高中数学必修1--必修5整合资料第一至七讲

2011年暑假补课高二数学复习讲义 第一讲 函数概念与性质（张永国）

一、函数的定义

对于y?f(x)而言，任意一个x的取值，在y?f(x)的作用下，都有唯一的y值与之对应。 其中：x取值称自变量，y对应的取值称函数值。

二、函数的表示法：

1.解析式法。如：s??? y?ax?hx?c(a?0) 2.列表法 3.图像法

三、分段函数的理解

22?f(x1)?f(x)?2 f(x)???......??f(xn)x?A1x?A2......x?An

?x2?3(x?0)?(x?0) 例1：已知函数f(x)??1?x?4(x?0)?（1） 求f[f(f(?4))]的值 （2）若f(x)?7，求x 2

四、函数定义域、函数解析式的认识

1.函数定义域的求解方法：①分式函数→分母不为零 ②偶次根式函数→根式内非负 ③多个函数组合→定义域交集 ④y?f(x)与y?f[g(x)]定义域关系 例2：已知f(x)定义域为[-1,2]，求f(3x)的定义域。 已知f(3x)定义域为[-1,2]，求f(x)的定义域。

2.函数解析式的理解和扩展①y?f(x)与y?f[g(x)]函数解析式间关系。 ②变量赋值法求解函数解析式。③利用函数重要性质，求解函数值。

1

例3：已知f(

11?1)?2?1，求f(x)。 xx例4：设函数f(x)满足f(?x)?2f(x)?x?3，求f(x)的解析式。

五、函数的值域 0

1函数值域的求解方法

①二次函数的值域 y?ax?bx?c(a?0)

②根式函数的值域 y?x?2x?1 ③分式函数的值域 y?例5：求下列函数的值域（1）y?x?2x?1 （2）y?

六、函数的单调性 1.函数单调性的定义：

在函数y?f(x)定义域I内的某一区间A内，，任意取x1?x2，都有f(x1)?f(x2)，则称f(x)为此区间A上的增函数。

同理，若x1?x2，有f(x1)?f(x2)，称f(x)为此区间A上的减函数。 例6：判断函数y=2x+3在R上的单调性

000

2.函数单调性的判断手段1图像法 2直接法 3定义法 3.函数单调性的性质

1多个函数f(x)、g(x)、…单调性与f(x)?g(x)单调性关系。 2单调性求函数值域。 3复合函数单调性的判断依据。

例7：函数y=f(x)的图象与y=2的图象关于直线y=x对称，求函数y=f(4x-x)的递增区间

x20

0

0

23x?4 x2?12x。 2x?x?1 2

七、反函数

1．反函数定义。

2．反函数存在的条件：原函数在区间七一一对应。 3．反函数与原函数定义域、值域间的关系。

反函数值域=原函数定义域 反函数定义域=原函数值域 4.反函数的求解步骤：①由y?f(x)解得x?f ②对调x,y位置，得y?f?1?1(y)

(x) ③求反函数定义域

5.原函数与反函数图像关于y=x对称。

6.若（a,b）在函数y=f(x)图象上，则(b,a)在y?f例8：求函数y?3x?1（x<0）的反函数。

八、奇偶性

1.奇偶函数满足的条件：（1）定义域关于原点对称（2）f(-x)=f(x)或-f(x) 2.奇偶函数的性质：（1）偶函数图象关于y轴对称，奇函数图象关于原点对称

（2）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间单调性相反，奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间单调性相同

（3）奇函数在x=0处有意义时，有f(x)=0 例9：已知函数f(x)=x+

22?1(x)图象上

a(x?0,a?R)讨论f(x)的奇偶性 x

九、周期性

定义：函数的最小正周期必须满足下列两个条件： （1）对于定义域内任意x，均有f(x+T)=f(x)

（2）T是所有周期中最小正数，即nT为周期(n?Z且n?0)即有f(x+nT)=f(x) 例10：设函数f(x)是定义域R上的奇函数，对任意实数x有f(x+（1）证明y=f(x)是周期函数，并求出其周期 （2）若f(1)=2求f(2)+f(3)的值

（3）若g(x)=x+ax+3,且y=|f(x)|g(x)是偶函数，求函数h(x)=log

3

233)= -f(-x)成立 221(a?)2( x+x+a)的单调区间

2

作业布置

1.已知g(x)??

