高中物理第5章万有引力与航天习题课1天体运动各物理量与轨道半径

1 / 11 习题课1 天体运动各物理量与

轨道半径的关系

[学习目标] 1.掌握运用万有引力定律和圆周运动知识分析天体运动问题的基本思路.2.掌握天体的线速度、角速度、周期、向心加速度与轨道半径的关系

.

一、天体运动的分析与计算

1.基本思路：一般行星或卫星的运动可看做匀速圆周运动，所需向心力由中心天体对它的万

.

向F ＝引F 有引力提供，即 2.常用关系：

.r 4π2T2

m ＝r 2mω＝v2r m ＝ma ＝Mm r2G (1) ，整理可得：)物体在天体表面时受到的万有引力等于物体重力(Mm R2

G ＝mg 忽略自转时，(2)”.

黄金代换式“，该公式通常被称为GM ＝2

gR 处做匀速圆周运

0R ，若卫星在距地面g ，地面重力加速度为0R 地球半径为)多选( 1例动，则( )

2R0g

2卫星的线速度为A. g 8R0卫星的角速度为B. g 2

卫星的加速度为C. g 4卫星的加速度为D. 答案 ABD

2 / 11 ＝

a ，可得卫星的向心加速度错误!gR ＝GM 及)0R (22

mω＝错误!m ＝ma ＝错误!由 解析.错误C 正确，D 、B 、A ，所以2R0g

2＝v ，线速度g 8R0＝ω，角速度g 4 针对训练 某着陆器完成了对月球表面的考察任务后，由月球表面回到围绕月球做圆周运动的轨道舱，其过程如图1所示.设轨道舱的质量为m ，月球表面的重力加速度为g ，月球的半

径为R ，轨道舱到月球中心的距离为r ，引力常量为G ，求轨道舱的速度和周期.

图1

r g 2πr R g r R

答案 mg

＝Mm R2G 轨道舱在月球表面时 解析 ① 轨道舱在半径为r 的轨道上做圆周运动时，有 v2r m ＝Mm r2G

② r 4π2T2

m ＝Mm

r2G ③ g

r

R ＝v 得①②由 r

g

2πr R

＝T 得①③由 二、天体运行的各物理量与轨道半径的关系

设质量为m 的天体绕另一质量为M 的中心天体做半径为r 的匀速圆周运动.

.越小v 越大，r ，GM r ＝v 得v2r

m ＝Mm r2G 由(1) .越小ω越大，r ，GM r3＝ω得r 2mω＝Mm r2

G 由(2) .越大T 越大，r ，r3GM 2π＝T 得r 2? ????2πT m ＝Mm r2G 由(3) .越小a 越大，r ，GM r2

＝a 得ma ＝Mm r2G 由(4) 以上结论可总结为“一定四定，越远越慢”.

3 / 11 例2 2009年2月11日，俄罗斯的“宇宙－2251”卫星和美国的“铱－33”卫星在西伯利亚上空约805 km 处发生碰撞，这是历史上首次发生的完整在轨卫星碰撞事件.碰撞过程中产生的大量碎片可能会影响太空环境.假定有甲、乙两块碎片绕地球运动的轨道都是圆，甲的

运行速率比乙的大，则下列说法中正确的是( )

A.甲的运行周期一定比乙的长

B.甲距地面的高度一定比乙的高

C.甲的向心力一定比乙的小

D.甲的向心加速度一定比乙的大 答案 D

B ，由此可知，甲碎片的轨道半径小，故GM r ＝v ，得v2r m ＝Mm r2G 甲的速率大，由 解析错；由于未知两碎片的质A ，可知甲的周期小，故4π2r3GM

＝T ，得4π2T2mr

＝Mm r2G 错；由，可知甲的向心加速度比乙的GM r2

＝n a 得n ma ＝GMm r2误；由错C 量，无法判断向心力的大小，故大，故D 对.

