小概率事件原理及应用

材 料 清 单

一、毕业设计

二、毕业设计任务书

三、毕业设计开题申请表

四、毕业设计开题报告正文

声 明

本人，学号 ，系 数学与计算机科学学院数学与应用数学专业0911班学生。所做论文内容主体均为原创，无任何抄袭、剽窃他人劳动成果的行为。如有发现此类行为，本人愿意为此承担一切道义及法律责任，特此声明。

学生签名：

年 月 日

2

小概率事件原理及其应用

摘要：小概率事件原理是概率论与数理统计学中的一个基本原理,而正确理解小概率事件原理及其推断方法,能辩证地分析、处理、应用小概率事件对我们有着非凡的实际意义.论文围绕小概率事件展开讨论.首先,论述概率论起源及小概率事件的定义其次,对小概率事件原理和小概率事件的推断方法进行详细的介绍,阐述了小概率事件和不可能事件之间的区别与联系.最后,该论文针对生活与生产实践中的小概率事件作了深层次的说明,并结合实例剖析了小概率事件原理及其在实践中的应用,说明小概率事件原理的实用价值.

关键词：小概率事件 假设检验 原理

3

Principle of the Little Probability Events and Its Application

Abstract：The principle of small probability event is a basic principle of probability and mathematical statistics. It is meaningful to understand it and its inference method correctly, and so it is with analyzing, processing and applying the principle dialectically. The paper discusses around the little probability event. First of all, it discusses the origin of probability theory and the definition of the small probability event. Secondly, it introduces the principle of the small probability event and its inference method in detail, and describes the relation and difference between the little probability events and impossible events. Finally, the article makes a deep-level instruction for the small probability event applied in the life and production practices, and gives a couple of interesting examples to interpreter its practical value.

Key words：Little Probability Event Hypothesis testing Principle

4

目 录

1小概率事件的定义........................................................................................................................ 1

1.1概率论与小概率事件

[1] ................................................................................................ 1

1.2小概率事件和不可能事件之间的区别 ............................................................................. 2 2小概率原理及其推断方法 ............................................................................................................ 4

2.1 小概率原理 ........................................................................................................................ 4 2.2 小概率推断方法 ................................................................................................................ 5 3小概率事件原理的应用 ................................................................................................................ 6

3.1 经典的小概率事件研究 .................................................................................................... 6 3.2 小概率事件原理在商场管理中的应用 ............................................................................ 8 3.3小概率事件原理在保险中的应用 ................................................................................... 10 3.4小概率事件原理在日常生活中的应用 ........................................................................... 12 3.5统计假设检验中小概率原理的应用 ............................................................................... 13 3.6小概率事件原理在林火预报中的应用 ........................................................................... 15 3.7小概率事件原理在体育运动中的运用 ........................................................................... 17 4结束语.......................................................................................................................................... 20 参考文献......................................................................................................................................... 21 致 谢......................................................................................................... 错误！未定义书签。

5

1小概率事件的定义

[1]1.1概率论与小概率事件

概率论的起源最早追溯到赌博问题.在17世纪中叶,由法国数学家帕斯卡B.Pascal、费马P.deFermat及荷兰数学家惠更斯C.Huygens等基于排列组合方法解决了“分赌注问题”及“赌徒输光问题”

[2],因此

产生了概率论.18世纪到19 世纪,当人们注意到某些社会现象与机会游戏之间有着很大的相似性时,人们开始概括并总结出一些规律,从而概率论被广泛应用到各个领域中,也极大地推动了概率论体系的发展.瑞士数学家贝努利建立了概率论中的第一个大数定律,随后,大量数学家们通过不断深入的研究,促使概率论的理论逐渐成熟.而概率在工农业生产、国民经济、现代化科技等各个方面也越来越广泛的被应用,尤其是现代日常生活更是与概率有着千丝万缕的联系。

