2019届高考一轮复习备考讲义(全国用)人教A版 第十三章 推理与证明、算法、复数13.1含答案

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§13.1合情推理与演绎推理

1．合情推理

(1)归纳推理

①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．

②特点：由部分到整体、由个别到一般的推理．

(2)类比推理

①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．

②特点：由特殊到特殊的推理．

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(3)合情推理

归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．

2．演绎推理

(1)演绎推理

从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．

(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：

①大前提——已知的一般原理；

②小前提——所研究的特殊情况；

③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．

题组一思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．(×)

(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．(√)

(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．(×)

(4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．(√)

(5)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是a n＝n(n∈N*)．(×)

(6)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．(×)

题组二教材改编

2．[P71例1]已知在数列{a n}中，a1＝1，当n≥2时，a n＝a n－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想a n的表达式是()

A．a n＝3n－1 B．a n＝4n－3

C．a n＝n2D．a n＝3n－1

答案 C

解析a2＝a1＋3＝4，a3＝a2＋5＝9，a4＝a3＋7＝16，a1＝12，a2＝22，a3＝32，a4＝42，猜想a n＝n2.

3．[P84A组T5]在等差数列{a n}中，若a10＝0，则有a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a19－n (n<19，n∈N*)成立，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b9＝1，则存在的等式为________________．

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答案b1b2…b n＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N*)

解析利用类比推理，借助等比数列的性质，

b29＝b1＋n·b17－n，可知存在的等式为b1b2…b n＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N*)．

题组三易错自纠

4．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理()

A．结论正确B．大前提不正确

C．小前提不正确D．全不正确

答案 C

解析f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提错误．

5．(2017·济南调研)类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论：

①垂直于同一个平面的两条直线互相平行；

②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；

③垂直于同一个平面的两个平面互相平行；

④垂直于同一条直线的两个平面互相平行．

则正确的结论是________．(填序号)

答案①④

解析显然①④正确；对于②，在空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行，也可以异面或相交；对于③，在空间中垂直于同一个平面的两个平面可以平行，也可以相交．

6．(2018·中山模拟)在△ABC中，不等式1

A＋1

B＋

1

C≥

9

π成立；在凸四边形ABCD中，不等式

1

A＋

1 B＋1

C＋1

D≥16

2π成立；在凸五边形ABCDE中，不等式

1

A＋

1

B＋

1

C＋

1

D＋

1

E≥

25

3π成立…依此类推，

在凸n边形A1A2…A n中，不等式1

A1＋1

A2＋…＋1

A n≥____________________成立．

答案

n2

(n－2)π

(n∈N*，n≥3)

解析∵1

A＋1

B＋

1

C≥

9

π＝

32

π，

1 A＋1

B＋1

C＋1

D≥

16

2π＝

42

2π，

1 A＋1

B＋1

C＋1

D＋

1

E≥

25

3π＝

52

3π，…，

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∴1A 1＋1A 2＋…＋1A n ≥n 2

(n －2)π

(n ∈N *，n ≥3).

题型一 归纳推理

命题点1 与数字有关的等式的推理

典例 (2016·山东)观察下列等式：

????sin π3－2＋????sin 2π3－2＝43

×1×2； ????sin π5－2＋????sin 2π5－2＋????sin 3π5－2＋????sin 4π5－2＝43

×2×3； ????sin π7－2＋????sin 2π7－2＋????sin 3π7－2＋…＋????sin 6π7－2＝43

×3×4； ????sin π9－2＋????sin 2π9－2＋????sin 3π9－2＋…＋????sin 8π9－2＝43

×4×5； …

照此规律，????sin π2n ＋1－2＋????sin 2π2n ＋1－2＋????sin 3π2n ＋1－2＋…＋???

?sin 2n π2n ＋1－2＝__________. 答案 43

×n ×(n ＋1) 解析 观察等式右边的规律：第1个数都是43

，第2个数对应行数n ，第3个数为n ＋1.

