpn(t??)d?0mptn1t11?tPx(t)??P0(1?)sinpn(t??)d??00t2??0mp?tn1?t1mpnt2?t1sinpn(t??)d? + 0 P01?{?cospnt?[sinpnt?sinpn(t?t1)]}kpnt1 ?P0[?sinpnt?sinpn(t?t2)?t2sinpn(t?t1)]kpnt1pn(t2?t1)pnt1(t2?t1)2-16 零初始条件的无阻尼系统受题2-16图的外力

F(?)?P0(1??

?当 0 < t < t1时，

作用，求系统响应。

题2-16图

解：由图得激振力方程为

?F0?tt,0?t?t1?1Ft?FtF?t???0?02,t1?t?t2?t1?t2t2?t1?0,t?t2??解：

运动微分方程为

mx?kx?F?t?当

0?t?t1F?t??时，

F0tt1

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/1h9t.html