概率论是专门研究随机现象统计规律的学科.概率是用来刻画随机事件发生可能性的大小的数量指标.随机事件A发生的概率我们一般用P(A)来表示,并规定0?P(A)?1对于概率值很接近于1的事件,其对立事件的概率必然很接近于0 .而在概率论中,我们把概率很接近于0的事件称为小概率事件。

那么多大的概率值算小概率呢？

这就要根据具体情况而确定：比如对于某些非常重要的试验,事件的发生会产生很严重的后果（如飞机失事、雷电伤人等）时,那么概率就应选得小一些,如0.0001,甚至更小一些，否则可以相对大一些,一般多采用0.01或

0.005这两个阈值。即事件发生的概率在0.01或0.005以下的事件我们称之

为小概率事件。而这两个值称为小概率标准。

1

[3]

P(A)?2816C2P(B)?CC?0.009946C2CCP(C)??0.1218

C2CCP(D)??0.4873CP(E)?CC?0.3807C7188681628881653888164488816?0.0001554假设进行了1000次摸球试验, 5种情况平均出现的次数分别为0、10、122、487、381次, 经营游戏者预期可得：

2×381-(10×0+1×10+0.5×122+0.2×487) =593.6 (元)

这个例子的结果可能会使我们很惊讶,没想到中头奖的概率竟是如此小,他的概率只有0.0001554,明显是一个小概率事件,可以说这是一个陷阱,在我们的生活中,也有很多类似的例子,如彩票,很多人喜欢买彩票,并因此一夜暴富,成为千万富翁.我们都知道买彩票中奖是小概率事件,我们来看一个报道,河南省安阳市一位彩民用172元购买2注44倍投注的“6+1”双色球彩票,竟然一次中88注409.07万.每注一等奖,共获奖金3.599亿.有人计算过,中双色球一等奖的概率为0.0000000564,二等奖的概率为0.0000008464,三等奖的概率为0.0000091417.可见,中一等奖的概率几乎接近于零,属于典型的小概率事件.

既然买彩票中最大奖的概率是如此的小,为什么还会有人中大奖呢？这是因为全国买彩票的总人数是一个相当大的数值,这样就大大增加了中大奖的概率,就必然会产生大奖了.为了发展公益事业,我国发行了多种彩票,有些彩票的最高奖高达数百万元,但是在有限的几次试验中中最高奖这种事件几乎是不可能发生的,买一张彩票就中最高奖的概率近似为零. 对于中彩票大奖这种小概率事件实在太小，好比大海捞针，用有限的钱买几注或几十注彩票，当做娱乐，也没伤到筋骨。中彩固然值得庆贺，未中彩也不要垂头丧气，千万不要把它当做生活唯一的筹码。像诸葛亮和比尔·盖茨之所以被称为传奇就是这种成功的方式

7

很难复制。比如说诸葛亮借东风时万一风向突然改变，那可是千万士兵的生命。大家都学比尔·盖茨辍学，也是不可取的，因为一个人成功和受教育毕竟是成正比的。虽然小概率不等于不可能，但是，它是一个期望值，由于其发生的可能性极小，从而风险极大。所以现实生活中我们考虑风险的时候不能只关注“风险背后的机遇”，认为及时抓住了机遇就可以取得成功，但如果判断失误，与机遇如影相随的风险很可能会给我们造成无法估量的损失。

3.2 小概率事件原理在商场管理中的应用

例4 商场某电器部门有12台电器,由于种种原因,每台电器有时需要开,有时需要关,每台电器的开或关是相互独立的.由以往的统计数据,每台电器在一个工作日内关闭的概率为13P,为了了解该部门的用电情况, 需要计算其在一天之

[10]内恰有k台电器处于关闭状态的概率是多大?

解：这是一个简单的Bernoulli概型问题每个工作日内处于关闭状态的电

1器数?服从参数为n?12,p? 的二项分布,容易算出X的分布列,见2-2.

