注册工程师公共基础材料力学复习手册

轴向拉压杆横截面上的内力，其作用线必定与杆轴线相重合，称为轴力，以N表示。轴力规定以拉力为正，压力为负。

轴向拉压杆横截面上的应力

σ=

NA

，σ为横截面上的正应力，Pa；N为轴力，N；A为

横截面面积，m2。

轴向拉压杆斜截面上的应力总应力pα

=

N

=σ0cosαAα

正应力σα=pαcosα=σ0cos2α剪切力τα

=pαsinα=

σ0

sin2α2

式中，α为由横截面外法线转至斜截面外法线的夹角，以逆时针转动为正；Aα为斜截面的截面积；σ0为横截面上的正应力。

σα拉应力为正，压应力为负；τα以其对脱离体内一点产

生顺时针力矩时为正，反之为负。

低碳钢在拉伸时的力学性能

1.卸载定律：在卸载过程中，应力和应变按直线规律变化。

2.冷作硬化：材料拉伸到强化阶段后，卸除荷载，再次加载时，材料的比例极限提高而塑性降低的现象。

主要性能指标

1.比例极限σp：应力与应变称正比的最高应力。2.弹性极限σe:不产生残余变形的最高应力。

3.屈服极限σs：应力变化不大而变形显著增加时的最低应力。

4.抗拉强度σb：材料在断裂前能承受的最大名义压力。低碳钢在压缩时的力学性能

比例极限σp、屈服极限σs、弹性模量E与拉伸时基本相同，但测不出抗压强度σb。

铸铁在拉伸时的力学性能

应力与应变无明显的线性关系，拉断前的应变很小，实验时只能测得抗拉强度。弹性模量E以总应变为0.1%时的割线斜率来度量。

铸铁压缩时的力学性能抗压强度比拉伸时大4-5倍。塑性材料：延伸率δ>5%的材料。脆性材料：延伸率δ<5%的材料。

屈服强度σ0.2:对于没有明显屈服阶段的塑性材料，材料产生0.2%时的残余应变时所对应的应力。

许用应力

材料正常工作时容许采用的最高应力

塑性材料[σ]=σs，脆性材料[σ]=σb，式中σs为屈服极限；

ns

nb

σb为抗拉强度，ns、nb为安全系数。

轴向拉压杆的强度条件为：σmax

=

Nmax

≤[σ]A

胡克定理：当应力不超过比例极限时，应力与应变成正比，即：σ

=Eε，式中

E为材料的弹性模量。

泊松比：当应力不超过材料的比例极限时，横向线应变

ε′与轴向线应变ε之比的绝对值为一常数，即ν=

1N2L

轴向拉压杆的弹性变形能：U=N L=

22EA1σ2Eε2

轴向拉压杆的弹性变形比能：u= ε==

22E2

ε′

ε

。

剪切：构件上受到一对大小相等、方向相反，作用线相距很近且与构件轴线垂直的力作用。

剪切强度条件：τ=

Q

≤[τ]AQ

挤压强度条件：σbs=Pbs≤[σbs]

