2012年中考数学卷精析版 - 湖南省永州卷

2012年中考数学卷精析版——永州卷

（本试卷满分120分，考试时间120分钟）

一、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）

3．

（2012湖南永州3分）如图，有四张背面相同的纸牌A、B、C、D，其正面分别画有正三角形、圆、平行四边形和正五边形．小明将这四张纸牌背面朝上洗匀后随机摸出一张，则摸出的图形是中心对称图形的概率是 ▲ ．

【答案】

1。 2【考点】概率公式，中心对称图形。

【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率。因此，共有4张牌，正面是中心对称图形的情况有2种，即B、C，所以摸出的图形是中心对

称图形的纸牌的概率是：=。

4．（2012湖南永州3分）如图，已知a∥b，∠1=45°，则∠2= ▲ 度．

2142

【答案】135。

【考点】平行线的性质，平角定义。

【分析】如图，根据平行线的性质求出∠3的度数，再由两角互补的性质即可得出结论：

∵a∥b，∠1=45°，∴∠1=∠3=45°， ∴∠3=180°﹣∠3=180°﹣45°=135°。

5．（2012湖南永州3分）一次函数y=﹣x+1的图象不经过第 ▲ 象限． 【答案】三。

【考点】一次函数图象与系数的关系。 【分析】一次函数y=kx+b的图象有四种情况：

①当k>0，b?0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，y的值随x的值增大而增大； ②当k>0，b<0时，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而增大； ③当k<0，b?0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，y的值随x的值增大而减小； ④当k<0，b<0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大而减小。

因此，函数y=﹣x+1的k<0，b?0，故它的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限。 6．（2012湖南永州3分）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD交BC于点E．若△CDE的周长为10，则平行四边形ABCD的周长为 ▲ ．

【答案】20。

【考点】平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质。

【分析】∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OB=OD，AB=CD，AD=BC（平行四边形对边相等，对角线互相平分）。 ∵OE⊥BD，∴BE=DE（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）。 ∵△CDE的周长为10，即CD+DE+EC=10，

∴平行四边形ABCD的周长为：

AB+BC+CD+AD=2（BC+CD）=2（BE+EC+CD）=2（DE+EC+CD）=2×10=20。

8．（2

012湖南永州3分）我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列，如1，3，9，19，33，…就是一个数列，如果一个数列从第二个数起，每一个数与它前一个数的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做这个等差数列的公差．如2，4，6，8，10就是一个等差数列，它的公差为2．如果一个数列的后一个数与前一个数的差组成的新数列是等差数列，则称这个数列为二阶等差数列．例如数列1，3，9，19，33，…，它的后一个数与前一个数的差组成的新数列是2，6，10，14，…，这是一个公差为4的等差数列，所以，数列1，3，9，19，33，…是一个二阶等差数列．那么，请问二阶等差数列1，3，7，13，…的第五个数应是 ▲ ． 【答案】21。

【考点】新定义，分类归纳（数字的变化类）。 【分析】如图，寻找规律：

因此，n=13＋8=21。

二、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）

9．（2012湖南永州3分）若运用湘教版初中数学教材上使用的某种电子计算器进行计算，则按键

的结果为【 】

A．16 B．33 C．37 D．36 【答案】B。

【考点】计算器—有理数。

【分析】利用科学记算器按照按键顺序进行计算即可

按照5、x、+、2、y、3的按键顺序即52＋23=25＋8=33。故选B。

10．（2012湖南永州3分）如图所示，下列水平放置的几何体中，俯视图是矩形的是【 】

2

x

A．【答案】A。

B． C． D．

【考点】简单几何体的三视图。

【分析】俯视图是从物体的上面看得到的视图，仔细观察各个简单几何体，便可得出结论：

A、圆柱的俯视图为矩形，故本选项正确；B、圆锥的俯视图为圆，故本选项错误；

C、三棱柱的俯视图为三角形，故本选项错误；D、三棱锥的俯视图为三角形，故本选项错误。 故选A。

11．（2012湖南永州3分）永州市5月下旬11天中日最高气温统计如下表：

日 期 最高气温（℃） 21 22 22 22 23 20 24 23 25 22 26 25 27 27 28 30 29 26 30 24 31 27 则这11天永州市日最高气温的众数和中位数分别是【 】 A．22，25 B．22，24 C．23，24 D．23，25 【答案】B。