?x?1(x?0)，f(x)?x2?1,求f[g(x)]、g[f(x)]。

?2?x(x?0)1?x212.g(x)?1?2x，f[g(x)]?，求(x?0)f()的值。 22x

3.已知f(x)?

4.已知函数f(x)?

5.f(x)??x?2x?1在区间[-3,a]上是增函数，求a的取值范围。

6.若定义在[-1,1]上的函数f(x)满足f(?x)??f(x)，且f(x)为减函数，若

212?2x，求f(?5)?f(?4)?...?f(5)?f(6)的值。

ax?b的值域为[-1,4]，求实数a，b的值。 x2?1f(1?a)?f(1?a2)?0，求a的范围。

7.作出函数y?1?x(x?1)的图像。

8.求函数y=- x+2x(x?0)的反函数

9.设f(x)是定义在（0，+∞）上的单调增函数，且对定义域内任意x,y都有求使不等式f(x)?f(x?3)?2成立的x的取值范围。 f(x?y)?f(x)?f(y)?f(2)?1，

10.若函数满足f(?x)??f(x)，且f(x)在（0，+∞）上是增函数，且f(?2)?0，则

2xf(x)?0的解集？

4

2011年暑假补课高二数学复习讲义

第二讲 二次函数、指数函数、对数函数（张永国）

基本知识点

一、二次函数的图像与性质 解 析 式 y?ax2?bx?c(a?0) a>0 a<0 图像 开口方向 对 称 轴 顶点 单 调 性 在(??,?在[?向上 b 2a向下 直线x??b4ac?b2(?,) 2a4ab]上递减； 2a在(??,?在[?b]上递增； 2ab,??)上递增。 2ab,??)上递减。 2a最 值 当x??b时， 2a当x??b时， 2a4ac?b2 y取最小值4a4ac?b2 y取最大值4a二、指数函数与对数函数 1、 指数式与对数式的关系

（1）ab?N?b?logaN(a?0,且a?1)； （2）alogaN?N；

1（3）logaa?1； （4）loga?0。

2、（1）指数运算性质与对数运算性质对照 指数式 ax?ay?ax?y ax?ay?ax?y (ax)y?ax?y 对数式 loga(x?y)?logax?logay logax?logax?logay ylogaxby?ylogab x（2）对数换底公式

5

①logab?logcb(a?0且a?1,c?0且c?1)。 logca②logab?logba?1。

3、指数函数与对数函数的图像和性质 定义 值域 指数函数 y?ax(a?0,a?1的常数）叫对数函数 y?logax(a?0,a?1的常数）指数函数 (0,??) 叫对数函数 (??,??) 图像 性质 （1）y>0 （2）图像经过（0，1）点 （3）若a>1，则 当x>0时，y>1； 当x<0时，01。 （4）若a>1时，y?ax为增函数；00 （2）图像经过（1，0）点。 （3）若a>1, 则当x>1时，y>0； 当00。 （4）a>1时，在(0,??)上y?logax为增函数；0

[例1]设二次函数f(x)?x2?ax?a，方程f(x)?x?0的两根x1和x2满足0?x1?x2?1。

（1） 求实数a的取值范围； （2） 试比较f(0)?f(1)?f(0)与

[例2]设函数f(x)?ax2?bx?1（a,b为实数），F(x)???f(x)(x?0)。 (x?0)?f(x)?1的大小，并说明理由。 16（1） 若f(?1)?0且对任意实数均有f(x)?0成立，求F(x)的表达式；

（2） 在（1）的条件下，当x?[?2,2]时，g(x)?f(x)?kx是单调函数，求实数k的取值范

围。

6

[例3]已知函数f(x)?3x?k（k为常数），A(-2k,2)是函数y?f（1） 求实数k的值及函数y?f（2） 将y?f?1?1?1(x)图像上的点。

(x)的解析式；

(x)的图像沿x轴向右平移3个单位长度，得到函数y?g(x)的图像，求函

?1数F(x)?2f

(x)?g(x)的最小值。

[例4]已知函数f(x)?loga(ax?x)(a?0,a?1)。 （1） 求函数f(x)的定义域；

（2） 若a=2，求f(x)在区间[1，4]上的最值； （3） 讨论f(x)在定义域上的单调性。

[例5]设f(logax)?a(x2?1)x(a?1)2。

（1） 求f(x)的表达式，并判断函数f(x)的奇偶性； （2） 判断函数f(x)的单调性；

（3） 对于f(x)，当x?(?1,1)时，恒有f(1?m)?f(1?m2)?0，求m的取值范围。

[例6]某厂家拟在2008年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与促销费用m万元(m?0)满足x?3?k（k为常数）。如果不搞促销活动，则该产m?1品的年销售量只能是1万件。已知2008年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）。

