初二动点问题解析与专题训练（详尽） - 图文

初二动点问题解析

1. 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动；动点Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动．P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为ts． （1）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？ （2）当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？ （3）当t为何值时，四边形PQCD为直角梯形？

分析：

（1）四边形PQCD为平行四边形时PD=CQ． （2）四边形PQCD为等腰梯形时QC-PD=2CE． （3）四边形PQCD为直角梯形时QC-PD=EC．

所有的关系式都可用含有t的方程来表示，即此题只要解三个方程即可．

解答：

解：（1）∵四边形PQCD平行为四边形 ∴PD=CQ ∴24-t=3t 解得：t=6

即当t=6时，四边形PQCD平行为四边形．

（2） 过D作DE⊥BC于E

则四边形ABED为矩形

∴BE=AD=24cm∴EC=BC-BE=2cm∵四边形PQCD为等腰梯形∴QC-PD=2CE

即3t-（24-t）=4解得：t=7（s）即当t=7（s）时，四边形PQCD为等腰梯形．

（3）由题意知：QC-PD=EC时，四边形PQCD为直角梯形即3t-（24-t）=2 解得：t=6.5（s）

即当t=6.5（s）时，四边形PQCD为直角梯形．点评：此题主要考查了平行四边形、等腰梯形，直角梯形的判定，难易程度适中．

（3） 如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分

线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E． （1）试说明EO=FO；

（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；

（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论．

分析：

（1）根据CE平分∠ACB，MN∥BC，找到相等的角，即∠OEC=∠ECB，再根据等边对等角得OE=OC，同理OC=OF，可得EO=FO．

（2）利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形． （3）利用已知条件及正方形的性质解答．

解答：

解：（1）∵CE平分∠ACB， ∴∠ACE=∠BCE，∵MN∥BC，∴∠OEC=∠ECB，∴∠OEC=∠OCE， ∴OE=OC，同理，OC=OF，∴OE=OF．

（2）当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形． 如图AO=CO，EO=FO，

∴四边形AECF为平行四边形，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE= ∠ACB， 同理，∠ACF= ∠ACG，

∴∠ECF=∠ACE+∠ACF= （∠ACB+∠ACG）= ×180°=90°， ∴四边形AECF是矩形．

（3）△ABC是直角三角形

∵四边形AECF是正方形，∴AC⊥EN，故∠AOM=90°， ∵MN∥BC，∴∠BCA=∠AOM，

∴∠BCA=90°，∴△ABC是直角三角形．

点评：

本题主要考查利用平行线的性质“等角对等边”证明出结论（1），再利用结论（1）和矩形的判定证明结论（2），再对（3）进行判断．解答时不仅要注意用到前一问题的结论，更要注意前一问题为下一问题提供思路，有相似的思考方法．是矩形的判定和正方形的性质等的综合运用．

1.

如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，已知AD=AB=3，BC=4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时间为t秒． （1）求NC，MC的长（用t的代数式表示）；

（2）当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形；

（3）是否存在某一时刻，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；

（4）探究：t为何值时，△PMC为等腰三角形．

分析：

（1）依据题意易知四边形ABNQ是矩形∴NC=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+DQ，BC、AD已知，DQ就是t，即解；∵AB∥QN，∴△CMN∽△CAB，∴CM：CA=CN：CB，（2）CB、CN已知，根据勾股定理可求CA=5，即可表示CM；

四边形PCDQ构成平行四边形就是PC=DQ，列方程4-t=t即解；

（3）可先根据QN平分△ABC的周长，得出MN+NC=AM+BN+AB，据此来求出t的值．然后根据得出的t的值，求出△MNC的面积，即可判断出△MNC的面积是否为△ABC面积的一半，由此可得出是否存在符合条件的t值．

（4）由于等腰三角形的两腰不确定，因此分三种情况进行讨论： ①当MP=MC时，那么PC=2NC，据此可求出t的值．

②当CM=CP时，可根据CM和CP的表达式以及题设的等量关系来求出t的值．

③当MP=PC时，在直角三角形MNP中，先用t表示出三边的长，然后根据勾股定理即可得出t的值． 综上所述可得出符合条件的t的值．

解答:

解：（1）∵AQ=3-t∴CN=4-（3-t）=1+t 在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=32+42∴AC=5 在Rt△MNC中，cos∠NCM=

= ，CM=

．

（2）由于四边形PCDQ构成平行四边形 ∴PC=QD，即4-t=t解得t=2．

（3）如果射线QN将△ABC的周长平分，则有：MN+NC=AM+BN+AB 即： （1+t）+1+t= （3+4+5）

解得：t= （5分）而MN= NC= （1+t）∴S△MNC= 当t= 时，S△MNC=（1+t）2= ≠

×4×3

（1+t）2= （1+t）2

∴不存在某一时刻t，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分．

（4）①当MP=MC时（如图1）

则有：NP=NC 即PC=2NC∴4-t=2（1+t） 解得：t=

②当CM=CP时（如图2） 则有：（1+t）=4-t 解得：t=

③当PM=PC时（如图3）

则有：在Rt△MNP中，PM2=MN2+PN2 而MN= NC= （1+t）

PN=NC-PC=（1+t）-（4-t）=2t-3 ∴[ （1+t）]2+（2t-3）2=（4-t）2 解得：t1=

，t2=-1（舍去） ，t=

时，△PMC为等腰三角形

∴当t= ，t=

点评：

此题繁杂，难度中等，考查平行四边形性质及等腰三角形性质．考查学生分类讨论和数形结合的数学思想方法．

2.

如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ=xcm（x≠0），则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm．

（1）当x为何值时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形； （2）当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形；

（3）以P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由．

分析：

以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形的必须条件是点P、N重合且点Q、M不重合，此时AP+ND=AD即2x+x2=20cm，BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm；或者点Q、M重合且点P、N不重合，此时AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm，BQ+MC=BC即x+3x=20cm．所以可以根据这两种情况来求解x的值．

以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形的话，因为由第一问可知点Q只能在点M的左侧．当点P在点N的左侧时，AP=MC，BQ=ND；当点P在点N的右侧时，AN=MC，BQ=PD．所以可以根据这些条件列出方程关系式．

如果以P，Q，M，N为顶点的四边形为等腰梯形，则必须使得AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm，BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm，AP=ND即2x=x2，BQ=MC即x=3x，x≠0．这些条件不能同时满足，所以不能成为等腰梯形．

解答：

解：（1）当点P与点N重合或点Q与点M重合时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边可能构成一个三角形．

①当点P与点N重合时，由x2+2x=20，得x1= -1，x2=- -1（舍去）． 因为BQ+CM=x+3x=4（ -1）＜20，此时点Q与点M不重合． 所以x= -1符合题意．

②当点Q与点M重合时，由x+3x=20，得x=5． 此时DN=x2=25＞20，不符合题意． 故点Q与点M不能重合． 所以所求x的值为 -1．

（2）由（1）知，点Q只能在点M的左侧， ①当点P在点N的左侧时， 由20-（x+3x）=20-（2x+x2）， 解得x1=0（舍去），x2=2．

当x=2时四边形PQMN是平行四边形． ②当点P在点N的右侧时，

由20-（x+3x）=（2x+x2）-20， 解得x1=-10（舍去），x2=4．

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