北京市xx初中2016-2017学年度初三上数学期中试卷含答案

2016-2017学年度

九年级数学期中测试 2016年11月

1.本试卷共8页，共三道大题，29道小题，满分120分。考试时间120分钟。 考 2.在答题纸和机读卡上认真填写班级、姓名和准考证号。 生 3.试题答案一律填涂在机读卡或书写在答题纸上，在试卷上作答无效。 须 4.在答题纸上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。 知 5.考试结束，请将答题纸和机读卡一并交回。 一、选择题（本题共30分，每小题3分）

第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。

1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）.

A. B. C. D.

22．在平面直角坐标系中，将抛物线y?x?4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式为（ ）.

2222 A．y?(x?2)?2 B．y?(x?2)?2 C．y?(x?2)?2 D．y?(x?2)?2

3．如果4a?5b（ab≠0），那么下列比例式变形正确的是（ ） A．

54aba44b

? B．? C．? D．? ab45b5a5

4．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，且 DE∥BC，如果 AD∶DB=3∶2，那么AE∶AC等于（ ）

A．3∶2 B．3∶1 C．2∶3 D．3∶5

5．在平面直角坐标系xoy中，如果⊙O是以原点O（0，0）为圆心，以5为半径的圆，那么点

A（-3，-4）与⊙O的位置关系是（ ） A. 在⊙O内 B.在⊙O上 C. 在⊙O外 D. 不能确定 6．如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°， B点落在B?位置，A点落在A?位置，若AC?A?B?， 则?BAC的度数是（ ）．

A．50° B．60° C． 70° D．40°

7．如右图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于（ ）

A．120° B． 140° C．150° D． 160°

2y?x?2x?3的最小值为（ ） 8．二次函数

CAODBA. 5 B. 0 C. -3 D. -4

9．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO的延长线交⊙O于C点， 连接BC，如果?A?30，AB?23，那么AC的长等于( ) ． A. 6 B. 4 C. 43 D. 63 COBA10．如图1，AD、BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发沿图中某一个扇形顺时针．．．

匀速运动，设∠APB=y（单位：度），如果y与点P运动的时间x（单位：秒）的函数关系的图象大致如图2所示，那么点P的运动路线可能为( ). Cy

90 DAO45 OxB

图2图1

A．O→B→A→O B．O→A→C→O C．O→C→D→O D．O→B→D→O

二、填空题（本题共18分，每小题3分）

11．写出一个抛物线开口向下，与y轴交于（0，2）点的函数表达式 . 12. 把二次函数的表达式y = x－6x+5化为y?a?x?h??k的形式，那么h?k=_____.

2

213．颐和园是我国现存规模最大，保存最完整的古代皇家园林，它和承德避暑山庄、苏州拙政

园、苏州留园并称为中国四大名园．该园有一个六角亭，如果它的地基是半径为2米的正

2

六边形，那么这个地基的面积是 米． 14．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不

知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？” 用数学语言可以表述为：“如图，CD为⊙O 的直径，弦AB?CD于E，如果CE = 1，

ACEODAB = 10，那么直径CD的长为 .” B15.弦AB的长等于⊙O的半径，那么弦AB所对的圆周角的度数是____________.

16．阅读下面材料：

在数学课上，老师提出如下问题：

尺规作图：过圆外一点作圆的切线. 已知：⊙O和点P. OP 求作：过点P的⊙O的切线. 小涵的主要作法如下：

如图：（1）连结OP，作线段OP的中点A； （2）以A为圆心，OA长为半径作圆，交⊙O于点B，C； （3）作直线PB和PC. BOPAC所以PB和PC就是所求的切线. 老师说：“小涵的作法正确．”

请回答：小涵的作图依据是 ．

三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28分7分，第9题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

217．解方程：x?6x?1?0．

18．如图，以□ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作⊙A，分别交BC，AD于E，F两点，交BA的延长线于G，判断弧EF和弧FG是否相等，并说明理由.

