高中数学 2.1《合情推理与演绎推理》素材 新人教A版选修22

4 推理与证明知识回顾

对于数学的学习，应具备“能力”，其中本章的“推理与证明”就是一种重要的“逻辑思维”能力．通过本章的复习，培养推理、论证能力，以增强对问题的敏锐的观察，深刻的理解、领悟能力．

一、推理部分

1．知识结构框图：

2．合情推理：＿＿＿＿与＿＿＿＿统称为合情推理．

①归纳推理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．

②类比推理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．

定义特点：归纳推理是由特殊到一般、由具体到抽象的推理；而类比推理是由特殊到特殊的推理；两者都能由已知推测、猜想未知，从而推出结论．但是结论的可靠性有待证明． ③推理过程：

从具体问题出发→＿＿＿＿＿＿→归纳类比→＿＿＿＿＿＿．

3．演绎推理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．

①定义特点：演绎推理是由一般到特殊的推理；

②学习要点：演绎推理是数学中证明的基本推理形式；

推理模式：“三段论”：

ⅰ大前提：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；

ⅱ小前提：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；

ⅲ结论：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．

集合简述：

ⅰ大前提：x M ∈且x 具有性质P ；

ⅱ小前提：y S ∈且S M ?；

ⅲ结论：y 也具有性质P ；

４．合情推理与演绎推理的关系：

①合情推理中的归纳推理是由特殊到一般的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理； ②它们又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性；

二、证明部分

１．知识结构框图

２．综合法与分析法

①综合法:＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．

②分析法：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．

4 学习要点：在解决问题时，经常把综合法与分析法合起来使用；使用分析法寻找成立的条件，再用综合法写出证明过程．

③反证法：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．

学习要点：反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿或＿＿＿＿＿＿等矛盾．

3．数学归纳法

一般地，证明一个与正整数ｎ有关的命题的步骤如下：

（1）（归纳奠基）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；

（2）（归纳递推）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．其证明的方法叫做数学归纳法． 学习要点：理解第一步是推理的基础，第二步是推理的依据，两者缺一不可．特别地，在证明第二步1n k =+时命题成立，一定要用上归纳假设n k =时命题成立；另外在证明第二步时首先要有明确的目标式，即确定证题方向；数学归纳法常和合情推理综合应用，特别常以归纳推理为前提．

三、考查要求

“合情推理”是一种重要的归纳、猜想的推理，它是发现问题和继续推理的基础．逻辑思维能力主要体现为对演绎推理的考查．试卷中考查演绎推理的试题的比例比较大，命题时既考虑使用选择题、填空题的形式进行考查，又考虑如何使用解答题（以证明题的形式）突出进行考查，立体几何是考查演绎推理的最好素材．

数学归纳法很少单独考查，由于数列是和自然数有关的，因此，经常和数列一起考查，常与归纳猜想相结合进行综合考查．

推理与证明复习指导

对于数学的学习，应具备“能力”，其中本章的“推理与证明”就是一种重要的

“逻辑思维”能力形式．通过本章的复习，要有着扎实的推理、论证能力，以增强对问题的敏锐的观察，深刻的理解、领悟能力．

一．推理部分

1．知识结构：

推理

归纳 和情推理

类比

2．和情推理：归纳推理与类比推理统称为和情推理．

①归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象

都具有这些特征的推理，或有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．

②类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，

推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．

演绎推

理

4 ③定义特点；归纳推理是由特殊到一般、由部分到整体的推理；而类比推理是由特殊到特殊的推理；都能由已知推测、猜想未知，从而推理结论．但是结论的可靠性有待证明．

例如：已知2

()53f n n n =-+-，可以(1)10f =>，(2)30,f => (3)30,(4)10f f =>=>，于是推出：对入任何n N *∈，都有()0f n >；而这个结论是错误的，显然有当5n =时，(5)30f =-<．因此，归纳法得到的结论有待证明．

