第3讲 - 自由落体与竖直上抛运动

2012年高考物理一轮复习讲析练精品学案

第3讲 自由落体与竖直上抛运动

★基础精讲★

一、自由落体运动 知识讲解

1.定义:物体只在重力作用下从静止开始下落的运动,叫自由落体运动. 2.特点 ①初速度v0=0.

②受力特点:只受重力作用,没有空气阻力或空气阻力可以忽略不计. ③加速度是重力加速度g,方向始终竖直向下. 3.运动性质

自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动. 4.自由落体加速度

在同一地点,一切物体在自由落体运动中的加速度都相同,这个加速度叫自由落体加速度,也叫重力加速度.

①方向:重力加速度g的方向总是竖直向下.

②大小:随地点的不同而不同.一般计算中取g=9.8m/s,题中有说明或粗略计算中也可

2

取g=10m/s.

在地球表面上从赤道到两极,重力加速度随纬度的增大而逐渐增大;在地球表面上方越高处的重力加速度越小.在其他星球表面的重力加速度不可简单认为与地球表面的重力加速度相同.

5.自由落体运动的规律

自由落体运动可以看成匀变速直线运动在v0=0,a=g时的一种特例,因此其运动规律可由匀变速直线运动的一般公式得出

2

活学活用

1.关于自由落体运动,下列说法正确的是（） A.物体竖直向下的运动就是自由落体运动 B.加速度等于重力加速度的运动就是自由落体运动 C.在自由落体运动过程中,不同质量的物体运动规律相同 D.物体做自由落体运动位移与时间成反比

解析：自由落体运动是指初速度为零,加速度为g的竖直向下的匀加速直线运动.A选项加速度不一定为g,故A错.B选项中物体的初速度不一定为0,运动方向也不一定竖直向下,不符合自由落体的定义,故B错.加速度g与质量无关,则运动规律也与质量无关,故C对.自由落体的位移:x=

答案：C

二、竖直上抛运动 知识讲解

1.概念:将物体以一定的初速度竖直向上抛出去,物体只在重力作用下的运动叫竖直上抛运动.

2.基本特征:只受重力作用且初速度竖直向上,以初速度方向为正方向则a=-g. 3.竖直上抛运动的基本规律 速度公式:v=v0-gt 位移公式:x=v0t-

122

gt,x与t成正比,故D错. 212

gt 22

速度—位移关系:v-v0 =-2gx 4.竖直上抛运动的基本特点 ①上升到最高点的时间t=v0/g.

②上升到最高点所用时间与从最高点落回到抛出点所用时间相等.

落回到抛出点的速度与抛出时速度大小相等,方向相反,上升过程与下落过程具有对称性,利用其运动的对称性解决问题有时很方便.

2v0. ③上升的最大高度H=2g2活学活用

2.在h=12m高的塔上,以一定初速度竖直上抛出一个物体,经t=2s到达地面,则物体抛

出时初速度v0多大?物体上升的最大高度是多少?(离地面的高度)(g取10m/s)

解析：

方法一:把物体看做匀减速上升和自由下落两个过程.设上升时间为t1,下降时间为t2.则物体抛出的初速度v0=gt1,物体上升到达最高点时离地面的高度H=

2v0H??h,又t1+t2=t=2s,联立以上四式得v0=4m/s,H=12.8m.

2g2

12gt2,同时2方法二:看做竖直向上的匀减速运动.由于落地点在抛出点的下方,所以h=-12m.

2v012则:h=v0t-gt,得v0=4m/s,物体上升到达最高点时离塔的距离h′= =0.8m，物体离地

2g2面的最大高度H=h+h′=12.8m.

答案：4m/s12.8m

点评：比较二步分析法和整体分析法，可以看到它们共同之处是都认定运动全过程中的

加速度为恒量，即是重力加速度，运动是匀变速直线运动.只要公式应用得当，运算正确，算得的结果肯定一致.它们的区别在于二步分析法比较形象，容易接受，但计算比较麻烦.整体分析法较为抽象，但对运动实质理解得较为透彻，具体运算简便（运用时需要特别注意公式的矢量性）.