命题点2 与不等式有关的推理

典例 (2017·济宁模拟)已知a i >0(i ＝1,2,3，…，n )，观察下列不等式：

a 1＋a 22≥a 1a 2； a 1＋a 2＋a 33≥3a 1a 2a 3； a 1＋a 2＋a 3＋a 44≥4a 1a 2a 3a 4； …

照此规律，当n ∈N *，n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n n ≥______.

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答案 n a 1a 2…a n

解析 根据题意得a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1a 2…a n (n ∈N *，n ≥2)．

命题点3 与数列有关的推理

典例 (2017·湖北七市教科研协作体联考)观察下列等式：

1＋2＋3＋…＋n ＝12

n (n ＋1)； 1＋3＋6＋…＋12n (n ＋1)＝16

n (n ＋1)(n ＋2)； 1＋4＋10＋…＋16n (n ＋1)(n ＋2)＝124

n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)； …

可以推测，1＋5＋15＋…＋

124n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)＝____________________. 答案 1120

n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4)(n ∈N *) 解析 根据式子中的规律可知，等式右侧为

15×4×3×2×1

n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4) ＝1120

n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4) (n ∈N *)． 命题点4 与图形变化有关的推理

典例 (2017·大连调研)某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为( )

A ．21

B ．34

C ．52

D ．55

答案 D

解析 由2＝1＋1,3＝1＋2,5＝2＋3知，从第三项起，每一项都等于前两项的和，则第6年为8，第7年为13，第8年为21，第9年为34，第10年为55，故选D.

思维升华 归纳推理问题的常见类型及解题策略

(1)与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解．

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(2)与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解．

(3)与数列有关的推理．通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可．

(4)与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．

跟踪训练 (1)将自然数0,1,2，…按照如下形式进行摆列：

根据以上规律判定，从2 016到2 018的箭头方向是( )

答案 A

解析 从所给的图形中观察得到规律：每隔四个单位，箭头的走向是一样的，比如说，0→1，箭头垂直指下，4→5箭头也是垂直指下，8→9也是如此，而2 016＝4×504，所以2 016→2 017也是箭头垂直指下，之后2 017→2 018的箭头是水平向右，故选A.

(2)如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为( )

A ．6

B ．7

C ．8

D ．9

答案 C

解析 由题意知，第1层的点数为1，第2层的点数为6，第3层的点数为2×6，第4层的点数为3×6，第5层的点数为4×6，…，第n (n ≥2，n ∈N *)层的点数为6(n －1)．设一个点

阵有n (n ≥2，n ∈N *

)层，则共有的点数为1＋6＋6×2＋…＋6(n －1)＝1＋6·n (n －1)2＝3n 2－3n ＋1，由题意，得3n 2－3n ＋1＝169，即(n ＋7)·(n －8)＝0，所以n ＝8，故共有8层． 题型二 类比推理

典例 (1)等差数列{a n }的公差为d ，前n 项的和为S n ，则数列??????S n n 为等差数列，公差为d 2.类似

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地，若各项均为正数的等比数列{b n }的公比为q ，前n 项的积为T n ，则等比数列{n T n }的公比为( )

A.q 2

B ．q 2 C.q D.n

q 答案 C

解析 由题设，得T n ＝b 1·b 2·b 3·…·b n ＝b 1·b 1q ·b 1q 2·…·b 1q

n －1＝b n 1q 1＋2＋…＋(n －1)＝(1)21n n n b q -. ∴n T n ＝121n b q -，∴等比数列{n

T n }的公比为q ，故选C. (2)在平面上，设h a ，h b ，h c 是△ABC 三条边上的高，P 为三角形内任一点，P 到相应三边的

距离分别为P a ，P b ，P c ，我们可以得到结论：P a h a ＋P b h b ＋P c h c

＝1.把它类比到空间，则三棱锥中的类似结论为______________________．

答案 P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P d h d

＝1 解析 设h a ，h b ，h c ，h d 分别是三棱锥A －BCD 四个面上的高，P 为三棱锥A －BCD 内任一

点，P 到相应四个面的距离分别为P a ，P b ，P c ，P d ，于是可以得出结论：P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P d h d

＝1.

