江苏省无锡市锡山区2019-2020学年八年级下学期期中考试数学试题

2019～2020学年度第二学期八年级期中测试

数学试卷

考试时间：100分钟 满分：120分

命题人： 审核人：

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ............................................. （ ▲ ） A ． B ． C ． D ．

2．若分式x －22x ＋1

有意义，则x 的取值范围是.................................................................... （ ▲ ） A ．x ≠0 B ．x ≠－12 C ．x ≠12 D ．x ≠2

3．下列调查方式，你认为最合适的是 ............................................................................. （ ▲ ）

A ．日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命，采用普查方式

B ．旅客上飞机前的安检，采用抽样调查方式

C ．了解上海市居民日平均用水量，采用普查方式

D ．对2019年央视春节联欢晚会收视率的，适合用抽样方式

4．下列各事件中，属于必然事件的是 ............................................................................. （ ▲ ）

A ．抛一枚硬币，正面朝上

B ．早上出门，在第一个路口遇到红灯

C ．在平面内，度量一个三角形的内角度数，其和为360°

D ．5本书分放在4个抽屉，至少一个抽屉内有2本书

5．一组数据共40个，分为6组，第1到第4组的频数分别为10，5，7，6，第5组的频率为0.1，则第6组的频数为 ......................................................................................................... （ ▲ ）

A ．4

B ．6

C ．8

D ．10 6．如果把分式 xy x －y

中的x 和y 都同时扩大3倍，那么分式的值 .............................. （ ▲ ） A ．不变

B ．扩大3倍

C ．缩小3倍

D ．扩大9倍 7．某美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本相同的画册，第二次用240元在同一家商店买与上一次相同的画册，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本．求第一次买了多少本画册？设第一次买了x 本画册，列方程正确的是 ......................................... （ ▲ ）

A ．120x － 240x ＋20

＝4 B ．240x ＋20－ 120x ＝4 C ．120x － 240x －20＝4 D ．240x －20

－ 120x ＝4 8．下列性质中，矩形具有而菱形不一定具有的是 ......................................................... （ ▲ ）

A ．对角线相等

B ．对角线互相平分

C ．对角线互相垂直

D ．邻边相等

9．如图，四边形ABCD 是菱形，AC ＝8，DB ＝6，DH ⊥AB 于H ，则DH ＝ ............. （ ▲ ）

A ．125

B ．245

C ．12

D ．24 10．如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，对角线AC 、BD 交于点O ，∠AOD ＝120°，

E 为BD 上任意点，

P 为AE 中点，则PO ＋PB 的最小值为..................................................................... （ ▲ ）

A ．3

B ．1＋3

C ．7

D ．3

第9题第10题二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）

11．当x＝▲时，分式x＋2

x－2

的值为0．

12．某市有16000名学生参加考试，为了了解考试情况，从中抽取1000名学生的成绩进行统计分析，在这个问题中，样本容量是▲．

13．某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如表：

根据以上数据可以估计该油菜种子发芽的概率是▲（结果精确到0.01)．

14．平行四边形ABCD中，∠A＋∠C＝100°，则∠D＝▲°．

15．要使□ABCD是菱形，你添加的条件是▲．（写出一种即可）

16．关于x的方程x－1

x－3

＝

m

x－3

＋4有增根，则m＝▲．

17．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，点E在线段AO上，且DE＝DC，若∠EDO＝15°，则

∠DEC ＝ ▲ °．

第16题 第18题

18．E 、F 是线段AB 上的两点，且AB ＝16，AE ＝1，BF ＝3，点G 是线段EF 上的一动点，分别以

AG 、BG 为斜边在AB 同侧作两个等腰直角三角形，直角顶点分别为D 、C ，如图所示，连接CD 并取中点P ，连结PG ，点G 从E 点出发运动到F 点，则线段PG 扫过的图形面积为 ▲ ．

三、解答题（本大题共9小题，共74分）

19. (每小题3分，满分6分) 化简或计算：

（1）a 2－ab a 2 ÷a 2－b 2ab （2）a ＋1－a 2

a －1

20.（本题满分5分）先化简再求值：?

????x －2x 2＋2x －x －1 x 2＋4x ＋4 ÷x －4x ＋2

，其中x 2＋2x －4＝0

21. (每小题4分，满分8分)解下列分式方程： （1） 3x －1

＝2x （2）228224x x x x x +-=+-- P

D

C

22．（本题满分8分）某校为研究学生的课余活动情况，采取抽样的方法，从阅读、运动、娱乐、其它等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制了如下的两幅不完整的统计图（如图），请你根据图中提供的信息解答下列问题：

①这次调研，一共调查了▲人．

②有阅读兴趣的学生占被调查学生总数的▲%．

③有“其它”爱好的学生共多少人？

④补全折线统计图．

23．（本题满分8分）在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE＝DF，连接AE、AF、CE、CF，如图所示．