★考点精析★

2.考点整合

考点1 自由落体运动规律及应用

V0?0加速度为g的匀加速直线运动．自由落体：只受重力作用，由静止开始的运动．g的取值与那些因素有关 ①与纬度有关g赤＜g两极 ； ②与高度有关；③与地下矿藏有关

Vt?gt；自由落体公式（以开始运动为t=0时刻），其运动规律公式分别为：H?Vt2?2gH

12gt；2【例1】一个物体从塔顶上下落，在到达地面前最后1s内通过的位移是整个位移的9/25，求塔高．（g取10m/s2）

解析：设物体下落总时间为t，塔高为h，则：

1291gt,(1?)h?g(t?1)2 225212由上述方程解得：t=5s，所以，h?gt?125m

2答案：h?125m h?[方法技巧]通常要用初速度为零的匀变速直线运动特殊规律求解．

【例2】[易错题] 调节水龙头，让水一滴滴流出，在下方放一盘子，调节盘子高度，使

一滴水滴碰到盘子时，恰有另一滴水滴开始下落，而空中还有一滴正在下落中的水滴，测出水龙头到盘子的距离为h，从第一滴开始下落时计时，到第n滴水滴落在盘子中，共用去时间t，则此时第（n+1）滴水滴与盘子的距离为多少？当地的重力加速度为多少？

解析：设两个水滴间的时间为T，如图3-1所示，根据自由落体运动规律可得：

2hh1?(n?1)T?t ?gT2, g42h/4 所以求得：此时第（n+1）滴水滴与盘子的距离为

3h ，4h (n?1)2当地的重力加速度g=h . 22t图3-1 2(n?1)3h答案：；h 242t[方法技巧]准确地确定从第一滴开始下落，到第n滴水滴落在盘子中的时间间隔个数是关键．

【实战演练】(2011·德州模拟)在竖直的井底，将一物块以11 m/s的速度竖直地向上抛出，物块冲过井口时被人接住，在被人接住前1 s内物块的位移是4 m，位移方向向上，不计空气阻力，g取10 m/s2，求：

(1)物块从抛出到被人接住所经历的时间； (2)此竖直井的深度.

【答案】 (1)1.2 s (2)6 m

【详解】(1)设被人接住前1 s时刻物块的速度为v，则有：即

解得v=9 m/s.

则物块从抛出到被人接住所用总时间为

(2)竖直井的深度为

考点2 竖直上抛运动规律及应用

竖直上抛：只受重力作用，初速度方向竖直向上的运动．一般定V0为正方向，则g为负值．以抛出时刻为t=0时刻．Vt?V0?gt h?V0t?① 物体上升最高点所用时间: t?12gt 2V0； g

V02② 上升的最大高度:H?

2g③ 物体下落时间（从抛出点——回到抛出点）:t?2V0 g④ 落地速度: Vt??V0，即：上升过程中（某一位置速度）和下落过程中通过某一位置速度大小总是相等，方向相反．

⑤ 竖直上抛运动的上升阶段和下降阶段具有对称性，包括速度对称和时间对称.

1.速度对称

上升和下降过程经过同一位置时的速度大小相等、方向相反. 2.时间对称

上升和下降过程经过同一段高度的上升时间和下降时间相等.

【例3】气球以10m/s的速度匀速竖直上升，从气球上掉下一个物体，经17s到达地面．求物体刚脱离气球时气球的高度．（g=10m/s2）

解析：可将物体的运动过程视为匀变速直线运动．规定向下方向为正，则物体的初速

2

度为V0=－10m/s,g=10m/s 则据h=V0t?121gt,则有：h?(?10?17??10?172)m??1275m 22∴物体刚掉下时离地1275m．

答案：1275m．

[方法技巧]有两种常见方法：（1）全程要用匀变速直线运动规律．注意速度、加速度、位移的方向，必须先规定正方向；（2）分阶段要用匀变速直线运动规律并同时注意上升和下降过程的速率、时间的“对称性”．

【例4】[易错题]一个小球作竖直上抛运动,经过时间t1上升到位置x1,经过时间t2上升到位置x2,小球上升到最高点后下落到位置x2的时间为t3,继续下落到位置x1的时间为t4.

22

求证重力加速度g=8(x2-x1)/[(t4-t1)-(t3-t2)]. 解析：此题求证结果较为复杂,若不加选择地套用竖直上抛运动公式,则很难理出头绪,但如果抓住竖直上抛运动中时间的对称性----从某一位置上升到最高点和从最高点落回该位置所用的时间相等,则可简化问题的处理.

