第二讲 牛顿-莱布尼茨公式

牛顿-莱布尼茨公式

第五章 定 积 分

牛顿- §5-3 牛顿-莱布尼兹公式

牛顿-莱布尼茨公式

牛顿 Newton , lsaac (1642~1727)

牛顿是他那时代的世界著 家、 名的物理学 、 家 数学家 和天文学 关于微积分， 家.关于微积分，牛顿总结了已 关于微积分 想， 经由许多人 发展了的思 ， 想 建立 熟的方法， 起系统和成 熟的方法， 其最重要 的工作是建立了微积分基本定 理， 指出微 分与积分互 为逆运算 恩格斯在论述微积分产生过程 时说， 时说， 微积 “是由牛 分 顿和莱布 完成的， 尼茨大体上 完成的， 不是由他 但 们发明的” 在他写于 们发明的 .在他写于 ” 在他写于1671 年但 直到 1736 年他死后才 出版的书 无穷级数》 《流数法和 无穷级数》 中清楚地 陈述了微积分的基本问题. 陈述了微积分的基本问题

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出生于书香门第的莱布 尼茨是德国一名 尼茨是德国一 名 博学多才的 学者.他的学识涉及哲学 他的学识涉及哲学、 学者 他的学识涉及哲学 、 历 语言、 数学、 生物、 地质、 史、 语言、 数学、 生物、 地质、 物理、机械、神学、法学、 物理、机械、神学、法学、外 交等领域.并在每个领域中都 交等领域 并在每个领域中都 有杰出的成就.然而 然而， 有杰出的成就 然而 ， 由于他 独立创建了微积分， 独立创建了微积分， 并精心设 计了非常巧妙而简洁的微积 分符号， 分符号， 从而使他以伟大数学 家的称号闻名于世. 家的称号闻名于世

莱布尼茨 Friedrich , Leibniz (1646~1715)

----博学多才的数学符号大师 博学多才的数学符号大师

牛顿-莱布尼茨公式

问题的提出变速直线运动中位置函数与速度函数的联系 如果物体运动的速度函数为v=v(t),那么在时间区 间[a,b]内物体的位移s可以用定积分表示为

s = ∫a v(t)dt.b

另一方面，如果已知该变速直线运动的路程函数为 s=s(t),则在时间区间[a,b]内物体的位移为s(b)–s(a), 所以又有

∫a v(t)dt = s(b) s(a).b

牛顿-莱布尼茨公式

∫a v(t)dt = s(b) s(a).b

由于 s' (t) = v(t),即s(t)是v(t)的原函数，这就是说，b 定积分 ∫a v(t)dt 等于被积函数v(t)的原函数s(t)在区间

[a,b]上的增量s(b)–s(a).

∫

b

a

f ( x)dx = F(b) F(a).

牛顿-莱布尼茨公式

微积分的基本公式

牛顿- 牛顿-莱布尼兹公式一、变上限的定积分 二、牛顿-莱布尼兹公式 牛顿-

牛顿-莱布尼茨公式

一、变上限的定积分如果 x 是区间 [a, b]上任意一点，定积分 ]上任意一点， x ∫a f (t )dt 表示曲线 y = f (x) 在部分区间 [a, x] 上曲边梯形 ] AaxC 的面积， 如图中阴影部分所示的面积 当 x 在 的面积， 如图中阴影部分所示的面积. y B 区间 [a, b] 上变化时 ] 上变化时, y=f( ) (x) 阴影部分的曲边梯形面 C A 积也随之变化， 积也随之变化，所 以 变 Φ(x) 上限定积分 x ∫ f (t )dt , 的函数. 即

是上限变量 x 的函数 记作 Φ (x), x (a ≤ x ≤ b). Φ ( x ) = ∫ f ( t )dta a

O

a

x

b

x

牛顿-莱布尼茨公式

定理 5.1

若函数 f (x) 在区间 [a, b] 上连续， ] 上连续，x

则变上限定积分

Φ ( x ) = ∫ f ( t )dta

在区间 [a, b] 上可导， 并且它的导数等于被积函数， ] 上可导， 并且它的导数等于被积函数， 即

Φ′( x) = ∫ a

x

′ f (t )dt = f ( x).

d x Φ ' (x) = ∫ f (t)dt = f (x) dx a

牛顿-莱布尼茨公式

Φ ( x ) 按导数定义， 证 按导数定义，证 lim = f ( x ) 即可 . x → 0 x 给自变量 x 以增量 x,x + x ∈ [a, b], Φ (x) 的 ， ] 由 定义得对应的函数 Φ (x) 的量 Φ (x), 即 ，

Φ (x) = Φ (x + x) - Φ (x)=∫x + x a

f ( t )dt ∫ f ( t )dta

x

y y = f (x)x

B A C

= ∫ f (t )dt + ∫a

x

x + x

x

f (t )dt ∫ f (t )dta

=∫

x + x

Φ(x)

Φ x x + x b x

x

f ( t )dt .O a

牛顿-莱布尼茨公式

根据积分中值定理知道， 根据积分中值定理知道，在 x 与 x + x 之 间 至少存在一点 ξ , 使 Φ (x) =

∫

x + x

x

f ( t )dt = f (ξ ) x

成立. 成立 又因为 f (x) 在区间 [a, b] 上连续， 所以 ， 当 ] 上连续， 所以， x → 0 时有 ξ → x, f (ξ) → f (x), 从而有 ， ,

