2016-2017学年江苏省南通市海安高级中学高一下学期期末考试数学

2016-2017学年江苏省南通市海安高级中学高一下学期期末

考试数学试题

一、填空题

1．函数y?sin?2x?【答案】?

【解析】?函数的解析式为y?sin?2x?综上所述，答案为?.

2．已知集合A??x|?1?x?1?,B???1,0,2?，则A?B?___________． 【答案】?0?

【解析】? A??x|?1?x?1?,B???1,0,2?， ?A?B??0?，故答案为?0?. 3．函数y?12?x?x2的定义域为___________． 【答案】?3,4

22【解析】要使函数有意义，则12?x?x?0，即x?x?12?0，即?3?x?4，故

?????的最小正周期为__________． 3?????3??， ?函数的最小正周期为T?2???，2??函数的定义域为?3,4，故答案为?3,4.

4．在?ABC中，设角A,B,C的对边分别为a,b,c.若?a?b?c??b?c?a??3bc，则角A的大小为_________． 【答案】

????? 322222【解析】??a?b?c??b?c?a???b?c??a?b?c?a?2bc?3bc，即

b2?c2?a2?bc

b2?c2?a21???cosA??， ?A为三角形内角， ?A?，故选答案为.

332bc2【思路点睛】本题主要考查余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一

b2?c2?a2定要熟记两种形式：（1）a?b?c?2bccosA；（2）cosA?，同时还

2bc222要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需

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要记住30o,45o,60o等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.

5．已知某正四棱锥的底面边长和侧棱长均为2cm，则该棱锥的体积为__________

cm3.

【答案】42 33?3?1?2，体积为

【解析】侧面的高?2?2?1?3，正四棱的高为

2?2?4242. ?2，故答案为3332?，则?a?b?·b的值为_________. 36．设a,b为单位向量，且a,b的夹角为【答案】

1 2211??????2b?a?b?b?1?1?cos??1?，故答案为. 【解析】a?b·322??x7．已知方程2?4?x的根在区间?k,k?1??k?Z?上，则k的值为_________．

【答案】1

【解析】设f?x??2?x?4，则f?x?在???,???上递增，又?f?1???1?0，

xf?2??2?0， ?方程的根在?1,2?上，即k?1，故答案为1.

【方法点睛】判断函数y?f?x?零点个数的常用方法：(1) 直接法： 令f?x??0,则方程实根的个数就是函数零点的个；(2) 零点存在性定理法：判断函数在区间a,b上是连续不断的曲线，且f?a?·f?b??0,再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；(3) 数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题. 8．

????2n?110n?3的值为_________．

?【答案】2076 【解析】

??n?1102n?3=2?22?...?210?10?3????21?2101?2???30?2076，故答案为

2076.

【方法点晴】本题主要考查等比数列的求和公式以及利用“分组求和法”求数列前n项和，属于中档题. 利用“分组求和法”求数列前n项和常见类型有两种：一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加减；二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再

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相加减.

9．在正方体ABCD?A1BC11D1中，与AC1垂直的面对角线的条数是___________． 【答案】6

BD?平面ACA【解析】由BD?AC,BD?AA，从而可得AC?BD ，同理1 可得11可证与AC1垂直的面对角线还有有BD,BC1,AD1,AB1,DC1 ，因此AC1垂直的面对角线的条数是6，故答案为6 . 10．设函数f?x??ka__________． 【答案】3

【解析】?f?x??ka的的图象过点A?0,8?,B?3,1?， ?{?x?x?k?R,a?1?的图象过点A?0,8?,B?3,1?，则logak的值为

k?a0?8k?a?1?3 解得{k?8a?2 ，

?logak?log28?3，故答案为3.

11．如图，三个相同的正方形相接，则tan?ABC的值为__________．

【答案】

1 7

【解析】由两角差的正切公式可得， tan?ABC?3?211?，故答案为.

1?3?27712．钢材市场上通常将相同的圆钢捆扎为正六边形垛（如图），再将99根相同的圆钢捆

扎为1个尽可能大的正六边形垛，则剩余的圆钢根数为___________.

【答案】8

【解析】设正六边形边长由n个圆钢组成，则此正六边形共有圆钢的个数为，

22n??n?1??...???n??n?2????n??n?1?? 3n?3n?1?g?n?，当n?6时，

??g?n??91与99最接近，此时剩余圆钢根数为99?91?8，故答案为8.

???sin??????5???0，则13．已知sin?cos?4cos?sin的值为__________．

3??55?cos????10??第 3 页 共 10 页

【答案】

3 5【解析】?sin?cos?5?4cos?sin?5?0， ?tan??4tan?5，又??5?3???， 102???sin????sin?cos??cos?sin?3??3?5??55 ??cos?sin， sin??cos，

??3??105105?cos?sin?sin?coscos????5510??tan??tan?tan?5??5?tan?5?3，故答案为3.