2

设最高点到位置x1的距离为h1,则h1=g[(t4-t1)/2]/2;

2

设最高点到位置x2的距离为h2,则h2=g[(t3-t2)/2]/2;而h1-h2=x2-x1.将以上三式整理即可证.

[方法技巧]抓住对称性，将从某一位置上升到最高点转化为从最高点落回该位置

高考重点、热点题型探究

重点1：竖直上抛运动规律的应用

[题1]一杂技演员，用一只手抛球、接球．他每隔0.40s抛出一球，接到球便立即把球抛出．已知除正在抛、接球的时刻外，空中总有4个球．将球的运动近似看做是竖直方向的运动，球到达的最大高度是（高度从抛球点算起，取g?10m/s）：

A．1.6m B.2.4m C.3.2m D.4.0m

[解析] 空中总有四个球，每两个相邻的球间的时间间隔为0.40s，则每个球上往返时间

2

为1.60s，即上升阶段时间为0.80s，根据竖直上抛运动规律可知，上升和下落时间对称，故球达到的最大高度为：h?121gt??10?0.802m?3.2m． 22[答案] C

[名师指引]考点：竖直上抛运动．利用竖直上抛运动的上升和下落时间的对称性求解． 热点1：竖直上抛运动模型的应用

[题2]原地起跳时，先屈腿下蹲，然后突然蹬地．从开始蹬地到离地是加速过程（视为匀加速），加速过程中重心上升的距离称为“加速距离”．离地后重心继续上升，在此过程中重心上升的最大距离称为“竖直高度”．现有以下数据：人原地上跳的“加速距离”“竖直高度”h1?1.0m；跳蚤原地上跳的“加速距离”d2?0.00080m，“竖d1?0.50m，

直高度”h2?0.10m．假想人具有与跳蚤相等的起跳加速度，而“加速距离”仍为0.50m，则人上跳的“竖直高度”是多少？

[解析] 用a表示跳蚤起跳的加速度，v表示离地时的速度，则对加速过程和离地过程分别有v?2ad2..............(1) v?2gh2..............(2)

若假想人具有和跳蚤相同的加速度a，令v表示在这种假想下人离地时的速度，H表示与此相应的竖直高度，则对加速过程和离地后上升过程分别有

22v2?2ad1..............(3) v2?2gH..............(4)

由以上各式可得 H?[答案] 63m

[名师指引]考点：竖直上抛运动．认识、了解人跳离地面的全过程是解决此类问题的关键．

h2d1...................(5)代入数值，得 H?63m................(6) d2

★课后精练★

◇限时基础训练（20分钟）

班级 姓名 成绩

1．（原创题）伽利略通过观察与思考，提出一个大胆的猜想：下落物体的速度随着时间均匀增加．伽利略直接用实验验证下落物体的速度v?t遇到了一些困难，因此他设计了斜面实验，下列叙述错误的是（ ）

A．不能测出下落物体的瞬时速度

B．如何用斜面实验验证了v?t的关系来说明落体运动也符合这个规律 C．下落物体定位困难

D．当时还没有准确的计时工具

2．一位同学在探究影响落体运动的因素时，设计了如下四个小实验： 实验（1）：让一张纸片和一枚硬币同时从同一高度落下 实验（2）：让两张相同纸片，一张揉成一团，一张摊开，同时从同一高度下落

实验（3）：让小纸团与硬币同时从同一高度下落 实验（4）：在抽成真空的玻璃管中，让小纸片、小纸团、小硬币同时从人同一高度落下 对上述四个实验，下列说法正确的是（ ） A．（1）中硬币与纸片同时落地 B．（2）中两者同时着地 C．（3）中硬币先着地 D．（4）中三者同时落地

3．石块A自塔顶自由落下H时，石块B自离塔顶h处自由下落，两石块同时着地，则塔高为（ ）

(H?h)2(H?h)2H2A．H?h B． C． D．

4(H?h)4HH?h4．某人在高层建筑的阳台外侧以v?20m/s的速度竖直向上发出一个小物体，当小物

块运动到离抛出点15m处时，所经历的时间可能是（ ）

A．1s B．(2?7)s C．3s D．4s

5．一物体从较高处作自由落体运动，经ts后刚好着地．已知t为大于3的整数，取

g?10m/s2,则( )

