初二动点问题解析与专题训练(详尽) - 图文
更新时间:2023-09-26 10:33:01 阅读量: 综合文库 文档下载
初二动点问题解析
1. 如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=24cm,AB=8cm,BC=26cm,动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动;动点Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动.P、Q分别从点A、C同时出发,当其中一点到达端点时,另外一点也随之停止运动,设运动时间为ts. (1)当t为何值时,四边形PQCD为平行四边形? (2)当t为何值时,四边形PQCD为等腰梯形? (3)当t为何值时,四边形PQCD为直角梯形?
分析:
(1)四边形PQCD为平行四边形时PD=CQ. (2)四边形PQCD为等腰梯形时QC-PD=2CE. (3)四边形PQCD为直角梯形时QC-PD=EC.
所有的关系式都可用含有t的方程来表示,即此题只要解三个方程即可.
解答:
解:(1)∵四边形PQCD平行为四边形 ∴PD=CQ ∴24-t=3t 解得:t=6
即当t=6时,四边形PQCD平行为四边形.
(2) 过D作DE⊥BC于E
则四边形ABED为矩形
∴BE=AD=24cm∴EC=BC-BE=2cm∵四边形PQCD为等腰梯形∴QC-PD=2CE
即3t-(24-t)=4解得:t=7(s)即当t=7(s)时,四边形PQCD为等腰梯形.
(3)由题意知:QC-PD=EC时,四边形PQCD为直角梯形即3t-(24-t)=2 解得:t=6.5(s)
即当t=6.5(s)时,四边形PQCD为直角梯形.点评:此题主要考查了平行四边形、等腰梯形,直角梯形的判定,难易程度适中.
(3) 如图,△ABC中,点O为AC边上的一个动点,过点O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的外角平分
线CF于点F,交∠ACB内角平分线CE于E. (1)试说明EO=FO;
(2)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形并证明你的结论;
(3)若AC边上存在点O,使四边形AECF是正方形,猜想△ABC的形状并证明你的结论.
分析:
(1)根据CE平分∠ACB,MN∥BC,找到相等的角,即∠OEC=∠ECB,再根据等边对等角得OE=OC,同理OC=OF,可得EO=FO.
(2)利用矩形的判定解答,即有一个内角是直角的平行四边形是矩形. (3)利用已知条件及正方形的性质解答.
解答:
解:(1)∵CE平分∠ACB, ∴∠ACE=∠BCE,∵MN∥BC,∴∠OEC=∠ECB,∴∠OEC=∠OCE, ∴OE=OC,同理,OC=OF,∴OE=OF.
(2)当点O运动到AC中点处时,四边形AECF是矩形. 如图AO=CO,EO=FO,
∴四边形AECF为平行四边形,∵CE平分∠ACB,∴∠ACE= ∠ACB, 同理,∠ACF= ∠ACG,
∴∠ECF=∠ACE+∠ACF= (∠ACB+∠ACG)= ×180°=90°, ∴四边形AECF是矩形.
(3)△ABC是直角三角形
∵四边形AECF是正方形,∴AC⊥EN,故∠AOM=90°, ∵MN∥BC,∴∠BCA=∠AOM,
∴∠BCA=90°,∴△ABC是直角三角形.
点评:
本题主要考查利用平行线的性质“等角对等边”证明出结论(1),再利用结论(1)和矩形的判定证明结论(2),再对(3)进行判断.解答时不仅要注意用到前一问题的结论,更要注意前一问题为下一问题提供思路,有相似的思考方法.是矩形的判定和正方形的性质等的综合运用.
1.
如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,已知AD=AB=3,BC=4,动点P从B点出发,沿线段BC向点C作匀速运动;动点Q从点D出发,沿线段DA向点A作匀速运动.过Q点垂直于AD的射线交AC于点M,交BC于点N.P、Q两点同时出发,速度都为每秒1个单位长度.当Q点运动到A点,P、Q两点同时停止运动.设点Q运动的时间为t秒. (1)求NC,MC的长(用t的代数式表示);
(2)当t为何值时,四边形PCDQ构成平行四边形;
(3)是否存在某一时刻,使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分?若存在,求出此时t的值;若不存在,请说明理由;
(4)探究:t为何值时,△PMC为等腰三角形.
分析:
(1)依据题意易知四边形ABNQ是矩形∴NC=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+DQ,BC、AD已知,DQ就是t,即解;∵AB∥QN,∴△CMN∽△CAB,∴CM:CA=CN:CB,(2)CB、CN已知,根据勾股定理可求CA=5,即可表示CM;
四边形PCDQ构成平行四边形就是PC=DQ,列方程4-t=t即解;
(3)可先根据QN平分△ABC的周长,得出MN+NC=AM+BN+AB,据此来求出t的值.然后根据得出的t的值,求出△MNC的面积,即可判断出△MNC的面积是否为△ABC面积的一半,由此可得出是否存在符合条件的t值.
