毕业论文

学科分类号（二级） 11.1460 11.1460

11.1460

本科学生毕业论文（设计）

题 目 反证法对高中证明题的有效应用

姓 名 徐道选 学 号 084080045

院、 系 数学学院 专 业 数学与应用数学

指导教师 林谦

职称（学历） 教授

反证法对高中证明题的有效应用

摘要: 反证法是数学中常用的一种证明方法，它是一种间接证明方法，它从“否定命题的结论” 出发，通过正确逻辑推理“导致矛盾”，达到“推出结论的反面”，从而“肯定这个命题真实”.在不少问题的证明中，有着其它证明方法所不能代替的作用，他贯穿了整个数学的始终，在高中数学和数学竞赛中经常出现，许多问题用直接证明法相当困难，而用反证法能起到化繁为简的作用. 关键词: 反证法； 证明； 数学竞赛； 有效； 快速

1 反证法的历史 1.1 反证法的简介

西方的数学在毕达哥拉斯学派的影响下,认为万物皆数. 用整数和几何图形构建了一个宇宙图式。但是随着这个表征数学史第一次危机“2”的问题的出现,使希腊人重新审视自己的数学,这最终导致希腊人放弃了以数为基础的几何. 第一次危机使人们不能再依靠图形和直观了,须要更多的依靠推理和逻辑;同时危机还使几何学拒绝了无穷小. 此时西方数学成为以证明为主的证明数学,他们要的是准确的数学,或者说他们的数学推崇准确性. 表现形式就是:逻辑、演绎的体系.

虽然希腊人也讲计算,但他们认为计算是初等的、低级的;是几何证明后的一个应用而已。他们重视的是演绎和证明,“明晰的形式证明和公理的使用”就归功于希腊人. 这是

[1]非欧几何的肇始,在《几何原本》中就开始运用反证法了.

哈代曾说过“欧几里得最喜欢用的反证法，是数学家最精良的武器。他比起棋手所用的任何战术还要好：棋手可能需要牺牲一个兵或者其它棋，但数学家牺牲的却是整个游戏.” 在1589年，伽利略就妙用了反证法，那年刚好25岁的伽利略，为了推翻古希腊哲学家亚里士多德的“不同质量的物体从高空下落的速度与其质量成正比”的错误论断，他除了拿两个质量不同的铁球登上著名的比萨斜塔当众做实验来说明外，还应用了反证法.

他首先假设亚里士多德的论断是正确的，设有物体A,B，且（表示的质量，表示的质量），则A应比B先落地.现把A与B捆在一起成为物体A+B，则，故A+B比A先落地；又因A比B落得快，A，B在一起时，B应减慢A的下落速度，所以A+B又因比A后落地，这样便得到了自相矛盾的结果。这个矛盾之所以产生，是由亚里士多德论断所致，因此这个论断是错误的.

1

伽利略所采用的证明方法就是反证法. 1.2 反证法的定义

反证法是一中间接证明法，它从“否定命题的结论”出发即先假设结论的反面成立，通过一系列的正确的逻辑推理“导致矛盾”（可以与已知条件、已知公理、定义、定理之一相矛盾或者推出两个相矛盾的结果），达到“推出结论的反面”，从而“肯定这个

[2]命题真实”.

运用反证法的关键在于归谬，因此，反证法又称归谬法.美国著名的数学家、教育家波利亚对这种证明方法作了很风趣的比喻：“归谬法是利用导出一个明显的谬误来证明假设不成立。归谬法是一个数学过程，他和讽刺家所爱好的做法—反话，有几分相似. 反话，很明显地采纳某个见解，强调它并且过分强调它，直到产生一个明显的谬误.”

反证法是一种常见的证明方法，我国古代的成语故事“自相矛盾”中，“以子之矛攻子之盾”，正是采用了反证法. 1.3 反证法的解题步骤

（1）假设 假设所要证明的结论不成立，也就是设结论的反面成立.

（2）归谬 把假设作为辅助条件添加到题目中去，然后从这个条件出发，通过一系列的逻辑推理，最终得出矛盾.

