选修4-4：坐标系与参数方程教案

直角坐标系

教学目的：

知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 过程与方法：体会坐标系的作用

情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：体会直角坐标系的作用

教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 授课类型：新授课

教学模式：启发、诱导发现教学. 教学过程： 一、复习引入：

情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安

全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位置机器运动的轨迹。

情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看

台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景图案，需要缺点不同的画布所在的位置。

问题1：如何刻画一个几何图形的位置？ 问题2：如何创建坐标系？

二、学生活动 学生回顾

刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系

1、数轴 它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定 2、平面直角坐标系

在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定

3、空间直角坐标系 在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定

三、讲解新课：

1、建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足：

任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置 2、确定点的位置就是求出这个点在设定的坐标系中的坐标 四、数学运用

例1 选择适当的平面直角坐标系，表示边长为1的正六边形的顶点。

*变式训练

如何通过它们到点O的距离以及它们相对于点O的方位来刻画,即用”距离和方向”确定点的位置？

1

例2 已知B村位于A村的正西方1公里处,原计划经过B村沿着北偏东600的方向设一条地下管线m.但在A村的西北方向400米出,发现一古代文物遗址W.根据初步勘探的结果,文物管理部门将遗址W周围100米范围划为禁区.试问:埋设地下管线m的计划需要修改吗?

*变式训练

1．一炮弹在某处爆炸,在A处听到爆炸的时间比在B处晚2s,已知A、B两地相距800米，并且此时的声速为340m/s,求曲线的方程

12．在面积为1的?PMN中，tan?PMN?,tan?MNP??2，建立适当的坐标系，

2求以M，N为焦点并过点P的椭圆方程

例3 已知Q（a,b）,分别按下列条件求出P 的坐标

（1）P是点Q 关于点M（m,n）的对称点

（2）P是点Q 关于直线l:x-y+4=0的对称点（Q不在直线1上）

*变式训练

用两种以上的方法证明：三角形的三条高线交于一点。 思考

(x?1)2(y?1)2??1变为中心在原点的单位圆，通过平面变换可以把曲线请求出该复合94变换？

四、巩固与练习

五、小 结：本节课学习了以下内容：

1．如何建立直角坐标系； 2．建标法的基本步骤； 3．什么时候需要建标。

五、课后作业：课本P14页 1，2，3，4

2

极坐标系的的概念

教学目的：

知识与技能：理解极坐标的概念

过程与方法：能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角

坐标系中刻画点的位置的区别.

情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：理解极坐标的意义

教学难点：能够在极坐标系中用极坐标确定点位置 授课类型：新授课

教学模式：启发、诱导发现教学. 教学过程： 一、复习引入：

情境1：军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，如何确定它们的位置以便将它们引爆？ 情境2：如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。

（1）他向东偏60°方向走120M后到达什么位置？该位置惟一确

定吗？

（2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？

问题1：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎样的坐标系呢？

问题2：如何刻画这些点的位置？

这一思考，能让学生结合自己熟悉的背景，体会在某些情况下用距离与角度来刻画点的位置的方便性，为引入极坐标提供思维基础．

二、讲解新课：

从情镜2中探索出：在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。 1、极坐标系的建立：

在平面上取一个定点O，自点O引一条射线OX，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。 （其中O称为极点，射线OX称为极轴。） 2、极坐标系内一点的极坐标的规定

对于平面上任意一点M，用 ? 表示线段OM的长度，用 ? 表示从OX到OM 的角度，? 叫做点M的极径， ?叫做点M的极角，有序数对（?，?）就叫做M的极坐标。

特别强调：由极径的意义可知?≥0;当极角?的取值范围是[0,2?)时,平面上的点(除去极点)就与极坐标（?，?）建

立一一对应的关系 .们约定,极点的极坐标是极径?=0,极角是任意角. 3、负极径的规定

在极坐标系中，极径?允许取负值，极角?也可以去任意的正角或负角

3

当?＜0时，点M （?，?）位于极角终边的反向延长线上，且OM=?。

M （?，?）也可以表示为(?,??2k?)或(??,??(2k?1)?) (k?z) 4、数学应用

例1 写出下图中各点的极坐标（见教材14页） A（4，0）B（2 ）C（ ） D（ ）E（ ）F（ ） G（ ）

① 平面上一点的极坐标是否唯一？ ② 若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？

③ 不同的极坐标是否可以写出统一表达式

约定：极点的极坐标是?=0，?可以取任意角。

变式训练

在极坐标系里描出下列各点

?4?5?5?A（3，0） B（6，2?）C（3，）D（5，）E（3，）F（4，?）G（6，

3632点的极坐标的表达式的研究

例2 在极坐标系中，

5??（1） 已知两点P（5，），Q(1,)，求线段PQ的长度；

44?（2） 已知M的极坐标为（?，?）且?=，??R，说明满足上述条件的点M 的位

3置。

变式训练

5?5?7?1、若?ABC的的三个顶点为A(5,),B(8,),C(3,),判断三角形的形状.