例如：“在平面内与同一条直线垂直的两条直线平行”；

类比线与线得到：“在空间与同一条直线垂直的两条直线平行“；显然此结论是错误的”．

类比线与面得到：在空间与同一个平面垂直的两个平面平行；显然此结论是错误的．

④推理过程： 从具体问题出发 观察、分析、比较、联想 归纳、类比 猜想．

3．演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理（逻辑推理）．

①定义特点：演绎推理是由一般到特殊的推理；

②数学应用：演绎推理是数学中证明的基本推理形式；

推理模式：“三段论”：

ⅰ大前提：已知的一般原理（M 是P ）；

ⅱ小前提：所研究的特殊情况（S 是M ）；

ⅲ结论：由一般原理对特殊情况作出判断（S 是P ）；

集合简述：

ⅰ大前提：x ∈M 且x 具有性质P ；

ⅱ小前提：y ∈S 且S ?M ；

ⅲ结论： y 也具有性质P ；

例题1．若定义在区间D 上的函数()f x 对于D 上的n 个值12,,

n x x x ，总满足[]12121()()()()n n x x x f x f x f x f n n ++

++++≤，称函数()f x 为D

上的凸函数；现已知()sin f x x =在(0,)π上是凸函数，则ABC ?中，sin sin sin A B C ++的最大值是 ．

解答：由[]1

2121()()()()n n x x x f x f x f x f n n ++++++≤（大前提）

因为()sin f x x =在(0,)π上是凸函数 （小前提）

得()()()3()3

A B C f A f B f C f ++++≤ （结论）

4 即33sin sin sin 3sin 32

A B C π

++≤= 因此，sin sin sin A B C ++的最大值是

332 注：此题是一典型的演绎推理“三段论”题型 ４．和情推理与演绎推理的关系：

①和情推理是由特殊到一般的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理；

②它们又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性；

例２．设()2

x x

a a f x -+=，()2x x a a g x --=（其中0a >且1a ≠） （1）５＝２＋３请你推测(5)g 能否用(2),(3),(2),(3)f f g g 来表示；

（2）如果（1）中获得了一个结论，请你推测能否将其推广. 解答:（1）由(3)(2)(3)(2)f g g f + ＝332a a -+222a a --＋332a a --222a a -+＝55

2

a a -- 又(5)g ＝55

2

a a -- 因此，(5)g ＝(3)(2)(3)(2)f g g f +

（2）由(5)g ＝(3)(2)(3)(2)f g g f +

即(23)g +＝(3)(2)(3)(2)f g g f +

于是推测()g x y +＝()()()()f x g y g x f y +

证明：因为：()2

x x

a a f x -+=，()2x x a a g x --=（大前提） 所以()g x y +＝2

x y x y

a a ++-， ()g y ＝2y y a a --，()f y ＝2

y y

a a -+，（小前提及结论） 所以()()()()f x g y g x f y +

4 ＝2x x a a -+2y y a a --＋2x x a a --2

y y

a a -+ ＝2

x y x y

a a ++-＝()g x y + 解题评注：此题是一典型的由特殊到一般的推理，构造(23)g +＝(3)(2)(3)(2)f g g f +是此题的一大难点，要经过观察、分析、比较、联想而得到；从而归纳推出一般结论()g x y +＝()()()()f x g y g x f y +．

二．证明部分

１．知识结构

２．综合法与分析法

①综合法；利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，经过一系列推理论证，推导出所要证明的结论成立．

②分析法：从要证明的结论出发逐步寻求使它成立的充分条件，直至把要证明的结论归结为判别一个明显成立的条件为止．

③综合应用：在解决问题时，经常把综合法与分析法和起来使用；使用分析法寻找成立的条件，再用综合法写出证明过程．

例３．已知：0a b >>，求证：

22

()()828a b a b a b a b

-+-<< 证明： 因为0a b >>

所以22

()()828a b a b a b a b

-+-<-< ?22

2()()44a b a b a b

--<< ?|<<

4

?

2<<

?121<

?

1<< 又由已知0a b >>

1<成立． 由于以上分析步步等价，因此步步可逆．故结论成立．

解题评注：(1)以上解答采用恒等变形，其实质从上往下属于分

析法，反之属于综合法．

(2)

这里表示了

1<<,(0a b >>)是结论成立的充要条件,当然找到了结论成立的充分条件就可以了.