（3）结论 由所得矛盾说明原命题成立. 2 反证法经常用于那些形式的命题

2.1 结论否定形式（如“不是”、“ 不可能”、“不存在”、“没有”、“不可约”等）的命题

这类命题结论的反面比原结论更具体，则适用于反证法.

例1 证明：边长为1的正三角形不能被两个边长小于1的正三角形覆盖.

证明 假设边长为1的正三角形若能被两个边长小于1的正三角形覆盖住，则大的三角形的两个顶点必属于某个小三角形，这显然不可能的，故命题成立. 2.2 某些涉及无理数的命题

q无理数即无限不循环小数很难表示出来，但其反面——有理数可表示成（p，q为

p[3]互质的自然数）的形式.

例2 证明3是无理数.

证明 假设3是有理数，所以有3?2p （q2p,q为互质的自然数），则

q?3p， （1）

因此3必为q的因数，于是又有

q?3m（m为自然数）， （2） 由（1），（2）得

2

2 3p?9m，

222即 p?3m.

所以, 3又为p的因数，于是p,q有公因数3，产生矛盾（p,q为互质的自然数）， 故3是无理数，结论成立.

2.3 论以“唯一”、“至多”、“至少”等形式出现的命题

22例3已知m,n,s,t?R且mn?2(s?t)，求证：x?mx?n?0和x?sx?t?0中至

少有一个方程有根.

证明 假设二个方程都没有实数根，则

2???1?m?4n?0 ? ? 2??s?4t?0??22??m?4n,?2 （1） ??s?4t,由（1）得

m?s?4(n?t).

22又因为

mn?2(s?t)，

22所以 m?s?2ms?0，

2即(m?s)?0，产生矛盾，故命题成立.

2.4 有关唯一性命题

例4 设AB是已知线段，K是已知数， M在AB上，且符合条件AM:MB?K，求证： M是唯一的.

这是一个唯一性问题，可以优先使用反证法来证明. 证明 假设还有一个不同于M的M'，也满足

AM':M'B?K，

由题目可知

AMAM'?， MBM'B应用“合比定理”得

AM?MBAM'?M'BABAB? ???M'B=MB. ''MBMBMBMB这与题目中M'和M是不同的两个点相矛盾 所以M是唯一的一点.

在这个问题中，反证法的应用可以说是非常有效，干脆利落.在假设还存在异于M的

M' 点的基础上，根据已知条件充分灵活地应用“合比定理”，很自然地推出了矛盾. 2.5 命题结论的反面较结论本身更具体、简单，直接证明难以下手时

例5 n个城市有m条公路连接，如果每条公路起点和终点都是两个不同的城市，且

3

1任意两条公路的两端也是不完全相同的，证明：当m?(n?1)(n?2)时，人们总可以通过

2公路旅行在任意两个城市之间.

证明 假设有k个城市(1?k?n?1)相互连通而其余n?k个城市中没有一个城市与这k个城市相同.

由于在k个城市之间，从每一个城市出发的公路至多只有k?1条，而每条公路的起

2点有两种选择方式. 因此这k个城市之间最多有Ck?k(k?1)条公路，同样在n?k个城

12市间最多有Cn?k21(n?k)(n?k?1)条公路，两部分间无任何公路相连通，所以公路总数为 2112m?[k(k?1)?(n?k)(n?k?1)]?(n?2nk?2k2?n).

22从而

112m?(n?1)(n?2)?[(n?2nk?2k2?n)?(n2?3n?2)]

222 ?k?nk?(n?1)

?(k?1)(k?1?n), 又k?1?0 ，k?n?1,故

1m?(n?1)(n?2)?0，

21m?(n?1)(n?. 2)即

21m?(n?1)(n?2)矛盾，故命题结论成立. 这和题设

23 反证法中如何正确快速提出反设

从反证法的证明步骤和特点来看，在用反证法证明题目时，首先是正确的做出“反设”，正确地“否定结论”是正确运用反证法的前提.否则，推理、论证的再好都会劳而无功，当命题的结论的反面只有一种情形时，“反设”比较容易做出的. 但命题结论的反面是多种情形或者比较难以表述时，“反设”时必须认真分析、仔细推敲. 常用词的否定形式如下： 原结论词 反设词 是 大（小）于 都是 至少有一个 至少有n个 至多有n-1个 至多有1个 至少有2个 不是 不大（小）于 不都是 一个也没有 还应注意到归缪时导致的矛盾是多种多样的. 3.1 导致与已知条件矛盾