Abs

剪应变γ（纯剪切）：在剪应力作用下，单元体两相互垂直边间直角的该变量。单位为rad，无量纲。在材料力学中规定以单元体左下直角增大时，γ为正，反之为负。

剪应力互等定理：在相互垂直的两个平面上，垂直于两平面交线的剪应力，总是大小相等，且共同指向或背离这一交线。

剪切胡克定律：τ=Gγ，式中G为材料的剪切弹性模量。对各向同性材料，E、G、ν间只有两个独立常数：G=

E

21+ν

扭转：杆两端受到一对力偶距相等、转向相反、作用平面与杆件轴线相垂直的外力偶作用。

扭转角 ：杆件任意两横截面间相对转动的角度。轴所传递的功率、转速与外力偶距间的关系：

T=9.55

N(kW)(kN/m)nr/min扭矩：受扭杆件横截面上的内力，是一个在截面平面内的力偶，其力偶距称为扭矩。

扭矩MT的正负号规定：以右手法则表示扭矩矢量，当矢量的指向与截面外法线的指向一致时，扭矩为正，反之为负。

圆杆扭转时的剪应力及强度条件

横截面上任一点的剪应力，其方向垂直于该点所在的半径，其值与该点到圆心的距离成正比：τρ=MT ρ。

Iρ

τmax=

MM

R=IρWt

，公式适用于线弹性范围，小变形条件下

的等截面实心或空心圆直杆；MT为所求截面上的扭矩；Ip称为极惯性矩，Wt称为抗扭截面系数。

πd4

对于实心圆截面：Ip=

32

πd3

，Wt=

16

πd4πD3d4

对于空心圆截面：Ip=(1 α)，Wt=(1 α4)，α=

3216D

圆杆扭转时的强度条件：

τmax=

MTmax

≤[τ]Wt

圆杆扭转时的扭转角及刚度条件

=

MLGIp

，GIp表示圆杆抵抗扭转弹性变形的能力，称为抗

扭刚度。

刚度条件：圆杆扭转时的最大单位长度扭转角不得超过规定的许可值，即θmax

MTmax1800=×≤[θ](0/m)GIpπ

1MT2L

扭转变性能：U=MT =

22GIp1τ2Gγ2

比能：u= γ==

22G2

截面图形的几何性质静矩与形心

设任意形状截面图形的面积为A，则图形

对z轴的静矩Sz=∫ydA=ycA，对y轴的静矩Sy=∫zdA=zcA

A

A

形心C的坐标yc=Sz，zc=

ASy

A

惯性矩和惯性积

设任意形状截面图形的面积为A，则图形

对z轴的惯性矩Iz=∫y2dA，对y轴的惯性矩Iy=∫z2dA

A

A

对O点的极惯性矩Ip=∫ρ2dA，

A

对y、z轴的惯性积Iyz=∫yzdA

A

惯性半径

设任意形状截面图形的面积为A，则图形对y轴和z轴的惯性半径分别为iy=

IyA

，iz

=

IzA

平行移轴公式

设任意形状截面图形的面积为A，形心为C，图形对形心轴yc、zc的轴惯性矩分别为Iyc、Izc，则图形对平行于形心轴y、z的惯性矩和惯性积分别为

Iy=Iy+b2A，Iz=Iz+a2A，Iyz=Iyz+abA

c

c

cc

主惯性轴：截面图形对于某一对正交坐标轴的惯性积为零，则这对轴称为主惯性轴，简称主轴。

主惯矩：截面图形对主轴的惯性矩，称为主惯矩。形心主轴：通过图形形心的一对主轴。形心主惯矩：截面图形对形心主轴的惯性矩。常用简单图形的惯矩：

bh3hb3

矩形：Iz=，Iy=

1212πd4

圆形：Iz=

64

πD4d

空心圆截面：Iz=(1 α4)，α=

64D

平面弯曲：荷载作用面与弯曲平面相平行或重合的弯曲产生平面弯曲的条件：

1.梁具有纵对称面时，只要外力都作用在此纵对称面内2.对非对称截面梁，纯弯曲时，只要外力偶作用在与梁的形心主惯性平面平行的平面内，横力弯曲时，横向力必须通过横截面的弯曲中心并在与梁的形心主惯性平面平行的平面内。

梁横截面上的内力分量--剪力与弯矩

剪力与弯矩的符号：考虑梁微段dx，使右侧截面对左侧截面产生向下错动的剪力Q为正，反之为负；使微段产生凹向上的弯曲变形的弯矩M为正，反之为负。

横截面上的剪力，其数值等于该截面左侧梁上所有外力在横截面方向的投影代数和。

横截面上的弯矩，其数值等于该截面左侧梁上所有外力对该截面形心的力矩代数和。

荷载集度与剪力、弯矩间的关系

设荷载集度q(x)为截面位置x的连续函数，且规定以向上为正，则有dQ(x)=q(x)，dM(x)=Q(x)