（1）求证：△ABE≌△ADF；

（2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由．

24．（本题满分8分）只用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不要求写作法）

（1）如图1，已知∠AOB，OA＝OB，点E在OB边上，其中四边形AEBF是平行四边形，请你在图

中画出∠AOB 的平分线．

（2）如图2，已知E 是菱形ABCD 中AB 边上的中点，请你在图中画出一个矩形EFGH ，使得其面

积等于菱形ABCD 的一半．

图1 图2

25．（本题满分9分）阅读下面的材料： 如果函数y ＝f (x )满足：对于自变量x 的取值范围内的任意x 1，x 2，

（1）若x 1＜x 2，都有f ()x 1＜f ()x 2，则称f (x )是增函数；

（2）若x 1＜x 2，都有f ()x 1＞f ()x 2，则称f (x )是减函数．

例题：证明函数f (x )＝6x

(x ＞0)是减函数． 证明：设0＜x 1＜x 2，

f ()x 1－f ()x 2＝6x 1－ 6x 2＝6x 2－6x 1x 1x 2＝6()x 2－x 1x 1x 2

． ∵0＜x 1＜x 2，

∴x 2－x 1＞0，x 1x 2＞0．

∴6()x 2－x 1x 1x 2

＞0．即f ()x 1－f ()x 2＞0． ∴f ()x 1＞f ()x 2．

∴函数f (x )═ 6x (x ＞0)是减函数． E

D

A

B

根据以上材料，解答下面的问题：

已知函数f (x )＝2x －1x 2（x ＜0） f (－1)＝2×(－1)－1(－1)2＝－3，f (－2)＝2×(－2)－1(－2)2＝－54

（1）计算：f (－3)＝ ▲ ；

（2）猜想：函数f (x )＝2x －1x 2（x ＜0）是 ▲ 函数（填“增”或“减”）； （3）请仿照例题证明你的猜想．

26．（本题满分10分）【发现问题】爱好数学的小强在做作业时碰到这样的一道题目：

如图①，在△ABC 中，AB ＝8，AC ＝6，E 为BC 中点，求AE 的取值范围．

【解决问题】

（1）小强经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，作AB 边上的中点F ，连接EF ，

构造出△ABC 的中位线EF ，请你完成余下的求解过程．

图① 图② 图③

C

【灵活运用】

（2）如图②，在四边形ABCD 中，AB ＝8，CD ＝6，E 、F 分别为BC 、AD 中点，求EF 的取值范围．

（3）变式：把图②中的A 、D 、C 变成在一直线上时，如图③，其它条件不变，则EF 的取值范围为

▲ ．

【迁移拓展】

（4）如图④，在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝4，E 为BC 边的中点，F 是AC 边上一点且EF 正好平分△

ABC 的周长，则EF = ▲ ．

图④

C

27．（本题满分12分）如图①，将正方形ABOD 放在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点D 的

坐标为（2，3），

（1）点B 的坐标为 ▲ ；

（2）若点P 为对角线BD 上的动点，作等腰直角三角形APE ，使∠PAE ＝90°，如图②，连接DE ，

则BP 与DE 的关系（位置与数量关系）是 ▲ ，并说明理由；

（3）在（2）的条件下，再作等边三角形APF ，连接EF 、FD ，如图③，在 P 点运动过程中当EF 取

最小值时，此时∠DFE ＝ ▲ °；

（4）在（1）的条件下，点 M 在 x 轴上，在平面内是否存在点N ，使以 B 、D 、M 、N 为顶点的四

边形是菱形？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．

图① 图② 图③

备用图

2019～2020 学年度第二学期八年级数学期中测试参考答案及评分标准

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题仅有一个答案正确）

二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 2 分，共 16 分） 11． -2 ； 12． 1000 ； 13． 0.95 ； 14． 130 °；

15．AC ⊥BD (答案不唯一) ；16． 2 ； 17． 55 ； 18． 36 ；

三、解答题（本大题共 9 小题，共 74 分） 19. （1）原式＝a (a －b )a 2?ab (a ＋b )(a －b )

..................................................................................... （2分） ＝b a ＋b

． .................................................................................................................. （3分） （2）原式＝(a ＋1)(a －1)a －1－a 2

a －1

.......................................................................................... （2分） ＝－1a －1

.................................................................................................................. （3分） 20.解：原式＝? ????(x －2)(x ＋2)x (x ＋2)2－x (x －1)x (x ＋2)2?x ＋2x －4 （1分）

＝x －4x (x ＋2)2?x ＋2x －4

.......................................................................................................... （2分） ＝1x 2＋2x

． ................................................................................................................... （3分） ∵x 2＋2x －4＝0，

∴x 2＋2x =4， ..................................................................................................................... （4分）

∴原式=14． ........................................................................................................................ （5分）

21．（1）解：3x＝2(x－1) ............................................................................................................ （2分）x＝－2 .................................................................................................................... （3分）检验：当x＝－2时，x(x-1)≠0，x＝－2是原方程的解．.................................... （4分）（2）解：x(x－2)－(x＋2)2＝8 .............................................................................................. （2分）x＝－2 .................................................................................................................... （3分）检验：当x＝－2时，(x＋2)(x－2)=0，x＝－2是增根，原方程无解．................... （4分）22．解：①40÷20%= 200 人 ........................................................................................................... （2分）

