上海市宝山区2013届高三第一学期期末数学学科质量监测试
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(解析版)上海市宝山区2013届高三第一学期期末数学学科质量监测试
本试卷共有23道试题,满分150分,考试时间120分钟.2013.1.19
考生注意:
1.本试卷包括试题卷和答题纸两部分,答题纸另页,正反面.
2.在本试题卷上答题无效,必须在答题纸上的规定位置按照要求答题. 3.可使用符合规定的计算器答题.
一、填空题 (本大题满分56分)本大题共有14题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.
1.在复数范围内,方程x2?x?1?0的根是 .
1232【答案】??i
【 解析】因为??b2?4ac?1?4??3?0,所以方程的根为虚根,所以x???12.已知??3??2??3?X?????51??0?? ?1?y??1?,则由题意知?w??3?2??x??1??zy??3???w???52??,则二阶矩阵X= . ?1??12?32 i。
【答案】???1??2?x【 解析】设X???z2??,根据矩阵乘法法?1??x?2z?3?x??1????1?y?2w?2?y?0则可?,解得?,即X????2?3x?z??5?z??2???3y?w??1?w??1????????0??. ?1?3.设A(2,3),B(?1,5),且AD?3AB,则点D的坐标是__________; 【答案】(?7,9)
????????【 解析】设D(x,y),则由AD?3AB得(x?2,y?3)?3(?1?2,5?3)?3(?3,2),即
,解得x??7,y?9,即D的坐标是(?7,9)。 x?2??9,y?3?6第 1 页 共 11 页 金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com
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4.已知复数(x?2)?yi (x,y?R)的模为3,则【答案】3
【 解析】由题意知(x?2)2?y2?半径为r?2k1?k2yx的最大值是 .
223,即(x?2)?y?3,所以对应的圆心为(2,0),
3。设k?yx,则y?kx。当直线与圆相切时,圆心到直线y?kx的距离为
yx?3,解得k??3,所以由图象可知
的最大值是3。
5.不等式x?372?92的解集是 _________________.
【答案】[?1,2]
7292927292【 解析】由x?3?得??x?3?3?1?x?8,所以解得?1?x?2,所以,即
不等式的解集为[?1,2]。
6.执行右边的程序框图,若p?0.95,则输出的n? .
【答案】6
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1n[1?()]1111n2【 解析】由程序框图可知S??()2???()n,则S?2?1?(), 122221?21当n?5时,S?1?()5?0.9687?0.95时,此时n?5?1?6,所以输出n?6。
217.将函数f(x)=3sinx1cosx?的图像按向量n?(?a,0)(a>0)平移,所得图像对应的函数
为偶函数,则a的最小值为 . 【答案】
56?
3cosx?sinx?2cos(x?),即y?2cosx(?a?【 解析】由题意知f(x)?f(x?a)?2cos(x?a?a??6?),按n?(?a,0)平移,得到函数
?6?6)此时函数为偶函数,所以,
56?6?k?,k?Z,所以a???6?k?,k?Z,所以当k?1时,a的最小值为?。
8.设函数f(x)是定义在R上周期为3的奇函数,且f(?1)?2,则f(2011)?f(2012)? _. 【答案】0
【 解析】因为f(x)是定义在R上周期为3的奇函数,所以f(?1)??f(1)?2。所以
f(1)??2。所以f(2011)?f(670?3?1)?f(1)??2,
f(2012)?f(670?3?2)?f(2)?f(?1)?2,所以f(2011)?f(2012)??2?2?0。
9.二项式(x?13x)展开式中的常数项是 (用具体数值表示)
1066【答案】(?1)C10?210
【 解析】二项展开式的通项公式为Tk?1?C(x)30?5k666k1010?k(?1330?5kx)?(?1)Cxkkkn6,由
?0,得k?6,所以常数项为T7?(?1)C10?210。
10.在?ABC中,若B?60?,AB?2,AC?23,则?ABC的面积是 . 【答案】23
ACsinBABsinC【 解析】由正弦定理?得sinC?ABsinBAC?2sin6023??12,因为AC?AB,
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所以C?B,所以C?300。所以A?90?,所以S?ABC?12AB?AC?12 ?2?23?23。11.若数列?an?的通项公式是an?3?n?(?2)?n?1,则 lim(a1?a2???an)=_______.
n??【答案】
76
11112)?(?12)???(?2【 解析】因为a1???an?[?()2??()n]?[1?(?33312)n?1]
1n1n(1?())1?(?))111n221n32?3???()??(?),
112233321?1?(?)321所以lim(a1?a2???an)?lim[n??n??12?11n221n127()??(?)]???。 2333223612.已知半径为R的球的球面上有三个点,其中任意两点间的球面距离都等于这三个点的小圆周长为4?,则R= . 【答案】23 ?R3,且经过
【 解析】设三点分别为A、B、C,球心为O,由题意知∠AOB=∠AOC=∠BOC=
R3R3?3,所以
AB=BC=CA=R,所以小圆半径为,小圆周长为2???4?,解得R=23.
