杨伟达（2013年花都区命题比赛）

一 (来自本人2010年花都命题赛16改编) 预测难度: 0.73 △△主要考查函数的导数、三角函数两角和差等知识，考查化归与转化的数学思想方法，和运算求解能力．

16.（本小题共12分）已知函数f(x)?cos2x，f?(x)是f(x)的导函数，且g(x)?3f(x)?（1）求f()的值；

1 f?(x)．

2?3（2）设?,??(0,),g(???212?6)??1015?6，g(??)??，求cos(???)的值. 132125

二 自编 预测难度: 0.79

△△主要考查随机变量的分布列知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理、运算求解能力和应用意识．

17. (本小题满分12分)我校高三级为了同学在紧张的学习中加强锻炼身体,决定举办学生个人跳绳比赛. 规定每人每分钟跳绳不超过50次记0分，超过50次不超过100次记2分，超过100次记4分. 设甲、乙不超过50次的概率分别为

1112,；超过50次不超过100次的概率分别为,. 4323（1）求甲、乙两人获得分数相同的概率；

（2）求甲、乙两人获得分数之和为随机变量?，求?的分布列与数学期望E?.

三 自编 预测难度: 0.57

△△主要考查空间线面﹑面面平行的性质﹑线面垂直判定、性质及线面所成角等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力．

18．(本小题满分14分)如图，一个边长为2的透明塑料正方体ABCD-A1B1C1D1容器 内灌进一些水，容器底面一边BC固定于地面?并使容器倾斜(提示：水平面与地面?总是平行). （1）试判断 EH与FG的位置关系，并给予证明；

（2）当容器倾斜成45?时,点E、F分别在AB、BB1的中点.求ED1与水平面EFGH的所成角的正切值.

A1D1DAEHB1C1FBG?C四 (来自湖南省衡阳市2013届一模理数19改编) 预测难度: 0.31

△△本小题主要考查椭圆、直线、圆等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新能力．

221yx19. (本小题满分14分)已知椭圆2?2?1的离心率为，F1，F2分别为椭圆的两个焦点，过F2的直线与

2ab椭圆交于A,B, 且△ABF1 周长为8 . （1）求椭圆的方程；

（2）当△ABF1的内切圆的半径R为何值时？它的内切圆的面积最大？最大值是多少？

五 (来自湖南省衡阳市2013届一模理数改编) 预测难度: 0.33

△△本小题主要考查导数及其应用、数列、不等式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力．考查综合运用数学知识分析问题和解决问题能力．

120. (本小题满分14分)设函数f(x)?2(x?)?2lnx的图象在x?1处的切线为l，数列?an?的首项

xa1??m，且对任意n?N?，点(n?1,an?1?an?a1)均在直线上l.

（1）求曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程l； （2）数列?an?的通项公式；

(3) 当m=1时，求证: 1?1???1?1?1. a1a2anan?1

六 (来自广东省2007年理数高考题改编) 预测难度: 0.1

△△本小题主要考查一元二次方程、二次函数和不等式的基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力．

21. (本小题满分14分)已知函数f(x)?ax?bx?c(a?0). x1，x2是方程f(x)?x?0的两个根，且满足 0?x1?1?x2．

a（1）当a=1时, 此时函数y?f(x)在???,?1?上是单调减函数，求b的取值范围； （2）当x?(0,x2)时，求证︰x?f(x)?x2； （3）若函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，求证︰ x0?x2． 2 22013年花都区命题比赛答案

一 (来自本人2010年花都命题比赛16改编) △△主要考查函数的导数、三角函数两角和差等知识，考查化归与转化的数学思想方法，和运算求解能力．

?16.（本小题共12分）已知函数f(x)?cos2x，f?(x)是f(x)的导函数，且g(x)?3f(x)?f(x)（1）求f()的值；

12．

?315?6（2）设?,??(0,?),g(1???)??10，g(??)??，求cos(???)的值.