3 8

k P12（k） K P12（k） K P12（k） 0 0.007707 1 0.046244 2 0.127171 3 0.211952 4 0.238466 5 0.190757 6 0.111275 7 0.047689 8 0.014903 9 0.003312 10 0.000497 11 0.000045 12 0.000002 表2-2 X的二项分布图

由表可以得出关闭的台数不超过1台的概率为:P12(0)?P12(1)?0.053951 而关闭台数超过7台的概率为：P12(8)?P12(9)??P12(12)?0.018759

由此可见,若取小概率标准为0.05, 则“停车台数不超过1台”和“停车台数超过7 台”均属小概率事件.根据小概率原理,可以认为在一个工作日内处于停车的车床台数在2~7台之间,进而可计算实际用电量.反之,还可以利用小概率原理,通过实际观察来检验原先对一台电器在一个工作日内关闭概率的估计值p?否正确.

如果在某个工作日内发现关闭的台数不超过1 台或超过7台,则表明上述两个小概率事件竟然发生了,因此可以认为这是不正常的.如果没有其他原因,就

9

1是3

1可以认为将关闭概率估计为 是不正确的.

3这种类型的问题在商场管理中是经常遇到的.如果这时仍是这12台电器,设每台电器出现故障时需要维修的概率为p?0.05,假设各台电器间是否出现故障是相互独立的,而每一名维修工人维修能力是有限的,假定每次每名工人只能修一台.那么,为了及时修复设备,商场应配备几名维修工人以保证电器得到及时的修复.同一天内出现故障车的床台数服从二项分布x~b(12,0.05). 不难算出:P12(0)?0.541 ，P12(1)?0.341

至少2台出现故障的概率P?1?P12(0)?P12(1)?0.118

据此,可以考虑只配备1名维修工,因为超过1台出现故障的概率是小概率.

3.3小概率事件原理在保险中的应用

保险是近代一个频率较高的词汇,生活中处处都要和这个行业打交道.我们在购买保险前先要弄清楚的重要问题之一就是我们需要什么样的保险方案.对于我们来说,保险的基本功能是用来保障生活中小概率事件的产生.而在生活里存在着各种各样的风险,我们应对的方法也是不一样的. 对于损失小的事件,无论事件发生的概率高还是低,我们一般都采用任之发生的方式,也就是自己承担损失.比如说锁门的锁头坏了,那么我们只要就去商场里从新买把就可以了,没有谁说再到保险公司买一个锁头险.即便你想要买,关键是也没有保险公司卖.这类的事件便是没有保险地意义的事件. 如果是发生频率高且损失也高的风险,我们经常采用的办法是有意的避免它.如果买这类的保险,保费会非常昂贵这里保费昂贵的含义是,保费和保障额度相差不大,保险公司一般也不承保.如战争,特大传染病,危险运动蹦极,跳伞,攀岩等等.

[12][11]

我们转移给保险公司的一般来

说是低概率,高损失的风险.如财产,人身安全,疾病等等.由于其发生的概率比较低,一旦发生将会给我们带来难以承受的损失.正是由于这些事件极低的概率性,使得其保费相对于保障额度来说比较低.这是什么原因呢一般的保费的计算方法是保险事故发生的概率和保障额度的乘积再加上保险公司的费用. 如我们

10

可以统计出一名35岁男性在一年内死亡的概率是万分之五,不考虑其他因素的话,如果购买100万保额的一年期定期寿险,那么纯保费将是500元假设保险公司的费用率是纯保费的一半,那么总保费就是750元.750元的保费和100万元意外收益差别巨大,这就使得这类风险具有了保险的意义。

我们接下来分析一下这位男士要购买一份一年期的两全险，[13]也就是不管他在一年内死亡与否，保险公司在一年后都要支付给他100万元，那么纯保费就是100%×100万=100万，因为保险事故中，生或死发生的概率是100%。假定保险公司的费用率是纯保费的10%，这位男士最后缴纳的保费是110万元。投保的费用居然超过了保额，必然不会有人会买这种保险,也不会有保险公司设计并出售这类保险,因而这样的高概率险就失去了保险的意义。