（1） 将2008年该产品的利润y（万元）表示为年促销费用m（万元）的函数； （2） 该厂家2008年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

7

作业布置

1、设P（3，1）为二次函数f(x)?ax2?2ax?b(x?1)的图像与其反函数y?f一个交点，则a= ，b= 。

2、设函数y?4?log2(x?1)(x?3)，则其反函数的定义域为 。

3、函数f(x)?1?log2x与g(x)?2?x?1在同一直角坐标系下的图像大致是 （ ）

(A) (B) (C) (D)

4、已知函数f(x)?2x2?1(x)的图像的

?2x?a(?2?x?2)。

（1）写出函数f(x)的单调区间；

（2）若f(x)的最大值为64，求f(x)的最小值。

5、设a,b?R，且a?2，定义在区间(?b,b)内的函数f(x)?lg（1）求b的取值范围；

（2）判断并用定义证明函数f(x)的单调性。

6、已知二次函数f(x)?ax2?bx?c（a,b,c均为实数），且同时满足下列条件： ①f(?1)?0；

②对于任意的实数x，都有f(x)?x?0； ③当x?(0,2)时，有f(x)?(（1） 求f(1)；

（2） 求a,b,c的值；

（3） 当x?[?1,1]时，函数g(x)?f(x)?mx（m是实数）是单调函数，求m的取值范围。 7、已知函数f(x)?(log0.5x)2?log0.5(2x)?5，x?[2,4]，求f(x)得最大值和最小值。

8、预计某地区明年从年初开始的前x个月内，对某种商品的需求总量f(x)（万件）近似满足：f(x)?x(x?1)(35?2x)(x?N*，且x?12)。

（1）写出明年第x个月的需求量g(x)（万件）与月份x的函数关系式，并求出哪个月份的需求量超过192万件； （2）如果将该商品每月都投放市场P万件，要保证每月都满足供应，P应至少为多少万件？（不计积压商品）

x?12)。 21?ax是奇函数。 1?2x

8

2011年暑假补课高二数学复习讲义 第三讲 三角恒等变换（张永国）

基本知识点

一、 角的概念

1、 任意角：按旋转方向可分为正角、负角、零角。 2、 终边相等的角

（1） 所有与角?终边相同的角，可表示为2k???(K?Z)。

（2） 所有与角?终边落在同一直线上的角，可表示为k???(K?Z)。 （3） 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同。

二、 弧度制与角度制的互换

1、 弧度与角度的互化：?弧度=180度

2、 弧长公式：l?R?，扇形的面积公式：S扇?

三、 同角三角函数的基本关系式 1、 平方关系：sin??cos??1

221lR。 2sin??tan? cos?3、 倒数关系：tan??cot??1

2、 商数关系：

四、 三角函数的诱导公式

2k???(k?Z)，??，???的三角函数值等于?的同名函数值，前面加上一个把?看成锐角时原函数值的符号；

?2??的正弦（余弦）函数值，分别等于?的余弦（正弦）

函数值，前面加上一个把?看成锐角时原函数值得符号。 简记为：奇变偶不变，符号看象限。

五、 三角恒等变换

1、 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 （1）sin(???)?sin?cos??cos?sin? （2）cos(???)?cos?cos??sin?sin?

9

（3）tan(???)?tan??tan?1?tan??tan?

2、二倍角的正弦、余弦、正切公式，其中 （1）sin2??2sin?cos? （2）tan2??2tan?1?tan2? （3）cos2??cos2??sin2??2cos2??1?1?2sin2? 3、常见公式的变形

（1）升幂公式：1?cos2??2cos2?,1?cos2??2sin2? （2）降幂公式： cos2??1?cos2?1?cos2，sin2??2?2 六、解三角形 1、正弦定理：

asinA?bsinB?csinC?2R 2、余弦定理：a2?b2?c2?2bccosA，b2?c2?a2?2accosBc2?a2?b2?2abcosC

3、三角形中常用公式及常用角关系 （1）常用公式 ①S?12ah?12absinC ②勾股定理：c2?a2?b2 ③射影公式：a?bcosC?ccosB

（2）常用角关系

A?B?C??；

A?B2??C2?2。 例题选讲

[例1]化简sin2?sin2??cos2?cos2??12cos2?cos2?