Φ ( x ) = lim f (ξ ) = f ( x). Φ ′(x) = lim x → 0 ξ →x x故

∫a

x

′ f ( t )dt = f ( x ). x

牛顿-莱布尼茨公式

定理5. 告诉我们， 定理 1 告诉我们，变上限定积分

Φ( x ) = ∫ f ( t )dt 是函数 f (x) 在区间a

x

[a, b] 上的一个原函数， 这就肯定了 ] 上的一个原函数， 连续函数的原函数是存在的， 所以， 连续函数的原函数是存在的， 所以， 定理5. 1 也称为原函数存在定理. 定理 也称为原函数存在定理

牛顿-莱布尼茨公式

例1

已知 Φ ( x ) = ∫ e dt , 求Φ′ (x).t2 0

x

解

根据定理 1,得 ，

Φ ′( x ) = ∫

x

0

′ t = ex2 . e dt 2

牛顿-莱布尼茨公式

例 2 已知 F ( x ) = ∫x cos( 3t + 1)dt , 求 F′ (x). 解 根据定理 1,得 ，

0

F ′( x ) = ∫ cos( 3t + 1)dt = ∫ cos( 3t + 1)dt x 0 0 x

′

′

= cos( 3 x + 1).

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二、牛顿-莱布尼兹公式 牛顿-(微积分基本公式) 微积分基本公式)

定理 5.2

在区间[ 如果函数 f (x) 在区间[a, b]上连续， ]上连续，

F(x) 是 f (x) 在区间 [a, b] 上任一原函数，那么 ] 上任一原函数，

∫

b

a

f ( x)dx = F(b) F(a).

牛顿-莱布尼茨公式

证 由定理 5.1 知道 ( x ) = ∫ f ( t ) d t 是 Φ a f (x) 在 [a, b] 上的一个原函数， 又 由 题 设 知 ] 上的一个原函数， 道 F(x) 也是 f (x) 在 [a, b] 上一个原函数， 由 原 ] 上一个原函数， 函数的性质得知， 函数的性质得知，同一函数的两个不同原函数只 相差一个常数，即 相差一个常数，F ( x ) ∫ f ( t )dt = Ca x

x

(a ≤ x ≤ b ).

①

代入①式中， 把 x = a

代入①式中， 即 Φ ( a ) = 则，常数 C = F(a), 于是得 ，F ( x ) ∫ f ( t )dt = F (a ).a x

∫

a

a

f ( t ) dt = 0,

牛顿-莱布尼茨公式

F( x) ∫ f (t )dt = F(a).a

x

代入上式中，移项， 令 x = b 代入上式中，移项，得

∫ ∫

b

a

f ( t )dt = F (b) F (a ).

再把积分变量 t 换成 x, 得 ，b a

f ( x )dx = F (b) F (a ).

②

为了今后使用该公式方便起见， 为了今后使用该公式方便起见，把 ② 式右端的 式就写成如下形式： F (b ) F (a ) 记作 F ( x ) a , 这样 ② 式就写成如下形式：b

∫

b

a

f ( x )dx = F ( x ) a = F (b) F (a ).

b

= [F( x)]

b a

牛顿-莱布尼茨公式

牛顿—莱布尼茨公式 牛顿 莱布尼茨公式

∫

b

a

f ( x)dx = F( x) a = F(b) F(a).

b

牛顿- 牛顿-莱布尼茨公式提供了计算定积分的简便的 基本方法，即求定积分的值， 基本方法，即求定积分的值，只要求出被积函数 f(x) 的一个原函数F(x),然后计算原函数在区间 的一个原函数 ，然后计算原函数在区间[a,b]上的 上的 增量F(b)–F(a)即可 该公式把计算定积分归结为求原 即可.该公式把计算定积分归结为求原 增量 即可 函数的问题， 函数的问题，揭示了定积分与不定积分之间的内在联 系.仍成立. 注意 当 a > b 时， ∫a f ( x )dx = F ( b ) F ( a ) 仍成立b

牛顿-莱布尼茨公式

例4

计算下列定积分. 计算下列定积分

∫解

π 3 0

tan xdx .

∫

π 3 0

tan xdx = ln | cos x |

π 3 0

π = ln cos + ln cos 0 3 = ln 2.

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例5

计算下列定积分. 计算下列定积分1

π ex (1) ∫ d x; ( 2) ∫π4 cos 2 xdx . 1 1 + e x 6 1 1 1 ex d(1 + e x ) (1) ∫ dx = ∫ 解 1 1 + e x 1 1 + e x

π

1 = ln(1 + e ) = ln(1 + e) ln 1 + = 1; 1 e π 1 π 2 ( 2) ∫π4 cos xdx = ∫π4 (1 + cos 2 x )dx 2 6 6x 1

1 π 1 π = ∫π4 dx + ∫π4cos 2 xd 2 x 2 6 4 6 π 3 π 1 1 π π 1 4 = . + = + sin 2 x π 24 4 8 2 4 6 4 6

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