2662、若A、B两点的极坐标为(?1,?1),(?2,?2)求AB的长以及?AOB的面积。（O为极点） 例3 已知Q（?，?），分别按下列条件求出点P 的极坐标。 （1） P是点Q关于极点O的对称点；

?（2） P是点Q关于直线??的对称点；

2（3） P是点Q关于极轴的对称点。

4

变式训练

?1.在极坐标系中,与点(?8,)关于极点对称的点的一个坐标是 ( )

6?5?5??A(8,),B(8,?),C(?8,),D(?8,?)

6666

?52在极坐标系中，如果等边?ABC的两个顶点是A(2,),B(2,),求第三个顶点C的坐标。

44

三、巩固与练习

四、小 结：本节课学习了以下内容：

1．如何建立极坐标系。

2．极坐标系的基本要素是：极点、极轴、极角和度单位 3．极坐标中的点与坐标的对应关系。

五、课后作业：教材P14-15页5，8，9，10，11

5

极坐标与直角坐标的互化

教学目的：

知识与技能：掌握极坐标和直角坐标的互化关系式 过程与方法：会实现极坐标和直角坐标之间的互化

情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：对极坐标和直角坐标的互化关系式的理解 教学难点：互化关系式的掌握 授课类型：新授课

教学模式：启发、诱导发现教学. 教学过程：

一、复习引入：

情境1：若点作平移变动时，则点的位置采用直角坐标系描述比较方便; 情境2：若点作旋转变动时，则点的位置采用极坐标系描述比较方便 问题1：如何进行极坐标与直角坐标的互化？

问题2：平面内的一个点的直角坐标是(1,3)，这个点如何用极坐标表示？ 学生回顾

理解极坐标的建立及极径和极角的几何意义

正确画出点的位置，标出极径和极角，借助几何意义归结到三角形中求解

二、讲解新课：

直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位。平面内任意一点P的指教坐标与极坐标分别为(x,y)和(?,?)，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式：

2??x2?y2x??cos?{ { yy??sin?tan??x说明1上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式

2通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取?≥0，0≤?≤2?。

3互化公式的三个前提条件

1. 极点与直角坐标系的原点重合;

2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同.

三．举例应用：

2?例1．（1）把点M 的极坐标(8,)化成直角坐标

3 （2）把点P的直角坐标(6,?2)化成极坐标 变式训练

??在极坐标系中,已知A(2,),B(2,?),求A,B两点的距离

66

6

例2.若以极点为原点,极轴为x轴正半轴,建立直角坐标系.

5?(1)已知A的极坐标(4,),求它的直角坐标,

3(2)已知点B和点C的直角坐标为(2,?2)和(0,?15) 求它们的极坐标.(?＞0,0≤?＜2?)

变式训练

把下列个点的直角坐标化为极坐标(限定?＞0,0≤?＜2?) A(?1,1),B(0,?2),C(3,4),D(?3,?4)

?2?例3.在极坐标系中,已知两点A(6,),B(6,).

63求A,B中点的极坐标.

变式训练

??在极坐标系中,已知三点M(2,?),N(2,0),P(23,).

36判断M,N,P三点是否在一条直线上.

四、巩固与练习：课后练习

五、小 结：本节课学习了以下内容：

1．极坐标与直角坐标互换的前提条件； 2．互换的公式；

3．互换的基本方法。

五、课后作业：教材P15页12，13

7

曲线的极坐标方程的意义

教学目的：

知识与技能：掌握极坐标方程的意义

过程与方法：能在极坐标中给出简单图形的极坐标方程

情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：直线和圆的极坐标方程的求法——互化

教学难点：对不同位置的直线和圆的极坐标方程的理解 授课类型：新授课

教学模式：启发、诱导发现教学. 教学过程： 一、复习引入： 问题情境

1、直角坐标系建立可以描述点的位置 极坐标也有同样作用？

2、直角坐标系的建立可以求曲线的方程 极坐标系的建立是否可以求曲线方程？ 学生回顾

1、直角坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置？ 2、曲线的方程和方程的曲线（直角坐标系中）定义 3、求曲线方程的步骤

二、讲解新课：

1、引例：以极点O为圆心5为半径的圆上任意一点极径为5，反过来，极径为5的点

都在这个圆上。

因此，以极点为圆心，5为半径的圆可以用方程??5来表示。 2、提问：曲线上的点的坐标都满足这个方程吗？

3、定义：一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程f(?,?)?0的点

在曲线上，那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程，这条曲线称为这个极坐标方程的曲线。

4、求曲线的极坐标方程：

例1．求经过点A(3,0)且与极轴垂直的直线l的极坐标方程。

变式训练：已知点P的极坐标为(1,?)，那么过点P且垂直于极轴的直线极坐标方程。

例2．求圆心在A(3,0)且过极点的圆A的极坐标方程。

8

?变式训练：求圆心在A(3,)且过极点的圆A的极坐标方程。

2

例3．（1）化在直角坐标方程x2?y2?8y?0为极坐标方程，

?（2）化极坐标方程??6cos(??) 为直角坐标方程。

3

三、巩固与练习

直角方程与极坐标方程互化

（1）???cos? （2）?2?tan?

