普通物理实验（误差分析）第二版（2010级）

普通物理实验 第1章 物理实验的目的、地位及重要性

物理实验学生学什么？

1．实验课上学生么？

（1）学实验方法、测量仪器、数据处理问题和操作技能。 （2）学实验的物理思想。

（3）提高思维能力，特别是创造性思维能力。 A．综合运用已有知识解决实际问题。 B．发现、提出问题。 C．灵活地考虑问题

D．预见事物发展的前景。 E．提出新的设想。 2．在探索中学习 3．误差分析

分析误差来源。 4．实验结果评价 5．实验的物理思想

设计一个物理过程，将不可测或测不准的量转换为可测或测得校准的量。 6．提出问题

（1）对实验方法、仪器不完全明了的问题。

（2）对实验了解之后的问题，这是更重要、更有创造性的。

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普通物理实验 第1章 物理实验的目的、地位及重要性

第1章 物理实验的目的、地位及重要性

物理学是一门重要的基础科学，是一切理、工、医、农专业的基础课。而普通物理实验是物理学的坚实基础。

1．物理实验课的目的

物理学是一门实验科学，物理实验是区别于其它学科而独立存在的学科，有它自身完整的知识结构，有它自身独特的理论和方法。物理学新概念的确立、新规律的发现就是依靠反复实验。物理实验的方法、思想、仪器和技术已经被普遍应用于自然科学各个领域和技术部门。

物理实验课是对学生进行实验教育的入门课程，其目的是：使学生在学习物理实验基础知识的同时，受到严格的训练，掌握初步的实验能力，养成良好的实验习惯和严谨的科学作风。

在物理实验课上要求：

（1）学习基础实验方法，仪器和数据处理知识。 （2）锻炼手的操作能力。 （3）学习实验的物理思想。 （4）培养思维能力

思维：在观察的基础上，进行分析、综合、判断、推理和提出新思想的认识过程。例如： A．观察现象、分析测量数据，判断实验的进行是否正常。

B．对实验故障的分析、判断，可找出问题的所在，并及时解决。 C．审查实验记录，可以发现存在的问题。

D．分析实验结果，给出恰当的评价，提出深入思考的问题。

实验课上，学生自主性很强，有较大的独立性，希望学生以研究者的态度去组装实验装臵，进行观测与分析，探讨最佳实验方案，从中积累经验，锻炼技巧，为以后独立设计实验方案和解决新的实验课题创造条件。

2．物理实验的地位及重要性

物理学是一门严谨的科学，它的各种理论都应得到实验的验证。而物理学理论体系的建立，必须是以实验为基础的。因此，物理实验在整个物理学中占有极其重要的地位。这可从物理学发展的历史长河中得到证明。

（1）匀加速运动的定义

匀加速运动：如果物体从静止状态出发，并且在相等时间间隔内获得相等的速度增量，则此物体的运动为匀加速运动。

这个定义无疑是正确地、完美的。但是，伽利略在寻找这个定义的初期给出的定义是：

在下落过程中，物体所得到的速度与下落的距离成正比，即匀加速运动是速度正比于所通过的距离的运动。这个定义是错误的。伽利略通过著名的“斜面实验”验证了该定义。 （2）物理光学的建立

物理光学的建立，完全是从实验开始的。意大利物理学家格里马迪，在观察放在光束中的小棍时，发现小棍的影子比按几何光学计算的大小要宽一些。而且影子的边缘还有几层带颜色的带子。这说明，光在物体的边缘处发生了微小的拐折。他第一个将其称之为“衍射”。正是由于“衍射”现象的发现，使光学有了长足发展，并建立起物理光学的理论体系。 （3）电流磁效应的发现

丹麦物理学家奥斯特在研究中注意到这样一个现象：1751年，富兰克林发现用莱顿瓶发电，可以使焊条、钢针磁化或退磁，这说明电和磁之间存在着某种内在联系。

1819年冬，奥斯特在哥本哈根大学讲授电和磁方面的课题时，分析了前人沿着电流方向寻找磁效应都未成功的事实，想到了磁效应可能象电流通过导线时所产生的热和光那样向四周散发的，是一种横向作用，而不是纵向的。所以应当把磁针放在载流导线的上下左右来观察。

1820年4月的一个晚上，他在作“热和电现象的相互联系”的讲座时，助手接通了电池的电流，在很细的白金丝上通过的电流将白金丝烧得通红。他的目光很快的瞥了一下磁针（磁针悬挂在靠近白金丝的

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普通物理实验 第1章 物理实验的目的、地位及重要性

一条金属丝上，并和白金丝平行）。通电后似乎磁针突然离开了刚才的位臵，向垂直于白金丝的方向摆动。这预示着电和磁之间存在某种联系。正是这一转动，使电磁学飞速发展，并预示着电力技术的应用的巨大可能性。

（4）法拉第电磁感应定律的发现

法拉第得益于电流磁效应的启发，它认为变化的磁场能够产生电流，并由实验所证实。法拉第经过实验，将可以产生感应电流的情况概括成5类： A．变化的电流 B．变化的磁场 C．运动的稳恒电流 D．运动的磁铁

E．在磁场中运动的导体

正是有了这一发现，使电力技术得到飞速发展。

综上所述，可以看出，物理理论的建立，一般遵从如下规律：

对一般现象的观察（实验经验的积累）→提出工作假设→运用数学或逻辑手段得出结论→实验检验→修正结论→推广。

结论：实验是理论建立的一个不可或缺的重要环节。

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普通物理实验 第2章 普通物理实验的基本过程

第2章 普通物理实验的基本过程

做任何一件事，都要有一定的工作程序，普通物理实验也是如此。它的基本过程分为四个步骤： 1、准备

2、观测与记录

3、数据的整理及分析 4、实验报告

2.1 准备

准备是指实验前所要做的工作。在做一个实验之前，应从两个方面入手进行准备：

??实验的理论依据??理论准备?实验的可行性??实验方案及优化?????选择什么仪器? ???每台仪器的精度?仪器的选择????仪器准备?每台仪器对环境条件的要求?????仪器对理论要求的满足程度?????规程?仪器的使用方法及操作?根据上述两点，写出预习报告，在理解各直接测量值和间接测量值之间的关系的基础上，准备好实验中数据记录所需要的各种表格。

2.2 观测与记录

实验时，按照实验原理及仪器的工作条件安装好仪器。在熟悉仪器的使用方法之后，按照事先拟好的实验步骤，进行正式测量（最好再正式测量之前作赏试性测量，以确定整个实验装臵是否能够正常工作及粗略检验测量的精确度）。将实验中所测得的数据填入记录表中。

对实验进行观测时，要注意实验中的各种现象，并尽可能的消除不正常的因素，确保实验的准确性。

2.3 数据的整理及分析

实验完成之后，按照数据处理的原则处理实验数据，对实验结果作出可靠性分析。

2.4 实验报告

实验报告是对整个实验过程的全面的总结。 2.4.1 预习报告

预习报告应包含如下内容： 1、实验原理 2、实验器材 3、实验步骤 4、记录表格 5、问题回答

2.4.2 报告的基本内容

一份完整的实验报告应包括如下内容： 1、实验目的；

2、实验的理论依据； 3、实验所用仪器设备； 4、实验步骤； 5、原始数据； 6、数据处理；

7、结论及不确定度分析；

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普通物理实验 第2章 普通物理实验的基本过程

8、思考。 2.4.3 几点说明

1．不确定度分析的目的

测量的不确定度分析与计算是实验工作中一个必不可少的环节。通过对不确定的的计算和分析可以达到如下目的：

1）正确评价测量的质量；

2）从各个不确定的的来源找到测量有待改进的重点；

3）从仪器引入的不确定度和非仪器引入的不确定度的比较，考察仪器的配臵是否合理； 4）增强自身对不确定度分析的能力。 2．测量结果的评价

实验结果是否符合要求，其精度如何，这在实验结束之后是要进行评价的，其评价的方法是： 1）计算不确定度和相对不确定度：在总的不确定度和来源于仪器的不确定度相比较不是显著过大时，认为测量达到了要求。

2）测量结果（y）和公认值（标准值Ay）相差不超过其标准不确定度的3倍时，可认为测量结果和公认值在测量误差范围内是一致的。即：

y?Ay?3u(y)

3）当y?Ay?3u(y)时，可能：

★ 测量有误差； ★ 存在未发现的、比较大的不确定度来源； ★ 实验原理或仪器有问题。 4）、实际工作中，测量一般是面对未知的物理量。因此，我们在实验中就要不断学习，以提高测量与分析的准确性。只有这样，才能对未知的物理量的测量结果进行评价。 3．对实验的分析思考

实验结束之后，不仅仅是只写一个实验报告就完事。在实验报告中，应该有反映对实验进行思考的内容。通过思考，可以提出对实验的改进。这个改进可以是原理上的、可以是仪器上的、也可以是操作方法上的。

综上所述，在实验结束之后，实验报告是对整个实验的全面总结。

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普通物理实验 第3章 数据处理

第3章 数据处理

对实验数据进行分析处理方法是建立在统计规律上的、严格的处理方法；是实验中不可缺少的一环。 数据处理问题贯穿于整个实验的全过程中的。

实验之前：根据实验结果不确定度的要求设计实验方案。 1．考虑实验理论的近似对实验的影响； 2．考虑环境因素对实验的影响；

3．考虑实验仪器、设备的选择问题等等。

实验进行中：随时利用数据处理的原则对测量数据进行粗略的判断，大致确定其准确度。这样可以在实验过程中发现大部分错误。

实验结束之后：对实验所得数据进行处理，从而得出实验结果及不准确度，并对实验结果作出最后的评价。通过对数据的分析发现规律，再回过头来调整实验方案，重新进行实验，直到得出满意结果为止。