[例2]已知：tan(???4)??12(?2????) （1）求 tan?的值；（2）求

sin2??2cos2?sin(???的值。

4) 10

，

[例3]在?ABC中，?A、?B、?C的对边分别为a、b、c，若bc osC?ccosB?2acosB。

（1） 求?B；（2）当b=2时，求?ABC面积的最大值。

[例4]在?ABC中，若bsinC?csinB?2bc?cosB?cosC，试判断三角形的形状。

[例5]已知A、B、C是?ABC三内角，向量m?(?1,3)，n?(cosA,sinA)，且m?n?1。

（1） 求角A；（2）若

[例6]如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行。当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的B1处，此时两船相距20海里。当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2处，此时两船相距102海里，问乙船每小时航行多少海里？

作业布置 1、若cos(???)???2222????1?sin2B??3，求tanC。

cos2B?sin2B13，cos(???)?，则tan?tan?= 。 5511

2、已知sin??cos??1?3，且????，则cos2?的值是 。 5243、设0?x?2?，且1?sin2x?sinx?cosx，则（ ）

5??7??3? （C）?x? （D）?x?

4444227?12?11774、若sin(（A）? （B）? （C）（D） ??)?，则cos(?2?)?（ ）

6333399（A）0?x?? （B）

??x????(x?2007)s(ix?)?n5、设f(x)??，则f(20624

(x?2007)??f(x?4))?f(207)?f(208)?f(209)等于（ ）（A）0 （B）1 （C）2 （D）1?2 6、在?ABC中，cos2Ab?c（a、b、c分别为角A、B、C的对边），则?ABC的形状?22c为（ ）

（A）正三角形 （B）直角三角形 （C）等腰三角形或直角三角形 （D）等腰直角三角形 7、已知sin(???3)?sin???43?， ????0，求cos?的值。 528、已知角A、B、C是?ABC的三个内角，a、b、c是各对边，若向量

??5??9A?BA?Bm?(1?cos(A?B),cos)，n?(,cos)，且m?n?。

2828absinC（1）求tanAtanB的值；（2）求2的最大值 22a?b?c

9、在?ABC中，a、b、c是角A、B、C所对的边，且cos2B?2cosB?2cos(A?C)。 （1）求角B的值；（2）若?ABC的面积S?23，求a+c的最小值。

10、如图，ABCD是一块边长为100m的正方形地皮，其中AST是一半径为90m的扇形小山，其余部分都是平地。一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在ST上，相邻两边CQ、CR落在正方形的边BC、CD上。求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值。

12

2011年暑假补课高二数学复习讲义 第四讲 三角函数的图像和性质 （张永国）

基本知识点

一、三角函数的图像和性质 函数 y?sinx y?cosx y?tanx 图像 定义域 x?R [-1，1] 在x?R [-1，1] 在{x?R|x?k?Z}?2?k?, 值域 R [?单调性 ?2?2k?,?2[()2k?1)?,2k?](k?Z)?2k?](k?Z上递增；在在(??上递增；在[?2?2k?,3?[)2k?,(2k?1)?](k?Z)?2k?](k?Z2上递减 2(k?Z)?k?,?2?k?)上递增 上递减 x??2?2k?(k?Z)时，ymax?1；y?2k?(k?Z)时，ymax?1；无最值 最值 x???2?2k?(k?Z)y?n?2k?(k?Z)时，ymin??1 偶 对称轴x=k? ,k?Z 对称中心奇 无对称轴，对称中心时，ymin??1 奇偶性 奇 对称性 ?对称轴x=k?+,k?Z 2对称中心(k?,0),k?Z (k???(周期 2? ,0),k?Z 22? k?,0),k?Z 2? 13

二、作函数y?Asin(?x??)的图像的方法 1、用“五点法”作图

五点的取法：设z??x??，由z取0，再用描点法作图。 2、图像变换

由函数y?sinx的图像通过变换得到y?Asin(?x??)的图像有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”。 方法一：先平移后伸缩