【考点】众数；中位数。

【分析】众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，这组数据中，出现次数最多的是22，故这组数据的众数为22。

中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均

数）。由此将这组数据重新排序为20，22，22，22，23，24，25，26，27，27，30，∴中位数是按从小到大排列后第6个数为：24。

故选B。

12．（2012湖南永州3分）已知a为实数，则下列四个数中一定为非负实数的是【 】

A．a B．﹣a C．|﹣a| D．﹣|﹣a| 【答案】C。

【考点】非负数的性质，绝对值。

【分析】根据绝对值的性质，为非负实数的是|﹣a|。故选C。 13．（2012湖南永州3分）下面是四位同学解方程 A．2+x=x﹣1 【答案】D。

【考点】解分式方程。

【分析】去分母根据的是等式的性质2，方程的两边乘以最简公分母，即可将分式方程转化为整式方程：

方程的两边同乘（x﹣1），得2﹣x=x﹣1。故选D。

14．（2012湖南永州3分）下列说法正确的是【 】 A．ab=a?b

B． 2﹣x=1 2x其中正确的是【 】 +=1过程中去分母的一步，

x?11?xC． 2+x=1﹣x D． 2﹣x=x﹣1 ） B．a3?a?2?a（a?0

C．不等式2﹣x＞1的解集为x＞1 D．当x＞0时，反比例函数y=【答案】B。

【考点】二次根式的乘法，同底数幂的乘法，解一元一次不等式，反比例函数的性质，

【分析】分别根据二次根式的乘法、同底数幂的乘法、解一元一次不等式及反比例函数的性质对各选项进行逐一判断即可：

A、当a＜0，b＜0时，ab=?a??b，故本选项错误； B、符合同底数幂的乘法法则，故选项正确； C、不等式2﹣x＞1的解集为x＜1，故本选项错误； D、当x＞0，k＜0时，反比例函数y=k的函数值y随自变量x取值的增大而减小 xk的函数值y随自变量x取值的增大而增大，故本选项错误。 x

故选B。

1

6．（2012湖南永州3分）如图，一枚棋子放在七角棋盘的第0号角，现依逆时针方向移动这枚棋子，其各步依次移动1，2，3，…，n个角，如第一步从0号角移动到第1号角，第二步从第1号角移动到第3号角，第三步从第3号角移动到第6号角，…．若这枚棋子不停地移动下去，则这枚棋子永远不能到达的角的个数是【 】

A．0 B．1 C．2 D．3

三、解答题（共9小题，满分72分）

17．（2012湖南永州6分）计算：6tan30??12+??1?02012?1?+??． ???0【答案】解：原式=6?3?23+1+1=2。 3【考点】实数的运算，特殊角的三角函数值，绝对值，二次根式化简，有理数的乘方，零指数幂。 【分析】针对特殊角的三角函数值，绝对值，二次根式化简，有理数的乘方，零指数幂5个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果。 18．（2012湖南永州6分）解方程：（x﹣3）﹣9=0． 【答案】解：移项得：（x﹣3）=9，

开平方得：x﹣3=±3， 则x﹣3=3或x﹣3=﹣3，

2

2

解得：x1=6，x2=0。

【考点】直接开平方法解一元二次方程。

【分析】这个式子先移项，变成（x﹣3）=9，从而把问题转化为求9的平方根（也可用因式分解法求解）。

2?a+1?a?2a+1+1??19．（2012湖南永州6分）先化简，再求代数式?2的值，其中a=2．

a?a?1?2

a?a+1??a?1?=a?1。 a+1+a2?1?a?1?【答案】解：原式=?=??a+1??a?1?a?a+1??a?1?a 当a=2时，原式=2－1=1。 【考点】分式的化简求值。