(4)由于等腰三角形的两腰不确定,因此分三种情况进行讨论: ①当MP=MC时,那么PC=2NC,据此可求出t的值.
②当CM=CP时,可根据CM和CP的表达式以及题设的等量关系来求出t的值.
③当MP=PC时,在直角三角形MNP中,先用t表示出三边的长,然后根据勾股定理即可得出t的值. 综上所述可得出符合条件的t的值.
解答:
解:(1)∵AQ=3-t∴CN=4-(3-t)=1+t 在Rt△ABC中,AC2=AB2+BC2=32+42∴AC=5 在Rt△MNC中,cos∠NCM=
= ,CM=
.
(2)由于四边形PCDQ构成平行四边形 ∴PC=QD,即4-t=t解得t=2.
(3)如果射线QN将△ABC的周长平分,则有:MN+NC=AM+BN+AB 即: (1+t)+1+t= (3+4+5)
解得:t= (5分)而MN= NC= (1+t)∴S△MNC= 当t= 时,S△MNC=(1+t)2= ≠
×4×3
(1+t)2= (1+t)2
∴不存在某一时刻t,使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分.
(4)①当MP=MC时(如图1)
则有:NP=NC 即PC=2NC∴4-t=2(1+t) 解得:t=
②当CM=CP时(如图2) 则有:(1+t)=4-t 解得:t=
③当PM=PC时(如图3)
则有:在Rt△MNP中,PM2=MN2+PN2 而MN= NC= (1+t)
PN=NC-PC=(1+t)-(4-t)=2t-3 ∴[ (1+t)]2+(2t-3)2=(4-t)2 解得:t1=
,t2=-1(舍去) ,t=
时,△PMC为等腰三角形
∴当t= ,t=
点评:
此题繁杂,难度中等,考查平行四边形性质及等腰三角形性质.考查学生分类讨论和数形结合的数学思想方法.
2.
如图,在矩形ABCD中,BC=20cm,P,Q,M,N分别从A,B,C,D出发沿AD,BC,CB,DA方向在矩形的边上同时运动,当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时,运动即停止.已知在相同时间内,若BQ=xcm(x≠0),则AP=2xcm,CM=3xcm,DN=x2cm.
(1)当x为何值时,以PQ,MN为两边,以矩形的边(AD或BC)的一部分为第三边构成一个三角形; (2)当x为何值时,以P,Q,M,N为顶点的四边形是平行四边形;
(3)以P,Q,M,N为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能,求x的值;如果不能,请说明理由.
分析:
以PQ,MN为两边,以矩形的边(AD或BC)的一部分为第三边构成一个三角形的必须条件是点P、N重合且点Q、M不重合,此时AP+ND=AD即2x+x2=20cm,BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm;或者点Q、M重合且点P、N不重合,此时AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm,BQ+MC=BC即x+3x=20cm.所以可以根据这两种情况来求解x的值.
以P,Q,M,N为顶点的四边形是平行四边形的话,因为由第一问可知点Q只能在点M的左侧.当点P在点N的左侧时,AP=MC,BQ=ND;当点P在点N的右侧时,AN=MC,BQ=PD.所以可以根据这些条件列出方程关系式.
如果以P,Q,M,N为顶点的四边形为等腰梯形,则必须使得AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm,BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm,AP=ND即2x=x2,BQ=MC即x=3x,x≠0.这些条件不能同时满足,所以不能成为等腰梯形.
解答:
解:(1)当点P与点N重合或点Q与点M重合时,以PQ,MN为两边,以矩形的边(AD或BC)的一部分为第三边可能构成一个三角形.
①当点P与点N重合时,由x2+2x=20,得x1= -1,x2=- -1(舍去). 因为BQ+CM=x+3x=4( -1)<20,此时点Q与点M不重合. 所以x= -1符合题意.
②当点Q与点M重合时,由x+3x=20,得x=5. 此时DN=x2=25>20,不符合题意. 故点Q与点M不能重合. 所以所求x的值为 -1.
(2)由(1)知,点Q只能在点M的左侧, ①当点P在点N的左侧时, 由20-(x+3x)=20-(2x+x2), 解得x1=0(舍去),x2=2.
当x=2时四边形PQMN是平行四边形. ②当点P在点N的右侧时,
由20-(x+3x)=(2x+x2)-20, 解得x1=-10(舍去),x2=4.
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