例3 如图2所示，a 、b 是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，它们距地面的高度分

别是R 和2R (R 为地球半径).下列说法中正确的是( )

图2

∶1

2的线速度大小之比是b 、a A. 21∶2的周期之比是b 、a B. ∶463的角速度大小之比是b 、a C. D.a 、b 的向心加速度大小之比是9∶2

答案 C

v2r m ＝GMm r2由

.，向心力选不同的表达式分别分析向F ＝万F 圆周运动，两卫星均做匀速 解析.错误A ，故62＝3R 2R ＝r2r1＝v1v2得

.错误B ，故269

＝r 31r 32＝T1T2得2? ????2πT mr ＝GMm r2由 .正确C ，故364＝r 32r 31＝ω1ω2

得2mrω＝GMm r2由 .错误D ，故94

＝r 22r 21＝a1a2得ma ＝GMm r2由

4 / 11

1.(卫星各运动参量与轨道半径的关系)(多选)如图3所示，飞船从轨道1变轨至轨道

2.若飞船在两轨道上都做匀速圆周运动，不考虑质量变化，相对于在轨道1上，飞船在轨道2上

的( )

图3

A.速度大

B.向心加速度大

C.运行周期长

D.角速度小 答案 CD

，

向F ＝引F 飞船绕中心天体做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，即 解析 ，2mrω＝4π2mr T2＝mv2

r ＝ma ＝Mm r2G 所以 ).求解2πω

＝T 或用公式(GM r3＝ω，4π2r3GM ＝T ，GM r ＝v ，GM r2＝a 即 .正确D 、C ，选项2ω>1ω，2T <1T ，2a >1a ，2v >1v ，所以2r <1r 因为 2.(行星各运动参量与轨道半径的关系)如图4所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带，假设该带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动.下列说法正确的是

( )

图4

A.太阳对各小行星的引力相同

B.各小行星绕太阳运动的周期均小于一年

C.小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值

D.小行星带内各小行星绕太阳做圆周运动的线速度值大于地球公转的线速度值

答案 C

可知，由于各小行星的质量和到太阳的距离不同，万有引Mm r2

G ＝F 根据万有引力定律 解析大于地r ，因为各小行星的轨道半径r3GM

2π＝T ，得r 4π2T2m ＝Mm r2G 项错误；由A 力不同，

，内

M

r2

G

＝

F

m

＝

a

项错误；向心加速度

B

球的轨道半径，所以它们的周期均大于地球的周期，

，小

GM

r

＝

v

得线速度

v2

r

m

＝

Mm

r2

G

项正确；由

C

行星到太阳的距离小，向心加速度大，

侧小

行星的轨道半径大于地球的轨道半径，线速度小于地球绕太阳的线速度，D项错误.

3.(天体运动各参量的比较)如图5所示，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M

和2M的行星做匀速圆周运动，下列说法正确的是( )

图5

A.甲的向心加速度比乙的小

B.甲的运行周期比乙的小

C.甲的角速度比乙的大

D.甲的线速度比乙的大

答案A 解析甲、乙两卫星分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动，万有引力提供各自做匀

＝

T

，

GM

r2

＝

a

，可得

v2

r

m

＝

r2

mω

＝

r

4π2

T2

m

＝

ma

＝

Mm

r2

G

由牛顿第二定律

.

速圆周运动的向心力

v

＜

甲

v

，

乙

ω

＜

甲

ω

，

乙

T

＞

甲

T

，

乙

a

＜

甲

a

由已知条件可得

.

GM

r

＝

v

，

GM

r3

＝

ω

，

r3

GM

2π

A.

，故正确选项为

乙

4.(天体运动的分析与计算)如图6所示，A、B为地球周围的两颗卫星，它们离地面的高度

，求：

g

，地球表面重力加速度为

R

，已知地球半径为

2

h

、

1

h

分别为

图6

；

1

v

的线速度大小

A

(1)

.2

ω

∶

1

ω

的角速度之比

B

、

A

(2)

错误!

(2)

gR2

R＋h1

(1)

答案

解析(1)设地球质量为M，行星质量为m，

错误!

m

＝

错误!

有：

A

由万有引力提供向心力，对

①

5 / 11

6 / 11 Mm′R2

G ＝g ′m 的物体有：′m 在地球表面对质量为 ② gR2R ＋h1＝

1v 得①②由 错误!

＝ω得)h ＋R (2mω＝错误!G 由(2) .错误!＝ω1ω2

的角速度之比B 、A 所以 课时作业

一、选择题(1～7题为单选题，8～10题为多选题)

1.把太阳系各行星的运动近似看成匀速圆周运动，则离太阳越远的行星( )

A.周期越大

B.线速度越大

C.角速度越大

D.向心加速度越大 答案 A

v2r m ＝Mm r2G 行星绕太阳做匀速圆周运动，所需的向心力由太阳对行星的引力提供，由 解析越r ，可知GM r3

＝ω得r 2mω＝Mm r2G 由.错误B 越大，线速度越小，r ，可知GM r ＝v 得r ，可知GM r2

＝a 得ma ＝Mm r2G 由.对A 越大，T 越大，r 知，k ＝r3T2由.错误C 大，角速度越小，越大，向心加速度a 越小，D 错误.