?3,?，?，2?来求相应的x值及对应的y值，22y?sinx的图像

向左(??0)或向右(??0)得y?sin(x??)的图像

平移?个单位1横坐标变为原倍来的?纵坐标不变纵坐标变为原来的A倍y?As横坐标不变得

y?sin(?x??)的图像

?x?i?)的图像。n (1横坐标变为原来的倍方法二：先伸缩后平移y?sinx的图像

?纵坐标不变y?sin(?x??)得y?sin?x的图

像

向左(??0)或向右(??0)平移?个单位?得的图像

纵坐标变为原来的A倍y?Asin(?x??)的图像。

横坐标不变例题选讲

[例1]将函数y?sin?x(??0)的图像按向量a?(???6,0)平移，平移后的图像如图所示，

则平移后的图像所对应函数的解析式是（ ）(A) y?sin(x??6) (B)

y?sin(x??6)(C) y?sin(2x??) (D) y?sin(2x?) 33?[例2]若函数y?f(x)的图像上每点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整个图像沿x轴向左平移

1?个单位，沿y轴向下平移1个单位，得到的曲线与y?sinx2214

1?1?sin(2x?)?1 (B) y?sin(2x?)?1 22221?11?(C) y?sin(2x?)?1 (D) y?sin(x?)?1

24224的图像相同，则y?f(x)（ ）(A) y?[例3]已知函数f(x)?sinx?3sinxcosx?2cosx,x?R， （1） 求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；

（2） 函数f(x)的图像可以由函数y?sin2x(x?R)的图像经过怎样的变换得到？

[例4]已知f(x)?2sin(x?22?)?cos(x?)?23cos2(x?)?3。 222??（1） 求函数f(x)的周期；

（2） 若0????，求?，使函数f(x)为偶函数； （3） 在（2）的条件下，解不等式f(x)?1。

[例5]已知点A(1,0),B(0,1),C(cos2x,sin2x)，x?R （1） 若AC?BC，且x?[0,?)，求x的值；

（2） 设函数f(x)?AC?BC，试求函数f(x)的最大值，并求使f(x)取最大值时的x

的值。

作业布置

1、已知正弦函数y?Asin(?x??)(A?0,??0)的图像如图所示： （１）求此函数的解析式f1(x)；

（２）求与f1(x)的图像关于ｘ＝８对称的函数的解析式f2(x)； （３）作出函数y?f1(x)?f2(x)的图像的简图。

2、如图是正弦函数y?Asin(?x??)(A?0,??0)的图像的一段。 （１）求此函数解析式f1(x)；

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（２）求此函数关于直线x?

?6对称的函数图像的解析式f2(x)；

3、已知函数f(x)?sin(?x??)(??0,0????)是Ｒ上的奇函数，其图像关于点

3?M(?,0)对称，且在区间[0,]上是单调函数，求?和?的值。

44

4、已知a?(1,2sinx)，b?(3cos2x,?cosx)，设函数f(x)?a?b。 （１）若x?[??,0]，求f(x)的最大值、最小值并求出对应的ｘ值； （２）求f(x)在区间[??,0]上的递减区间。

????5、已知向量a?(sinx,cosx)，b?(cosx,?cosx)，f(x)?2a?b?a。

（１）写出函数f(x)的解析式；（２）求f(x)的单调区间；

（３）若在[0,?]上， f(x)?m有两个不同的实根，求实数ｍ的取值范围。

??6、已知向量a?(sin2x,1)，向量b?(2sin(x??2cosx3??（１）求函数f(x)的单调递减区间，x?[?,]，??0；

84??4,1)，函数f(x)??a?b?1。

)??（２）当??2时，写出由函数y?sin2x的图像变换到与y?f(x)的图像重叠的变换过程。

????7、已知向量a?(cosx?3,sinx)，b?(cosx,sinx?3)，f(x)?a?b。

（１）若x?[2?,3?]，求函数f(x)的单调递增区间； （２）若x?(

??,)，且f(x)??1，求tan2x的值。 42 16

2011年暑假补课高二数学复习讲义 第五讲 平面向量（张永国）

基本知识点

一、向量的概念

1、 零向量：零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0。 2、 单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，非零向量a的单位向量为

??a|a|。

3、 共线向量：方向相同或相反的向量叫做共线向量（平行向量）。

4、 直线的方向向量：如果直线l的斜率为k，则a?(1,k)是直线l的一个方向向量。 5、 向量的投影：bcos(a,b)叫做b在向量a方向上的射影。 二、向量的运算

1、 向量的加法、减法、数乘运算是基础，应熟练掌握其运算规律。 2、 两非零向量的数量积：

b，（1） 已知两非零向量a，则a与b的数量积为a?bcos?，记作a?b?a?bcos?，

其中??{a,b。

（2） 两非零向量a，b的夹角为?，则cos??三、两非零向量平行、垂直的充要条件 若a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，则

（1） 平行：a||b?a??b(??0)?x1y2?x2y1?0。 （2） 垂直：a?b?a?b?0?x1x2?y1y2?0。 四、距离公式与定比分点

1、 距离公式：A(x1,y1)、B(x2,y2)两点间的距离，即为AB? (x2?x1)2?(y2?y1)2。

a?bab。

?x???2、 定比分点：若P1P??PP2，则?1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y)，且P?y???定?的值时，一定要分清起点、分点、终点。

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x1??x21??。确y1??y21??