思维升华 (1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．

(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等．

跟踪训练 (2018·晋江模拟)在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年)一书中，用如下图1所示的三角形，解释二项和的乘方规律．在欧洲直到1623年以后，法国数学家布莱士·帕斯卡的著作(1655年)介绍了这个三角形．近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”(Chinese triangle)如图1,17世纪德国数学家莱布尼茨发

现了“莱布尼茨三角形”如下图 2.在杨辉三角中相邻两行满足关系式：C r n ＋C r ＋1n ＝C r ＋

1n ＋1，其中n 是行数，r ∈N .请类比上式，在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是____________．

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

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1 5 10 10 5 1

…

C 0n C 1n … C r n … C n －

1n C n n 图1

12 12

13 16 13

14 112 112 14

15 120 130 120 15

16 130 160 160 130 16

…

1C 1n ＋1C 0n 1C 1n ＋1C 1n … 1C 1n ＋1C r n … 1C 1n ＋1C n －1n 1

C 1n ＋1C n n 图2

答案 1C 1n ＋1C r n ＝1C 1n ＋2C r n ＋1＋1

C 1n ＋2C r ＋1n ＋1 解析 类比观察得，将莱布尼茨三角形的每一行都能提出倍数

1C 1n ＋1，而相邻两项之和是上一

行的两者相拱之数，所以类比式子C r n ＋C r ＋1n ＝C r ＋1n ＋1， 有

1

C 1n ＋1C r n ＝1C 1n ＋2C r n ＋1＋1C 1n ＋2C r ＋1n ＋1. 题型三 演绎推理

典例 (2018·保定模拟)数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n

S n (n ∈N *)．证明： (1)数列????

??S n n 是等比数列； (2)S n ＋1＝4a n .

证明 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n

， ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n .

∴S n ＋1n ＋1＝2·S n n ，又S 11＝1≠0，(小前提)

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故????

??S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论) (大前提是等比数列的定义，这里省略了)

(2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1

(n ≥2)， ∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1

·S n －1 ＝4a n (n ≥2)，(小前提)

又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提)

∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)

(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)

思维升华 演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，当大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．

跟踪训练 (1)(2017·全国Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则( )

A ．乙可以知道四人的成绩

B ．丁可以知道四人的成绩

C ．乙、丁可以知道对方的成绩

D ．乙、丁可以知道自己的成绩

答案 D

解析 由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀、1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩． 故选D.

(2)已知函数y ＝f (x )满足：对任意a ，b ∈R ，a ≠b ，都有af (a )＋bf (b )>af (b )＋bf (a )，试证明：f (x )为R 上的单调增函数．

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证明设x1，x2∈R，取x1<x2，

则由题意得x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)，

∴x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]>0，

[f(x2)－f(x1)](x2－x1)>0，

∵x1<x2，∴f(x2)－f(x1)>0，f(x2)>f(x1)．

∴y＝f(x)为R上的单调增函数．

高考中的合情推理问题

考点分析合情推理在近年来的高考中，考查频率逐渐增大，题型多为选择、填空题，难度为中档．

解决此类问题的注意事项与常用方法：

(1)解决归纳推理问题，常因条件不足，了解不全面而致误．应由条件多列举一些特殊情况再进行归纳．

(2)解决类比推理问题，应先弄清所给问题的实质及已知结论成立的缘由，再去类比另一类问题．

典例(1)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：

将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n}，可以推测：

①b2 018是数列{a n}的第________项；

②b2k－1＝________.(用k表示)

(2)设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y＝f(x)满足：(ⅰ)T＝{f(x)|x∈S}；(ⅱ)对任意x1，x2∈S，当x1<x2时，恒有f(x1)<f(x2)．那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是________．

①A＝N*，B＝N；

②A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|x＝－8或0<x≤10}；

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