?555tan51111?4y??10，则?的最大值为__________． xyxy3tan?14．已知正数x,y满足x?【答案】9 【解析】x?1111?4y??10，令??m， ?x?4y?10?m， xyxy?11?4yx4yx??x?4y?????m?10?m?， ?5???5?2??9， x?2y 时

xyxy?xy?等号成立，可得m?10?m??9,1?m?9,m的最大值为9，故答案为9.

【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值

时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用?或?时等号能否同时成立）.

二、解答题

15．如图，在直三棱柱ABC?A点D,E分别在棱BC,B1C1上（均异于端点），1B1C1中，且AD?C1D,A1E?C1D.

（1）求证：平面ADC1?平面BCC1B1；

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（2）求证： A1E// 平面ADC1.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】试题分析：(1) 利用面面垂直的判定定理，只需证明一个平面经过另一个平面的垂直，证明AD?平面BCC1B1即可；(2 )利用线面平行的判定定理，只需证明平面外的直线平行于平面内的一条直线，证明A1E//AD即可.

试题解析：

ABC，因为AD?平面ABC，所以（1）在直三棱柱ABC?A1B1C1中， CC1?平面

CC1?AD．

又AD?C1D， CC1?C1D?C1， CC1,C1D?平面BCC1B1，所以AD?平面

BCC1B1，

又AD?平面ADC1，所以平面ADC1?平面BCC1B1；

（2）因为A1E?C1D，由（1）同理可得， A1E?平面BCC1B1， 又由（1）知， AD?平面BCC1B1， 所以A1E//AD，

又A1E?平面ADC1， AD?平面ADC1， 所以A1E//平面ADC1．

【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、面面垂直的判定定理，属于中档题.

证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.

????????????????????16．设OA,OB不共线，且OC?aOA?bOB?a,b?R?.

（1）若a?12,b?，求证： A,B,C三点共线； 33（2）若A,B,C三点共线，问： a?b是否为定值？并说明理由.

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【答案】（1）证明见解析；（2）a?b?1.

????????????????????12【解析】试题分析：（1）将a?,b?代入OC?aOA?bOB，化简可得2BC?CA，

33即可得出结论；（2）根据向量共线的性质可得{a?1??b?? ，进而可得a?b为定值1.

????1????2????12试题解析：（1）当a?,b?时， OC?OA?OB，

3333?1????????2???????所以OC?OB?OA?OC，

33????????即2BC?CA，

????????????所以BC//CA，

所以A,B,C三点共线．

（2）a?b为定值1，证明如下：

????????因为A,B,C三点共线，所以AC//AB，

????????不妨设AC??AB???R?，

????????????????????????????所以OC?OA??OB?OA，即OC??1???OA??OB，

??????????????????????OC?aOA?bOB又，且OA,OB不共线，

由平面向量的基本定理，得{所以a?b?1（定值）．

17．已知?ABC的外接圆的半径为1， A为锐角，且sinA?（1）若AC?2，求AB的长；

a?1??b?? ，

3. 51，求tanC的值. 3879【答案】（1）；（2）.

53（2）若tan?A?B???34，从而得cosA?，再由余弦定理45313anA?，列方程可得AB的长；（2）由（1）得t再由两角差的下切公式可得tanB?，

4979从而得tanC??tan?A?B??.

3abc???2R得， 试题解析：（1）在?ABC中，由正弦定理

sinAsinBsinC36a?2RsinA?2?1??，

55【解析】试题分析：（1）由正弦定理可得sinA?第 6 页 共 10 页

【答案】（1）证明见解析；（2）a?b?1.

????????????????????12【解析】试题分析：（1）将a?,b?代入OC?aOA?bOB，化简可得2BC?CA，

33即可得出结论；（2）根据向量共线的性质可得{a?1??b?? ，进而可得a?b为定值1.

????1????2????12试题解析：（1）当a?,b?时， OC?OA?OB，

3333?1????????2???????所以OC?OB?OA?OC，

33????????即2BC?CA，

????????????所以BC//CA，

所以A,B,C三点共线．

（2）a?b为定值1，证明如下：

????????因为A,B,C三点共线，所以AC//AB，

????????不妨设AC??AB???R?，

????????????????????????????所以OC?OA??OB?OA，即OC??1???OA??OB，

??????????????????????OC?aOA?bOB又，且OA,OB不共线，

由平面向量的基本定理，得{所以a?b?1（定值）．

17．已知?ABC的外接圆的半径为1， A为锐角，且sinA?（1）若AC?2，求AB的长；

a?1??b?? ，

3. 51，求tanC的值. 3879【答案】（1）；（2）.

53（2）若tan?A?B???34，从而得cosA?，再由余弦定理45313anA?，列方程可得AB的长；（2）由（1）得t再由两角差的下切公式可得tanB?，

4979从而得tanC??tan?A?B??.

3abc???2R得， 试题解析：（1）在?ABC中，由正弦定理

sinAsinBsinC36a?2RsinA?2?1??，

55【解析】试题分析：（1）由正弦定理可得sinA?第 6 页 共 10 页

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