四、小 结：本节课学习了以下内容：

1．如何利用互化公式，求直线和圆的极坐标方程

2．怎样理解直线和圆的位置关系——化成直角坐标系。

五、课后作业：教材P28 1，2

9

常用曲线的极坐标方程（1）

教学目的：

知识与技能：了解掌握极坐标系中直线和圆的方程 过程与方法：巩固求曲线方程的方法和步骤

情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：求直线与圆的极坐标方程 教学难点：寻找关于ρ，θ的等式 授课类型：新授课

教学模式：启发、诱导发现教学. 教学过程： 一、复习引入： 问题情境

3情境1：?cos??3 , ??5, ?sis??2, ???分别表示什么曲线？

4情境2：上述方程分别表示了直线与圆，把这些直线与圆一般化，它们的方程分别是什么？

二、讲解新课：

1、若直线l经过M(?0,?0)且极轴到此直线的角为?，求直线l的极坐标方程。

??变式训练：直线l经过M(3,)且该直线到极轴所成角为，求此直线l的极坐标方程。

24 把前面所讲特殊直线用此通式来验证。

2、若圆心的坐标为M(?0,?0)，圆的半径为r，求圆的方程。运用此结果可以推出哪些特殊位置的圆的极坐标方程。

3、例题讲解

在圆心的极坐标为A(4,0)，半径为4的圆中，求过极点O的弦的中点的轨迹。

10

圆的参数方程

教学目的：

知识与技能：弄清曲线参数方程的概念

过程与方法：能选取适当的参数，求圆的参数方程

情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：掌握圆的参数方程的推导方法和结论 教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程. 授课类型：新授课

教学模式：启发、诱导发现教学. 教学过程：

一、复习圆的标准方程：学生回答

二、圆的参数方程的推导：（标准式和一般式叫普通方程）

1.圆心在原点的圆的参数方程

圆心在原点、半径为r的圆的参数方程为

?x?rcos???y?rsin? (?为参数)

θ 有意义：旋转角0到2π（x轴到连心线） 2.圆心不在原点的圆的参数方程 问：怎样得到圆心在

O1(a,b),半径为r的圆的参数方程呢?

可将圆心在原点、半径为r的圆按向量

v?(a,b)平行移动后得到,所以圆心在

O1(a,b),半径为r的圆的参数方程为

?x?a?rcos??y?b?rsin? ? (θ

3.一般曲线参数方程的定义（书P23）

为参数)

参数方程、参数及其意义、普通方程

参数方程化为普通方程

三、例题：书例2（参数方程的应用） 四、练习：1―3（投影）

补充例.已知A（―1，0）、B（1，0）,P为圆

(x?3)2?(y?4)2?4上的一点,求PA2?PB2

的最大值和最小值以及对应P点的坐标.

21

?x?3?2cos??y?4?2sin?(?为参数),

解:☉C的参数方程为?PA?PB =

222222(4?2cos?)?(4?2sin?)?(2?2cos?)?(4?2sin?)=

60?8(3cos??4sin?)?60?40sin(???)

34sin??cos??5. 5,其中

当

sin(???)?1时,

PA?PB22有最大值100.

cos(???)?0

∵sin(???)?1,

cos??cos[(???)??]?cos(???)cos??sin(???)sin??sin??sin[(???)??]?sin(???)cos??cos(???)sin??35

45

2128,∴P点的坐标为(55).

sin(???)??1,PA?PB当

?222有最小值20.

?????2k??sin(???)??1cos(???)?02 ∵,,

cos??cos[(???)??]?cos(2k??sin??sin[(???)??]?sin(2k????)??sin???35

?2??)??cos???45,

912,∴P点的坐标为(55).

凡是涉及圆上的点旋转和有关距离时,可考虑采用圆的参数法,最后归结到三角运算.