例6 求证：形如4n?3的整数p（n为整数）不能化为两整数和的平方. 证明 假设p能化为二整数和的平方， 即

4

p?(a?b)2，

2则整数a,b必为一奇一偶.（否则，a,b均为偶数或均为奇数，则p?(a?b)必为偶数，

与已知p?4n?3为奇数矛盾） 不妨设

a?2s?1,b?2t（其中s，t为整数），

则

p?(a?b)2?[2(s?t)?1]2?4[(s?t)2?(s?t)]?1?4m?1（m为整数）.

这显然与p为形如4n?3这样的数矛盾，故p不能化为二整数的和的平方. 3.2 导致与已知的公理、定义、定理、性质、公式等客观事实相矛盾

a2(例7 设方程x)?by?c?0的系数有如下关系，ap?2bn?cm?0（m,n,p均为实22数）且mp?n?0.求证：方程存在实数解 .

证明 假设方程无解，则

b2?ac?0，

可得 又因为

b2?ac.

mp?n2?0，

可得

mp?n2.

所以

acmp?b2n2 . （1）

又由 ap?2bn?cm?0， 可得

bn?ap?cm . （2） 22将（2）代入（1）并化简，得(ap?cm)?0.这显然出现矛盾，故命题得证，方程有解.

3.3 导致与假设矛盾

a2a2例8 三个方程：(x)?2ax?4a?3?0，x2?(a?1)x?a2?0，x?ax??0，中至

22少有一个方程有根，求实数a的取值范围.

证明 “至少有一个”就是“有一个”，“有两个”或者“有三个”等，它的反面就是“一个都没有” .

假设三个方程都无实数解， 即

5

1?3??a?,?2??1?4a2?(4a?3)?02??221??2?(a?1)?4a?0 ? ?a??1或a?, ?3?2???a?2a?03???2?a?0,??3得 ??a?1?.

23a??所以当或者a??1时三个方程至少有一个方程有实数根.

23.4 导致自相矛盾

[4] 例9 求证：不定方程8x?15y?50没有正整数解. 证明 假设方程有正整数解x?m,y?n,则

8m?15n?50，

即

8m?50?15n?5(10?3n).

因此5能整除8m，从而5能整除m.

从而 m?5. （1）

?1n5?又 8m?508. 5所以 m?35/? （2）

?50?15，

显然，（1）与（2）是自相矛盾的，故方程没有正整数解.

4 反证法在一些高中证明题及其一些竞赛数学题中的巧妙运用（不等式.平面几何.数论.函数）

4.1 反证法巧妙运用于一些高中数学问题

例10 p?q?2，求证：p?q?2（1）直接证明

3322证明 因为2?p?q?(p?q)(p?pq?q)，

[5]33.

当

p?q?2，

有

p2?pq?q2?1.

?又因为 p,q?R.

所以无法证明p2?pq?q2?1.用直接证明法很难证明这题. （2）反证法

直接证明很困难，但改为证明它的“逆否命题” 就要简单很多，即，证明：若 p?q?2，

6

则p?q?2.

证明 假设p?q?2，则

33q?2?p，

从而 q3?8?12p?6p2?p3，

41由上式变形得 p3?q3?6(p2?2p?= )6[(p?1)2?]，

332) 因此 p3?q3?2?6(p?1，

33所以 p?q?2.

故p3?q3?2 ，结论成立.

在高中数学证明题中，这类题目在形式上是比较简单的，但要解起来且有一定的困难，这时候可以想一下应用反证法. 就像这一道题目用直接证明法几乎做不出来，但用反证法却很简单.