综上所述，要想做好物理实验，必须掌握有关数据处理的知识。

3.1 测量

所谓测量，以确定量值为目的的一组操作。指用实验的方法确定被测对象量值的的过程。 测量的形式是多种多样的，一般可分为两大类： 1．直接测量

直接测量是指被测量和同类单位的标准物或计量器具直接比较，得出被测量量值的测量。 例如：用米尺测量物体长度、用天平测量物体质量等。 2．间接测量

间接测量指由一个或几个直接测得值通过已知函数关系计算出被测量值的测量。 例如：重力加速度的测量、物体密度的测量等。

在物理实验中，大多数物理量是不能直接测量的，只能作间接测量。 3．仪器

仪器是指用以直接或间接测出被测对象量值的所有器具，如天平、游标卡尺、停表、惠斯登电桥、光栅摄谱仪等。 4．测量结果

所谓测量结果，是指由测量所得到的赋予被测量的值。

完整的测量结果应包括被测量值的测量结果和测量不确定度。

一个国家的最准确的计量器具是主基准，在全国各地又有经过主基准效准过的工作基准，实验室使用的仪器应由工作基准进行效准。 5．仪器的准确度等级

测量时以仪器为标准进行比较。这就要求仪器是准确的（至少应满足实验本身不确定度的要求）。但是，实验中，由于测量的目的不同，对仪器准确度的要求也就不同。即使是同一实验中的不同直接测量值，由于它们对最终结果的误差贡献大小不同，在测量仪器的精度上也应作不同的选择。为了适应各种测量对仪器的准确度的不同要求，国家规定仪器应分为若干准确度等级以适应不同测量的要求。各类不同等级的仪器，又有对准确程度的具体规定。

仪器的准确度等级，是指符合一定的计量要求，使其误差保持在规定极限内的计量器具的等别或级别。但是，并不是每一种仪器设备都要规定相应的准确度等级。一般来说，量具、仪器及测量传感器，可按其允许误差大小划分其准确度级别；但对指零仪器以及为测出某个量值要进行多种读数或把多次测的值加以运算而给出算术平均值作为测量结果的仪器，可不划分准确度等级。

实验仪器有许多性能指标。但在实验中要注意的、最基本的是它的测量范围、准确度等级以及工作条件。

综上所述，在对实验仪器的选择时，对仪器的准确度等级的选择要恰当，一般是在满足测量要求的条件下，尽可能选用准确度低的仪器。减少准确度高的仪器的使用次数，可以减少在反复使用时的损耗，

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普通物理实验 第3章 数据处理

延长其使用寿命。

3.2 误差

实验中各被测量在实验条件下都有不以人的意志转移的真实大小：真值。真值就是与给定的特定量的定义一致的量。理想的测量结果是真值，但实际上它是不可知的。因为：

1．测量仪器精度有限；

2．实验环境条件对实验有较大的影响；

3．观察者的操作和读数不能做到百分之百的准确； 4．实验原理上的近似处理。

由于上述原应，在实验中往往采用约定真值来充当真值。所谓约定真值是指对于给定目的的具有适当不确定度、赋予特定量的值，有时该值是约定的。

误差定义：测量结果减去被测量的真值：

测得值（x）－真值（a）＝误差（ε）

误差ε是一个代数量，它可以是正数，也可以是负数。由于真值是不能确知的，因此测得值的误差也不可能确知，因此，测量的任务就是：

1．给出被测量真值的最佳估计值

2．给出真值最佳估计值的可靠程度的估计

这个最佳估计值是误差最小的值，可靠程度最高。为减小误差，需找到误差来源，在测量中尽可能消除或减少其影响。测量误差是多种因素引入的误差的综合效应。

例如：用单摆测量重力加速度的实验。理论上要求：用一根无质量无弹性的线，悬挂一质点，在摆角接近于零时，摆长和周期之间存在T?2?l的关系。但由于种种原应，在实验中有许多不满足理论g要求。该实验的误差主要来源有：

★ 米尺和秒表本身的不准确； ★ 对仪器的操作不准确； ★ 仪器读数不准确； ★ 摆线质量不为零； ★ 摆锤体积不为零； ★ 摆角大小不为零； ★ 存在空气浮力和阻力； ★ 支点状态不理想； ★ 支架震动或空气流动。 这些误差的来源可以概括为： 1．理论：理论上的近似处理； 2．仪器：仪器精度；

3．实验装臵：仪器之间的连接和配合；

4．实验条件：实验装臵对实验条件的满足程度及对理论要求的满足程度； 5．观测者：人自身的心理和生理条件的限制。

3.3 几种常见的误差

从上面的分析可知，不同因素引起的误差的类型应该是不同的。那么在测量中就应根据产生误差的原因，把各种误差降到最低，并给出在测量条件下的最近真值（最佳估计值）以及对该值的可靠性评价。

误差处理应视其产生的条件，采用不同的处理方法。这首先需要了解各种不同类型误差的特点、产生的原因、服从的规律，从而有针对性的解决问题，将误差减小甚至消除。 3.3.1 系统误差 1．系统误差的定义

系统误差是指在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的值值

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普通物理实验 第3章 数据处理

之差。它在同一被测量的多次测量过程中，保持恒定或已可以预知de方式变化的测量误差，即在测量中所得到的测量值的差异在重复测量时不变或呈现某种规律性的误差。

系统误差在形式上呈现出的规律性。可归结为某一因素或某几个因素的函数，而这个函数可以用解析公式、曲线或数表来表示。例如：某些电量是频率的函数，圆盘偏心引起的角度测量误差按正弦规律变化等等。由于变化规律不同，系统误差又可以分为：线性系统误差、周期系统误差、复杂规律系统误差等等。

系统误差在确定的实验条件下是不会变化的。但是，实验条件发生变化时，有的系统误差要发生变化，而有的又不会发生变化。前者称为可变系统误差，后者称为恒定系统误差。

由系统误差特有的规律性，可采取一定的措施削减或消除它。 （1）研究系统误差目的是：

A．探索系统误差的来源，设计实验方案消除或削减该项系统误差； B．估计残存系统误差的可能范围。 C．系统误差产生的原因 （2）系统误差产生的主要原因

系统误差的规律性往往和实验仪器、实验原理有关。系统误差产生的主要原因有： A．仪器误差

仪器误差是指由仪器自身的误差所造成的。例如：仪器安装不符合要求、环境条件未达到仪器的要求、仪器零点不准确等等。

B．理论与实验条件符合不好

物理实验中，理论上要求的环境条件和仪器的工作条件不可能完全被满足。实验中往往是采用接近于理论要求的实际条件来近似代替理想条件，这就造成理论和实际的差别，是肯定会带来误差的。

C．人身误差

对于不同的实验者，由于其心理和生理上的特点不同，它们各自的观察能力也就不同，这会产生误差。例如：人的反应速度、眼睛的好坏等等。

除上述几种系统误差来源之外，还有其它的系统误差来源。例如：装臵、环境等因素。

由于系统误差的来源比较明确，采取适当措施是可以把它对实验结果的影响降到最低甚至消除。一般地，要想减小系统误差，主要应从实验原理和仪器上着手。 3.3.2 偶然误差 1．偶然误差的定义

所谓偶然误差，是指测量结果与在重复条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差，又称为随机误差。

在相同条件下进行重复测量得到的测量值一般不尽相同，这表明每次测量的误差是不同的，并且这种差异在测量之前不可预测的。这说明，偶然误差的成因是不可预测的、偶然的。 2．偶然误差产生的原因

偶然误差是由一些偶然因素的综合作用造成的。要想找出确定的因素是不可能的。从总体上来说，造成偶然误差的主要因素是：人的感官的灵敏度、仪器精密度的限制、周围环境因素的干扰以及随测量而来的其它干扰（这是不可预知的）。但是，偶然误差也不是没有规律可循。实验证明，偶然误差遵从统计规律：

（1）每次测量的偶然误差是不确定的； （2）出现正号或符号偶然误差的机会相近； （3）出现绝对值小的偶然误差的机会多一些。

由此可知，偶然误差实际上是遵从正态分布的（误差分析理论中的高斯分布）。 3．减小偶然误差的方法

根据偶然误差的上述特点，可以找到减小偶然误差的方法：增加测量次数，用算术平均值来代替真值可以减小偶然误差。 4．算术平均值

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普通物理实验 第3章 数据处理

设对某一物理量进行测量，多次测量的结果如下：

x1、x2、……、xn的误差为ε1、ε2……εn，真值为a，则：

(x1整理后可得：

a)+(x2a)+…+(xna)=ε1+ε2+L+εn

11(x1+x2+…+xn)a=(ε1+ε2+Lεn) nn其中：

x=1(x+x2+…+xn)为测量值的算术平均值。 n1由此式可知，算术平均值和真值的差异是很小的，考虑到ε的正负，x更接近于真值，可以将算术平均值作为被测量的真值的最佳估计值。

利用算术平均值代替真值的最佳估计之后，偶然误差基本上已被减小到最小值。但是，这个最佳估计值中还包含了系统误差，因此必须消除。

消除或减小系统误差的方法是：在算术平均值的基础上加上一个修正值，这才是真正的真值最佳估计值。而这个修正值与系统误差的绝对值相等，符号相反。

实验结果的误差包含偶然误差和系统误差，因此实验结果不会是真值。研究误差的目的在于： （1）尽量减小测量值中的误差；

（2）对残存的误差的大小给出某种估计。 3.3.3 粗大误差

粗大误差是指用客观条件不能解释为合理的那些实验误差。粗大误差产生的原因很多，在此不作一一介绍。但是，粗大误差的出现会歪曲实验结果，因此在实验中必须避免。 3.3.4 引起误差的原因

引起误差的原因通常可分为：

★ 测量装臵（包括计量器具）的基本误差； ★ 在非标准工作条件下所增加的附加误差；

★ 所用测量原理以及根据该原理在实施测量中的运用和实际操作的不完善引起的方法误差； ★ 在标准工作条件下，被测量值随时间的变化； ★ 与观测人员有关的误差因素。

3.4 几个基本概念

3.4.1 绝对误差

绝对误差是指测量值与真值之差。它所反映的是测量值偏离真值的程度——测量的可靠程度。它和测量值有相同的单位。

绝对误差在用于衡量测量结果的好坏时，有一个很大的缺陷：不能用于不同测量之间的比较。 3.4.2 相对误差

在实验中，很多时候需要通过对不同测量之间的比较作实验的优化，为此引入相对误差，它使得测量具有可比性。

所谓相对误差，是指某测量值的绝对误差与它本身的测量值的比值，用百分比表示。一般来讲，相对误差越小，测量结果就越准确。

3.5 直接测量值的误差估计

物理实验中，绝大多数测量都是间接测量，但是，间接测量是建立在直接测量的基础上的。因此，直接测量结果的好坏，直接影响到间接测量的准确度。对直接测量结果的好坏的评价，可从两个方面考虑：