A．第1s内物体下落的高度为5m B．第3s内物体下落的高度为25m

C．第ts内物体下落的高度为5(2t?1)m D．第(t?1)s内物体下落的高度为5(2t?3)m

6. 一根长L=1m的铁索从楼顶自由下落，则此铁索经过楼顶下距楼顶h=5m的A点，需时间为多少？（g取10m/s）

7．自由下落的物体，自起点开始依次下落三段相等位移所用时间的比是

A．1∶3∶5 B．1∶2 ∶3

C．1∶4∶9 D．1∶（2 －1）∶（3－2 ）

8．在一根轻绳的两端各拴一个小球，一人用手拿绳上端的小球站在三层楼的阳台上放手让小球自由下落，两球落地时间差为△t．如果站在四楼阳台上，重复上述实验，则两球落地时间差会（ ）

A．不变 B．变大 C．变小 D．由于层高不知，无法比较

2

9．在离地高20m处将一小球以速度v0竖直上抛，不计空气阻力，取g=10m/s，当它到达上升最大位移的3/4 时，速度为10m/s，则小球抛出后5s内的位移及5s末的速度分别为（ ）

A．－25m，－30m/s B．－20m，－30m/s C．－20m，0 D．0，－20m/s 10．从某一高处先后落下两个铁球，两球用长35m的细绳相连．第一球降落1s后，第

2

二球开始降落，若不计空气阻力，第二个球下降多长时间细绳刚好被拉直（g取10m/s）？

限时基础训练参考答案 1．答案：C．

2．答案：D点拨： 自由落体运动是一个理性化运动模型，在考虑受力的主要因素（重力）、可以忽略次要因素（阻力）情况下，一般物体运动就可看成自由落体运动.能否将不同情景下的小纸团、小纸片、小硬币所做的运动看成是自由落体运动，关键在于除要求其初速度为零之外，它是否只受重力作用或者受到的阻力与重力相比可以忽略．

3．答案：B．点拨：用速度时间图像或选择B作参考系求解．选择B作参考系，则A

2

h?H12(H?h)2相对B作匀速直线运动，两石块相遇时t?，故塔高x?h?gt?

4H22gH4．答案：ABC．点拨：15m可能在抛出点之上，也可能在抛出点之下．

5．答案：A、B、C、D.关键是求出第ts内物体下落高度的通项表达式, 第ts内的平均速度等于第ts的中间时刻的瞬时速度,第ts的中间时刻是(t?0.5)s末,而(t?0.5)s末的速度为vt?0.5?a(t?0.5)．用h表示第ts内物体下落的高度,则第ts内平均速度

h?g(ts?0.5s),h?10(t?0.5)m 1s6．解析：铁链下端到达A点的时间为：t1?端到达A点的时间为： t1?2(h?L)?g2?4s?0.894s，铁链上102h?g2?5s?1s，所以铁链通过A点的时间是：10?t?t2?t1?(1?0.894)s?0.106s

7．D 解析：直接应用初速度为零的匀变速直线运动规律可得 8．C 解析：t1?2h，t2?g2(h?l)，?t?t1?t2?g2h2(h?l)?，对此式应gg用极限分析法：当楼层高度趋近无穷时，时间差趋近于零，所以楼层越高则时间差越小．

29．C 解析：v0?2gH，v2?v0??2g?23?H，解得v0?20m/s．抛出的物体在空4中运动时间设为t，则有：?20?20t?静止，C正确．

10．3s 解析：

12gt，解得t?(2?22)s?5s，5s后小球在地面211g(t?1)2?gt2?35，t?3s 22◇基础提升训练

1．物体做自由落体运动，则

A．第2s内的位移是9.8m B．第2s内的位移是14.7m

C．第2s内的平均速度是9.8m/s D．第2s内的平均速度是14.7m/s

2．物体由某一高度处自由落下，经过最后2m所用的时间是0.15s，则物体开始下落的高度约为（ ）

A. 10m B. 12m C. 14m D. 15m

3．某人在静止的湖面上竖直上抛一小铁球，小铁球上升到最高点后自由下落，穿过湖水并陷入湖底淤泥中一段深度．不计空气阻力，取向上为正方向，如图1-3-4所示，最能反映小铁球运动过程的速度时间图线的是（ ）