保险事业是最早使用概率的部门之一，它会有巨大的利润就是成功的运用了小概率事件原理。

例5 某一保险公司,有2500个统一年龄层的相同社会阶层的人参加保险,在一年内,每个人死亡的概率为0.002.每个参加保险的人在1 月1 日付12 元保险费,而当它在这一年死亡时,家属可从公司领取保险费2000 元. 求：此保险公司亏本的概率。 [14]

解：我们以一年来算,1月1日,公司收入为2500×12 = 30000 元,假定死亡x人,则保险公司一年付出2000x元,亏本指2000x?30000, x?15,即.把“参加保险的每人在该年是否死亡”看成一次随机试验,2500人参加试验就相当于2500重贝努利试验,于是x~b(k,2500,0.002).利用泊松定理可得:

e?(2500?0.002)P{x?15}??(2500?0.002)??0.0069

k!k?162500k“保险公司赔钱”显然是一个小概率事件,因此有理由认为此保险公司在该年不会亏本.事实上可以计算该保险公司在本年的获利少于10000 元的概率仅为0.014,也该公司本年度的收益不会少于10000 元. 综上所述,保险公司实际上正是应用小概率事件的原理,提前预测出亏本的概率极小,在保险业中最大的赢家

11

AAP(A)?P(B)?P()?P(B)?P()?0.113

BBAP(B)?P()BAB?0.95 当日烧荒引起火灾的概率为P()?P()?ABP(A)根据小概率原理,结论为不应该发放用火许可证。

3.7小概率事件原理在体育运动中的运用

《体育统计学》教材中涉及到“小概率事件原理”。举个例子说,在训练中,某种伤害事故的发生率为百分之一或千分之一,也就是说在一百次或一千次重复训练中平均将出现一次伤害事故.但在同等条件下,如果仅训练一次,对该次划11练来说,该种伤害事故发生的可能性小百分之一或千分之一,实际上可以认为该事故是不会发生的.因此我们平时在一般的体育教学中只要给予适当的注意,很少会发生重大的伤害事故.但是如果我们因此而忽视小概率事件,认为它肯定不会发生,那就大错而特错了.因为体育教学与训练都是反复进行的,因而必须重

视和预防小概率事件的发生.下面举例说明小概率事件原理在体育方面的应用. 例1根据以往资料，篮球运动员张三投篮命中率为70%，他在一场比赛开始后连续投篮7次命中次数不超过2次，可否认为该运动员尚未进入状态，为教练提供理论依据。[6]

分析解答：假定7次投篮时相互独立的7次试验，用?表示其投中的次数，则服从n?7,p?0.7的二项分布，其概率分布为

P(??k)?C70.7k0.37?k (k?0,1,?,7)

投篮7次命中0次、1次、2次的概率分别为：

k 17

P(??0)?0.37?0.0002187 P(??1)?C7?0.7?0.36?0.0035721P(??2)?C7?0.72?0.35?0.025004721

命中次数不超过2次的概率为：

P(??0)?P(??1)?P(??2)?0.0002187?0.0035721?0.0250047?0.0287955?0.05这是一个小概率事件，而在一次试验中竟然发生了。从而说明该运动员此时不在状态，这时他的命中率要低于0.7。同理，也可知道其他球员的比赛状态，作为教练指导比赛的参考依据。

例9 已知四川理工学院体育系四年级男生36人安静时心率数位68.9/分，由文献得知，正常男子安静时心率均数为72次/分，那么体育学院四年级男生的心率是否与一般正常成年男子不同？[23]