19．已知抛物线y= (m -2)x2 + 2mx + m +3与x轴有两个交点．

(1) 求m的取值范围；

(2) 当m取满足条件的最大整数时，求抛物线与x轴两个交点的坐标．

20．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB1C1． (1) 在网格中画出△AB1C1；

(2) 计算点B旋转到B1的过程中所经过的路径长．（结果保留π）

2BAC第20题图

21．下表是二次函数y?ax?bx?c(a?0)图象上部分点的横坐标（x）和纵坐标（y）.

x y … … -1 8 0 3 1 0 2 -1 3 0 4 m 5 8 … … （1）观察表格，直接写出m=____；

（2）其中A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，且-1< x1 <0， 2< x2 <3，

则y1_____y2（用“>”或“<”填空）； （3）求这个二次函数的表达式．

22. “母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进了一批单价

为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲．在义卖的过程中发现，这种文化衫每天的销售件数y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：，那么销售单价y??3x?108?20?x?36?．如果义卖这种文化衫每天的利润为p（元）定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？

23．如图，⊙O为△ABC的外接圆，直线l与⊙O相切与点P，且l∥BC．

(1) 请仅用无刻度的直尺，在⊙O中画出一条弦，使这条弦将△ABC分成面积相等的两部分(保．．．．．．．．．

P l

留作图痕迹，不写作法)；

(2) 请写出证明△ABC被所作弦分成的两部分面积相等．

24. 密苏里州圣路易斯拱门是座雄伟壮观的抛物线形的建筑物，是美国最高的独自挺立的纪念

碑，如图．拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100米，求拱门的最大高度．

25. 如图，已知△ABC是等边三角形，以AB为直径作⊙O，交BC边于点D，交AC边于点F，作DE⊥AC 于点E． A（1）求证：DE 是⊙O的切线；

（2）若△ABC的边长为4，求EF 的长度．

26．阅读下面解题过程，解答相关问题.

2求一元二次不等式?2x?4x＞0的解集的过程.

OFEBDC

① 构造函数，画出图象：

根据不等式特征构造二次函数y??2x?4x；并在坐 标系中画出二次函数y??2x?4x的图象(如图1). ② 求得界点，标示所需：

当y=0时，求得方程?2x2?4x?0的解为x1??2，

22x2?0；并用锯齿线标示出函数y??2x2?4x图象

中y＞0的部分(如图2). ③ 助图象，写出解集：

由所标示图象，可得不等式?2x2?4x＞0的解集为?2?x?0. 请你利用上面求一元二次不等式解集的过程， 求不等式x2?2x?1≥4的解集.

27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y??x?2mx?m?1的对称轴是直线x?1． （1）求抛物线的表达式；

（2）点D?n,y1?，E?3,y2?在抛物线上，若y1?y2，请直接写出n的取值范围；

22 y432112345-3-2-1O-1-2-3-4x （3）设点M?p,q?为抛物线上的一个动点，当?1?p?2时， 点M关于y轴的对称点都在直线y?y43kx?4的上方，求k的取值范围． 21

-3-2-1O -1 -2 -3-428. 已知，点O是等边△ABC内的任一点，连接OA，OB，OC. ADC.

①∠DAO的度数是 ；

12345x（1） 如图1，已知∠AOB=150°，∠BOC=120°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△②用等式表示线段OA，OB，OC之间的数量关系，并证明； （2） 设∠AOB=α，∠BOC=β.

①当α，β满足什么关系时，OA+OB+OC有最小值？请在图2中画出符合条件的图形，并说明理由；

②若等边△ABC的边长为1，直接写出OA+OB+OC的最小值.

ADAOBC图1B图2′

C

29．在平面直角坐标系xOy中，定义点P（x,y）的变换点为P(x+y, x-y) ． (1) 如图1，如果⊙O的半径为22，

①请你判断 M (2,0)，N (-2,-1)两个点的变换点与⊙O的位置关系；

′

②若点P在直线y=x+2上，点P的变换点P在⊙O的内，求点P横坐标的取值范围.

(2) 如图2，如果⊙O的半径为1,且P的变换点P’在直线y=-2x+6上，求点P与⊙O上任意一点距离的最小值．

草 稿 纸

北京市第十三中学2016-2017学年度

九年级数学期中测试评分标准 2016年11月

一、选择题（本题共30分，每小题3分）

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案

B B A D B C B D A C 二、填空题（本题共18分，每题3分）

63；11．不唯一； 12．-1； 13． 14．26； 15．30°和150°； 16．直

径所对的圆周角是直角；经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28分7分，第9题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 17.解方程： x2-6x-1=0.