212526132【解】:(1) f(?)?cos2???cos???1

3332∵f(x)?cos2x

∴f?(x)?-2sin2x ∴g(x)?3f(x)?11?f?(x)=3cos2x??2sin2x?3cos2x?sin2x?2cos(2x?) 226即g(x)?2cos(2x??6) 1?1???10g(??)?2cos(2(??)?)?2cos(??)??2sin??? 262662135?，又??(0,) 13212∴cos?? 1315?15??6g(??)?2cos(2(??)?)?2cos(???)??2cos??? 212212653?∴cos??，又??(0,) 524∴sin?? 51235416∴cos(???)?cos?cos??sin?sin?? ????13513565∴sin?? 二 自编

△△主要考查随机变量的分布列知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理、运算求解能力和应用意识．

17. (本小题满分12分)我校高三级为了同学在紧张的学习中加强锻炼身体,决定举办学生个人跳绳比赛. 规定每人每分钟跳绳不超过50次记0分，超过50次不超过100次记2分，超过100次记4分. 设甲、乙不超过50次的概率分别为

1112,；超过50次不超过100次的概率分别为,. 4323（Ⅰ）求甲、乙两人获得分数相同的概率；

（Ⅱ）求甲、乙两人获得分数之和为随机变量?，求?的分布列与数学期望E?. 解：（1）获得分数相同即为0,2,4分。设获得0分为p1?4分为p3?111121??，获得2分为p2???，获得4312233111?? 4312则获得分数相同的概率为p?p1?p2?p3?1 ……4分 2（2）设甲、乙两人获得分数之和为?，?可为0,2,4,6,8 ……5分

11112111p(??0)???，p(??2)?????，

431243323111112112111111p(??4)???????，p(??6)?????，p(??8)???……10分

4334232433234312分布列

?

P

0

1 122 1 34 1 26

1 38

1 12

E??224?2?2??4 ……12分 333

三 自编

△△主要考查空间线面﹑面面平行的性质﹑线面垂直判定、性质及线面所成角等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力．

18．(本小题满分14分)如图，一个边长为2的透明塑料正方体ABCD-A1B1C1D1容器 内灌进一些水，容器底面一边BC固定于地面?并使容器倾斜(提示：水平面与地面?总是平行). （1）试判断 EH与FG的位置关系，并给予证明；

（2）当容器与地面?倾斜成45?时,点E、F分别在AB、BB1的中点.求ED1与水平面EFGH所成角的正切值.

【解】(1) 平行

证明: ∵水平面与地面?总是平行即面?∥面EFGH D1 面??面BCFG=BC，面BCFG?面EFGH=FGA1∴BC∥FG

同理，BC∥EH

D∴EH∥FG

A(2) 连接C1D、CD1, C1D交GH与K.,再连接EK. B1HK 在正方体AC1中, BC⊥面CC1DD1.

GFE由（1）得：BC∥FG FG⊥面CC1DD1

CB?∵CD1?面CC1DD1

∴FG⊥CD1

在正方体AC1中

侧面CC1DD1是正方形 ∴C1D⊥ CD1

当容器底面一边BC于地面?，再将容器倾斜45?时,点E、F分别在AA1、BB1的中点 在正方体AC1中，侧面ABCD﹑侧面BB1CC1都是正方形 ∵ EH∥BC， FG∥BC

∴ 点G、H分别在CC1、DD1的中点

在△CDC1中，点G、H分别在CC1、DD1的中点 ∴ GH∥C1D ∴GH⊥ CD1

C1∵GH?FG=G ∴CD1⊥面EFGH.

∴∠D1EK为ED1与平面EFGH的所成角.

D1K?3332 D1C??22?442在Rt△EGK中, EK?EG2?GK2?22?12?5 ．

32DK∴tan?DEK?1?2?3101Ek105

四 (来自湖南省衡阳市2013届一模理数19改编)

△△本小题主要考查椭圆、直线、圆等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新能力．

y2x2119.（本小题共14分）已知椭圆2?2?1的离心率为，F1，F2分别为椭圆的两个焦点，过F2的直线与

ab2椭圆交于A,B, 且△ABF1 周长为8．

（1）求椭圆的方程；

（2）当△ABF1的内切圆的半径R为何值时？它的内切圆的面积最大？最大值是多少？ 【解】（1）∵A，B在椭圆上, F1，F2分别为椭圆的两个焦点 ∴AF1?AF2?2a，BF1?BF2?2a ∴AF1?AF2?BF1?BF2?4a ∵△ABF1 周长为8 ∴4a?8解得:a=2

y2x21c1∵椭圆2?2?1的离心率为即?

ab2a2∴c?1,b?a?c?2?1?3

22222y2x2∴??1

4322yx（1）由(1)椭圆方程??1得:F1(0,1),F2(0,?1) 43当A，B在ｙ轴时,直线AB的斜率不存在，△ABF1不存在． 设直线AB的斜率为K，直线方程为y?kx?1