1）数据的分散范围；

2）该范围内数据的集中程度。

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普通物理实验 第3章 数据处理

一般情况下，可用标准偏差作为评价直接测量值好坏的标准。 3.5.1 测量结果的表示方法及其物理意义

在实验中所得到的许多数据，经过一定的数据处理之后就可得出最后结果，这个最后结果表示为：

X?x?s

用测量值的算术平均值代替了真值。其物理含义是：待测量在[x?s,x?s]范围内的每一个取值都是符合要求的。即s给出了测量值的取值范围。它反映了测量的可靠程度。

在这个表示形式中，x应是修正系统误差之后的结果。在误差评定之后，根据臵信概率，给出上述表达式。而当测量结果的表达式形式采用了不同于0.95的其他臵信概率，应在结果的后面用括号将其臵信概率给出。测量结果的最后表示形式中，单位只能出现一次，并放在最后。 3.5.2 直接测量值的误差估计 1．在重复条件下的测量列

在重复条件下，对被测量X多次测量，获得一个测量列xi，因此，其数学期望为EX，标准差为s（X）。根据概率论和数理统计原理可知，数学期望削弱了偶然误差（但没有对系统误差作出修正），此时，期望估计值的标准差用下述表达式计算：

s?s(X)n??(xi?1ni?x)

n(n?1)n为测量次数。这个表达式也称为测量列的标准偏差。

所谓测量列，指在重复条件下对同一被测量进行多次测量而得到的一组数据。这组数据中的每个值是不完全相同的，或者说存在着一定的差异，而这个差异就可用标准偏差来评价。

必须注意：s不是待测量的实验误差，也不是指它的误差范围，而是对该组数据可靠程度的一种估计。它越小，说明测量数据的可靠程度越高。 2．从测量列计算标准差的其他方法

在测量结果接近正态分布，而且测量列中的次数n一般不小于5（应尽可能大）时，为了计算上的方便，可采用下列方法：

（1）最大残差法

s?Cnmax|v|

（2）最大误差法

s?Cnmax|?X|

（3）分组极差法

当测量列分为m组，每组包括n个测量结果时，每组均有一个极差。设这m个极差的平均值为w，则：

s?1w C3．标准偏差的统计意义

测量列的算术平均值的标准偏差的大小反映了数据的分散范围和集中程度，其统计意义是：

[x?s(x)]~[x?s(x)]范围包含真值的概率为68％；

[x?1.96s(x)]~[x?1.96s(x)]范围内包含真值的概率为95％； [x?2.58s(x)]~[x?2.58s(x)]范围内包含真值的概率为99％。

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普通物理实验 第3章 数据处理

4．关于测量次数的问题

从算术平均值的标准偏差的计算公式可知，测量次数越多，标准偏差越小，所以，增加测量次数对提高平均值的价值是有利。但是测量次数不是越多越好，因为增加测量次数，测量时间就会延长，实验环境可能出现不稳定，实验者也趋于疲劳，就会引入新的误差。一般情况下，在偶然误差较大的测量中要多测几次，否则可以少一些。一般来讲，实验中测量次数取4～10次为宜。 5．实验中的错误与错误数据

实验中可能会出现错误的数据。如果这种数据偏离较大，是很容易看出的，此时，可直接将其舍去。但是，有的错误数据不容易被发现。对不易被发现的错误数据，首先要预防，即在实验过程中注意实验条件对实验原理要求的满足程度，实验装臵、电路的正确性，观测对象是否正确、仪器操作是否正确等等；其次是按照数据处理原理剔除错误数据。

综上所述，防止错误数据出现的关键是熟悉实验理论和条件，明确观察对象，正确使用仪器，在此基础上，更具数据处理原理消除错误数据。

例1：测量单摆摆动50个周期的时间，得出98.4s、96.7s、97.7s。

从数据上可知，单摆的周期接近2s。但是，前面两个数据相差1.7s，后两各数据相差1.0s，都在半个周期以上，这不能由人的反应速度来加以解释。

例2：用静力称衡法测一块玻璃的密度，所用公式为：

???水m1/(m1?m2)

m1为玻璃块质量，测量值为5.78g，m2为玻璃悬挂在水中的视重，测量值是4.77g。

由于两个数据相差1g，使得计算所得结果为：6g/cm3，显然，玻璃的密度不可能有这么大。 实际应用中是根据误差理论对其进行分析和判定。

误差理论中提出了一些关于处理错误数据的判据。格罗布斯判据就是其中一种。该判据的基本思想是：按此判据给出一个和数据个数n相联系的系数Gn。当已知数据个数n时，如果算术平均值为x，测量列标准偏差为s，则可以保留的测量值xi的范围是：

(x?Gn?s)?xi?(x?Gn?s)

Gn系数表： n Gn n Gn 3 1.15 14 2.37 4 1.46 15 2.41 5 1.67 16 2.44 6 1.82 17 2.48 7 1.94 18 2.50 8 2.03 19 2.53 9 2.11 20 2.56 10 2.18 22 2.60 11 2.23 25 2.66 12 2.28 30 2.74 13 2.33 也可以用拟合式进行计算： n<30时：

Gn?n>30时：

ln(n?2.56)?1.305

2.31Gn?例3：测得一组长度值：（单位：cm）

98.28 98.30

计算得：

ln(n?3)n?1.36?

2.3055098.24 98.25

98.29 98.23

98.21 98.25

98.26 98.97

x＝98.328cm，s＝0.227cm

n＝10， Gn＝2.18

x?Gn?s?97.833cm，x?Gn?s?98.823cm

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普通物理实验 第3章 数据处理

数据98.97在此范围之外，所以应该舍去。在舍去这个数据之后，在重新进行计算。并且在重新计算时应再次作此判断。

3.6 间接测量值的误差估计

大多数物理量的测量都是间接测量值，最后结果的误差的计算方法有多种，在普通物理实验中，我们常常采用的有两种方法。一是采用非平方形式的误差传递公式进行计算；一是采用平方形式的误差传递公式进行计算。

3.6.1 非平方形式的误差传递公式

1．间接测量值和直接测量值函数关系是加减时的误差传递公式 （1）加法：

设：间接测量值和直接测量值之间的关系为

x?x1?x2

其中：

x1?x1??x1 x2?x2??x2

则：

x?x??x??x1??x1???x2??x2? ??x1?x2????x1??x2?比较两端：

x?x1?x2 ?x??x1??x2

（2）减法：

利用和加法相似的处理方法可得：

x?x??x?x1?x2??x1??x1???x2??x2???x1?x2????x1??x2?在减法中，从最不利的情况来考虑：

x?x1?x2 ?x??x1??x2

故加减法的误差都是各分量误差之和。

2．间接测量值和直接测量值函数关系是乘除时的误差传递公式 （1）乘法：

x?x??x?x1?x2??x1??x1???x2??x2?由于最后一项是高阶无穷小，可舍去：

??x1?x2????x1?x2??x2?x1?????x1?????x2?x?x1?x2 ?x??x1?x2??x2?x1

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普通物理实验 第3章 数据处理

由此可得相对误差：

?x?x1?x2 即 ???1??2 ??xx1x2（2）除法：

x?x??xxx??x1x2??x2?1?1?x2x2??x2x2??x2???所以：

x1?x2?x1?(??x2)?x2?(??x1)?(??x1)(??x2)x2?(?x2)x2x1x222222

x1?x2?x1?(??x2)?x2?(??x1)x1??x2?x2??x1x22?()x?利用相对误差可表示为：

x1x??x2?x2??x1 ?x?1 2x2x2?x?x1?x2 即???1??2 ??xx1x2故乘除法的相对误差等于各分量的相对误差之和。由此可见，虽减法先求绝对误差方便，乘除法先

求相对误差方便。

3．误差传递公式的一般表述：

若y??x1x2??xn?，即间接测量值和直接测量值的函数关系式相乘的关系， 则：

dy??f?f?fdx1?dx2????dxn ?x1?x2?xn此处，仍然从最不利的角度考虑。

dy?lnf?lnf?lnf?dx1?dx2????dxn y?x1?x2?xn其中

?f?lnfdxi或dxi为误差传递系数。 ?xi?xi如果两者的函数关系为幂级数：y?Ax1?x2?xm，则有

abkdy?|a|dx1?|b|dx2????|k|dxm y其中，dx1、dx2、dxm就是直接测量值的标准偏差。实际应用中，用算术平均值的标准偏差代替。

13

普通物理实验 第3章 数据处理

3.6.2 平方形式的误差传递公式

由于采用非平方形式的误差传递公式，人为的从最不利的角度考虑问题，使得对最后结果的评定不准确，因为在最后的不确定度的表示中，将其可疑程度夸大了。因此，人们提出了一种较为严格的数学处理方式来处理这个问题。即通过对各项取平方的方法，这样做的好处在于对误差的计算没有人为的因素存在，有的只是数学上严格的处理。故对最后结果的评定应该是准确的。

假设间接被测量和直接被测量的函数关系为：

y?f(x1,x2,?,xm)

将其全微分可得：

dy??y?y?ydx1?dx2???dxm ?x1?x2?xm此时表明，当dx1，dx2，…，dxn表示每个直接被测量的微小变化时，y也有微小变化。这就可以将这些

微小变化看成是误差。这就是误差传递的基本公式。现假设有n次测量，则对每一次测量有：

?y?y?y?dy?dx?dx???dxm121?1?x11?x?xm12??y?y?y?dx12?dx22???dxm2?dy2??x1?x2?xm ?????????y?y?y?dy?dx?dx???dxmn2n?1?x1n?x?xm12?将上述各式左右平方后求和可得：

??y?2?dy??i??x??i?1?1?n2??y2?dx??1i??xi?1?2n????????2??y2?dx????2i??xi?1?mn????????2??y???y?dx?2???x????i?1?1???x2n2min?n???dx1idx2i???i?1如果x1，x2，…的测量是独立的，则误差交叉项乘积之和近似为零。则：

