2016年上海市六校联考高考数学模拟试卷（理科）（3月份）（解析版）

2016年上海市六校联考高考数学模拟试卷（理科）（3月份）

一、填空题（本大题满分42分） 1．复数z=3﹣2i的模为______． 2．函数y=cos（3x﹣

）的最小正周期为______．

3．抛物线y2=2x的准线方程是______．

4．在（x2﹣）7的二项展开式中，x5项的系数为______．

5．已知地球的半径为6371千米，上海位于约东经121°，北纬31°，台北的位置约为东经121°，北纬25°，则两个城市之间的球面距离约为______千米（结果精确到1千米）

6．直线l的方程为=0，则直线l的倾斜角为______．

7．已知α﹣β=，cosα+cosβ=，则cos=______．

8．已知递增的等差数列{an}的公差为d，又a2，a3，a4，a5，a6这5个数列的方差为3，则d=______．

9．已知直线经过点P（2，0），且被圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4截得的弦长为2，则这条直线的方程为______．

10．设函数y=f（x）是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0，1]上的图象为如图所示的线段AB，则方程[f（x）]2=x的最大实数根的值为______．

11．a2015?a2016＞1，等比数列{an}的公比为q，前n项积为Tn，且满足a1＞1，（a2015﹣1）（a2016﹣1）＜0，给出以下四个命题：①q＞1；②a2015?a2017＜1；③T2015为Tn的最大值；④使Tn＞1成立的最大的正整数4031，则其中正确的命题序号为______．

12．已知，，为空间三个向量，又，是两个相互垂直的单位向量，向量满足||=3， =2， ?=1，则对于任意实数x，y，|﹣x﹣y|的最小值为______． 13．在极坐标下，定义两个点（ρ1，θ1）和（ρ2，θ2）（ρ1，ρ2＞0，0≤θ1，θ2≤2π）的“极坐标中点“为（

，

），设点A、B的极坐标为（4，

）与（8，

），

N为点A、B的“极坐标中点”， 设M为线段AB的中点，则线段MN的长度的平方为______．14．先阅读参考材料，再解决此问题：

参考材料：求抛物线弧y=x2（0≤x≤2）与x轴及直线x=2围成的封闭图形的面积 解：把区间[0，2]进行n等分，得n﹣1个分点A（

，0）（i=1，2，3，…，n﹣1），过分

点Ai，作x轴的垂线，交抛物线于Bi，并如图构造n﹣1个矩形，先求出n﹣1个矩形的面

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积和Sn﹣1，再求为（

Sn﹣1，即是封闭图形的面积，又每个矩形的宽为，第i个矩形的高

）2；

[12+22+32+…+（n﹣1）2]=

）2，所以第i个矩形的面积为?（

Sn﹣1= [?

+++…+]=

?

=

所以封闭图形的面积为

阅读以上材料，并解决此问题：已知对任意大于4的正整数n，不等式+

++…+＜an恒成立，则实数a的取值范围为______．

二、选择题

15．函数y=f（x）是实数集R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是单调递增函数，若f（a）≤f（2），则实数a的取值范围是（ ） A．a≥﹣2 B．a≥2或a≤﹣2 C．﹣2≤a≤2 D．a≤2 16．复数z满足z?+z+=17，则|z+2﹣i|的最小值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5

17．给定正三棱锥P﹣ABC，M点为底面正三角形ABC内（含边界）一点，且M到三个侧面PAB、PBC、PAC的距离依次成等差数列，则点M的轨迹为（ ） A．椭圆的一部分 B．一条线段

C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分

18．某年数学竞赛请来一位来自X星球的选手参加填空题比赛，共10道题目，这位选手做题有一个古怪的习惯：先从最后一题（第10题）开始往前看，凡是遇到会的题就作答，遇到不会的题目先跳过（允许跳过所有的题目），一直看到第1题；然后从第1题开始往后看，凡是遇到先前未答的题目就随便写个答案，遇到先前已答的题目则跳过（例如，他可以按照9，8，7，4，3，2，1，5，6，10的次序答题），这样所有的题目均有作答，设这位选手可能的答题次序有n种，则n的值为（ ） A．512 B．511 C．1024 D．1023

三、解答题：本大题共5小题，满分66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

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19．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且sinCcosB+sinBcosC=3sinAcosB． （1）求cosB的值； （2）若，且，求a和c的值． 20．（理）在长方体ABCD﹣A'B'C'D'中，AB=2，AD=1，AA'=1． 求：