2.据报道，“嫦娥一号”和“嫦娥二号”绕月飞行的圆形工作轨道距月球表面分别约为200 1 700

月球半径取(的比值为2v 和1v 那么，.2v 和1v ，运行速率分别为100 km 和km km)( )

1819

D. 1819C. 1918B. 1918A. 答案 C

，那么卫星的线速度跟

错误!m ＝错误!G 根据卫星运动的向心力由万有引力提供，有 解析.1819＝ r ＋h2 r ＋h1＝v1v2其轨道半径的平方根成反比，则有 3.两颗行星A 和B 各有一颗卫星a 和b ，卫星轨道接近各自行星的表面，如果两行星的质量) (为Ta Tb

，则两个卫星的周期之比q ＝RA RB ，两行星半径之比为p ＝MA MB 之比为 q p

q D. p q p C. p q B. pq A. 答案 D

7 / 11 T ，得2)2πT

(mR ＝Mm R2G

卫星做圆周运动时，万有引力提供圆周运动的向心力，则有： 解析.错误C 、B 、A 正确，D ，故q p

q ＝Ta Tb ，解得：4π2R3GM ＝ 4.a 、b 、c 、d 是在地球大气层外的圆形轨道上运行的四颗人造卫星.其中a 、c 的轨道相交于P ，b 、d 在同一个圆轨道上，b 、c 轨道在同一平面上.某时刻四颗卫星的运行方向及位置

如图1所示，下列说法中正确的是( )

图1

A.a 、c 的加速度大小相等，且大于b 的加速度

B.b 、c 的角速度大小相等，且小于a 的角速度

C.a 、c 的线速度大小相等，且小于d 的线速度

D.a 、c 存在在P 点相撞的危险

答案 A

轨道c 、a 正确；因A 错误，选项C 、B 可知，选项ma ＝r 4π2T2

m ＝r 2mω＝v2r m ＝Mm r2G 由 解析半径相同，周期相同，既然图示时刻不相撞，以后就不可能相撞了，选项D 错误.

5.据报道，天文学家近日发现了一颗距地球40光年的“超级地球”，名为“55 Cancri ，母星的体积约为1480

运行的周期约为地球绕太阳运行周期的)中心天体(该行星绕母星e”.太阳的60倍.假设母星与太阳密度相同，“55 Cancri e”与地球均做匀速圆周运动，则

“55 Cancri e”与地球的( )

360480

轨道半径之比约为A. 3

60

4802

轨道半径之比约为B. 360×4802

之比约为向心加速度C. 360×480

向心加速度之比约为D. 答案 B

的轨道半径为“55 Cancri e”，设3GMT24π2

＝r ，可得通式r 2)2πT (m ＝Mm r2G 由公式 解析

8 / 11 ma ＝Mm r2G 对；再由B 错，A ，从而判断3604802＝3

M1M2·T 21T 22＝r1r2，则2r ，地球轨道半径为1r .皆错D 、C ，所以360×4804＝3M1M2·T 42T 41

＝r 22r 21·M1M2＝a1a2，则M r2G ＝a 得通式 6.一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v .假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m 的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N .已知

引力常量为G ，则这颗行星的质量为( )

mv2GN A. mv4GN B.

Nv2Gm

C. Nv4Gm

D. 答案 B

解析 设卫星的质量为m ′

v2R ′m ＝ Mm′R2G 由万有引力提供向心力，得

① g ′m ＝v2R ′m

② 由已知条件：m 的重力为N 得N ＝mg

③ mv2N

＝R 得：②，代入N m ＝g 得③由 .项正确B ，故mv4GN

＝M 得①代入 7.如图2所示，甲、乙两颗卫星在同一平面上绕地球做匀速圆周运动，公转方向相同.已知卫星甲的公转周期为T ，每经过最短时间9T ，卫星乙都要运动到与卫星甲同居地球一侧且三

者共线的位置上，则卫星乙的公转周期为( )

图2

T 910

D. T 109C. T 89B. T 98A. 答案 A

2π＝t )2πT 乙－2πT (由 解析

① t ＝9T

②

9 / 11 .正确A ，选项T 98

＝乙T 得①②由 8.火星直径约为地球直径的一半，质量约为地球质量的十分之一，它绕太阳公转的轨道半径

约为地球绕太阳公转轨道半径的1.5倍.根据以上数据，下列说法中正确的是( )