??y?2?dy??i??x??i?1?1?n2??y2?dx??1i??xi?1?2n2??y2?dx????2i??xi?1?mn2?dxi?12mi

将上式两侧同时除以n，并取?2y?dy?n2i，?221?dx?n21i，…，?2m?dx?n2mi，

??y?2??y2?y????x???1????x?1??222??y?2???????2??x??m2?2???m ?根据误差理论，各σ为相应直接被测量的标准差，其估计量为标准偏差s。故：

??ysy????i?1??xim?2??si ?2而对于不确定度的传递（合成）可以写为：

??y?2u(y)?????x??u(xi)

?i?附：关于算术平均值的标准差的证明：

设：x1、x2、...、xn为在相同条件下（等精度）的一组测量值，算术平均值x为

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普通物理实验 第3章 数据处理

x??xi?1nin?111x1?x2???xn nnn根据被测量算术平均值的标准差和测量值的标准偏差的关系有：

ns(x)??(12s2i

i?1n)对于等精度测量，s1=s2=…=sn=s，则有

ns(x)??1s?s。 i?1n2n

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普通物理实验 第4章 测量的不确定度

第4章 测量的不确定度

测量的最终目的是为了获得被测量在测量条件下的真值。但由于各种因素的影响，测量值始终偏离真值，那么，在报告实验结果时，必须有一个对测量结果的正确评价，这就是测量不确定度。

在我国对测量不确定度的评定是遵从《测量不确定度表示指南》（Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement，简称GUM）。这是由国际标准化组织（ISO）计量技术顾问组第三工作组（ISO/TAG4/WG3）起草，于1993年以7个国际组织的名义联合发布的。这7个国际组织是：

国际标准化组织（ISO） 国际电工委员会（IEC） 国际计量局（BIPM）

国际法制计量组织（OIML）

国际理论化学与应用化学联合会（IUPAC） 国际理论物理与应用物理联合会（IUPAP） 国际临床化学联合会（IFCC）

GUM采用当前国际通行的观点和方法，使涉及测量的技术领域和部门，可以用统一的准则对测量结果及其质量进行评定、表示和比较。

评定与表示测量不确定度的方法应满足如下要求：

1．适用于各种测量和测量中所用到的各种输入数据，即具有普遍适用性； 2．在本方法中表示不确定度的量应该：

（1）能从对不确定度有贡献的分量导出，且与这些分量怎样分组无关，也与这些分量如何进一步分解为下一级分量无关，即它们是内部协调一致的；

（2）当一个测量结果用于下一个测量时，其不确定度可作为下一个测量结果不确定度的分量，即它们是可传播的。

3．在诸如工业、商业与健康或安全有关的某些领域中，往往要求提供较高的概率的臵信区间，本方法应能方便地给出这样的区间及相应的臵信概率。

4.1 和测量不确定度相关的概念

在此我们进一步明确在实验中所用到的关于对测量结果进行评价的一些基本概念。 4.1.1 量

指现象、物体或物质可定性区别和定量确定的属性。 注：

1、术语“量”可指一般意义的量或特定量。一般意义的量如长度、时间、质量、温度、电阻、物质的量浓度；特定量如某根棒的长度，某根导线的电阻，某分酒样中乙醇的浓度。

2、可相互比较并按大小排序的量称为同种量。若干同种量合在一起可称之为同类量，如功、热、能；厚度、周长、波长。

3、量的符号可以参照《GB3100~3102—1993量和单位》。 4.1.2 量值

一般由一个数乘以测量单位所表示的特定量的大小。 例如：5.34m或535cm，15kg，10s，-400C

注：对于不能由一个数乘以测量单位所表示的量，可参照约定参考标尺，或参照测量程序，或两者都参照的方式表示。 4.1.2 真值

真值就是与给定的特定量的定义一致的量。理想的测量结果是真值 注：

1．量的真值只有通过各种完善的测量才有可能得到； 2．真值按其本性是不确定的；

3．与给定的特定量定义一致的值不一定只有一个。

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普通物理实验 第4章 测量的不确定度

4．GUM用“被测量值”代替“真值”。在不致引起混淆时，推荐这一用法。 4.1.3 约定真值

约定真值是指对于给定目的的具有适当不确定度、赋予特定量的值，有时该值是约定的。 1．约定真值有时称为指定值、最佳估计值、约定值或参考值； 2．常常用某量的多次测量结果来确定约定真值。 4.1.4 被测量

作为测量对象的特定量。

例如：给定的水样品在200C是的蒸汽压力。 注：

1．对被测量的详细描述，可要求包括对其它有关量（如时间、温度和压力）作出说明。

2．实践中，被测量应根据所需准确度予以完整定义，以便对所有的测量，其值是单一的。例如：一根标称值为1m长的钢棒其长度需测至微米级准确度，其技术说明书应包括给定温度和压力。但若只需毫米级准确度，则无需规定温度、压力和其它影响量的值。 4.1.5 测量结果

由测量所得到的赋予被测量的值。 注：

1．在给出测量结果时，应说明它是示值、未修正测量结果或已修正测量结果，还应表明它是否为若干个值的平均值。

2．在测量结果的完整表述中，应包括测量不确定度，必要时还应说明有关影响量的取值范围。 3．测量结果仅是被测量之值的估计。

4．很多情况下，测量结果是在重复观测的情况下确定的。 5．在测量结果的完整表述中，还应给出自由度。 4.1.6 测量准确度

测量结果与被测量的真值之间的一致程度。 注：

1．不要用术语“精密度”代替“准确度”。

2．准确度是一个定性概念。例如：可以说准确度高低、准确度为0.25级、准确度为3等级准确度符合某某标准；尽量不使用如下表示：准确度为0.25%、16mg、≤16mg及±16mg。 4.1.7 重复性

在相同条件下，对同一被测量进行连续多次测量所得结果之间的一致性。 注：

1．这些条件称为“重复性条件” 2．重复性条件包括： ★ 相同的测量程序； ★ 相同的观测者；

★ 在相同条件下使用相同的测量仪器； ★ 相同地点；

★ 在短时间内重复测量。

3．重复性可以用测量结果的分散性定量地表示。

4．重复性用在重复性条件下，重复观测结果的实验标准差（称为重复性标准差）sr定量地给出。 5．重复观测中的变动性，是由于所有影响结果的影响量不能完全保持恒定而引起的。 4.1.8 复现性

在改变了的测量条件下，同一被测量的测量结果之间的一致性。 注：

1．在给出复现性时，应有效说明改变条件的详细情况。 2．可改变的条件包括：

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普通物理实验 第4章 测量的不确定度

测量原理； 测量方法； 观测者； 测量仪器； 参考测量标准； 地点； 使用条件； 时间。

3．复现性可用测量结果的分散性定量地表示。 4．测量结果在这里通常理解为已修正结果。

5．在复现性条件下，复现性用重复观测结果的实验标准差（称为复现性标准差）sR定量给出。 6．复现性又称为“再现性”。 4.1.9 实验标准[偏]差

对同一被测量进行n次测量，表征测量结果分散性的量s可按下式计算：

s(xi)??(xi?1ni?x)（贝塞尔公式）

n?1式中xi是第k次测量结果；x是n次测量的算术平均值。

注：

1．当将n个测量结果视作分布的样本时，x是该分布的期望值μx的无偏估计，实验方差s2(xi)是这一分布的方差的?无偏估计。

2．

2s(xi)n为x的分布的标准差估计，称为平均值的实验标准差。

3．将平均值的实验标准差称为平均值的标准误差是不正确的。 4．s2(xi)和

s(xi)n的自由度相同，均为n-1。

4.1.10 不确定度

表征合理地赋予被测量之值的分散性，与测量结果相联系的参数。 注：

1．此参数可以是诸如标准差或其倍数，或说明了臵信水平的区间半宽度；

2．测量不确定度由多个分量组成。其中一些分量可用测量列结果的统计分布估算，并用实验标准差表征。另一些分量则可用基于经验或其它信息的假定概率分布估算，也可用标准差表征。

3．测量结果应理解为被测量值的最佳估计，全部不确定度分量均贡献给了分散性，包括那些由系统效应引起的（如：与修正值和参考测量标准有关）分量。

4．不确定度恒为正值。当由方差得出时，取其平方根。

5．不确定度一词指可疑程度，广义而言，测量不确定度意为对测量结果正确性的可疑程度。不带形容词的不确定度用于一般概念，当需要明确某一测量结果的不确定度时，要适当采用一个形容词，例如合成不确定度或扩展不确定度；但不要用随机不确定度和系统不确定度这两个术语，必要时可用随机效应导致的不确定度和系统效应导致的不确定度来说明。

6．《JJF1001—1998通用计量术语及定义》给出的上述不确定度定义是可操作定义，即着眼于测量结果及其分散性。虽然如此，这个定义从概念上来说与下述曾使用过的定义并不矛盾：

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普通物理实验 第4章 测量的不确定度

（1）由测量结果给出的被测量估计值的可能误差的度量。 （2）表征被测量的真值所处范围的评定。

不论采用以上哪一种不确定度的概念，其评定方法均相同，表达形式也一样。 4.1.11 标准不确定度

以标准差表示的测量不确定度。 4.1.12 不确定度的A类评定

用对观测列进行统计分析的方法，来评定标准不确定度。 注：不确定度的A类评定，有时又称为A类不确定度评定。 4.1.13 不确定度的B类评定

用不同于对观测列进行统计分析的方法，来评定标准不确定度。 注：不确定度的B类评定，有时又称为B类不确定度评定。 4.1.14 合成标准不确定度

当测量结果是由若干个其它量的值求得时，按其它各量的方差或（和）协方差算得的标准不确定度。 注：它是测量结果标准差的估计值。 4.1.15 扩展不确定度

确定测量结果区间的量，合理赋予被测量之值分布的大部分可望含于此区间。 注：扩展不确定度有时也称展伸不确定度或范围不确定度。 4.1.16 包含因子

为求得扩展不确定度，对合成标准不确定度所乘的数字因子。 注：

1．包含因子等于扩展不确定度与合成标准不确定度之比。 2．包含因子有时也称为覆盖因子。

3．根据其定义可分为两种：k?UpU；kp?。 ucuc4．一般在1~3范围内。

5．下脚标p为臵信概率，即臵信区间所需要的概率。 4.1.17 自由度

在方差的计算中，和的项数减去对和的限制数。 注：

1．在重复性条件下，对被测量作n次独立测量时所得的样本方差为

22v12?v2??vn

n?1其中残差为：v1?x1?x，v2?x2?x，…，vn?xn?x

因此，和的项数即为残差的个数n，而

?vi?0是一个约束条件，即限制数为1。由此可的自由度

为n－1。

2．当测量所得n组数据用t个未知数按最小二乘法确定经验模型时，自由度为n-t。

3．自由度反映相应实验标准差的可靠程度，用于在评定扩展不确定度Up时求得包含因子kp。合成标准不确定度uc（y）的自由度，称为有效自由度νeff。当y接近正态分布时，包含因子等于t分布临界值，即kp=tp（νeff）。 4.1.18 臵信概率