（1）顶点D'到平面B'AC的距离； （2）二面角B﹣AC﹣B'的大小．（结果用反三角函数值表示）

21．=|3x﹣1|，f2=|a?3x﹣9|，x∈R，=已知f1（x）（x）且f（x）

（1）当a=1时，请写出f（x）的单调递减区间；

（2）当2≤a＜9时，设f（x）=f2（x）对应的自变量取值区间的长度为l（闭区间[m，n]的长度定义为n﹣m）求l关于a的表达式，并求出l的取值范围． 22．已知椭圆Γ：

+

=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点T（﹣2，

）在

椭圆Γ上，且|TF1|+|TF2|=8． （1）求椭圆的方程；

Q在椭圆Γ上，O为坐标原点，OQ的斜率之积为，（2）点P，且直线OP，求证：|OP|2+|OQ|2为定值；

（3）直线l过点（﹣1，0）且与椭圆Γ交于A，B两点，问在x轴上是否存在定点M，使得为常数？若存在，求出点M坐标以及此常数的值；若不存在，请说明理由． 23．已知函数y=f（x）的图象是自原点出发的一条折线，当n≤y≤n+1（n=0，1，2，…）

=n1，2…）时，该图象是斜率为bn的线段，其中常数b＞0且b≠1，数列{xn}由f（xn）（n=0，

定义．

（1）若b=3，求x1，x2；

（2）求xn的表达式及f（x）的解析式（不必求f（x）的定义域）；

（3）当b＞1时，求f（x）的定义域，并证明y=f（x）的图象与y=x的图象没有横坐标大于1的公共点．

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2016年上海市六校联考高考数学模拟试卷（理科）（3月

份）

参考答案与试题解析

一、填空题（本大题满分42分） 1．复数z=3﹣2i的模为 ． 【考点】复数求模．

【分析】直接利用复数模的求法，求解即可． 【解答】解：复数z=3﹣2i的模为：|3﹣2i|=故答案为：

．

=

．

2．函数y=cos（3x﹣）的最小正周期为 ．

【考点】三角函数的周期性及其求法． 【分析】利用y=Asin（ωx+φ）的周期等于 T=【解答】解：函数y=cos（3x﹣故答案为：

3．抛物线y2=2x的准线方程是 ．

．

，得出结论．

，

）的最小正周期为

【考点】抛物线的简单性质．

【分析】先根据抛物线方程求得p，进而根据抛物线的性质，求得答案． 【解答】解：抛物线y2=2x，∴p=1， ∴准线方程是x=﹣ 故答案为：﹣

4．在（x2﹣）7的二项展开式中，x5项的系数为 ﹣280 ．

【考点】二项式定理的应用．

【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于5，求出r的值，即可求得x5项的系数．

【解答】解：在（x2﹣）7的二项展开式Tr+1=求得r=3，可得x5项的系数为﹣8?

=﹣280，

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?（﹣2）r?x14﹣3r 中，令14﹣3r=5，

故答案为：﹣280． 5．已知地球的半径为6371千米，上海位于约东经121°，北纬31°，台北的位置约为东经121°，北纬25°，则两个城市之间的球面距离约为 667 千米（结果精确到1千米） 【考点】球面距离及相关计算．

【分析】由于上海A、台北B两点都在东经121°，计算它们的纬度差，然后求两地的大圆劣弧的长即为上海A、台北B两点的球面距离．

【解答】解：上海A、台北B两点都在东经121°，纬度差是6°， 所以A、B两地的球面距离是过A、B 的大圆的劣弧的长， 故劣弧的长为故答案为：667．

≈667．

6．直线l的方程为=0，则直线l的倾斜角为 π﹣arctan ．

【考点】直线的倾斜角．

【分析】求出直线方程，得到直线的斜率，从而求出直线的倾斜角．

【解答】解：∵直线l的方程为=0，

∴直线方程是：2x+4y﹣1=0， 直线的斜率是：﹣，

则直线l的倾斜角为：π﹣arctan， 故答案为：π﹣arctan．

7．已知α﹣β=

，cosα+cosβ=，则cos

=

．

【考点】两角和与差的余弦函数；二倍角的余弦． 【分析】由条件利用和差化积公式求得cos【解答】解：∵α﹣β=∴cos故答案为：

=

， ．

，cosα+cosβ=2cos

的值． cos

=2cos

?cos

=，

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