例11 如果a,b,c是不全相等的实数，a,b,c成等差数列，求证：

[6]111,,不成等差数abc列.

（1）直接证明

证明 由a,b,c成等差数列，得

2b?a?c，

12?因此 . ba?c所以

1121a?c????， baa?caa(a?c)1112a?c???? . cbca?cc(a?c)由已知条件知a,b,c是不全相等的实数，

1111所以 ???，

bacb故

111,,不成等差数列. abc

（2）反证法

证明 假设

111,,是一个等差数列，则 abc211a?c???， bacac7

由a,b,c成等差数列

得

2b?a?c， （1） 2a?c2b?因此 ?，

bacac所以

b2?ac. （2）

111由（1）（2）得出，a?b?c，与a,b,c是不完全相等的实数相矛盾， 故 ,,abc不成等差数列.

这一道题目用直接证明的方法也没有什么难度，但采用反证法来的更简洁.

1?x1?y?例12 若 x,y?R,x?y?2,证明： 和 中至少有一个小于2.

yx（1）直接证明

1?y1?x?2?2都成立，则 证明 假设，

yx?y?2x?1, ?

x?2y?1.?因此

x?y?2x?2y?2，

从而

x?y?2.

故结论成立.

1?x1?y?2成立， ?2假设，yx因此

1?y?2x， 1?x?2y， （1）

又因为 x?y?2，

所以 y?2?x. （2）

将（2）代入（1）得x?1，即当x?1时命题成立，同理可证当y?1时

1?y?2， x1?x?2符合命题. y?故当x,y?R,x?y?2,时

1?x1?y 和 中至少有一个小于2.

yx（2）反证法

1?y1?x?2?2，则 证明 假设且

yx1?y?2x，1?x?2y，

两式相加得

2?(x?y)?2(x?y)，

因此 2?x?y.

这与x?y?2相矛盾，所以原命题成立. 命题的结构让我们马上联想到反证法，事实上也证明了用反证法比用直接证明法证明

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这道题目更具有快速性，简便性，这是解题时的一种成功经验总结. 4.2 反证法在一些竞赛数学问题中的巧妙解法

例13 设?ABC使锐角三角形，当D,E,F分别在BC，线段AD，BE,CFCA，AB边上，经过?ABC的外心O.已知以下6个比值；

BDCDAECEAFBF ,,,,,DCDBECEAFBFA中至少有两个是整数，求证：?ABC是等腰三角形[7].

BDCDAECEAFBF证明 不难证明是三个三角形AOB,BOC,COA彼此的面,,,,,DCDBECEAFBFA积之比。而当这三个三角形有两个面积相等时，?ABC是等腰三角形，现在假设?ABC不是等腰三角形 ，但此6个比值却至少有两个是整数，就只有下面两中情况： （1） 三个三角形AOB,BOC,COA的面积有一个是其他两个的倍数. （2） 三个三角形AOB,BOC,COA的面积有两个同为第三个的倍数.

在上面两种情况中，两个“倍数”都不是一倍，也不能相同。又因为?ABC是锐角三角形，所以AOB,BOC,COA任意两个的面积大于第三个，比如说

S?AOB?S?BOCBO??1，

S?AOCOE在上述两种情况中，分别令三角形AOB的面积是另两个的x倍和y倍，或者是另两个的倍和

1x111倍。无论如何总能得到x?y?1或者??1这样的矛盾式子，故假设不成立，

xyy所以?ABC是等腰三角形.

例14 证明 形如

[7] 3. 0??0?0????0，0n=1,2,1?的数不可能是完全平方数???n-1个02证明 假设 3000???001?R，R?N，则 ?????n-1个0

R2-1=3?10n，

?R?1??R?1??3?2n?5n，

由于R?1与R?1不可能都是5的倍数，故在R?1和R?1中，仅有一个是5的倍数. 若

R?1?A?5n,A?N，

则

R?1?A?5?2，

n于是

A?5n??A?5n?2??3?2n?5n，

由此得

5n?2?3n?2.