与臵信区间或统计包含区间有关的概率值（1-α） 注：

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普通物理实验 第4章 测量的不确定度

1、符号为p，p=1－α. 2、经常用百分数表示。

3、又称臵信说平、臵信系数、臵信水准。 4.1.19 误差

测量结果减去被测量的真值。 注：

1．由于真值不能确定，实际上用的是约定真值。

2．当有必要与相对误差相区别时，此术语有时称为测量的绝对误差。注意不要与误差的绝对之相混淆，后者为误差的模。

3．误差之值只取一个符号，非正即负。

4．误差与不确定度是完全不同的两个概念，不应混淆或误用。对同一被测量不论其测量程序、条件如何，相同测量结果的误差相同；而在重复性条件下，则不同结果可有相同的不确定度。

5．测量仪器的特性可以用[示值]误差、最大允许误差等术语描述。

6．随机误差：测量结果与重复性条件下对同一量进行无限多次测量所得结果的平均值之差。由于实际上只能进行有限次测量，因而只能得出这一测量结果中随机误差的估计值。随机误差大抵是由影响量的随机时空变化所引起，这种变化带来的影响称为随机效应，它们导致重复观测中的分散性。

7．系统误差：在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量真值之差。由于系统误差及其原因不能完全获知，因此通过修正值对系统误差只能有限程度的补偿。当测量结果以代数和与修正值相加之后，其系统误差之模会比修正前的要小，但不可能为零。来源于影响量的已识别的效应称为系统效应。 4.1.20 修正值

用代数法与未修正测量结果相加，以补偿其系统误差的值。 注：

1．修正值等于负的系统误差。

2．由于系统误差不能完全获知，因此这种补偿并不完全。

3．为补偿系统误差，而与未修正测量结果相乘的因子称为修正因子。

4．已修正的测量结果即使具有较大的不确定度，但可能仍十分接近被测量的真值（即误差甚小），因此，不应把测量不确定度与已修正结果的误差相混淆。

4.2 测量不确定度的评定

测量过程中的随机效应及系统效应均会导致测量不确定度，数据处理中的修约也会导致不确定度。这些从产生不确定度的原因上所作的分类，与评定方法上所作的A、B分类之间不存在任何联系。对于不确定度的A、B分类，主要是指评定方法的不同，是为了便于理解和讨论，并不意味着两类分量存在本质上的区别。它们都是基于概率分布，并都由方差或标准差定量表示。

表征A类标准不确定度分量的估计方差u2，是由一系列重复观测值计算得到的，即为统计方差估计值s2。标准不确定度u为u2的正平方根值，因此，u=s。

表征B类标准不确定度分量的方差估计值u2，是根据有关信息来评定的，即通过一个假定的概率密度函数得到的，此函数基于事件发生的可信程度，即主观概率或先验概率。 4.2.1 标准不确定度的A类评定

1．标准不确定度的A类评定的基本方法

在重复性条件或复现性条件下的n个观测结果xk，随机变量x的期望值μx的最佳估计是n次独立观测结果的算术平均值：

1nx??xk

nk?1由于影响量的随机变化或随机效应时空影响的不同，每次独立观测值xk不一定相同，其残差为：

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普通物理实验 第4章 测量的不确定度

vk?xk?x

观测值的实验方差为：

s2(xk)?1(xi?x)2 ?n?1式中，s2（xk）是xk的概率分布的总体方差σ2的无偏估计，其正平方根表证了xk的分散性。准确地说，

表征了它们在x上下的分散性。x（xk）称为样本标准差或实验标准差，表示实验测量列中任一次测量结果的标准差。通常以独立观测列的算术平均值作为测量结果，测量结果的标准不确定度为：

s(x)?s(xk)n?u(x)

2．在规范化的常规测量中实验标准差的计算

如对被测量xi都进行了重复性条件下或复现性条件下的n次独立观测，有xi1，xi2，…，xin，其平均值为xi，如有m组这样的被测量，则：

mn1s(xi)?(xij?xi)2?u2(xi) ??m(n?1)j?1i?12p如果这m组已分别按其重复次数算出了各次实验标准差si，则sp可按如下公式计算：

1m2s(xi)??si?u2(xi)

mi?12p上述两式给出的sp自由度为m（n-1）。

如对m个被测量Xi所重复的次数不完全相同，设各为ni，而Xi的标准差（sxi）的自由度为vi?n1?1，通过m个si与vi可得：

s2p(xi)?1?vim?vsi2ii?u2(xi)

自由度为v??vi?1。

3．利用极差计算实验标准差

在重复性条件或复现性条件下，对Xi进行n次独立观测，计算结果中的最大值与最小值之差R称为极差，在Xi可以估计接近正态分布的前提下，单次测量结果xi的实验标准差的近似计算如下：

s(xi)?n C v R?u(xi) C2 1.13 0.9 3 1.64 1.8 4 2.06 2.7 5 2.33 3.6 6 2.53 4.5 7 2.70 5.3 8 2.85 6.0 9 2.97 6.8 其中系数C及自由度v和测量次数的关系如下表：

一般来讲，这种方法用于测量次数比较小的时候。 4.2.1 标准不确定度的B类评定

用不同于对观测列进行统计分析的方法，来评定标准不确定度。 1．获得B类标准不确定度的信息来源： （1）以前的观测数据

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普通物理实验 第4章 测量的不确定度

（2）对有关技术资料和测量仪器特性的了解和经验 （3）生产部门提供的技术说明文件

（4）校准证书、检定证书或其他文件提供的数据、准确度的等别或级别，包括目前暂在使用的极限误差等

（5）手册或某些资料给出的参考数据及其不确定度

（6）规定实验方法的国家标准或类似技术文件中给出的重复性限r或复现性限R。 用这类方法得到的估计方差u2（xi），简称为B类方差。 2．不同信息来源的B类方差

（1）如估计值xi来源于制造部门的说明书、校准证书、手册或其他资料，其中同时明确给出了其不确定度U（xi）是标准差s（xi）的k倍，指明了包含因子k的大小，则标准不确定度u （xi）可取U（xi）/k，而估计方差为其平方。

例：校准证书上指出标称值为1kg的砝码质量m=1000.00032g，并说明按包含因子k＝3给出扩展不确定度U=0.24mg。 则：

砝码的标准不确定度 u(m)?0.24?80?g 3估计方差 u2(m)?(80?g)2?6.4?10?9 相对标准不确定度 urel(m)?u(m)?80?10?9 m（2）如xi的扩展不确定度不是按标准差s（xi）的k倍给出，而是给出了臵信概率p为90％、95％或99％的臵信区间的半宽度U90、U95或U90，除非另有说明，一般按正态分布考虑评定其标准不确定度。对应上述三种臵信概率的包含因子kP分别为1.64、1.96或2.58，更为完整的关系如表所示：

正态分布下臵信概率p与包含因子kp间的关系 p% kp 50 0.67 68.27 1 90 1.645 95 1.960 95.45 2 99 2.576 99.73 3 例：校准证书上给出的标称值为100Ω的标准电阻器的电阻Rs在230C时为：

Rs(23?C)?(10.00074?0.00013)?

同时说明臵信概率p＝99％。

由于U99＝0.13mΩ，根据上表可知，kp＝2.58， 标准不确定度为：u(Rs)?0.13m??50??

2.58估计方差为：u2(Rs)?(50??)2?2.5?10?9?2 相对标准不确定度：urel(Rs)?u(Rs)?5?10?6 Rs（3）如根据所获资料表明，输入量Xi的只有50％的概率落入a－和a＋区间内。取Xi的最佳估计值xi为该区间的中点。设该区间的半宽度为（a＋－a－）/2=a。在假设Xi的可能值接近正态分布的前提下，根据上表，kp=0.67

取xi的标准不确定度：u(xi)?a 0.67?a?方差：u2(xi)???

0.67??例：机械师在测量零件尺寸时，估计其长度l以50％的概率落于10.07mm至10.15mm之间，并给出

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2普通物理实验 第4章 测量的不确定度

了长度l=（10.11±0.04）mm，则p=50%的臵信区间半宽度为0.04mm，在接近正态分布的条件下，根据上表，k50=0.67

长度l的标准不确定度：u(l)?20.04mm?0.06mm

0.67?0.04mm??32方差：u2(l)????3.5?10mm

?0.67?（4）如已知信息表明Xi之值接近正态分布；并以0.68概率落入（a＋－a－）/2=a的对称范围之内，根据上表，kp=1，则u(xi)?a

（5）如已知信息表明Xi之值xi分散区间的半宽度为a，且xi落于xi－a至xi＋a区间的概率p＝100％，即全部落在此范围中。通过对其分布的估计，可以得出标准不确定度

u(xi)?a k常用分布于k、u（xi）的关系

k与分布状态有关。

分布类别 正态分布 三角 梯形β=0.71 矩形（均匀） 反正弦 两点 p% 99.73 100 100 100 100 100 k 3 u（xi） a/3 6 2 a/6 a/2 3 2 1 a/3 a/2 a 例1：手册中给出纯铜在200C时的线膨胀系数为a20（Cu）=16.52×10-6 0C-1，并说明此值变化的半范围为a=0.40×10-6 0C-1。按a20（Cu）在[（16.52－0.40）×10-6 0C-1，（16.52＋0.40）×10-6 0C-1]区间内为均匀分布。则

u(a)?0.40?10?6C3??0.23?10?6C

?例2：数字电压表制造厂说明书说明：仪器校准后1~2年内，在1V内示值最大允许误差的模为14×10-6×（读数）+2×10-6×（范围）。校准后20月在1V内测量电压，在重复性条件下独立测得电压V，其平均值为：