【分析】将第一个因式括号中的第一项分母利用平方差公式分解因式，约分化为最简分式，然后通分并利用同分母分式的加法法则计算，第二个因式的分子利用完全平方公式分解因式，约分后得到最简结果，将a的值代入化简后的式子中计算，即可得到原式的值。

20．（2012湖南永州8分）为保证学生上学安全，学校打算在今年下期采购一批校车，为此，学校安排学生会在全校300名走读学生中对购买校车的态度进行了一次抽样调查，并根据抽样调查情况绘制了如图统计图．

22

走读学生对购买校车的四种态度如下： A．非常希望，决定以后就坐校车上学 B．希望，以后也可能坐校车上学 C．随便，反正不会坐校车上学

D．反对，因家离学校近不会坐校车上学

（1）由图①知A所占的百分比为 ，本次抽样调查共调查了 名走读学生，并完成图②； （2）请你估计学校走读学生中至少会有多少名学生乘坐校车上学（即A态度的学生人数）． 【答案】解：（1）40%；50。

补充完整条形统计图如下：

（2）估计学校走读学生中乘坐校车上学的人数至少为：300×40%=120（人）。

【考点】条形统计图，扇形统计图，频数、频率和总量的关系，用样本估计总体。

【分析】（1）用1减去B、C、D的百分比，得出A所占的百分比：1﹣30%﹣20%﹣10%=40%，用A的人数÷A的百分比，得出调查的走读生数：20÷40%=50人，从而得到持态度B的人数：为50﹣20﹣10﹣5=15（人），补充完整条形统计图。

（2）用300×A所占的百分比，得出学校走读学生中乘坐校车上学的人数。

21．（2012湖南永州8分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F、G分别在边AB、BC、CD上，且AE=GF=GC．求证：四边形AEFG为平行四边形．

【答案】证明：∵梯形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，

∴∠B=∠C（等腰梯形底角相等）。

∵GF=GC，∴∠GFC=∠C（等边对等角）。∴∠GFC=∠B（等量代换）。 ∴AB∥GF（同位角相等，两直线平行）。 又∵AE=GF，

∴四边形AEFG是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。

【考点】等腰梯形和三角形的性质，平行的判定，平行四边形的判定。

【分析】由等腰梯形的性质可得出∠B=∠C，再根据等边对等角的性质得到∠C=∠GFC，所以∠B=∠GFC，故可得出AB∥GF，再由AE=GF即可得出结论。

22．（2012湖南永州8分）某公司计划2010年在甲、乙两个电视台播放总时长为300分钟的广告，已知甲、乙两电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．该公司的广告总费用为9万元，预计甲、乙两个电视台播放该公司的广告能给该公司分别带来0.3万元/分钟和0.2万元/分钟的收益，问该公司在甲、

乙两个电视台播放广告的时长应分别为多少分钟？预计甲、乙两电视台2012年为此公司所播放的广告将给该公司带来多少万元的总收益？

23．

（2012湖南永州10分）如图，AC是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，A为切点，连接PC交⊙O于点B，连接AB，且PC=10，PA=6． 求：（1）⊙O的半径； （2）cos∠BAC的值．

【答案】解：（1）∵AC是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，∴CA⊥PA，即∠PAC=90°。

∵PC=10，PA=6，∴由勾股定理得AC?PC2?PA2?102?62?8。 ∴OA=

1AC=4。∴⊙O的半径为4。 2（2）∵AC是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，∴∠ABC=∠PAC=90°。

∴∠P+∠C=90°，∠BAC+∠C=90°。∴∠BAC=∠P。 在Rt△PAC中，cos?P?PA633??，∴cos∠BAC=。 PC1055【考点】切线的性质，勾股定理，圆周角定理，锐角三角函数的定义。

【分析】（1）由AC是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，根据切线的性质，即可得∠PAC=90°，又由PC=10，PA=6，利用勾股定理即可求得AC的值，从而求得⊙O的半径；

（2）由AC是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，根据圆周角定理与切线的性质，即可得∠ABC=∠PAC=90°，又由同角的余角相等，可得∠BAC=∠P，然后在Rt△PAC中，求得cos∠P的值，即可得cos∠BAC的值。