例题选讲

[例1]若a?(cos?,sin?)，b?(cos?,sin?)，且ka?b?3a?kb，其中k>0。 （1） 用k表示a?b；

（2） 求a?b的最小值，并求出此时a与b所成的角?(0????)的大小。

[例2]设O为坐标原点，OA?(acosx,cosx)，OB?(2cosx,bsinx)，已知当x=0时，

?OAB是以OB为斜边的直角三角形，且当x?f(x)?OA?OB。

（1） 求使f(x)?2的x的集合；

?4时，点A恰为线段OB的中点，令

（2） 若????k?(k?Z)，且f(?)?f(?)，求tan(???)的值。

[例3]已知向量a?(2cosx,1)，b?(1,m?3sin2x)(x?R,m?R, y?a?b)。 （1）求y关于x的函数表达式y?f(x)； （2）当x?[0,

[例4]已知0???2?2]时，f(x)的最大值为3，求m的值；

?4,?为f(x)?cos(2x??8)的最小正周期，a?(tan(??1?),?1)，42cos2??sin2(???)b?(cos?,2)，且a?b?m，求的值。

cos??sin?

18

[例5]已知?ABC的面积为3，且满足0?AB?AC?6，设AB和AC的夹角为?。

（1） 求?的取值范围； （2） 求函数f(?)?2sin2(

?4??)?3cos2?的最大值与最小值。

作业布置

1、如图，在?ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线 分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若AB=mAM，

AC?nAN，则m+n的值为 。

2.如图，在四边形ABCD中，|AB|+|BD|+|DC|=4, |AB||BD|+|BD||DC|=4,

AB?BD=BD?DC=0，则（AB+DC）?AC= 。

3、已知非零向量AB与AC满足(---------三角形

4. 设两个向量a?(??2,??cos?)和b?(m,22ABACABAC1?)?BC?0且(?)?，则?ABC为 ABACABAC2m?sin?)，其中?，m，?为实数，若2a?2b，则

?的取值范围是 。 m19

5.给定下列五个命题：

① 若向量OP，OA，OB满足OP?tOA?(1?t)OB(t?R)，则P在直线AB上； ② 已知A(3,2),B(4,1)，y=2x交直线AB于P，则P分AB所成的比??③ 已知a， b，c是三个非零向量，若a+b=0，则|ac|=| bc|； ④ 在?ABC中，a=5，b=8，c=7，则BC?CA?20； ⑤ a与b是共线向量?a?b?a?b。

其中真命题的序号是 。（请把你认为是真命题的序号都填上）

6.向量a?(2,2)，向量b与向量a的夹角为（1） 求向量b；

4； 73?，且a?b??2。 4b?t，c?(cosA,2cos2（2） 若t?(1,0) C)，其中A、C是?ABC的内角，若三角形2的三个内角A、B、C依次成等差数列，试求b?c的取值范围。

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2011年暑假补课高二数学复习讲义

第六讲 数列（张永国）

考试说明解读

本专题在高考试题中一般有1—2题客观题，1题解答题，分值20分左右。客观题的难度属于中档，解答题时常会与函数、三角、不等式知识交汇的问题，属于中档以上或较难题，主要考查等差数列和等比数列，要熟悉它们的性质、特点及各自的通项公式，前n 项公式，要熟悉利用递推公式求通项公式的一些常用方法。解答题第一问较容易。

基本知识点

1.等差数列的递推公式及通项公式：已知等差数列｛an ｝，的首项为a1 ，公差d，则： 递推公式：＿＿＿＿=d (n≥2); 通项公式：an=＿＿＿＿.（推导过程）

2.等差中项：由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，＿＿＿＿叫做a与b的等差中项。

3. 若｛an｝是公差为d的等差数列，则： （1）an=am+＿＿d,(m,n∈N)；

（2）若正整数m，n，p，q满足m+n=p+q,则an+am=＿＿+＿＿；

(3)在等差数列｛an｝中，若m+n=2p，（m，n，p∈N),那么an+am=＿＿； 4.等差数列前n项和公式：

(1).公式一：Sn=＿＿＿＿； 公式二：Sn=＿＿＿＿；（.公式推导过程）

（2）设等差数列{an}前 n项和为Sn，求证：Sm，S2m- Sm，S3m- S2m也成等差数列.

