带电粒子在磁场中的运动最小非圆面积的一类题的解法

带电粒子在磁场中的运动最小非圆面积的一类题的解法

带电粒子在磁场中的运动最小非圆 面积的一类题的解法

带电粒子在磁场中的运动最小非圆面积的一类题的解法

例、在xoy平面内有很多质量为m,电量为e的电子，从坐标原点O不断以相同速率沿不同方向射入第一象限，如图所示.现加一垂直于xOy平面向里、磁感强度为B的匀 强磁场，要求这些入射电子穿过磁场都能平行于x轴且 沿x轴正向运动，试问符合该条件的磁场的最小面积为 多大？(不考虑电子间的相互作用)y

v0 O x

带电粒子在磁场中的运动最小非圆面积的一类题的解法

解1: 电子由O点射入第Ⅰ象限做匀速圆周运动ev0 B m v0 r2

y

r=

m v0 eB

所有电子的轨迹圆半径相等，且均过 O点。这些轨迹圆的圆心都在以O为圆 心，半径为r的且位于第Ⅳ象限的四分 之一圆周上，如图所示。 由图可知，a、b、c、d 等点就是各电 子离开磁场的出射点，均应满足方程

v0 OO1 O2 O3 On O5 O4

x

x2 + (r-y)2=r2。即所有出射点均在以坐标(0,r)为圆心的圆弧abO上，显然， 磁场分布的最小面积应是实线1和圆弧abO所围的面积，由几何 关系得 m v0 2 1 1 2 2S m in 2 (

r

r ) (

1)(

)

4

2

2

eB

带电粒子在磁场中的运动最小非圆面积的一类题的解法

解2: 磁场上边界如图线1所示。 设P(x,y)为磁场下边界上的一 点，经过该点的电子初速度与x轴 夹角为 ,则由图可知： x = rsin , y = r-rcos , 得: x2 + (y-r)2 = r2。

y 1P (x,y)

v0

O

θ r

r

xO

所以磁场区域的下边界也是半径为r,圆心为(0,r)的 圆弧应是磁场区域的下边界。 两边界之间图形的面积即为所求。图中的阴影区域面 积，即为磁场区域面积：S 2( r ) ( 1) 2 2 4 2 2 e B2

1

r

2

m v0

2

2

带电粒子在磁场中的运动最小非圆面积的一类题的解法

例、(2009· T16)如图，ABCD是边长为a的正方形。 海南·质量为m电荷量为e的电子以大小为v0的初速度沿纸面垂

直于BC边射入正方形区域。在正方形内适当区域中有匀强磁场，电子从BC边上的任意点入射，都只能从A点射 出磁场。不计重力，求： (1)此匀强磁场区域中磁感应强度的大小和方向； (2)此匀强磁场区域的最小面积。y

D

C

v0 O

Ax

B

带电粒子在磁场中的运动最小非圆面积的一类题的解法

解：(1)设匀强磁场的磁感应强度的大小为B。令圆弧AEC是自C点垂直于 BC入射的电子在磁场中的运行轨道。依题意，圆心在A、C连线的中垂线上， 故B点即为圆心，圆半径为a,按照牛顿定律有 ev0B= mv02/a,得B= mv0/ea。 (2)自BC边上其他点入射的电子运动轨道只能在BAEC区域中。因而，圆弧 AEC是所求的最小磁场区域的一个边界。 (3)设某射中A点的电子速度方向与BA的延长线夹 D 角为θ的情形。该电子的运动轨迹qpA如图所示。图中 圆弧Ap的圆心为O,pq垂直于BC边 ，圆弧Ap的半径 仍为a,在D为原点、DC为x轴、DA为y轴的坐标系中， A p点的坐标为(x,y),则 x=asinθ,y=-acosθ。 θ 由④⑤式可得：x2+y2=a2,这意味着在范围0≤θ≤π/2内， p点

处在以D为圆心、a为半径的四分之一圆周AFC上， 它是电子做直线运动和圆周运动的分界线，构成所求 磁场区域的另一边界。 C E pq F B

O

因此，所求的最小匀强磁场区域，是分别以B和D为圆心、a为半径的两个四 分之一圆周AEC和AFC所围成的区域，其面积为S=2(πa2/4-a2/2) =(π-2)a2/2

带电粒子在磁场中的运动最小非圆面积的一类题的解法

磁聚焦概括：

迁移与逆向、对称的物理思想！

一点发散成平行R

平行会聚于一点

rR r

区域半径 R 与运动半径 r 相等

带电粒子在磁场中的运动最小非圆面积的一类题的解法

例、(2009年浙江卷)如图，在xOy平面内与y轴平行的匀强电场，在半径为R的圆内还有与xOy平面垂直的匀强磁场。 在圆的左边放置一带电微粒发射装置，它沿x轴正方向发 射出一束具有相同质量m、电荷量q(q>0)和初速度v的带 电微粒。发射时，这束带电微粒分布在0<y<2R的区间内。 已知重力加速度大小为g。 (1)从A点射出的带电微粒平行于x轴从C点进入有磁场区 域，并从坐标原点O沿y轴负方向离开，求电场强度和磁感 应强度的大小与方向。 y (2)请指出这束带电微粒与x轴相 带 点 微 交的区域，并说明理由。 粒 R 发 v O/ (3)在这束带电磁微粒初速度变为 射 C 装 2v,那么它们与x轴相交的区域又在 置 O 哪里？并说明理由。 x