24．（2012湖南永州10分）在△ABC中，点P从B点开始出发向C点运动，在运动过程中，设线段AP的长为y，线段BP的长为x（如图甲），而y关于x的函数图象如图乙所示．Q（1，3）是函数图象上的最低点．请仔细观察甲、乙两图，解答下列问题．

（1）请直接写出AB边的长和BC边上的高AH的长； （2）求∠B的度数；

（3）若△ABP为钝角三角形，求x的取值范围． 【答案】解：（1）AB=2；AH=3。

（2）在Rt△ABH中，AH=3，BH=1，tan∠B=3，∴∠B=60°。 （3）①当∠APB为钝角时，此时可得x＜1；

②当∠BAP为钝角时，

过点A作AP⊥AB交BC于点P。 则BP?AB2∴当4＜x≤6时，∠BAP为钝角。 ==4，

cos?B12综上所述，当x＜1或4＜x≤6时，△ABP为钝角三角形。

【考点】动点问题的函数图象，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】（1）当x=0时，y的值即是AB的长度，故AB=2；，图乙函数图象的最低点的y值是AH的值，故AH=3。

（2）当点P运动到点H时，此时BP（H）=1，AH=3，在Rt△ABH中，可得出∠B的度数。 （3）分两种情况进行讨论，①∠APB为钝角，②∠BAP为钝角，分别确定x的范围即可。

25．（2012湖南永州10分）如图所示，已知二次函数y=ax+bx﹣1（a≠0）的图象过点A（2，0）和B（4，3），l为过点（0，﹣2）且与x轴平行的直线，P（m，n）是该二次函数图象上的任意一点，过P作PH⊥l，H为垂足．

（1）求二次函数y=ax+bx﹣1（a≠0）的解析式； （2）请直接写出使y＜0的对应的x的取值范围；

（3）对应当m=0，m=2和m=4时，分别计算|PO|和|PH|的值．由此观察其规律，并猜想一个结论，证明对于任意实数m，此结论成立；

（4）试问是否存在实数m可使△POH为正三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

2

2

2

2

【答案】解：（1）∵二次函数y=ax+bx﹣1（a≠0）的图象过点A（2，0）和B（4，3），

2

?1?4a+2b?1=012?a=∴?，解得?4。∴二次函数的解析式为y=x﹣1。

4?16a+4b?1=0-??b=0（2）当﹣2＜x＜2时y＜0。 （3）当m=0时，|PO|=1，|PH|=1；

当m=2时，P点的坐标为（2，0），|PO|=4，|PH|=4； 当m=4时，P点的坐标为（4，3），|PO|=25，|PH|=25。 由此发现|PO|=|PH|。 设P点坐标为（m，n），即n=

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

12

m﹣1 42

2

2

2

|OP|2= m+ n，|PH|=（n+2）2=n+4n+4=n+m。 ∴对于任意实数m，|PO|=|PH|。

（4）存在。由（3）知OP=PH，只要OH=OP成立，△POH为正三角形。

设P点坐标为（m，n），|OP|2= m+ n，|OH|2=4+ m， 由|OP|=|OH|得，m+ n=4+ m，即n=4，解得n=±2。 当n=﹣2时，n=

2

2

2

22

2

2

2

12

m﹣1不符合条件， 4

当n=2时，由2=

12

m﹣1解得m=±23。 4∴故当m=±23时可使△POH为正三角形．

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，勾股定理，等边三角形的判定。

【分析】（1）根据二次函数y=ax+bx﹣1（a≠0）的图象过点A（2，0）和B（4，3），待定系数法求出a和b的值，抛物线的解析式即可求出。

（2）令y=

2

12

x﹣1=0，解得x=﹣2或x=2，由图象可知当﹣2＜x＜2时y＜0。 42

2

（3）分别求出当m=0，m=2和m=4时，分别计算|PO|和|PH|的值．然后观察其规律，再进行

证明。

（4）由（3）知OP=OH，只要OH=OP成立，△POH为正三角形，求出|OP|、|OH|含有m和n

的表达式，令两式相等，求出m和n的值。

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