V?0.928571V

平均值的实验标准差为：

s(V)?12?V

电压表最大允许误差的模为：

a?14?10?6?0.928571V?2?10?6?1V?15?V

其中，a即为均匀分布的半宽度，根据上表可知，k?3，则示值的标准不确定度为：

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普通物理实验 第4章 测量的不确定度

u(?V)?15?V?8.7?V 3由示值不稳定导致的不确定度为A类标准不确定度，即s(V)?12?V，由示值误差导致的标准不确定度为B类标准不确定度，即u(?V)?8.7?V。

（6）在缺乏任何其它信息的情况下，一般估计为矩形分布是较为合理的。但如果已知被研究的量Xi的可能值出现在a－至a＋中心附近的概率，大于接近区间边界时，最好按三角分布计算。如果xi本身就是重复性条件下的几个观测值的算术平均值，则可估计为正态分布。

（7）对于数字显示式测量仪器，如其分辨率为δx，则由此带来的标准不确定度为u(x)?0.29?x。

对于所引用的已修约的值，如其修约间隔为δx，则因此导致的标准不确定度为u(x)?0.29?x （8）在规定实验方法的国家标准或类似技术文件中，按规定的测量条件，当明确指出两次测量结果之差的重复性限r或复现性R时，如无特殊说明，则测量结果标准不确定度为：

u(xi)?或

r 2.83R 2.83u(xi)?（9）当测量仪器检定证书上给出准确度等别时，可按检定系统或检定规程所规定的该级别的最大允许误差与其他信息进行评定。

注：B类评定是针对系统误差所引起的不确定度进行的评定。这类评定方法，有的依据计量仪器说明书、检定书或仪器的准确度等级，有的依据仪器的分度值或经验。通过这些信息可以获得极限误差Δ，并以其

?3为均匀分布的标准差。因此，B类评定标准不确定度为：

uB(x)??3

一般来讲，Δ为计量仪器的最小刻度值。

严格地讲，利用上式求B类标准不确定度的变换系数与实际分布有关，但我们都按均匀分布近似处理。

4.2.3 合成标准不确定度

1．合成标准不确定度的基本方法

合成标准不确定度，当测量结果是由若干个其他量的值求得时，按其他各量的方差或（和）协方差算得的标准不确定度。它是测量结果标准差的估计值。

合成标准不确定度一般用符号uc（y）表示。u2c（y）为输出估计值的合成方差，合成标准不确定度可以按不确定度分量的A、B两类评定方法分别合成。

当全部输入量Xi是彼此独立或不相关时，合成标准不确定度可由下式计算：

??f?2uC(y)????u2(xi)

??xi?式中，u（xi）既可以按A类，也可以按B类方法评定。uc（y）是个估计的标准偏差，表征合理赋予被

24

2普通物理实验 第4章 测量的不确定度

测量Y之值的分散性。且y=f（x1，x2，…，xN）。

?f称为灵敏系数。它描述了输出估计值y如何随输入?xi估计值的变化而变化。尤其是，输入估计值xi的微小变化Δxi引起的y的变化，可用

??f?(?y)i????x???xi?ci?xi

?i?2．普通物理实验中所使用的合成标准不确定度的方法

实际上，对任一物理量的测量，由于其测量值的不确定度的来源不止一个，要用合成标准不确定度对结果进行评价。

在合成时，要注意两点：

（1）作为标准不确定度，A、B类评定在合成时是等价的； （2）合成的方法：

对于直接测量值，由于各项的符号不一定相同，采用算术求和时，可能增大合成值。因此采用方和根法。

uc(x)?对于间接测量，合成标准不确定度为：

?ui?1k2(x)i

uc(y)??(i?1m?y22)u(xi) ?xi如果间接测量值和直接测量值之间的函数关系是幂函数关系：

bk y?Ax1a?x2?xm则有：

uc(y)?(au(xm)2u(x1)2u(x2)2)?(b)??(k) x1x2xm实际上，这种方式中由于没有人为的因素，因此是最科学的。

例：一个随温度t变化的电阻器两端的电压为V，在温度为t0时的电阻为R0，电阻器的温度系数为α，则电阻器的损耗功率P（被测量）为：

V2 P?f(V,R0,?,t)?R0[1??(t?t0)]由此式可知，电阻器的损耗功率P是一个间接测量值，它依靠V，R0，α和t。而这四个量为直接测量量。根据上述理论，在合成标准不确定度中，灵敏系数分别为：

c1??P2V2P?? ?VR0[1??(t?t0)]V?PV2P c2???2???R0R0R0[1??(t?t0)]V2(t?t0)P(t?t0)?P c3?????2??[1??(t?t0)]R0[1??(t?t0)]25

普通物理实验 第4章 测量的不确定度

?PV2?P? c1??????t[1??(t?t0)]R0[1??(t?t0)]2由于各分量互不相关，因此，合成标准不确定度为：

u2(P)?[?P22?P22?P?P]u(V)?[]u(R0)?[]2u2(?)?[]2u2(t)?V?R0???t

?[c1u(V)]2?[c2u(R0)]2?[c3u(?)]2?[c4u(t)]2222?u12(V)?u2(R0)?u3(?)?u4(t)合成标准不确定度为：uc(P)?222u12(V)?u2(R0)?u3(?)?u4(t)。

注：上述各式中的各个直接测量值的标准不确定度用相应的算术平均值的标准偏差充当。

4.5 测量结果的报道

在给出完整的测量结果时，一般应报告其测量不确定度。报告应尽可能详细，以便使用者可以正确

地利用测量结果。当然，按技术规范要求无需给出测量不确定度的除外。

在工业、商业等日常的大量测量中，有时虽然没有任何明确的不确定度报告，但所用测量仪器是经过检定处于合格状态，并且测量程序有技术文件明确规定，则其不确定度可以由技术指标或规定的文件评定。

证书上的校准结果或修正值应给出测量不确定度。

1．对于比较重要的测量，不确定度的报告一般应包括如下内容：

（1）有关输入量和输出量的函数关系以及灵敏系数ci； （2）修正值和常数的来源及其不确定度；

（3）输入量Xi的实验观测数据及其估计值xi，标准不确定度u（xi）的评定方法及其量值、自由度νi，并将它们列成表格；

（4）对所有相关输入量给出其协方差或相关系数r及其获得方法；

（5）测量结果的数据处理程序，该程序应易于重复，必要时报告结果的计算应能独立重复。 2．当用合成标准不确定度报告测量结果的不确定度时，还需注意：

（1）明确说明被测量Y的定义；

（2）给出被测量Y的估计值y、合成标准不确定度uc（y）及其单位，必要时还应给出自由度。 （3）必要时也可给出相对标准不确定度ucrel（y）。 3．合成标准不确定度的报告形式有4种：

（1）ms?100.02147g；合成标准不确定度uc(ms)?0.35mg （2）ms?100.02147(35)g（一般用于常数给出） （3）ms?100.02147(0.00035)g

（4）ms?(100.02147?0.00035)g（一般用于表示高臵信概率的区间，根据《JJF1059—1999 测量不确定度评定与表示》的建议，应避免使用。 4．在普通物理实验中测量结果的报道格式为：

Y?y?uc(y)(单位)

或

Y?y(1?ur)(单位)

26

普通物理实验 第4章 测量的不确定度

其中：ur?u(y) y实验结束后，一定要进行不确定度计算，在以偶然误差为主的情况下，可以只计算A类标准不确定度；在以系统误差为主的情况下，可以只计算B类标准不确定度。但在报告中必须作全面计算。

在不知道仪器的容许误差的情况下计算B类不确定度时，可以用最小刻度值代替Δ。

另一个要说明的是：在前面我们所讲到的都是在同一条件下的多次测量时的误差计算及不确定度的估算。但在有的时候，对某一物理量只作单次测量，此时误差的计算方法如下：

其测量结果的不确定度由：???3估计。其中?是估读误差，它由仪器的精度和测量者的生理条

件（如眼睛的分辩能力）共同决定。

实例：《普通物理实验》（杨述武著）P16 例2。

27

普通物理实验 第5章 有效数字

第5章 有效数字

实验中所测量的所有数据都是含有误差的，对这些数值的尾数不能任意取舍，应能够反映出测量值的准确度。因此，在记录数据、计算以及书写测量结果时，究竟应写出几位数字，有严格的要求，要根据测量误差或实验结果的不确定度来确定。则在实验的数据处理中，应能反映出被测量的实际大小的数值，记录与运算后保留的应是能传递出被测量实际大小信息的全部数字。

5.1 有效数字的基本概念

1、定义：测量时得到的准确读数，再加上第一位可疑读数，统称为有效数字。如：米尺测量的长度值：1.3265米；电子秒表测量的时间：36.24秒。它们的最后一位就是可疑读数。 ．．2、直接测量的有效数字的多少，取决于仪器的精度，与单位换算无关。如：测一大约10mm长的物体长度,

10.0mm（米尺）；10.00mm（游标卡尺）；10.000mm（螺旋测微计）

换算成米： 0.0100m；0.01000m；0.010000m有效数字不变

（1）单位换算是个数学问题，而有效数字是个物理问题。10mm?10.0mm。 （2）有效数字与后面的零有关而与前面的零无关。

3、常数的有效数字：如?、e(2.718??) 、2等等它们的有效数字有无穷多位，因为它们是理论计算的结果而不是测量的结果，可以根据需要取舍。

5.2 有效数字与绝对误差的关系。

对于有效数字，按照误差理论的规定，测量结果的有效数字的最后一位要与绝对误差所在位对齐。而绝对误差（通常用算术平均值的实验标准差代替）一般只取一位有效数字。

1、绝对误差只保留一位有效数字。如

?x?0.02； ?x?0.013?0.01； ?x?0.0028?0.003。 2、多次测量结果的表示：

在重复性条件下，对同一物理量进行多次测量（等精度）时，由于真值用算术平均值作为其最佳估计值，因此，用算术平均值的实验标准差作为不确定度的评定。

例1：结果是l?(1.236?0.008)mm 计算如下： 1 1.24 0.00 2 1.22 0.02 3 1.24 0.00 4 1.26 0.02 5 1.22 0.02 平 均 1.236 0.008 l(mm) ?l(mm) l?1.236mm s=0.008mm