?y?kx?1?22列方程组: ?y2x2 消ｙ得：?3k?4?x?6kx?9?0

?1??3?4∴(x1?x2)2?(x1?x2)2?4x1x2?(?6k2?9144(k2?1) )?4?2?2223k?43k?4(3k?4)2∴不妨令t?k?1,(t?1)，f(t)?144t(t?1)

(3t?1)22∴ f?(t)?144?(?9t?1)

4(3t?1)?t?1,t2?1

22∴?9t?1?0，f?(t)?144?(?9t?1)?0

4(3t?1)144t?9为最大值.

(3t?1)2∴S?ABF?S?FFA?S?FFB?1F1F2x1?x2?1?2?(x1?x2)2?3为最大值.

212122211111∴S?ABF?AF1R?BF1R?ABR?CR??8R?4R?3

222222339∴当R?，内切圆S?4?R2??()2??为最大值.

4416

五 (来自湖南省衡阳市2013届一模理数改编)

△△本小题主要考查导数及其应用、数列、不等式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力．考查综合运用数学知识分析问题和解决问题能力．

∴当t?1即k＝0时, f(1)?1xa1??m，且对任意n?N?，点(n?1,an?1?an?a1)均在直线上l. （1）求曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程l. （2）数列?an?的通项公式.

(3) 当m=1时，求证: 解：∵f(x)?2(x?20．（本小题共14分）设函数f(x)?2(x?)?2lnx的图象在x?1处的切线为l，数列?an?的首项

1111?????1?. a1a2anan?11)?2lnx x1∴f(1)?2(1?)?2ln1?0

112∴f?(x)?2(1?2)?

xx∴k?f?(1)?2(1?12)??2

112(x?1)即:y?2x?2 切线l的方程: y?0?2∵点(n?1,an?1?an?a1)在切线l上

(n?1)?2?2n ∴an?1?an?a1?2∴an?1?an?2n?a1 于是有:

a2?a1?2?1?a1 ， a3?a2?2?2?a1 … an?an?1?2?(n?1)?a1

∴an?a1?2?(1?2?3?...(n?1))?(n?1)a1 ∴数列的通项公式:an?n?(m?1)n 当m=1时，an?n，an?1?(n?1)， 放缩法：

22211111可得: ?2???ann(n?1)nn?1n1111111111??1?，?? ???，…a11?22a2annn?12?323累加法得：1?1??1?1?a1a2an221 n?1∵an?n，an?1?(n?1)， ∴a?(n?1),1n?1∴an?1?1， n?1111????1?a1a2an1an?1 六 (来自广东省2007年理数高考题改编) △△本小题主要考查一元二次方程、二次函数和不等式的基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力． 21．（本小题共14分）已知函数f(x)?ax?bx?c(a?0). x1，x2是方程f(x)?x?0的两个根，且满足 0?x1?21?x2． a (1)当a=1时, 此时函数y?f(x)在???,?1?上是单调减函数，求b的取值范围； （2）当x?(0,x2)时，求证︰x?f(x)?x2； （3）若函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，求证︰ x0?2x2． 2解：（1）当a?1时，函数f(x)?x?bx?c

函数y?f(x)在???,?1?上是单调减函数， 则?b??1，解得:b?2， y?f(x)的对称轴方程为x??b，

22所以，b的取值范围是b?2． (2) 证明：令h(x)?f(x)?x．因为x1，x2是方程f（x）-x=0的根，所以 不妨设h(x)?a(x?x1)(x?x2)(a?0) 当x?(0,x2)时，由于x1＜x2，得(x?x1)(x?x2)?0，又a＞0，得 h(x)?a(x?x1)(x?x2)?0，即x?f(x) x1?f(x)?x1?(x?h(x))?x1?x?a(x?x1)(x?x2)?(x?x1)(1?ax?ax2) 因为0?x?x1?x2?1 a所以x1?x?0，1?ax?ax2?1?ax2?0 得x1?f(x)?0 ∴f(x)?x1 b 2a∵x1，x2是方程f(x)?x?0的根，即x1，x2是方程ax2?(b?1)x?c?0的根． b?1ba(x1?x2)?1ax1?ax2?1∴x1?x2??，x0??= ?a2a2a2aaxx∵ax1?1?0，∴x0?2?2． 2a2（3）依题意知x0??

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