5.等比数列递推公式及通项公式：递推公式：＿＿＿＿＿＿；通项公式：＿＿＿＿＿＿；(推导过程)

6.等比中项：如果在a与b之间插入一个数G，使a，G，b成＿＿＿＿，那么G叫做a，b的等比中项，这三个数满足关系式＿＿＿＿。

7.在等比数列中，若m+n=p+q(m，n，p，q∈N），则aman=＿＿；

21

***

8. 在等比数列｛an ｝中，若m+n=2k，(m，n，k∈N*），那么aman=＿＿；

9.等比数列前n项和公式

（1）.已知首项、公比与项数：Sn=＿＿＿＿（q≠1）；Sn=＿＿＿＿（q=1）； （2）. 已知首项、公比与末项：Sn=＿＿＿＿（q≠1）；Sn=＿＿＿＿（q=1）； （3）.如何推导等比数列的前n项和公式？

（4）设等比数列{an}前 n项和为Sn，求证：Sm，S2m- Sm，S3m- S2m也成等比数列.

例题选讲

考点1：等差数列基本问题

例1（09福建）等差数列{an}前 n项和为Sn,且S3=6,a3=4, 则公差d=_____

考点2：等差数列前 n项和问题

例2（09湖南）设等差数列{an}前 n项和为Sn，已知a2=3,a6=11,则S7=_____

考点3：等比数列基本问题

例3（09海南、宁夏）设等比数列{an}公比为q>0，已知a2=1,an?2+an?1=6an则数列{an}的前四项和S4=_____

考点4：等比数列前n项和问题

例4（09辽宁）设等比数列{an}前 n项和为Sn，若

S6S=3, 则9=_____ S3S6 22

考点5：等差数列与等比数列的交汇问题

例5（09宁夏、海南）设等比数列{an}前 n项和为Sn且4a1,2a2,a3成等差数列，若a1=1，则S4=_____

考点6：数列的递推问题

例6（08江西）数列{an}中a1=2，an?1= an+ln(1+

考点7：数列综合问题

例7（09安徽）数列{an}前 n项和为Sn=2n+2n,数列{bn}前 n项和为Tn=2- bn. (1)求{an}，{bn}通项公式; (2)设cn=an

221),则an=_____ nbn,证明当且仅当n≥3时，cn?1

作业布置

1. 等差数列{an},且a7-2 a4=-1, a3=0, 则公差d=_____

2. 设等比数列{an}公比为q>0，a1=1,a5=16, 数列{an}前 n项和S7=_____

3. 在等比数列{an}中，a3?a?4a6?a7=81，则a1?a9=_____ 4.数列1

11111，2，3，4?，n+n前 n项和为Sn=_____ 248162 23

1222321025.求和2??2????????22=_____

1?10222?923?8210?1

6. 已知数列{an}前 n项和为Sn=n2+n-1,求其通项公式并判断它是否是等差数列

7.已知an=

8. 数列{an}中，a1=1，an?1=2an+2 （1）设bn=

n2123n，bn=，求{bn}前 n项和Sn ????????an?an?1n?1n?1n?1n?1an，证明数列{bn}是等差数列； 2n?1（2）求数列{an}前 n项和Sn

9. 等比数列{an}前 n项和为Sn，已知对任意n∈N点(n, Sn)均在函数y=b+r(b>0且b≠1,b,r均为常数)的图像上 （1）求r的值 （2）当b=2时, 设bn=

*xn?1*（n∈N），求数列{bn}前 n项和Tn 4an

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2011年暑假补课高二数学复习讲义

第七讲 不等式（张永国）

考试说明解读

不等式包括不等式性质、解法、线性规划和不等式证明四部分内容。高考设置一道客观题和一道单独（如2011年）或与其它知识交汇的解答题，分值17分左右。客观题主要考查不等式性质、基本不等式的应用、一元二次不等式、线性规划；解答题主要考查不等式与函数、数列、导数交汇问题以及不等式的求证通法（比较法、综合法、分析法）。

基本知识点

1.不等式基本性质（比较两个数大小关系的依据）：

a-b>0?＿＿＿; a-b=0?＿＿＿; a-b<0?＿＿＿; 2.不等式性质

(1)a>b?b＿＿a; (2)a>b,b>c ?a＿＿c (3)a>b?a+c＿＿b+c; (4)a>b,c>0?ac＿＿bc;a>b,c<0?ac＿＿bc; (5) a>b,c>d?a+c＿＿b+d; (6)a>b>0,c>d>0?ac＿＿bc; (7)a>b>0,n∈N,n≥2,an＿＿bn; (8) a>b>0,n∈N,n≥2,na ＿＿nb.