解： x2-6x=1. …………1分 x2-6x+9=1+9 . …………2分 (x-3)2=10 . …………3分

x=3±10. ∴ x1=3+10,x2=3-10. …………5分

18. 如图，以□ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作⊙A，分别交BC，AD于E，F两点，交BA?和FG?是否相等，并说明理由. 的延长线于G，判断EF??FG?. ………………… 1分； 结论：EF证法一：连接AE. ∴AB?AE，

∴?B??AEB，………………… 2分； ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，

∴?B??GAF，?FAE??AEB，………………… 3分； ∴?GAF??FAE， ………………… 4分；

在⊙A中，

BECAGFD??FG?. ………………… 5分. ∴EF??FG?. ………………… 1分； 结论：EF证法二：连接GE. ∵BG是⊙A的直径，

∴?BEG?90o. ………………… 2分； G∴GE?BE.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC， ………………… 3分；

∴AD?GE ………………… 4分；

BAFDECGAFD??FG?. ………………… 5分. ∴EF证法三：参考上面给分

19．（1）解：在 y= (m -2)x + 2mx + m +3 中，令y=0

2

BEC 由题意得

???(2m)2?4(m?2)(m?3)?0------------------------------------------2分 ?m?2?0?整理，得 ???4m?24?0

?m?2解得 m?6且m?2-----------------------------------3分

（2）满足条件的m的最大整数为5．-------------------------4分

∴y=3x+10x+8

令y=0，3x+10x+8=0，解得

2

2

4x??2或x??

3∴抛物线与x轴有两个交点的坐标分别为（-2,0）、（?4，0）-------5分 320．解：(1)画出△AB1C1，如图． ………………………………2分

(2)由图可知△ABC是直角三角形，AC＝4，BC＝3，

所以AB＝5． ………………3分

点B旋转到B1的过程中所经过的路径是一段弧， 且它的圆心角为90°，半径为5． …………4分 B115∴＝?2??AB???5??． …………5分

422所以点B旋转到B1的过程中所经过的路径长为

AC5?． 2C1B121．解（1）3； --------------------------------------------------1分 （2）>； -----------------------------2分

（3）观察表格可知抛物线顶点坐标为（2，-1）且过（0，3）点，

设抛物线表达式为y?a(x?2)?1--------------3分

把（0，3）点代入，4a-1=3，

解得a=1--------------------------------------------------4分 ∴y?(x?2)?1

22?y?x2?4x?3-----------------------------------5分

22．解：每天获得的利润为：

p?(?3x?108)(x?20) …… ……………………… 1分

??3x2?168x?2160

??3(x?28)2?192 ……………………………… 3分 ∵20?28?36

∴当销售价定为28元时，每天获得的利润最大，…… 4分 最大利润是192元. . ……5分

23. （1）解：如图所示.

A O B C E D F P l

-----2分

（2）思路：

a．由切线性质可得PO⊥l； b．由l∥BC可得PD⊥BC；

c．由垂径定理知，点E是BC的中点；

d．由三角形面积公式可证S△ABE = S△AEC . -----5分

24. 解法一：如图所示建立平面直角坐标系．--------------------------- 1分 此时，抛物线与x轴的交点为C(-100,0), D(100,0)．

设这条抛物线的解析式为y?a(x?100)(x?100)．-------------------- 2分 ∵ 抛物线经过点B (50,150)，

可得 150?a(50?100)(50?100) ．

1． ------------------------- 3分 5011∴y??(x?100)(x?100)??x2?200．-------4分

5050解得a??顶点坐标是（0，200）

∴ 拱门的最大高度为200米．-------------------------------------- 5分 解法二：如图所示建立平面直角坐标系．-------------------------------- 1分 设这条抛物线的解析式为y?ax．--------------------------------- 2分 设拱门的最大高度为h米，则抛物线经过点B(50,-h+150), D(100,-h) 可得