分析解答：针对36名经常参加锻炼的体院四年级男生同一般成年男子的安静时心率的差异，分析它是否由抽样误差引起的，就要确立一个小概率的显著水平?（如取??0.01），先假定其差异是仅源于抽样误差，则提出假设检验：???0。即体院的总体均数等于已知总体“一般”中随机抽样的。在此前提下，再计算因为抽样误差而取得这样的样本的可能性，若可能性很小，即小于显著水平?，由显著差异，就自然对原来的假设产生怀疑，从而拒绝原假设。

假设H0：“经常参加锻炼的体育学院四年级男生同一般成年男子的安静时的心率没有差异”,可用t检验法进行，由题意，选统计量:

t?x??068.9?72???2.862 s6.5n361?0.012于是：t?2.862?t(36?1)?2.724，

故在??0.01检验水平下拒绝原假设H0.

18

由上可判断?与?0的差异具有高度显著性,可以基本认为安静时的心率“体院学生”不同于“一般”。根本原因可能是长期单恋导致心肌增强脉搏输出量增加等原因，而不是小小的抽样误差所能影响的。

19

4结束语

小概率事件是有可能发生的，只是发生的可能性很小而已，并且没有规律可循.因为小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的，所以人们对待小概率事件有两种截然相反的态度：一种是不愿意承认小概率事件的发生，对小概率事件听之任之、不闻不问，另一种是更愿意承认小概率事件的发生，整日处于杞人忧天或守株待兔的境界。我们已经证明：不论小概率事件A中的“小概率”多么小，只要不断地独立地重复做此试验，则该事件A迟早会出现的概率为1。它告诉人们，在实际工作中，不能忽视小概率事件。一件看来可能性很小的事，在大量重复之下，可能性就会很大。小概率事件原理是统计学中假设检验的理论基础，更是概率体系中不可缺少的一部分，在我们的日常生活中有着很广泛的应用。因此，如何对待“小概率事件”是人们处理工作和生活问题的必备科学素养。

20

参考文献

[1]. 王福和.论管理中的小概率事件[J].辽宁工程技术大学学报(社会科学版).2004(06)

[2]. 麻成玺.概率在现实生活中的应用[J].青海教育.2004(04)

[3]. 张朝霞;吴杰.日常生活中的小概率事件[J].太原师范学院学报(自然科学

版).2006(04)

[4]. 李晓红.假设检验中原假设的选取问题[J].平原大学学报.2006(06)

[5]. 白尚斌;张晓丽.林火预测预报研究综述[J].森林防火.2008(02)

[6]. 曹远红.对体育统计中假设检验有关问题的诠释[J].运动.2011(02) [7]. 甘媛.生活中的小概率事件[J].赤峰学院学报(自然科学版).2008(12) [8]. 叶宗文.重视小概率事件原理[J].科技信息.2009(24)

[9]. 马小霞.有关小概率原理的分析和应用[J].淮南师范学院学报.2006(05)

[10]. 李克娥;谢朝荣.小概率事件教学分析[J].现代商贸工业.2011(15)

[11]. 闫新生.趣味概率统计——小概率原理在生活中的应用[J].山东省农业管理干部学

院学报.2001(03)

[12]. 杨元启.对假设检验中若干问题的思考[J].科技经济市场.2008(10)

[13]. 崔永伟,杜聪慧.概率论与数理统计思想的应用[J].河南机电高等专科学校学报.2004(02)

[14]. 王翠香.“概率论与数理统计”教学的几点体会[J].高等理科教育.2006(05) [15]. 李晓彬;洪永成.彩票投资与概率研究[J].上海金融学院学报.2006(01) [16]. 郑辉,任向华.彩票投资的概率分析[J].中国统计.2004(03)

[17]. 唐莉;李雁如.大数定律与中心极限定理的实际应用[J].广东技术师范学院学

报.2005(06)

[18]. 蔺云.珍视概率统计课程中思辨数学的教育价值[J].数学教育学报.2010(03) [19]. 郭照德.在校大学生运动伤害事故发生的原因及预防[J].福建体育科技.2010(02) [20]. 贾天理;李春浓;黄金华;姚中兰.大数定律应用问题分析与概率直觉思维培养[J].绵