②60÷200= 30 % .......................................................................................................................... （4分）

③1-20%-40%-30%=10%

200×10%=20（人）

答：有“其它”爱好的学生共20人．.......................................................................................... （6分）④200×40%=80（人）

爱好娱乐的80人，“其它”爱好的20人，补全折线统计图如下： ........................................ （8分）

23．证明：（1）∵正方形ABCD,

∴AB＝AD，

∴∠ABD＝∠ADB,

∴∠ABE ＝∠ADF , ................................................................................................... （2分）

在△ABE 与△ADF 中

?????AB ＝AD

∠ABE ＝∠ADF BE ＝DF

， ∴△ABE ≌△ADF (SAS ); ......................................................................................... （4分）

（2）答：四边形AECF 是菱形． .............................................................................. （5分） 理由：连接AC ,

∵正方形ABCD ,

∴OA ＝OC ,OB ＝OD ,AC ⊥EF ,

∴OB ＋BE ＝OD ＋DF ,

即OE ＝OF ， ........................................................................................................ （6分）

∵OA ＝OC ,OE ＝OF ，

∴四边形AECF 是平行四边形， ........................................................................ （7分）

∵AC ⊥EF ,

∴四边形AECF 是菱形． .................................................................................... （8分）

24．每图4分

25．（1）计算：f (－3)＝－79 ； .................................................................................................... （1分） H F

G E D

A

B

（2）猜想：函数f (x )＝2x －1x 2（x ＜0）是 减 函数； .................................................... （3分） （3）证明：设x 1＜x 2＜0， ......................................................................................................... （4分）

f ()x 1－f ()x 2＝2x 1－1x 12－ 2x 2－1x 22

.............................................................................................. （5分） ＝ x 22（2x 1－1）－ x 12（2x 2－1）x 12x 22

＝x 1x 2（x 2－x 1）＋（x 1＋x 2）（x 1－x 2）()x 1x 22

． ....................................................... （6分） ∵x 1＜x 2＜0，

∴x 2－x 1＞0，x 1x 2＞0，x 1－x 2＜0，x 1 ＋x 2 ＜0． ................................................................. （7分）

∴x 1x 2（x 2－x 1）＋（x 1＋x 2）（x 1－x 2）()x 1x 22

＞0．即f ()x 1－f ()x 2＞0． ∴f ()x 1＞f ()x 2． ........................................................................................................................ （8分）

∴函数f (x )＝2x －1x 2（x ＜0）是减函数． ................................................................................ （9分） 26．（1）解：∵E 为 BC 中点，F 为 AB 中点， ∴EF ＝12

AC ∵AB ＝8，AC ＝6，

∴AF ＝12AB ＝4，EF ＝12

AC ＝3 ................................................................................................ （2分） 在△AEF 中，4－3＜AE ＜4＋3

即1＜AE ＜7． .......................................................................................................................... （3分）

（2）解：连接BD ，取BD 中点G ，连接FG 、EG ， ................................................................ （4分） ∵E 、F 分别为BC 、AD 中点，

∴FG ＝12AB ，EG ＝12

DC ， ∵AB ＝8，CD ＝6，

∴FG ＝4，EG ＝3， ............................................................................................................... （6分） 在△GEF 中，4－3＜EF ＜4＋3

即1＜EF ＜7． ........................................................................................................................ （7分）

（3）则EF 的取值范围为1＜x ＜7． ............................................................................................. （8分）

（4）EF ＝ 23 ． ........................................................................................................................ （10分）

27．（1）点B 的坐标为 （－3，2） ；

................................................................................ （1分） （2）BP 与DE 的关系是 垂直且相等 ； ....................................................................... （2分） 证明：∵正方形ABOD ,

∴∠BAD ＝90°，AB ＝AD ，

∵∠PAE ＝90°

∴∠BAD －∠3＝∠PAE －∠3，

即∠1＝∠2，

∵AP ＝AE ，

∴△ABP ≌△ADE (SAS )

...................................................................................................... （3分） ∴∠4＝∠5， BP ＝DE ，

∵∠4＋∠6＝90°，

∴∠5＋∠6＝90°，

即BP ⊥DE ． .......................................................................................................................... （5分）

（3）∠DFE＝150 °；............................................................................................................ （7分）（4）∵D（2，3）,∴OD＝13，∴BD＝26，

①当BD为菱形的边时，

（Ⅰ）MB＝BD＝26，可得M1（22－3，0）、M2（－22－3，0），

∵B向右平移5个单位再向上平移1个单位得到D，

∴N1（22＋2，1）、N2（－22＋2，1）；

（Ⅱ）MD＝BD＝26，可得M3（17＋2，0）、M4（－17＋2，0），

∵D向左平移5个单位再向下平移1个单位得到B，

∴N3（17－3，－1）、N4（－17－3，－1）

②当BD为菱形的对角线时，

M与O重合，此时N与A重合，即N5（－1，5）

综上所述，点N坐标为（22＋2，1）或（－22＋2，1）或（17－3，－1）或（－17－3，－1）或（－1，5）.................................................................................................................................. （12分）

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