v v v v

t A B t C 图1-3-4

t D A t 刻度cm 0 25 60 105 B C

光源 D 图1-3-5

4．科技馆中有一个展品，如图1-3-5所示，在较暗处有一个不断均匀滴水的水龙头，在一种特殊的灯光照射下，可观察到一个个下落的水滴，缓慢调节水滴下落时间间隔到适当情况，可看到一种奇特现象，水滴似乎不再下落，而是像固定在图中A、B、C、D四个位置不动.一般要出现这种现象，照明光源应该满足（ g = 10m/s2）

A．普通光源即可 B．间歇发光，间歇时间0.02s C．间歇发光，间歇时间0.1s D．间歇发光，间歇时间0.5s

5．为了求出某一高楼的高度，让一石子从楼顶自由下落，空气阻力不计，测出下列哪个物理量的值就能计算出高楼的高度（ ）

A．石子开始下落1s内的位移 B．石子落地时的速度

C．石子最后1s内的位移 D．石子通过最后1m的时间 基础提升训练参考答案

1．答案：BD．第2s内的平均速度等于1.5s末的瞬时速度，v1.5s?gt?9.8?1.5m/s?14.7m/s．

2．答案：A．设总时间为ts,则最后一段时间0.15s的中间时刻为(t?0.075)s末,故最后2m的平均速度为

2m1?g(t?0.075)s,t?1.4s,故可得下落的高度h?gt2?10m. 0.15s23．答案：C．点拨：根据各阶段的受力特点判断加速度大小的变化情况．

4．答案CD. 点拨：运用逐差法计算时间间隔，另外还需要考虑水滴位置的重叠特点.．若

A、B、C、D四个位置处水滴为连续掉下的水滴，则设相邻两个水滴间时间间隔为T,则有

CD?BC?gT2，得T?CD?BC，代入数据可得T = 0.1s.由于人观察水滴的视觉，在g间隔地光照时水滴位置可能出现重叠现象，因此照明光源应该间歇发光，且间歇时间为0.1s或为0.1s的整数倍，选项CD正确．

5．答案：BCD．解析：要求出高楼的高度，必须事先知道与末状态有关的物理量，故选项A错误，选项BCD正确．

◇能力提升训练

1.一个物体从高h处自由落下，其时间达到落地时间一半时，下落的高度为 A.

1h 2 B.

11h C.h 48 D.

1h 122.甲的重力是乙的3倍，它们从同一地点同一高度处同时自由下落，则下列说法正确的是

A.甲比乙先着地

B.甲比乙的加速度大 C.甲、乙同时着地

D.无法确定谁先着地

3.图1-3-2中所示的各图象能正确反映自由落体运动过程的是 

图1-3-2 4.一观察者发现，每隔一定时间有一个水滴自8 m高处的屋檐落下，而且看到第五滴水刚要离开屋檐时，第一滴水正好落到地面，那么这时第二滴水离地的高度是

A.2 m B.2.5 m C.2.9 m D.3.5 m

5.一个石子从高处释放，做自由落体运动，已知它在第1 s内的位移大小是s，则它在第3 s内的位移大小是

A.5s B.7s C.9s D.3s

6．自来水由水管口滴出水滴，每相邻水滴滴出的时间间隔基本上是相等的，在水管口的正下方，倒扣一个小盆，水滴滴到盆底，发出响声．逐渐向上移动小盆，直到看到水滴从水管口刚好滴出时，恰听到水滴落到盆底的响声，记录盆底距地面的高度H1=10cm，再继续上移小盆，第二次、第三次看到水从水管口滴出同时听到水滴到盆底的响声，分别测出H2=75cm，H3=130cm，g取10m/s2．求：

（1）相邻水滴滴出的时间间隔； （2）自来水水管口离地面的高度．

7．起跳摸高是学生常进行的一项活动，小亮同学身高1.72 m，体重60 kg，站立时举手达到2.14 m,他弯曲两腿，再用力蹬地，经0.4 s竖直跳起，设他蹬地的力大小恒为1050 N，不计空气阻力，取g=10 m/s２，求小亮同学起跳摸高的最大高度是多少?