解得． ----------------------- 4分

∴ 拱门的最大高度为200米．--------------------- 5分

25.（1）证明：连接OD，

∵?ABC是等边三角形， ∴?B??C?60?． ∵OB?OD，

∴?ODB??B?60?．…………………………………………………………1分

A∵DE?AC， ∴?DEC?90?． ∴?EDC?30?． FO∴?ODE?90?． E∴DE?OD于点D．

BCD∵点D在⊙O上，

∴DE是⊙O的切线． ……………………………………………………………2分 A（2）连接AD，BF， ∵AB为⊙O直径，

F∴?AFB??ADB?90?． OEBDC2∴AF?BF，AD?BD． ∵?ABC是等边三角形，

11BC?2，FC?AC?2． …………………………………………3分 22∵?EDC?30?，

1∴EC?DC?1．……………………………………………………………4分

2∴FE?FC?EC?1． ………………………………………………5分

∴DC?26. 解：①构造函数，画出图象：

根据不等式特征构造二次函数y?x?2x?1或

2y?x2?2x?3；并在坐标系中画出二次函数

y?x2?2x?1或y?x2?2x?3；的图象(如图). ………………… 2分；

②求得界点，标示所需：

当y=4时，求得方程x2?2x?1?4的解为x1??1，

x2?3；并用锯齿线标示出函数y?x2?2x?1图象

中y≥4的部分(如图).

2或当y=0时，求得方程x?2x?3?0的解为x1??1，

x2?3；并用锯齿线标示出函数y?x2?2x?3图象

中y≥0的部分(如图). …………… 4分； ③借助图象，写出解集：

2∴不等式x?2x?1≥4的解集为x≤-1或x≥3. ………………… 5分；

27． 解：

（1）∵抛物线的对称轴是x?1

b2m???1 2a?2∴m?1 …………. ………...1分

∴?∴y??x?2x． ………. ………...2分 –4–3–2–1（2）n?3或n??1． ………. ………...4分 （3） 由题意得抛物线y??x?2x(?1?x?2)

关于y轴对称的抛物线为y??x?2x(?2?x?1). 当x?1时，y??3；

当直线y?kx?4经过点?1,?3?时，

22321Oy2–1–2–3–4–51234x可得k?1 ………5分 当x??2时，y?0；

当直线y?kx?4经过点??2,0?时，

可得k??2 ……6分 综上所述，k的取值范围是?2?k?1． ………7分 28．解：（1）①90°. …………………………………………… 1分 ②线段OA，OB，OC之间的数量关系是OA2?OB2?OC2.

如图1，连接OD.

∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC， ∴△ADC≌△BOC，∠OCD=60°. ∴CD = OC,∠ADC =∠BOC=120°, AD= OB. ∴△OCD是等边三角形.

∴OC=OD=CD，∠COD=∠CDO=60°. ∵∠AOB=150°，∠BOC=120°， ∴∠AOC=90°.

∴∠AOD=30°，∠ADO=60°. ∴∠DAO=90°.

在Rt△ADO中，∠DAO=90°，

222∴OA?AD?OD.

ADOB图1C ∴OA2?OB2?OC2. ………………… 3分 （2）①如图2，当α=β=120°时，OA+OB+OC有最小值. 作图如图2的实线部分. …………………… 4分

如图2，将△AOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△A’O’C，连接OO’. ∴△A’O’C≌△AOC，∠OCO’=∠ACA’=60°. ∴O’C= OC, O’A’ = OA，A’C = BC, ∠A’O’C =∠AOC. ∴△OC O’是等边三角形.

∴OC= O’C = OO’，∠COO’=∠CO’O=60°. ∵∠AOB=∠BOC=120°， ∴∠AOC =∠A’O’C=120°. ∴∠BOO’=∠OO’A’=180°. ∴四点B，O，O’，A’共线.

∴OA+OB+OC= O’A’ +OB+OO’ =BA’ 时值最小. …………… 6分

②当等边△ABC的边长为1时，OA+OB+OC的最小值A’B=3. … 7分 29.解：（1）①由题意得，M'(2,2),N'(?3,?1). ∴OM'?22,ON'?10?22.

∴M'在⊙O上，N'在⊙O外. ----2分 ②设点P(x,x?2),则P'(2x?2,?2).

∵点P'在⊙O内，

∴-2<2x+2<2,解得-2

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