13.我们用记号“|”表示两个正整数间的整除关系,如3|12表示3整除12.试类比课本中不等关系的基本性质,写出整除关系的两个性质.①_____________________;②_______________________.
【答案】①a|b,b|c?a|c;②a|b,a|c?a|(b?c); ③a|b,c|d?ac|bd;④a|b,n?N?a|b
【 解析】由类比可知整除关系的两个性,为①a|b,b|c?a|c;②a|b,a|c③a|b,c|d?ac|bd;④a|b,n?N?a|b。
14.设A(x1,y1),B(x2,y2)是平面直角坐标系上的两点,定义点A到点B的曼哈顿距离L(A,B)?x1?x2?y1?y2. 若点A(-1,1),B在y2?x上,则L(A,B)的最小值为 .
*nn*nna?|(bc)?;
【答案】
74
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?y2?y,y?1【 解析】L(A,B)?|?1?x|?|1?y|?|1?y|?|y?1|?y?1?|y?1|??,当
2?y?y?2,y?122y?1时,L(A,B)?,∴L(A,B)min?1?1?2;
2当y?1时,L(A,B)?(y?7412)?74274,当y?12时,L(A,B)min?74,
因为
?2,所以L(A,B)min?.。
二、选择题 (本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分. 15.现有8个人排成一排照相,其中甲、乙、丙三人两两不相邻的排法的种数为??( ) (A)P53?P33 (B)P88?P66?P33 (C)P63?P55 (D)P88?P64 【答案】C
【 解析】先排剩下的5个人有P5种,5个人之间有6个空,然后从6个空中选3个把甲乙
335丙三人进行排列此时有P6种,所以共有P6?P5种,选C.
5uuuruuuruurruuuruuuruuur?C?A0;③若16.在△ABC中,有命题:①AB?AC?BC;②AB?BCuuuruuuruuuruuuruuuruuurABC是等腰三角形;④若AB?CA?0,则△ABC为(AB?AC)?(AB?A)C?,则△0锐角三角形.上述命题正确的是??????????????????????( )
(A) ②③
(B) ①④ (C) ①②
(D) ②③④
【答案】A
uuuruuuruur【 解析】因为AB?A?,所以①错误。排除B,C. ②正确。由CCuuur2uuur2uuuruuuruuuruuur????????(AB?AC)?(AB?AC)?0得AB?AC?0,即AB?AC,所以△ABC是等腰三
uuuruuuruuuruuur角形,所以③正确。若AB?CA?0,则AB?AC?0,即?A为钝角,所以△ABC为钝角
三角形,所以④错误,所以上述命题正确的是②③,选A.
17.函数f(x)?x|arcsinx?a|?barccosx是奇函数的充要条件是???????( )
22(A) a?b?0 (B)a?b?0 (C)a?b (D)ab?0
【答案】A
?0?b?0,此时,【 解析】f(x)是奇函数且f(0)存在?f(0)?0?b??2第 5 页 共 11 页 金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com
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f(x)?x|arcsinx?a|,
由f(?1)??f(1)??|???a|??|2?2?a|???2?a???2?a?a=0.所以选A.
?x?1,x?[?1,0),18.已知f(x)??2则下列函数的图像错误的是????????( )
?x?1,x?[0,1], (A)f(x?1)的图像 (B)f(?x)的图像 (C)f(|x|)的图像 (D)|f(x)|的图像 【答案】D
【 解析】因为f(x)的图象是图象错误的是D.选D.
。所以|f(x)|?f(x),所以
三、解答题 (本大题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须写出必要步骤. 19. (本题满分12分)
?如图,直三棱柱ABC?A1B1C1的体积为8,且AB?AC?2,∠BAC=90,E是AA1的
中点,O是C1B1的中点.求异面直线C1E与BO所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)
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B1A1EA
OC1OC1A1EB1BBFCAC解:由V?S?AA1?8得AA1?4,?????????3分 取BC的中点F,联结AF,EF,则C1F//BO,
所以?EC1F即是异面直线C1E与BO所成的角,记为?. ?????????5分
C1F2?18,C1E22?8,EF222?6,?????????8分 56cos??C1F?C1E?EF2C1F?C1E56?,?????????11分
因而??arccos??????????????????12分
20. (本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分. 已知函数f(x)?Asin(?x??)(A>0,?>0,|?|<)的图像与y轴的交点为(0,1),它
2π在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0?2π,?2). (1)求f(x)的解析式及x0的值; (2)若锐角?满足cos??的值.
解:(1)由题意可得A?2,??1213,求f(4?)