当n?2时，这个不等式不成立，所以只能是n?1，当n?1时所给的数为31，不是

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完全平方数.

同理，若R?1=A?5n,，可类似的得到矛盾.

5 运用反证法应注意的问题

22??xn?1 5.1 例15 实x1，x2 ????? xn满足x1?x2?......?xn?0，x12?x2 证明：x1,x2,…. xn中至少有两个数的积小于或等于?. 因为在题中出现了“至少”这个词, 很多人就选择用反证法.

证明 假设结论不成立，则

1n1xixj??(1?i?j?n) ，

n由已知得

因此

另一方面，由反证法的假设有

1xx?? ?ij2. （1）

0?(x1?x?....?x.22n??xi2?2)?xixj?1?2?xixj,

12n?1xx??c??， （2） ?ijnn2[8]由于（1）与（2）不矛盾可见证明是错误的.

通过上面的例子我们可以看出有些题看似可以用反证法来证明，但是一用就会走入死胡同，所以我们在做题时应认真思考所要选择的证明方法. 5.2 应用反证法应记住以下几点

(1) 必须正确否定结论

正确否定结论是运用反证法的首要问题。如：命题“一个三角形中，至多有一个内角是直角”.“至多有一个”指：“只有一个”或“没有一个”，其反面是“有两个直角”或“三个内角都是直角”，即“至少有两个是直角”.

(2) 必须明确推理特点

否定结论导出矛盾是反证法的任务，但何时出现矛盾，出现什么样的矛盾是不能预测的，也没有一个机械的标准，有的甚至是捉摸不定的.一般总是在命题的相关领域里考虑(例如，平面几何问题往往联系到相关的公理、定义、定理等)，这正是反证法推理的特点.因此，在推理前不必要也不可能事先规定要得出什么样的矛盾，只需正确否定结论，严格遵守推理规则，进行步步有据的推理，矛盾一经出现，证明即宣告结束.

(3) 了解矛盾种类

反证法推理过程中出现的矛盾是多种多样的，推理导出的结果可能与题目所设或者部分题目所设矛盾，可能与已知真命题(定义或公理、或定理、或性质)相矛盾，可能与临时假设矛盾，或推出一对相互矛盾的结果等.

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6 小结

反证法是数学中一种重要的证明方法, 是“数学家的最精良的武器之一”，在许多方面都有着不可替代的作用. 它以其独特的证明方法和思维方式对培养学生逻辑思维能力和创造性思维有着重大的意义.反证法不仅可以单独使用,也可以与其他方法结合使用,并且可以在论证一道命题中多次使用,只要我们正确熟练运用,就能巧解难题、提高数学解题能力.

参 考 文 献：

[1] 段耀勇，杨朝明. 反证法的历史沿革[J].武警学院学报，2003 16-17. [2] 张志维. 数学学习与数学思想方法[M].郑州：郑州大学出版社，2006，（6）：136-137. [3] 袁梅. 浅议反证法[J].乐山师范学院学报，2006，（5）：4-5. [4] 徐加生. 例谈正难则反的解题策略[J].数学教学研究，1999，（4）：12-13. [5] 王志. 运用反证法解解代数问题[J].数理化学习，2003年第三期：28-29.

[6] 天利全国高考命题研究组.全国各省市高考模拟试题汇编[J].天利38套 西藏人民出版社，2011：40-45.

[7] 朱华伟. 从数学竞赛到竞赛数学[M].北京：科学出版社，2009 ：295-297. [8] 单墫. 不要滥用反证法[J].中等数学，2011，（1）：16-17.

[9] AndreescuT. Mathematical oly mpiad Treasures.Birkhaser[M]. EnescuB，2004.

On senior school certificate proves the effective application of Ming problem

Abstract: In mathematics, a reduction to absurdity is a popular method of proving, it is a kind of indirect proof, it from the \reasoning \proposition real\replace the role, he throughout the mathematical always, in high school math and math contest often appear, many problems with direct proof law is hard, and be can play with change numerous for brief role.

Key words: Counter-evidence method; Proof; Mathematics competition; Effective; fast

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/1eg6.html