例2：时间测量其结果为：

t?1.68234?0.0005?(1.6823?0.0005)s

1 1.6840 0.0017 2 1.6825 0.0002 3 1,6834 0.0011 28

4 1.6813 0.0010 5 1.6805 0.0008 平 均 1.68234 0.0005 t(s) ?t(s) 普通物理实验 第5章 有效数字

在多次测量中，有的时候由于心理因素的影响或仪器设备本身的原因而造成读数的相同。此时，可用仪器的精度来作为不确定度的评定。

如：用天平测某一物体的质量，5次测来都一样，都是2.00g，这并不意味着没有误差，该误差就是仪器自身精度造成的误差0.05g。

3、科学计数法。

（1）任何数都可表示成：a?10的形式（其中1?a?10） 如：346000＝3.46000×105

0.00346＝3.46×10-3

（2）数量级：在科学计数法中不考虑a的大小，只看10n的次数。 如：1.25×108和8.99×108是同数量级的。

实验中，最后结果必须采用科学技术法表示。

n5.3 有效数字相对误差的关系：

测量的有效数字越多，相对误差越小。但这和测量仪器本身的精度有关。 如：用米尺、游标卡尺和螺旋测微计测同一物体的长度结果分别是：

l1?(12.4?0.3)mm l2??12.44?0.02?mm

?1?l3??12.446?0.004?mm

5.4 有效数字的运算法则。

1、加减法。

如：14.61?2,2160?3.024?0.00672?19.86

0.3?2% 12.40.02?2??0.2%

12.440.004?3??0.03%

12.446和与差的最后一位，与各分量中可疑数字最大的一位取齐。

? 14.61? 14.61? 2.21 2.2160? 2.02 2.024? +0.00 2+0.0067?7? 19.86? ?6?219.85实际运算过程中，为了避免因计算引入新的误差，通常在计算时按标准多取一位参与计算。在得到

最后结果时，有效数字的位数和各分量中可疑数字最大的一位取齐。

2、乘除法。

??， I?0.213?A， U?2150??0.213??458?V R?2150.71.71积与商的有效数字与各因子中有效数字位数最少的一样多。所以

??458?V U?215?101?0.213实际应用中，对每一个数据，有效数字位数都多取一位参与运算，最后取齐。

3、三角函数、对数值的有效数字

29

普通物理实验 第5章 有效数字

测量值x的三角函数或对数的位数，由x函数之和x的末尾加1个单位后的函数值相比较确定。 4、注意事项 1）、物理公式中的常数，有效数字位数应与测量值的有效数字位数取齐； 2）、对数的首数不算有效数字； 3）、首数是8或9的m位数值在乘除运算中，可多算一位有效数字； 4）、有多个数值参与运算时，运算过程中应多保留一位有效数字，最和按照数据的修约规则进行舍入。

5、数值的修约规则 1）、开始要舍去的第一位是1、2、3、4时，舍去；是6、7、8、9时，在舍去的同时要向前进一位。

2）、要舍去的一位是5，而保留的最后一位是奇数时，舍5进1；要保留的最后一位是偶数时，舍5，但是，如果5的下一位不是零，仍然要有一个进位。

30

普通物理实验 第6章 实验曲线的描绘

第6章 实验曲线的描绘及记录表格

6.1 实验曲线的描绘方法

实验结果的表示，一般有三种方法：数值（或表格）表示、图线（实验曲线）表示、经验公式。 数值（或表格）表示：就是用科学技术法（或利用表格）将结果表示出来。这种表示方法可以很清楚地知道实验结果的不确定度。并且能够准确地给出实验结果。是定量讨论必不可少的表示方法。

图线表示：具有形式简单、直观，便于比较和显示变化的规律。在定性的讨论中是非常有用的一种表示方式。就现在来说，实验曲线不仅仅是用于定性讨论，在很多情况下，也用于定量分析。这是因为计算机技术和相关的作图软件的发展而形成的。利用它们，可以很精确地得到相应的实验值。

经验公式：这是人们通过大量实验总结出的一种能够表示物理规律的公式。这种公式不是建立在严格的数学推导上的。这在物理学的建立和发展中起着很重要的作用。例如普朗克对黑体辐射现象的解释。

作图规则 （1）、用坐标纸作图

作图的比例要恰当。

测量数据中的可靠数字在图中应是可靠的； 数据中有误差的一位在图中可以是估计的。即图纸上实际能读出的位数与测量的有效数字位数相当。 （2）标明图名、轴名，并清楚的表示出轴的物理含义。 （3）数据点的标示。可用“●”、“○”、“△”、“□”等。

（4）连线。用直尺、曲线尺等根据不同的情况和要求，将数据点连成直线或光滑曲线。连线时，不一定通过每一个数据点，而是要求在线的两测数据点有较均匀的分布，个别偏离太大的点要重新测量核对，并在作图时酌情处理。

（5）求直线的斜率和截距。不能利用测量数据计算，而是在直线上任取两点或根据直线和纵轴的交点得到。

实验中，在绘制图线时，必须注意如下问题：

1、图纸的类型：实验中所用的图线纸一般有直角坐标纸、对数座标纸、极坐标纸三种。最常用的是直角坐标纸。

2、坐标的横轴为自变量。一般地，被测量为变量。有的时候，为了使图线是一条直线，将被测量作相应的变换，通过这种变换，将原为曲线的图线转换为直线。作这种变换，一是因为直线容易描绘，而是直线的斜率和截距所包含的物理内容是我们所需要的。

3、坐标原点不一定要和变量零点一致。 4、坐标轴的分度要和测量的有效数字位数对应，坐标纸的最小的格子表示为被测量的最后一位的一个单位、二个单位或五个单位。这可根据实际情况选择。

5、x和y轴二变量的变化范围表现在坐标纸上的长度应该相差不大，最多也不要超过一倍。

6、比例确定后，画上坐标轴，并标明x、y轴代表的测定量及单位，按测量数据标出坐标点。在作图时，对于各测量点，由于存在一定的误差，在作连线时，不能将各坐标点简单连接起来，而是按照偶然误差的规律，将各测量点大致均匀地分布在图线的两侧。

在作图中，可能会碰到一些明显偏离图线的点，按照数据处理理论的要求对其进行分析，然后再作取舍。 T2 7、标明图线的名称，注明作者及日期。 8、将图线纸粘贴在实验报告上。

作图法在物理实验中，可以用于研究物理量之间的变化规律，可以用于求的物理量的数值，发现系统误差，作修正曲线或校准曲线，提高计算效率等内容。它具有直观、简便的特点、有取平均的效果。

l 6.2 作图法在物理实验中的主要应用

1、研究物理量之间的变化规律，找出相互对应的函数关系

31

图1

普通物理实验 第6章 实验曲线的描绘

例：在单摆实验中，考察摆长和周期的关系。 因为T?2?l，故单摆周期的平方和摆长的关系应为线性关系。通过实验测量所得的数据可作出g图。

对于多于两个变量的情况，可以固定其它条件，分别两两地求出对应关系，再统一考虑。现在，由于计算机辅助设计软件的功能非常强大，对于多于两个变量（实际上就是3个变量）的情况，可有相关的软件来作出三维立体图，再配合平面图对实验结果作出讨论。 2、求某些物理量的数值 （1）从图中直线的斜率求值

例：单摆实验中可以作出如图1所示的直线，它表示了单摆周期和摆线长度的线性关系。有单摆周期公式可知，该直线的斜率k应为：

4?2 k?g只要从图中计算出斜率k，即可由上式计算出重力加速度。 （2）从图中直线的截距求值

2T 例：在弹簧振子的研究实验中，弹簧振子的振

动周期为：

T?m1?m0m ?2?kk4?2m0 k由此可知：

m1?m04?2m14?2m0T?4???

kkk22l 改变m1可得到不同的振动周期，根据测量数据可作出图。

从该图的截距可以求出弹簧振子的等效质量m0。

4?2m0b?

km0?bk 4?2（3）内插

有线性内插法和非线性内插法两种。 例：（线性内插法）已知在温度t=0～100C的区间内，水的饱和蒸气压Pw的数值如表所示，求7。70C下水的饱和蒸气压。

9

Pw（mmHg) 8 7.89 7 6 5 4 0 32

2

4

6

7.7 8

10

t（0C) 普通物理实验 第6章 实验曲线的描绘 t（0C） Pw（mmHg） 0 4.58 1 4.93 2 5.29 3 5.69 4 6.10 5 6.54 6 7.01 7 7.51 8 8.05 9 8.61 10 9.21 根据这些数据可作出Pw—t图。 如此可以求出任意温度下的水的饱和蒸气压。 （4）外推（线性外推）

（5）渐进线（利用曲线的渐进线求物理量） （6）叠加 （7）相减 （8）相乘 （9）求微商

（10）求积分或面积 （11）求极限

2、作修正曲线及校准曲线：经过修正或校准后，以获得理想条件下的变化规律。 3、作误差分析，找出系统误差：利用期望值和真值的差，寻找系统误差。 4、作专用的列线图、量板、量规等：作为测量工具。

