2.3.2离散型随机变量的方差（理科）（杨升明改）

2.3.2离散型随机变量的方差

孙文正

一、课标点击

(一)学习目标：理解取有限个值的离散型随机变量的方差的概念，会求简单离散型随机变量的方差，并能根据概念解决一些简单问题. (二)教学重点：

用样本数据的方差和标准差估计总体的方差与标准差 (二)教学难点：

理解样本数据的方差、标准差的意义和作用，形成对数据处理过程进行初步评价的意识 二、教学过程: （一）知识链接

离散型随机变量的数学期望的意义

根据分布列求数学期望和离散型随机变量的数学期望的性质。 （二）问题导引

有甲、乙两种钢筋，现从中各抽取一个标本 2

（如表）检查它们的抗拉强度（单位：kg/mm

110 120 130 125 120 125 135 125 135 125 甲 115 100 125 130 115 125 125 145 125 145 乙

问题：哪种钢筋的质量较好？

(三)自主探究

1、离散型随机变量的方差 若离散型随机变量的分布列为

ξ P x1 P1 x2 P2 … … x n Pn … … 222

D ξ =（x1-Eξ)·P1+ （x2-Eξ)·P2 … + （xn-Eξ)·Pn + … 叫随机变量ξ的均方差，简称方差。 思考与讨论:

1.①、D ξ的算术平方根√Dξ—— 随机变量ξ的标准差，记作σξ； ②、标准差与随机变量的单位相同；

③、随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动，集中与分散的程度。 2、满足线性关系的离散型随机变量的方差 2

D（ aξ+ b）= a·Dξ

若η=aξ+ b，则η的分布列为

η ax 1+b P

ax2+b P2 P1 … … axn+b Pn … … 22

Dη=[ax1+b -E(aξ+ b)]·P1+ [ax2+b -E(aξ+ b)]·P2 2+ …+ [axn+b -E(aξ+ b)]·Pn + … 3、

?1?服从二点分布的随机变量的方差

D?X??pq

?2?服从二项分布的随机变量的方差

设ξ ~B（ n , p ），则 Dξ=qEξ=npq，q=1-p

(四) 典例探讨

1、已知随机变量?的分布列为 ? -1 0 P 1 1 61 21 3?=3?+1

E?= ，D ?= . E ? = ，D ? =

158?,,,5. 3932、已知某离散型随机变量服从的分布列为 X P 1 p 0 q 且0＜p＜1,q=1-p,求D(X)

解：由题目知服从二点分布。所以 E(X)=p,

2222

D(X)= （1-P)·P+（0-P)·q=q·P+P·q=pq. 这表明在二点分布试验中，离散型随机变量X围绕期望的平均波动大小为pq. 3.甲乙两人每天产量相同，他们每日生产的次品个数分别为???，其分布列为

? 0 1 2 3 P 0.3 0.3 0.2 0.2

? 0 1 2 P 0.1 0.5 0.4

判断甲乙两人生产水平的高低？

E?=0×0.3+1×0.3＋2×0.2＋3×0.2=1.3 E?=0×0.1+1×0.5＋2×0.4=1.3

2222

D?=(0－1.3)×0.3+(1－1.3)×0.3＋（2－1.3）×0.2＋（3-1.3)×0.2=1.21 222

D?=(0－1.3)×0.1+(1－1.3)×0.5＋（2－1.3）×0.4=0.4

期望值高，平均值大，水平高。方差值小，稳定性高，水平高 (五)变式拓展

甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm2），试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定。 品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 9.8 9.9 10.1 10 10.2 甲 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8 乙 解：甲品种的样本平均数为10，样本方差为

[（9.8-10）2 +（9.9-10）2+（10.1-10）2+（10-10）2+（10.2-10）2]÷5=0.02.

乙品种的样本平均数也为10，样本方差为

[（9.4-10）2+（10.3-10）2+（10.8-10）2+（9.7-10）2+（9.8-10）2]÷5=0.24 因为0.24>0.02，所以，由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定。

(六)归纳总结

(七)当堂检测

巩固练习 A组

1．已知随机变量的的分布列为 则DE等于（ ）

A．0 B．0.8 C．2 D．1

ξ P 1 0.4 2 0.2 3 0.4 2．已知随机变量?满足D?=2,则D?2??3??（ ）

A.2 B.4 C.5 D.8

3．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中率为0.6，现在共有4颗子弹，命中后尚余子弹数目ξ的方差为 . 4．掷一个色子所得的点数为X,求D(X). B组

－

1.设随机变量ξ的概率分布为P（ξ=k）=pk·(1－p)1k(k=0，1),则Dξ的值是（ ） A.1 B.p2 C.1－p D.(1－p) 2．事件在一次试验中发生次数?的方差D?的最大值为（ ） A. 1

B.

1 2 C.

1 4 D. 2

3．从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，这两个数之积作为变量的方差为 4．从装有3个白球和2个黑球的布袋中摸取一球，有放回地摸取5次，求摸得的白球数X的数学期望和方差.

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