五．小结：圆的参数方程和普通方程互化

六、作业：

22

圆参数方程的应用

教学目标：

知识与技能：利用圆的几何性质求最值（数形结合） 过程与方法：能选取适当的参数，求圆的参数方程

情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：会用圆的参数方程求最值。 教学难点：选择圆的参数方程求最值问题. 授课类型：复习课

教学模式：启发、诱导发现教学. 教学过程： 一、最值问题

1.已知P（x,y）圆C：x2+y2－6x－4y+12=0上的点。

y （1）求

x 的最小值与最大值

（2）求x－y的最大值与最小值

2.圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y-25=0的距离最小值是 ；

2/.圆(x-1)2+(y+2)2=4上的点到直线2x-y+1=0的最短距离是_______；

3. 过点(2,1)的直线中,被圆x2+y2-2x+4y=0截得的弦：

为最长的直线方程是_________；为最短的直线方程是__________；

4．若实数x,y满足x2+y2-2x+4y=0，则x-2y的最大值为 ；

二、参数法求轨迹

1)一动点在圆x2＋y2=1上移动,求它与定点(3,0)连线的中点的轨迹方程

2)已知点A(2,0),P是x2+y2=1上任一点,?AOP的平分线交PA于Q点,求Q点的轨迹.

C.参数法

解题思想：将要求点的坐标x,y分别用同一个参数来表示 例题：1)点P(m,n)在圆x2+y2=1上运动,

求点Q(m+n,2mn)的轨迹方程

2)方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0.若该方

程表示一个圆,求m的取值范围和圆心的轨迹方程。

三、小结：本节学习内容要求掌握 1．用圆的参数方程求最值； 2．用参数法求轨迹方程，消参。 四、作业：

23

圆锥曲线的参数方程

教学目的：

知识与技能：了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义

过程与方法：能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程

情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：圆锥曲线参数方程的定义及方法

教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程. 授课类型：新授课

教学模式：启发、诱导发现教学. 教学过程： 一、复习引入：

1．写出圆方程的标准式和对应的参数方程。

?x?rcos?222(1)圆x?y?r参数方程? （?为参数）

y?rsin???x?x0?rcos?（2）圆(x?x0)2?(y\\y0)2?r2参数方程为：? （?为参数）

?y?y0?rsin?2．写出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程。

3．能模仿圆参数方程的推导，写出圆锥曲线的参数方程吗？ 二、讲解新课：

s?x?aco?x2y21.椭圆的推导：椭圆2?2?1参数方程 ? （?为参数）

y?bsin?ab?c?x?ase?x2y22.双曲线的参数方程：双曲线2?2?1参数方程 ? （?为参数）

nab?y?bta??x?2Pt23.抛物线的参数方程：抛物线y?2Px参数方程? （t为参数）

?y?2Pt1、关于参数几点说明：

（1） 参数方程中参数可以是有物理意义，几何意义，也可以没有明显意义。 （2） 同一曲线选取的参数不同，曲线的参数方程形式也不一样 （3） 在实际问题中要确定参数的取值范围 2、参数方程的意义：

参数方程是曲线点的位置的另一种表示形式，它借助于中间变量把曲线上的动点的两个坐标间接地联系起来，参数方程与变通方程同等地描述，了解曲线，参数方程实际上是一个方程组，其中x，y分别为曲线上点M的横坐标和纵坐标。

3、参数方程求法

（1）建立直角坐标系，设曲线上任一点P坐标为(x,y) （2）选取适当的参数

（3）根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点P坐标与参数的函数式 （4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程 4、关于参数方程中参数的选取

选取参数的原则是曲线上任一点坐标当参数的关系比较明显关系相对简单。

2 24

与运动有关的问题选取时间t做参数 与旋转的有关问题选取角?做参数

或选取有向线段的数量、长度、直线的倾斜斜角、斜率等。 二、 典型例题：

例1．设炮弹发射角为?，发射速度为v0，

（1）求子弹弹道曲线的参数方程（不计空气阻力）

?（2）若Vo?100m/s，??，当炮弹发出2秒时，

6① 求炮弹高度 ② 求出炮弹的射程

例2．求椭圆的参数方程（见教材P.40）

s?x?aco?x2y2椭圆2?2?1参数方程 ? （?为参数）

?ab?y?bsin

?x?3cos?变式训练1. 已知椭圆? (?为参数)

?y?2sin??求 （1）??时对应的点P的坐标

6 （2）直线OP的倾斜角

变式训练2 A点椭圆长轴一个端点，若椭圆上存在一点P，使∠OPA=90°，其中O为椭圆中心，求椭圆离心率e的取值范围。

例3．把圆x2?y2?6x?0化为参数方程

（1） 用圆上任一点过原点的弦和x轴正半轴夹角?为参数 （2） 用圆中过原点的弦长t为参数

三、巩固与练习

四、小 结：本节课学习了以下内容：

1．选择适当的参数表示曲线的方程的方法; 2．体会参数的意义

五、课后作业：教材P34习题2.2

25

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