阳师范学院学报.2010(02)

[21]. 康铁祥.深入理解假设检验原理[J].统计教育.2001(01)

[22]. M. Kharrati-Kopaei A. R. Nematollahi Z. Shishebor Statistical Papers2009-2

21

湖北文理学院毕业论文（设计）开题申请表

姓名 学院 题目 尊敬的张丹丹老师： 开 题 申 请 （ 正 文 附 后 ） 杨轲 数学与计算机科学学院 学号 专业 2009109111 指导教师 班级 张丹丹 0911 数学与应用数学 小概率事件原理的应用 我在接到任务书后，依照指导老师的指导和要求，到图书馆查阅了充足的资料，对题目进行了详细的分析，确定了论文的主要方向和基本框架，现申请开题，请批准！ 申请人签名： 年 月 日 指 导 教 师 意 见 指导教师签名： 年 月 日 注：学生须根据毕业论文(设计)任务书写出2500字以上的开题报告，开题报告包含以下几方面的内容：1.研究目的和意义；2.阅读的主要文献、资料(理工类15种以上，其他学科类20种以上)，分析国内外现状和发展趋势，提出本课题的主攻方向；3.主要 研究内容、途径及技术路线；4.工作的主要阶段、进度及完成时间。

毕业论文开题报告 小概率事件原理的应用

专业：数学与应用数学0911班 学号：2009109111

指导老师：张丹丹

一、研究目的及意义

在生活中会出现黑天鹅现象，这种现是极不寻常的小概率事件，因为在很多

地方人们都发现成千上万只的天鹅是白色的。然而这种现象却深刻的影响人们的认知与生活，比如百年不遇的洪涝、地震等巨灾风险。小概率事件原理是概率论中具有实际应用意义的基本理论，在概率论中将概率很小（小于0.05）的事件叫作小概率事件。因为小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的，所以人们对待小概率事件有两种截然相反的态度：一种是不愿意承认小概率事件的发生，对小概率事件听之任之、不闻不问；另一种是更愿意承认小概率事件的发生，整日处于杞人忧天或守株待兔的境界。其实，只要我们充分的认识和把握这一原理，并加以很好的应用，就会给我们的生活带来意想不到的收获。

二、该课题的现状和发展趋势

概率论最早起源赌博问题。17世纪中叶，法国数学家帕斯卡（B.Pascal）、费马（P.fermat）及荷兰数学家惠更斯（C.Huygens）等基于排列组合方法，解决了“分赌注问题”及“赌徒输光问题”，于是出现了概率论。18～19 世纪，人们注意到某些生物、物理和社会现象与机会游戏之间的相似性，从而概率论被广泛应用到这些领域，大大推动了概率论的发展。瑞士数学家贝努利（建立了概率论中的第一个大数定律。随后，经过数学家们不断深入的研究，概率论的理论逐渐成熟。概率在工农业生产、国民经济、现代化科技等方面的应用价值体现越来越广泛，现代日常生活更是与概率有着千丝万缕的联系早在1812年，数学家拉普拉斯在一篇有关概率的论文-“概率分析论”中就说：“这门源自考虑赌博中的机运的科学，必将成为人类知识中最重要的一部分，生活中最重要的问题的大部分，将都只是概率的问题”。这在我们的当今现实生活中得到了充分的印证。概率统计理论与方法的应用几乎遍及所有科学技术领域。很多学者对概率统计相关理论体系颇有研

究，也会遇到现有理论无法解释的现象，然而研究者却很少将其与小概率事件相联系，缺乏对小概率本身进行研究与讨论，似乎小概率就是一个默认的共同知识。 三、本课题的研究内容

本文将从小概率事件的相关概念入手，研究这一原理的实际应用。研究的内容包括：概率论起源及小概率事件的定义、小概率事件的原理及推断方法、小概率事件与不可能事件之间的区别与联系、小概率事件原理的应用。 四 、本课题研究的重点