6.3 图线的线性化

图线的线性化就是将曲线改直。这是因为线性问题是研究和解决的最好的。常用的可以线性化的函数如下：

（1）y?axb，其中a和b是常数。

对此式两端取常用对数即可：

lgy?blgx?lga

则lgy和lgx呈线性关系，b和lga分别是它的斜率和截距。 （2）y?ae?bx，其中a和b是常数。

对此式两端取自然对数即可：

lny??bx?lna

则lny和x呈线性关系，b和lna分别是它的斜率和截距。 （3）xy＝c，c为常数。

整理后得：

y?c1 x则y和1/x呈线性关系。 （4）y?2px，其中p为常数。

次式的处理有两种形式： y2和x呈线性关系；

2lny?2111lnx?ln(2p)，即lny和lnx呈线性关系。斜率固定为0.5，截距为ln(2p) 2222（5）x?y?a，其中a是常数。

则x2、y2呈线性关系。

33

普通物理实验 第6章 实验曲线的描绘

（6）y?x，其中a、b是常数。 a?bx将此式变形后得：

1a??b，及y的倒数和x的倒数成线性关系。 yx（7）y?a0?a1x?a2x2，其中a0、a1和a2是常数。

变形后可得：

2y?a0?a1?a2x，这也是一种线性关系。 x（8）y?e?x。

取对数后得：lny??x2，lny和x2呈线性关系。

6.4 实验原始数据记录表格的设计

在做实验之前，应设计好实验数据记录表格。实验数据记录表格的设计应遵从如下规定： 1、简单明了 2、单位统一

3、表头中要包含所用测量仪器名称（编号）、零点读数、单位 4、表格形式：

测量对象名称 测量仪器（编号） （环境条件） 单位：×× 项目 d e 1 2 3 4 34

第7章 常用数据处理方法

第7章 常用数据处理方法

物理实验中，经常遇到两个物理量x、y间存在线性关系：y?ax?by。例如：对弹簧系统有

F?k(s?s0)；对运动系统有F?F阻?ma。其中，k、s0、F阻和m为未知参数。如果能够通过实验

测出x、y的值，就可求出相应的未知量。但是，由于测量数据是有误差的，不能够用数学上的两个方程解的两个未知数的值的方法。因此引入组合测量方法。

7.1 逐差法处理数据

7.1.1 逐差法处理数据的条件：

1、函数可以写成x的多项式形式，即

y?a0?a1x

y?a0?a1x?a2x2 y?a0?a1x?a2x2?a3x3

注1：有些函数可经过变换写成上述形式，也可用逐差法处理。 例1：弹簧振子的周期公式

4?2m2m，即T2和m是线性关系。 可以写为：T?T?2?kk例2：阻尼振动的振幅衰减公式

A?A0e??t可以写为：lnA?lnA0??t，即lnA和β是线性公式。

注2：由于测量精度的限制，三次逐差很少使用。

2、自变量x是等间距变化的。

这个条件只是一个一般条件。在有的情况下，自变量的变化不是等间距变化的，但是可以用类似逐差的方法进行处理。 7.1.2 逐差法的应用 1、验证多项式

主要是验证多项式的线性关系 （1）当y?a0?a1x时，通过测量可得xi和相应的yi（i=1，2，…，n），则有：

y0?a0?a1x0

y1?a0?a1x1?a0?a1(x0?x) y2?a0?a1x2?a0?a1(x0?2x)

… … … … … …

yn?a0?a1xn?a0?a1(x0?nx)

取

??a0?a1x0 a035

第7章 常用数据处理方法

则有：

? y0?a0??a1x y1?a0??a1(2x) y2?a0… … …

??a1(ix) yi?a0… … …

??a1(nx) yn?a0对上述各方程逐项逐差一次，有：

（i=1，2，…，n） yi?yi?1?a1x，

在上述各式中，x是自变量每次的增量（x可正可负）。由于自变量是等间距变化的，故此式为恒量。

因此，如果函数值的一次逐差结果是恒量时（自变量间距变化），则函数是线性函数，即：

y?a0?a1x

成立。

例：一组用伏安法测量电阻的数据如下： V（V） I（mA） i Vi（V） I（mA） 0 0 1 0 0 3.85 12.05 2.00 3.58 2 2.00 3.58 4.30 11.95 4.00 8.15 3 4.00 8.15 3.90 11.75 6.00 12.05 4 6.00 12.05 3.75 8.00 15.80 5 8.00 15.80 4.10 10.00 19.90 6 10.00 19.90 用逐差法处理数据结果如下： δ1I=Ii+1-Ii δ3I=Ii+1-Ii 上述数据均及结果说明：

a、Ii的数值逐项相减的结果δ1Ii（即一次逐差，逐项相减）基本相同，说明I与V存在线性关系； b、δ3Ii（一次逐差，隔3项相减）的平均值为11.92mA，由I?V得： RR?V2.00?3??503.5? I11.92（2）当函数具有y?a0?a1x?a2x2的形式时，测得xi和相应的yi（i=1，2，…，n），则有：

2 y0?a0?a1x0?a2x0y1?a0?a1(x0?x)?a2(x0?x)2 y2?a0?a1(x0?2x)?a2(x0?2x)2

… … … … … …

36

第7章 常用数据处理方法

yi?a0?a1(x0?ix)?a2(x0?ix)2

… … … … … …

y2n?a0?a1(x0?nx)?a2(x0?nx)

取：

a?0?ax20?a10?a2x0 a1??a1?2a2x0 于是有：

y0?a?0 y1?a?0?a1?x?a2x2 y2?a?0?a1?(2x)?a2(2x)2 … … … … … …

yi?a?0?a1?(ix)?a2(ix)2 … … … … … …

yn?a?0?a1?(nx)?a2(nx)2 对此式中的方程逐项逐差一次，有

?y?y?x?a20?y10?a12x ?y1?y2?y1?a1?x?a2(3x)2 ?y2?y3?y2?a1?x?a2(5x)2 … … … … … …

?yi?yi?1?yi?a1?x?a2[(2i?1)x]2 ?yyi?2?yi?1?a1?x?a2[(2i?3)x]2i?1? … … … … … …

?yn?1?yn?yn?1?a1?x?a2[(2n?3)x]2 再对各方程逐差一次，即二次逐差有：

?2y21??y2?y1?2a2x

… … … … … …

?2y2i??yi?1??yi?2a2x

… … … … … …

37

第7章 常用数据处理方法

?2yn?2??yn?1??yn?2?2a2x2

同样，上述各式中的x是自变量每次的增量。由于自变量是等间距变化的，故上式为恒量。所以，如果函数值的二次逐差结果是恒量时（自变量等间距变化），则，

y?a0?a1x?a2x2

成立。

例：在自由落体运动中，求重力加速度g。测量数据是根据物体做自由落体运动，在下落过程中在记录纸上记下的火花放电的点子的坐标测量而得。

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 其中：

xi（cm） 10.16 11.41 12.85 14.87 17.33 20.16 23.40 27.02 31.06 35.49 40.31 45.51 51.10 57.21 63.70 70.60 δixi 1.25 1.64 2.02 2.46 2.83 3.24 3.62 4.04 4.43 4.82 5.20 5.59 6.11 6.49 6.90 δ2ixi 0.39 0.38 0.44 0.37 0.41 0.38 0.42 0.39 0.39 0.38 0.39 0.52 0.38 0.41 δ9xi 20.90 24.08 27.46 30.64 33.77 37.05 40.30 43.58 δ24xi 12.87 12.97 12.84 12.94 平均值 12.90cm ?ixi?xi?1?xi，?12xi??1xi?1??1xi，?9xi?xi?9?xi，?42xi??1xi?4??1xi

平均值为：?42xi?12.90cm

以上二次逐差的结果说明，二次逐差的结果基本相同。 2、发现系统误差或实验数据的某些变化规律

当我们假定函数为某种多项式形式，用逐差法处理其测量数据而未得到预期结果时，可以认为存在某种系统误差。或者从数据的规律性变化中对理论公式作进一步改正的设想。 3、求物理量的值

用逐差法求出多项式x的各次项的系数，并由此求得相应的物理量。 （1）y?a0?a1x

设有2l组数据，则

y1?a0?a1x0y2?a0?a1(2x)???y2l?a0?a1(2lx)

（1）

38

第7章 常用数据处理方法

隔l项逐差，有

?yi?yl?i?yi?a1lx(i?1,2,?l)

（2）

一共有l个δyi，对每个δyi都可以得到一个a1，即：

11l1la1?????yi?2??yi

lxlxli?1lxi?1将a1代入（1）式中的每一个式子中，都可以得到一个a0，即

?yi（3）

yi?a0?a1(ix) a0?yi?a1(ix)

一共有2l个yi，对每个yi都可以得到一个a0。取平均值，即

2l12la0??[yi?a1?ix]2li?1i?1?1(?yi?a1x?i)2li?1i?12l2l （4）

如果yi不是以（1）式表示，就不能用（4）式。

如果i取为i=0，1，…，2l-1，则（4）式应有相应的改变，即

2l?112l?1a0?(?yi?a1x?i)

2li?0i?0 （5）

对于（2）、（3）式，不影响结果。

如果数据为奇数项，设为2l-1项，则将数据分成两半，前半多一项，隔l项逐差，得l-1项。有

l?11a1???yi ?lxl(l?1)xi?1?yi （6）

其中

?yi?yl?i?yi(i?1,2,?l)

（7）

2l?112l?1a0?(?yi?a1x?i)

2l?1i?1i?1如果i取为i=0，1，2，…，2l-2，则式（7）也应相应变为

2l?212l?2a0?(?yi?a1x?i)

2l?1i?0i?0 （8）

由（3）、（6）两式可知，a1是由?yi而来的，其不确定度可以用实验标准差的计算方法得到。对于（3）式

s(?yi)??(?yi?1li??yi)2

39

l(l?1) （9）

第7章 常用数据处理方法

对于（6）式

s(?yi)??(?yi?1l?1i??yi)2

（10）

(l?1)(l?2)a1的误差为

s(a1)?1s(?yi) lx

i （11）

由式（4）和（6）可知，a0得不确定度由

?yi的不确定度以及a1的不确定度合成而来。

例：用弹簧振子的周期公式求弹簧的倔强系数k和等效质量m0。实验中测得弹簧振子的振动周期以及每次改变砝码的质量m如下表。 i mi（g） Ti2（s2） 1 0 0.558 2 5.00 1.000 1.756 3 10.00 1.462 1.698 4 15.00 1.855 5 20.00 2.307 6 25.00 2.756 7 30.00 3.140 8 35.00 3.553 222?T2i?Ti?1.749 4?Ti(s) 由（3）、（10）式可得 a1?0.0860?0.0010

弹簧振子公式为

4?2T?(m1?m0)

k2即

4?2a1?

k故

4?2k??4.59?102dyne/cm

a1由（5）式可得

a0?0.5737

于是

m0?k4?2a0?6.67g

（2）y?a0?a1x?a2x2

此式中x是每次改变的量。对于此式，每隔l项一次逐差，隔m项二次逐差求系数a0，a1，a2的普遍公式推导如下：

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