8．在地面上以初速度2V0竖直上抛一物体A后，又以初速V0同地点竖直上抛另一物体B，若要使两物体能在空中相遇，则两物体抛出的时间间隔?t必须满足什么条件？（不计空气阻力）

9．如图1-3-3所示是我国某优秀跳水运动员在跳台上腾空而起的英姿.跳台距水面高度为10 m，此时她恰好到达最高位置，估计此时她的重心离跳台台面的高度为1 m，当她下降到手触及水面时要伸直双臂做一个翻掌压水花的动作，这时她的重心离水面也是

2

1 m.(取g=10 m/s)

（1）从最高点到手触及水面的过程中其重心可以看作是

自由落体运动，则该运动员在空中完成一系列动作可利用 图1-3-3 的时间为多长?

（2）假设该运动员身高160cm，重心在近似与其中点重合，则该运动员离开跳台的速度大小约多大？

10．一位蹦床运动员仅在竖直方向上运动，弹簧床对运动员的弹力F随时间t的变化规律通过传感器用计算机绘制出来，如图1-3-6所示，取重力加速度g=10m/s2．试结合图象，求运动员在运动

图1-3-6 过程中：

（1）跳起的最大高度，起跳时的初速度； （2）最大加速度．

能力提升训练参考答案

1.B；解析：根据初速度为零的匀变速直线运动规律：连续相等时间内的位移比为

s1:s2:s3:s4:s5:......?1:3:5:7:9:......可得：h1? 2. C；解析：自由落体运动时间：t?h 42h，不难看出下落时间与物体的质量无关． g3. C；解析：自由落体运动物体的速度图象应该是过坐标原点的一条斜线，所以图C正确；其位移图象是抛物线，所以图D不正确．

4．D解析：由题意可知，空中5个水滴把高度划为4个等时间间隔，根据初速度为零的匀变速直线运动规律：连续相等时间内的位移比为

s1:s2:s3:s4:s5:......?1:3:5:7:9:......，第2滴水离地面的高度为h4，有：

7:(1?3?5?7)?h4:8，所以：h4?3.5m

5．A；解析：根据初速度为零的匀变速直线运动规律：连续相等时间内的位移比为

s1:s2:s3:s4:s5:......?1:3:5:7:9:......可知：第3s内的位移为5s

6．解析：（1）?h?g??t，?t?0.1s（2）求出第2次听到的水滴碰到盆底的速度：

2v2130?10?2?0.75(m)?2.55m v??10m/s?6m/s，则水管口离地高度：h?2g2?0.17．解析：小亮同学起跳摸高包含两个过程：第一阶段用力蹬地获得一定的初速度，第

二阶段竖直上抛达最大高度．蹬地 由F=ma知：F-mg=ma1 a1=7.5 m/s2

vt=at=3.0 m/s

v竖直上抛?h=t=0.45 m 所以摸高

2gH=h0+h=2.59 m

8．解析：如按通常情况，可依据题意用运动学知识列方程求解，这是比较麻烦的．如换换思路，依据

2

s=V0t-gt/2作s-t图象，则可使解题过程大大简化．如图3-2所示，显然，两条图线的相交点表示A、B相遇时刻，纵坐标对应位移SA=SB．由图3-2可直接看出Δt满足关系式

2S A B O t Δt 4V0/g 6V0/g 2V0/g 图3-2

2V04V??t?0时， B可在空中相遇． gg2h，代入数据g9． 解析：（1）这段时间人重心下降高度为10 m ，空中动作时间t=

得t=2 s=1.4 s

（2）该运动离开跳台后重心升高：(1-0.8)m=0.2m，设离开跳台的速度为v0，由竖直上抛

运动规律得：v0?2gh?2?10?0.2m/s?2m/s

10．答案：（1）10m/s；（2）40m/s2．点拨：（1）将运动员在空中近似看作竖直上抛

11?t运动，从图中可看出运动员在空中运动的时间为?t?2s，所以H?gt2?g()2?5m222故运动员离开蹦床时的初速度为v?2gH?10m/s．（2）Fm?mg?mam，Fm?2500N，

am?40m/s2．

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