该原理的实际应用是本课题研究的重点内容，主要包括以下几个方面:

1 经典的小概率事件研究

2 小概率事件原理在商场管理中的应用 3小概率事件原理在保险中的应用 4小概率事件原理在日常生活中的应用 5统计假设检验中小概率原理的应用 6小概率事件原理在林火预报中的应用

7小概率事件原理在体育运动中的运用

五、研究的方法

一、实地调查法（通过到所研究的处所实地调查，从而得出结论） 二、人物采访法（直接向有关人员采访，以掌握第一手资料)

三、文献法（通过查阅各种相关图书、期刊等，分析、比较得出结论） 四、向指导老师请教（通过向指导老师探讨请教得出相关结论）

六、研究的主要阶段、时间安排

1、2013年2月1日至2月28日 确定毕业生论文题目，并下达任务书； 2、2月16日至3月5日 撰写并提交开题报告； 3、3月6日至4月10日 撰写并提交初稿； 4、4月12日至5月15日撰写并第一次修改； 5、5月18日至5月20日撰写并二次修改； 6、5月23日至5月25日撰写并三次修改； 7、5月26日至5月28日撰写并定稿；

8、5月28日至5月29日毕业论文答辩及论文成绩评定。 六、主要参考文献及资料

[1]. 甘媛.生活中的小概率事件[J].赤峰学院学报(自然科学版).2008(12) [2]. 张朝霞;吴杰.日常生活中的小概率事件[J].太原师范学院学报(自然科学[3]. 叶宗文.重视小概率事件原理[J].科技信息.2009(24)

[4]. 马小霞.有关小概率原理的分析和应用[J].淮南师范学院学报.2006(05) [5]. 李克娥;谢朝荣.小概率事件教学分析[J].现代商贸工业.2011(15)

[6]. 闫新生.趣味概率统计——小概率原理在生活中的应用[J].山东省农业管理干部学院[7]. 杨元启.对假设检验中若干问题的思考[J].科技经济市场.2008(10) [8]. 白尚斌;张晓丽.林火预测预报研究综述[J].森林防火.2008(02) [9]. 麻成玺.概率在现实生活中的应用[J].青海教育.2004(04)

[10]. 崔永伟,杜聪慧.概率论与数理统计思想的应用[J].河南机电高等专科学校学[11]. 王翠香.“概率论与数理统计”教学的几点体会[J].高等理科教育.2006(05) [12]. 李晓彬;洪永成.彩票投资与概率研究[J].上海金融学院学报.2006(01)

[13]. 王福和.论管理中的小概率事件[J].辽宁工程技术大学学报(社会科学版).2004(06) [14]. 郑辉,任向华.彩票投资的概率分析[J].中国统计.2004(03)

[15]. 唐莉;李雁如.大数定律与中心极限定理的实际应用[J].广东技术师范学院学[16]. 蔺云.珍视概率统计课程中思辨数学的教育价值[J].数学教育学报.2010(03) [17]. 李晓红.假设检验中原假设的选取问题[J].平原大学学报.2006(06)

[18]. 郭照德.在校大学生运动伤害事故发生的原因及预防[J].福建体育科技.2010(02) [19]. 贾天理;李春浓;黄金华;姚中兰.大数定律应用问题分析与概率直觉思维培养[J].绵[20]. 康铁祥.深入理解假设检验原理[J].统计教育.2001(01)

[21]. 曹远红.对体育统计中假设检验有关问题的诠释[J].运动.2011(02)

版).2006(04)

学报.2001(03)

报.2004(02)

报.2005(06)

阳师范学院学报.2010(02)

[22]. M. Kharrati-Kopaei A. R. Nematollahi Z. Shishebor Statistical Papers2009-2 Springer期刊

[23].Parminder Singh Amar Nath Gill Narendra KumarJournal of Statistical Planning and Inference2009-9爱思唯尔期刊

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/1g16.html