dx

dx

特殊截面上的剪力、弯矩值

1.在集中力作用的截面处，Q图有突变，M图成尖角。2.在集中力偶作用处，Q图无变化，但M图有突变。弯曲应力

纯弯曲：梁的横截面上只有弯矩而无剪力时的弯曲。中性层的曲率：1=

ρ

MEIz

，EIz为杆的抗弯刚度

平面弯曲杆件横截面上的正应力：

正应力的大小与该点至中心轴的垂直距离成正比，中性轴一侧为拉应力，另一侧为压应力。

任一点应力σ

=

MMMy，最大应力σmax=ymax=IzIzWz

M为所求截面的弯矩；Iz为截面对中心轴的惯性矩；Wz为抗弯截面系数。

bh3

对于矩形截面：Iz=

12πd4

对于圆形截面：Iz=

64

，ymax，ymax

=

hbh2=，Wz=26dπd3=，Wz=232Mmax

≤[σ]Wz

梁的正应力强度条件：σmax

弯曲剪应力和剪应力强度条件：1.矩形截面梁的剪应力

两个假设：①剪应力方向与截面的侧边平行；②沿截面宽度剪应力均匀分布。

QS*τ=，QbIz

为横截面上的剪力，Iz为整个横截面对中性轴

的惯性矩，S*z为横截面上距中性轴为y处横线一侧的部分截面对中性轴的静矩。

最大剪应力发生在中性轴处τmax

=3Q

2A

2.其他常用截面图形的最大剪应力均发生在中性轴上圆形截面τmax

=

4Q

，环形截面τmax=2Q，3AA

剪应力强度条件：τmax弯曲变形

Qmax S*zmax

=≤[τ]