例4.求证抛物线2

2(0)y px p =>，以过焦点的弦为直径的圆必与

2

p

x =-

相切. 证明：（如图）作AA ／

、BB ／

垂直

准线，取AB 的中点M ，作MM ／

垂直

准线.

要证明以AB 为

直径的圆与准线相切 只需证｜MM ／

｜＝

1

2

｜AB ｜ 由抛物线的定义：

｜AA ／｜＝｜AF ｜，｜BB ／

｜＝｜BF ｜

所以｜AB ｜＝｜AA ／｜＋｜BB ／

｜

因此只需证｜MM ／

｜＝

12

（｜AA ／｜＋｜BB ／

｜） 根据梯形的中位线定理可知上式是成立的. 所以以过焦点的弦为直径的圆必与2

p

x =-

相切. 以上解法同学们不难以综合法作出解答.

解题评注:分析法是从结论出发寻找证题思路的一种重要的思维方法, 特别是题设和结论相结合,即综合法与分析法相结合,可使很多较为复杂

的问题得到解决.

3.数学归纳法

一般地，证明一个与正整数ｎ有关的命题的步骤如下：

4 （1）（归纳奠基）证明当ｎ取第一个值ｎ0时命题成立；

（2）（归纳递推）假设ｎ＝k （0(,)k n k n ≥∈*时命题成立，证明当1n k =+

时命题也成立。就可以断定对从ｎ0开始的所有正整数ｎ都成立．其证明

的方法叫数学归纳法．

（3）学习要点：理解第一步是推理的基础，第二步是推理的依据，两者缺

一不可．特别地，在证明第二步1n k =+时命题成立，一定要用上归纳

假设ｎ＝k 时命题成立；另外在证明第二步时首先要有明确的目标式，即

确定证题方向；

数学归纳法常和和情推理综合应用，特别常以归纳推理为前提． 例５．已知数列{}n a 的前n 和为n S ，其中(21)n n S a n n =

-且113a = (1)求23,a a

(2)猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明．

解答：（1）21222(221)6S a a a +=

=?- 又113

a =，则2115a =，类似地求得3135a = （2）由1113a =?，2135a =?，3157

a =?… 猜得：1(21)(21)

n a n n =-+ 以数学归纳法证明如下：

①当1n =时，由（1）可知等式成立；

②假设当n k =时猜想成立，即1(21)(21)

k a k k =-+ 那么，当1n k =+时，由题设(21)

n n S a n n =-得 (21)k k S a k k =-，11(1)(21)

k k S a k k ++=++ 所以(21)k S k k =-k a ＝(21)

k k -1(21)(21)k k -+＝21k k + 11(1)(21)k k S k k a ++=++

4 11k K K a S S ++=-=1(1)(21)k k k a +++－

21k k + 因此，1(23)21k k k k a k ++=

+ 所以11(21)(23)k a k k +=++1[2(1)1][2(1)1]

k k =+-++ 这就证明了当1n k =+时命题成立.

由①、②可知命题对任何n N *∈都成立.

解题评注：（1）本题首先采用了归纳推理，即由特殊到一般的推理；

（2）解题时注意已知式(21)

n n S a n n =-对任何n N *∈都成立，因此要注意其变形应用；归纳假设已用上，在上面的横线处，是解题关键的一

步.

三．高考要求

高考强调对数学思维能力的考查，“和情推理”是一种重要的归纳、

猜想推理，它是发现问题和继续推理的基础.逻辑思维能力主要体现在对

演绎推理的考察.试卷中考查演绎推理的试题的比例比较大，命题时既考

虑使用选择题、填空题的形式进行考察，又考虑如何使用解答题型，以

证明题的形式突出进行考察，立体几何是考察演绎推理的最好教材.

近几年数学归纳法很少单独考察，由于数列是和自然数有关的，因

此，经常和数列一起考察，常与归纳猜想相结合进行综合考察.

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