T2?2π,T=4π,2π??4π即
,?????????3分
12x??),f(0)?2sin??1,由|?|<
π2f(x)?2sin(,???π6.
π??1f(x)?2sin?x??6??2???????????????????????????5分
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f(x0)?2sin(12x0?π6)?2,所以
12x0?2π3π6?2kπ+π2,x0?4kπ+2π3(k?Z),
又? x0是最小的正数,?x0?π1;????????????????????7分
(2)???(0,),cos??,?sin??23?cos2??2cos??1??f(4?)?2sin(2??π6)?2223,
4299?79,sin2??2sin?cos??3?,????????????10分
?469?793sin2??cos2??4279.???????14分
21.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
已知函数f(x)?log2(4x?b?2x?4),g(x)?x. (1)当b??5时,求f(x)的定义域; (2)若f(x)?g(x)恒成立,求b的取值范围.
解:(1)由4x?5?2x?4?0??????????????????3分 解得f(x)的定义域为(??,0)?(2,??).?????????6分 (2)由f(x)?g(x)得4x?b?2x?4?2x,即b?1??2x???4?????????9分 x?2?令h(x)?1??2x???4?,则h(x)??3,??????????????????12分 x?2?? 当b??3时,f(x)?g(x)恒成立.??????????????????14分
22.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分5分,第3
小题满分7分.
设抛物线C:y?2px(p?0)的焦点为F,经过点F的直线与抛物线交于A、B两点. (1)若p?2,求线段AF中点M的轨迹方程;
?2 (2) 若直线AB的方向向量为n?(1,2),当焦点为F??1?,0?时,求?OAB的面积; ?2? (3) 若M是抛物线C准线上的点,求证:直线MA、MF、MB的斜率成等差数列. 解:(1) 设A(x0,y0),M(x,y),焦点F(1,0),
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x0?1?x???x0?2x?1?2则由题意?,即???????????????2分
?y0?2y?y?y0??2所求的轨迹方程为4y2?4(2x?1),即y2?2x?1??????????4分 (2) y2?2x,F(,0),直线y?2(x?2112)?2x?1,????????5分
?y2?2x由?得,y2?y?1?0, ?y?2x?1AB?1?1k2y1?y2?52?????????????????7分
d?15, ?????????????????8分
S?OAB?12dAB?54 ?????????????????9分
(3)显然直线MA、MB、MF的斜率都存在,分别设为k1、k2、k3. 点A、B、M的坐标为A(x1,y1)、B(x2,y2)、M(-设直线AB:y?k?x???p2,m).
2pp?22y?y?p?0,????????11分 ,代入抛物线得?k2?2所以y1y2??p,?????????????????12分
22又y1?2px1,y2?2px2,
因而x1?p2?y122p?p2?12p?y21?p2?,x2?p2?y222p?p2?p422py1?p2?p2y12?y21?p2?
因而k1?k2?y1?mx1?p2?y2?mx2?p2?2p2?y1?m?22p?y1?p???p2?2y1???m??y1?2p?y1?p22???2mp?????14
分
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而k3?0?m?p?????2?2?p??2mp,故k1?k2?2k3.?????????????????16
分
23.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
已知定义域为R的二次函数f(x)的最小值为0,且有f(,直线1?x)?f(1?x)g(x)?4(x?1)被f(x)的图像截得的弦长为417,数列?an?满足a1?2,
* a?aga?fa?0n?N????????n?1nnn(1)求函数f(x)的解析式; (2)求数列?an?的通项公式;
(3)设b,求数列?bn?的最值及相应的n ?3fa?ga?n???nn?123 解:(1)设f(x)?a?x?1?2?a?0?,则直线g(x)?4(x?1)与y?f(x)图像的两个交点
16??4?1,? ???????????????????2分 ?aa?2为(1,0),? ??4??16???????a??a?2?417?a?0?,?a?1,f()x?x?1??
2??????4分
a?a?1,ga?4a?1 (2)f ??????nn?nn?a?a·4a?1?a?10? ? ????n?1nn?n?a?14a?3a?10? ? ???????????????5分 ??n?n?1n?22 ?????????????6分 a?2,?a?1,4a?3a?1?01nn?1na??1?a?1,a??11 ? ?n?1n143 数列?an?1?是首项为1,公比为33????a?1?,a? ?????nn????44n?134的等比数列???????????8分
n?1?1???????????????10分
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22n?1n?1?n?1n?????2??3??3???3??3? (3)b?3a?14a?1?3?????4???3????????? ?????nnn?1?4???4???4???????4???????3?令b?y,u???n?4?n?122??111??????3, 则y?3u???3u??????????12分 ??????4242????392791*距最近, ,,,??,经比较?n?N,?u的值分别为141664162189∴当n?3时,bn有最小值是?,??????????????15分
256当n?1时,bn有最大值是0 ????????????????18分
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