bIz

挠曲线：在外力作用下，梁的轴线由直线变为光滑的弹性曲线，梁弯曲后的轴线称为挠曲线。

梁弯曲变形后，梁的每一个横截面都要产生位移，它包括三个部分：

1.挠度：梁横截面形心在垂直于轴线方向的线位移，记做ν。

2.转角：横截面相对原来位置绕中性轴所转过的角度，记作θ，θ≈tanθ=dv=v′。

dx

3.其他：横截面形心沿梁轴线方向的位移，小变形条件下可忽略不计。

d2v

挠曲线近似微分方程：2= M(x)= 1

dxEIzρ

挠度向下为正，转角顺时针为正。用叠加法求梁的位移

几个荷载同时作用下梁的任一截面的挠度或转角等于各个荷载单独作用下同一截面挠度或转角的总和（几何和）。

平面弯曲时的变形能

M2LEIθ2

纯弯曲时，弯矩为常量：U==

2EI2L

，θ= ML

EI

M2(x)EI

横力弯曲时，弯矩为变量：U=∫Ldx=∫(v′′)2dx

L22EI

组合变形时的弹性变形能等于各基本变形下变性能的

MT(x)N2(x)M2(x)总和：U=∫Ldx+∫Ldx+∫Ldx

2EA2GIp2EI

2

广义位移δ与广义力的乘积便代表广义力的功。与力相应的位移是线位移，与力偶对应的位移是角位移。

卡氏第二定理：

线弹性结构的变形能对任一广义力的偏导数对应于该广义力的广义位移，则δi= U。

Pi

拉压杆系的位移：δi=∑

EI

Pi

NjLj Nj

EAj Pi

梁的位移：δi=∫LM(x) M(x)dx钢架位移：δi=∑

NjLj NjM MT(x)M(x) M(x) +∫LT(x) dx+∫L dxEAj PiGIp PiEI Pi

主平面、主应力、主单元体

主平面：单元体中剪应力等于零的平面

主应力：主平面上的正应力。受力构件内任一点，均存在三个互相垂直的平面，三个主应力用σ1、σ2、σ3表示，且按代数值排列即σ1>σ2>σ3。

主单元体：用三对互相垂直的主平面取出的单元体。任意斜截面上的应力

若已知一平面应力状态σx、σy、τxy，则与x轴成α角的斜截面上的应力分量：

σα=

σx+σyσx σy

+cos2α τxysin2α22σx σy

sin2α+τxycos2α2

τxyxy

2

τα=

主平面的方位角：tan2α0=

主应力σmax

σmin

σ+σy σx σy=x+ 22 σx+σyσx σy= 22

2

+τxy 2 +τxy

2

2

，

单元体中互相垂直的两个截面上的正应力之和为常量，即σx+σy=σmax+σmin

=σα+σβ，式中β=α+900。

主剪应力及其作用面作用面方位角：tan2α1=数值τxy

σx σy 2

=± +τ 2 xy

2

σx σy

2τxy

主剪应力是单元体上垂直于零应力面所有截面上剪应力的极大值和极小值。

主剪应力作用面与主平面呈450角，即α1=α2±450应力圆方程

在平面应力状态σx、σy、τxy下，任意斜截面上的应力σα与

τα间的关系式为一个圆方程

σx+σy σα 2

σx σy 22

+τα= 2 +τxy

2

2

2

σx+σy σx

σy 2

圆心 ，圆半径 ,0 R=+τ 2 2 xy

应力圆作法

若已知平面应力状态σx、σy、τxy，则取横坐标为σ轴，纵坐标为τ轴，由(σx,τxy)确定点Dx，由(σy,τyx)确定点Dy，连接

DxDy交σ

轴于C，以C为圆心，x为半径作圆。

一点的最大正应力和最大剪应力最大正应力σmax最大剪应力τmax

=σ1=

σ1 σ3

2

，其作用平面与σ2方向平行且与

σ1、σ3的作用面成450。

四个常用的强度理论：最大拉应力理论：σr

1

=σ1

=σ1 ν(σ2+σ3)=σ1 σ3

=

1

(σ1 σ2)2+(σ2 σ3)2+(σ3 σ1)22

最大拉应变理论：σr最大剪应力理论：σr

2

3

形状改变比能理论：σr

4

最大拉应力理论、最大拉应变理论是关于脆性断裂的强度理论；最大剪应力理论、形状改变比能理论是关于塑性屈服的强度理论。

斜弯曲

横向力（或力偶）的作用线通过横截面的弯曲中心，但不平行于梁的形心主惯性平面。

弯曲平面与荷载作用平面不平行。任意横截面上任意点（y，z）的应力σ

=

MzyMyz

+IzIy

由σ=0条件确定中性轴位置：

tanα=

yMyII=×= tan ，z0MzIyIy

式中 为外力作用线与y轴的夹角。

强度条件

距中性轴最远的点是危险点。若截面具有棱角，则棱角点是危险点；无棱角的截面，应先确定中性轴的位置，再找到最远点（截面周边上平行中心轴的切点处）。危险点处于单向应力状态。

设危险点的坐标为(y1,z1)，则强度条件为

cos y1sin z1 M

≤[σ]或σmax=Mzmax+ymax≤[σ]σmax=Mmax +

IzIy WzWy

一般情况下，Iy≠Iz，所以弯曲平面不平行荷载作用面，中性轴垂直弯曲平面。

轴向力与横向力联合作用

任一横截面上的内力中，由轴向力引起轴力N，由横向力引起弯矩Mz、剪力Q

y。

横截面上任一点的正应力：σ=

N+Mzy

A

Iz

强度条件：σmax

=N+Mzmax≤[σ]

A

Wz

偏心压缩

（1）任一截面上的内力分量轴力N=-P弯矩

My=P×zp，Mz=P×yp

（2）应力计算

任一点K（y，z）的应力为

σ=

y PPzp zPyp yP z

= 1+2pz+2py AIyIzA iz iy

Iz

A

式中iz=，iy=

IyA

横截面中心轴位置由σ=0确定，中性轴为一条不通过截面形心的直线。

1+

yp y0i

2z

+

zp z0i

2y

=0，式中(z0,y0)为中性轴上任一点的坐标

zpyp P = 1+2z+2y ≤[σ] A iyiz

强度条件：σmax

扭转和弯曲的组合

某一截面上内力分量有扭矩MT以及相互垂直平面内的弯矩My和Mz，剪力Qy和Qz，通常略去不计。若构件的横截面为圆形或空心圆截面，先计算合成弯矩Mh=再按平面弯曲，计算正应力，则有

τ=

MT ρ

Ip

2

，然后，M2+Myz

，σ=Mh y

Iz

对于塑性材料，选用第三或第四强度理论，强度条件分

别为：

压杆稳定

失稳：压杆丧失其原有的直线形状的平衡而过渡为微弯状态的平衡的现象。

临界力：压杆保持直线形状的平衡为稳定平衡时，轴压

力的最大值，也即压杆在微弯状态下保持平衡的最小压力。

细长压杆临界力的欧拉公式：

π2EIPcr=

µL2

，式中，E为材料的弹性模量；I为压杆失稳而

弯曲时，横截面对中心轴的惯性矩；L为压杆长度；µ为长

度系数，与杆两端的约束条件有关。

在临界应力作用下，压杆横截面上的应力

Pcrπ2EIπ2Ei2π2Eσcr====2

AµL2AµL2λ

式中，i为截面的惯性半径，λ为柔度或长细比，λ=µL。

i

欧拉公式的适用范围

π2E

临界应力小于材料的比例极限，即σcr=2≤σp

λ

用柔度表示λ≥π最小柔度。

E

=λp，λp是压杆能够适用欧拉公式的σp

临界应力经验公式

临界应力总图：

压杆的稳定校核：1.安全系数法

压杆具有的工作安全系数n应不低于规定的稳定安全系数nst，即n=Pcr

P≥nst

2.折减系数法

压杆横截面上的应力不超过材料的许用应力乘以考虑稳定的折减系数，即σ

=

P

≤ [σ]A

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