A.火星表面重力加速度的数值比地球表面的小

B.火星公转的周期比地球的长

C.火星公转的线速度比地球的大

D.火星公转的向心加速度比地球的大

答案 AB

B ，计算得r3GM 2π＝T 得r 2)2πT

(m ＝Mm r2G 对；由A ，计算得M R2G ＝g 得mg ＝Mm R2G 由 解析错；公转的向心加C ，)判断轨道半径大的线速度小GM r

＝v 或由(对；周期长的线速度小.错D ，计算得M r2

G ＝a 速度 9.土星外层有一个环，为了判断它是土星的一部分还是土星的卫星群，可以测量环中各层的

线速度v 与该层到土星中心的距离R 之间的关系，则下列判断正确的是( )

则该层是土星的卫星群

R ∝2

v 若A. B.若v ∝R 则该层是土星的一部分

则该层是土星的一部分1R

∝v 若C. 则该层是土星的卫星群1R

∝2v 若D. 答案 BD

解析 若外层的环为土星的一部分，则它们各部分转动的角速度ω相等，由v ＝ωR 知

.正确D 错误，A ，故1R

∝2v ，得v2R m ＝Mm R2G 错误；若是土星的卫星群，则由C 正确，B ，R ∝v 10.科学探测表明，月球上至少存在丰富的氧、硅、铝、铁等资源，设想人类开发月球，不断把月球上的矿藏搬运到地球上，假定经长期的开采后月球与地球仍可看成均匀球体，月球仍沿开采前的轨道运动，则与开采前相比(提示：a ＋b ＝常量，则当a ＝b 时，ab 乘积最

大)( )

A.地球与月球间的万有引力将变大

B.地球与月球间的万有引力将变小

C.月球绕地球运行的周期将变大

D.月球绕地球运行的周期将变小

答案 BD

10 / 11 减m 增大而M 不变，因地球和月球的总质量不变，当r 和G 中，GMm r2

＝F 万有引力公式 解析＝T ，4π2T2

mr ＝GMm r2正确；又B 选项错误，A 小时，两者的乘积减小，万有引力减小，故选项.正确D 错误，选项C 减小，故选项T 增大，则M ，4π2r3GM

二、非选择题

11.两行星A 和B 各有一颗卫星a 和b ，卫星的圆轨道接近各自行星表面，如果两行星质量，

_______＝b T ∶a T ，则两个卫星周期之比1∶2＝B R ∶A R ，两行星半径之比2∶1＝B M ∶A M 之比向心加速度之比为_______.

答案 1∶4 8∶1

＝T ，得R 4π2T2

m ＝Mm R2G 卫星做圆周运动时，万有引力提供圆周运动的向心力，有： 解析.R3GM 2π

，M R2

G ＝a ，得ma ＝Mm R2G ，由14＝MB MA ·R 3A R 3B ＝Ta Tb 故 .81＝R 2B R 2A ·MA MB ＝aa ab 故 12.某课外科技小组长期进行天文观测，发现某行星周围有众多小卫星，这些小卫星靠近行星且分布相当均匀，经查对相关资料，该行星的质量为M .现假设所有卫星绕该行星的运动

都是匀速圆周运动，已知引力常量为G .

，忽略其他小卫星对该卫星的影响，

1R 若测得离行星最近的一颗卫星的运动轨道半径为(1)为多大？

1v 求该卫星的运行速度 ，周期为

2R 在进一步的观测中，发现离行星很远处还有一颗卫星，其运动轨道半径为(2)为多大？

卫m ，试估算靠近行星周围众多小卫星的总质量2T M －4π2R 32GT 22

(2) GM R1(1) 答案 .GM R1＝1v ，解得v 21R1

1m ＝Mm1R 21G ，有1m 设离行星最近的一颗卫星的质量为(1) 解析 (2)由于靠近行星周围的众多卫星分布均匀，可以把行星及靠近行星的小卫星看做一星体，

错误!

2R 2m ＝错误!G ，则有2m 其质量中心在行星的中心，设离行星很远的卫星质量为 .M －4π2R 32GT 22

＝卫m 解得 13.我国在酒泉卫星发射中心用“长征二号丁”运载火箭，将“高分一号”卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道.这是我国重大科技专项高分辨率对地观测系统的首发星.设“高分一

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/1gcq.html