带电粒子在磁场中的运动最小非圆面积的一类题的解法

【答案】(1);方向垂直于纸面向外(2)见解析 (3)与x同相交的区域范围是x>0. yy

【解析】 略 【关键】 图示v A

P v R R Q

θ O/ O

R

C

O/ O 图 (a)

x 图 (b)

x y

装带 置点 微 粒 发 射

P

v R

C

O/ r

Q

O 图 (c)

x

带电粒子在磁场中的运动最小非圆面积的一类题的解法

例、如图，在xOy平面内，有以O′(R,0)为圆心，R为半径的圆形磁场区域，磁感应强度大小为 B,方向垂直xOy平面向外， 在 y=R上方有范围足够大的匀强电场，方向水平向右，电场 强度大小为E。在坐标原点O处有一放射源，可以在xOy平面 内向 y 轴右侧(x >0)发射出速率相同的电子，已知电子在 y 该磁场中的偏转半径也为 R, E 电子电量为 e,质量为 m。 不计重力及阻力的作用。 R (1)求电子射入磁场时的速度大小； (2)速度方向沿x轴正方向射入磁场 的电子，求它到达y轴所需要的时间； O O′ x (3)求电子能够射到y轴上的范围。

带电粒子在磁场中的运动最小非圆面积的一类题的解法

例、如图所示，在 xOy平面上-H < y< H的范围内有一片稀疏的电子，从 x 轴的负半轴的远外以相同的速率 v0 沿 x 轴正向平行地向 y 轴射来，试设计一个磁场区域，使

得：(1)所有电子都能在磁场力作用下通过原点 O; (2)这一片电子最后扩展到 -2H<y<2H 范围内，继续沿 x 轴正向平行地以相同的速率 v0向远处射出。已知电子的 电量为 e,质量为 m,不考虑电子间的相互作用。y 2H v0

v0

H O -H x

对称思想

v0

-2H

v0

带电粒子在磁场中的运动最小非圆面积的一类题的解法

例、(2008· 重庆高考)如图为一种质谱仪工作原理示意图。在以O为圆心，OH为对称轴，

夹角为2α的扇形区域内分布 着方向垂直于纸面的匀强磁场。对称于OH轴的C和D分 别是离子发射点和收集点。CM垂直磁场左边界于M,且 OM=d。现有一正离子束以小发散角(纸面内)从C射出， 这些离子在CM方向上的分速度均为v0。若该离子束中比 荷为q/m的离子都能会聚到D,试求： (1)磁感应强度的大小和方向(提示：可考虑沿CM方向运 动的离子为研究对象); (2)离子沿与CM成 θ 角的直线 CN进入磁场，其轨道半径和在 磁场中的运动时间； (3)线段CM的长度。

带电粒子在磁场中的运动最小非圆面积的一类题的解法

解： (1)如图所示，设沿CM方向运动的离子在磁场中做圆周运 动的轨道半径为R, 由R=d ,qv0B = mv02/R 可得 B=mv0/qd,磁场方向垂直纸面向外。 (2)设沿CN运动的离子速度大小为v, 在磁场中的轨道半径为R′,运动时间为t 由 vcosθ = v0, 得v = v0/cosθ。 R′=mv/qB = d/cosθ。 设弧长为s,t=s/v,s=2(θ+α) R′ 离子在磁场中做匀速圆周运动的周期T= 2π m /Bq, 得：t = v (3) CM=MNcotθ0

2 ( )

MN d

由正弦定理得

sin( )

=

R sin

R′=mv/qB = d/cosθ。

以上3式联立求解得 CM=d cotα

带电粒子在磁场中的运动最小非圆面积的一类题的解法

例、如图，在直角坐标系 xOy 中，点M(0,1)处不断向 +y 方向发射出大量质量为 m、带电量为 –q 的粒子，粒子的初速度 大小广泛分布于零到 v0之间。已知这些粒子此后所经磁场的 磁感应强度大小为 B,方向垂直于纸面向里，所有粒子都沿 +x 方向经过 b 区域，都沿 -y的方向通过点 N(3,0)。 (1)通过计算，求出符合要求的磁场范围的最小面积； (2)若其中速度为 k1v0 和 k2v0 的两个粒子同时到达 N 点 (1>k1>k2>0),求二者发射的时间差。y (mv0/qB) 2 v0 1 M N O 1 2 3 x(mv0/qB) a b c

带电粒子在磁场中的运动最小非圆面积的一类题的解法

例、(1975 IPHO试题)质量均为m的一簇粒子在P点以同一速度v向不同方向散开(如图),垂直纸面的匀强磁场B 将这些粒子聚焦于R点，距离PR=2a,离子的轨迹应是轴 y 对称的。试确定磁场区域的边界。

解答：在磁场B中，粒子受洛仑兹力作用

磁

场

作半径为r的圆周运动： A(x,y) r mv v2 = qvB = m r r qB v b 设半径为r的圆轨道上运动的粒子， a a R x O P 在点A (x,y)离开磁场，沿切线飞向R 点。由相似三角形得到： y-b a-x y x 同时，A作为轨迹圆上的点，应满足方程： x2+(y-b)=r2 消去(y-b),得到满足条件的A点的集合，因此，表示磁场边界 x (a-x) 的函数方程为： y= r2-x2

带电粒子在磁场中的运动最小非圆面积的一类题的解法

例、 (第二十届全国预赛试题)从 z轴上的O点发射一束电量为q、质量为m的带正电粒子，它们速度方向分布在以O点 为顶点、z轴为对称轴的一个顶角很小的锥体内(如图所 示),速度的大小都等于v。试设计一种匀强磁场，能使 这束带电粒子会聚于z轴上的另一点M,M点离开O点的 距离为d。要

求给出该磁场的方向、磁感应强度的大小和 最小值。不计粒子间的相互作用和重力的作用。2 mvn qd

B

O

M

z

n=1,2,3,…磁透镜

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/1fpi.html