11＿＿ ab11（10）ab<0，a>b?＿＿

ab（9）ab>0，a>b?3.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系： 判别式△=b-4ac 二次函数y=ax+bx+c (a>0)的图象 一元二次方程ax+bx+c=0 (a>0)的根 一元二次不等式ax+bx+c>0 (a>0)的解集 一元二次不等式ax+bx+c<0 (a>0)的解集 4. 二元一次不等式表示的平面区域 在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax+By+C>0表示直线＿＿＿某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成＿＿＿以表示区域不包括边界。

不等式Ax+By+C≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成＿＿＿。 5.二元一次不等式表示的平面区域的确定

（1）对于直线Ax+By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C所得的符号都

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22222△>0 △=0 △<0

＿＿＿。

(2)在直线Ax+By+C=0的一侧取某个特殊点(x0，y0)，由＿＿＿的符号可以断定Ax+By+C>0表示的是直线Ax+By+C=0哪一侧的平面区域。 6.线性规划中的基本概念 名称 约束条件 线性约束条件 目标函数 线性目标函数 可行解 可行域 最优解 线性规划问题 7.两个不等式： 不等式 成立的前提条件 等号成立的前提条件 重要不等式 基本不等式（证明方法） 意义 关于变量x,y的＿＿＿ 关于x,y的一次不等式（或方程）组成的＿＿＿ 欲求最大或最小值的关于x,y的函数解析式 关于x,y的一次解析式 满足＿＿＿的解(x,y) 由所有＿＿＿组成的集合 使目标函数取得＿＿＿的可行解 在＿＿＿条件下线性目标函数的最大或最小值问题 8.基本不等式与最值 已知x,y都是正数，

（1）若x+y=s(和为定值)，则当x=y时，积xy取得＿＿＿. （2）若xy=p（积为定值），则当x=y时，和x+y取得＿＿＿. 上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大.

例题选讲

考点1：不等式性质的应用 例1（09重庆）已知a>0,b>0,则

考点2：一元二次不等式的解法

例2 如果kx+2kx-(k+2)<0恒成立，则实数k的取值范围是_____

例3．若不等式ax+bx+c?0的解集为｛x|-2211++2ab的最小值是_____ ab1?x?2｝,求不等式cx2+bx+a<0的解集。 3

考点3：二元一次不等式组与线性规划问题

例4（09山东）某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品，甲设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件，已知设备甲每天租赁费为200元，设备乙每天租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件和B类

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产品140件，所需租赁费最少为_____

考点4：比较法证明不等式

例5（09江苏）设a≥b>0 ,求证：3a3+2b3≥3a2b+2ab2

考点5：基本不等式应用问题

例6（09湖北）如图示，围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面用旧墙（需要维修），其它三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽为2m的进出口，已知旧墙的维修费为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x m,修建此矩形场地围墙的总费用为y元。

（1） 将y表示为x的函数

（2） 试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用

作业布置

1.若x<0,则f(x)=

12+3x的最大值是_____ x

2.已知1≤x-y≤2且2≤x+y≤4,则4x-2y的范围是_____

3.已知x,y∈(0,+∞),且

14??1,求x+y的最小值_____ xy 27

4.已知实数x,y满足

{y?2xy??2x ,则目标函数z=x-2y的最小值是_____ x?35.已知函数f(x)= x2-(a+1)x+a

(1)解关于x的不等式f(x)<0

（2）若f(x)+2x≥0在区间(1,+∞)上恒成立，求实数a的取值范围。

6.某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙壁的矩形小房，房屋正面的造价为1200元/m2，房屋侧面造价为800元/m2，整个屋顶的造价为5800元，如果墙壁高为3m，且不计房屋背面费用，问怎样设计房屋能使总造价最低，最低总造价为多少？

7.（2011年安徽高考）（1）设x?1,y?1,证明：x+y+

111?++xy； xyxy（2）设1

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