二次函数中平行四边形通用解决方法

● 探究

（1）在图1中，已知线段AB，CD，其中点分别为E，F。 ①若A（-1，0），B（3，0），则E点坐标为__________； ②若C（-2，2），D（-2，-1），则F点坐标为__________； （2）在图2中，已知线段AB的端点坐标为A（a，b），B（c，d），求出图中AB中点D的坐标（用含a，b，c，d的代数式表示），并给出求解过程；

●归纳

无论线段AB处于直角坐标系中的哪个位置，

b）Bd）AB中点为Dy） 时，x=_________，y=___________；当其端点坐标为A（a，，（c，，（x，

（不必证明） ●运用

在图2中，一次函数y=x-2与反比例函数

的图象交点为A，B。

①求出交点A，B的坐标；

②若以A，O，B，P为顶点的四边形是平行四边形，请利用上面的结论求出顶点P的坐标。

1

以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是近年来中考的热点，其图形复杂，知识覆盖面广，综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高．对这类题，常规解法是先画出平行四边形，再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来解决．由于先要画出草图，若考虑不周，很容易漏解．为此，笔者另辟蹊径，借助探究平行四边形顶点坐标公式来解决这一类题． 1 两个结论，解题的切入点

数学课标，现行初中数学教材中没有线段的中点坐标公式，也没有平行四边形的顶点坐标公式，我们可帮助学生来探究，这可作为解题的切入点。 1.1 线段中点坐标公式

平面直角坐标系中，点A坐标为(x1,y1)，点B坐标为(x2,y2)，则线段AB的中点坐标为(

x1?x2y1?y2,). 22证明 ： 如图1，设AB中点P的坐标为(xP,yP).由xP-x1=x2-xP，得xP=yP=

y1?y2x?x2y1?y2，所以线段AB的中点坐标为(1,). 222x1?x2，同理2

1.2 平行四边形顶点坐标公式 图1

□ABCD的顶点坐标分别为A(xA,yA)、B(xB,yB)、C(xC,yC)、D(xD,yD)，则：xA+xC=xB+xD；yA+yC=yB+yD.

证明： 如图2，连接AC、BD，相交于点E． ∵点E为AC的中点，

∴E点坐标为(

xA?xCyA?yC,). 22xB?xDyB?yD,). 22图2

又∵点E为BD的中点， ∴E点坐标为(

∴xA+xC=xB+xD；yA+yC=yB+yD.

即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等．

图3

2 一个基本事实，解题的预备知识

如图3，已知不在同一直线上的三点A、B、C，在平面内另找一个点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形．答案有三种：以AB为对角线的□ACBD1，以AC为对角线的□ABCD2，以BC为对角线的□ABD3C．

2

3 两类存在性问题解题策略例析与反思

3.1 三个定点、一个动点，探究平行四边形的存在性问题

例1 已知抛物线y=x2-2x+a(a＜0）与y轴相交于点A，顶点为M.直线y=

1x-a分别2与x轴、y轴相交于B、C两点，并且与直线AM相交于点N.

(1)填空：试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标，则M( ), N( )； (2)如图4，将△NAC沿y轴翻折，若点N的对应点N′恰好落在抛物线上，AN′与x轴交于点D，连接CD，求a的值和四边形ADCN的面积；

(3)在抛物线y=x2-2x+a(a＜0）上是否存在一点P，使得以P、A、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由.

941891解：(1)M(1,a-1)，N(a,-a)；(2)a=-；S四边形ADCN=；

4316341(3)由已知条件易得A(0,a)、C(0,-a)、N(a,-a).设P(m,m2-2m+a).

33①当以AC为对角线时，由平行四边形顶点坐标公式（解题时熟练推导出），得： 45??0?0?a?mm?????32. ,∴???a??15?a?a??1a?m2?2m?a??83??∴P1(

55,-)； 28②当以AN为对角线时，得:

45??0?a?0?mm?????32(不合题意，舍去). ,∴???a?15?a?1a??a?m2?2m?a??83??图4

③当以CN为对角线时，得:

41??0?a?0?mm??????32. ,∴???a??3??a?1a?a?m2?2m?a??83??∴P2(-

17,). 281755,-)和P2(-,)，使得以P、A、C、N为顶点的四边形

2828∴在抛物线上存在点P1(

是平行四边形.

反思：已知三个定点的坐标，可设出抛物线上第四个顶点的坐标，运用平行四边形顶点坐标公式列方程（组）求解.这种题型由于三个定点构成的三条线段中哪条为对角线不清楚，往往要以这三条线段分别为对角线分类，分三种情况讨论.

3

3.2 两个定点、两个动点，探究平行四边形存在性问题

例2 如图5，在平面直角坐标系中，抛物线A(-1,0),B(3,0),C(0,-1)三点. （1）求该抛物线的表达式；

（2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点Q、P、A、B为 顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件点P的坐标.

12解 ：（1）易求抛物线的表达式为y=x2?x?1；

33(2)由题意知点Q在y轴上，设点Q坐标为(0,t)；点P在抛物线上， 12设点P坐标为(m,m2?m?1).

33图5

尽管点Q在y轴上，也是个动点，但可理解成一个定点，这样就转化为三定一动了．

①当以AQ为对角线时，由四个顶点的横坐标公式得：-1+0=3+m， ∴m=-4，∴P1(-4,7)；

5②当以BQ为对角线时，得：-1+m=3+0，∴m=4，∴P2(4,)；

3③当以AB为对角线时，得：-1+3=m+0，∴m=2，∴P3(2,-1). 5综上，满足条件的点P为P1(-4,7)、P2(4,)、P3(2,-1).

3反思：这种题型往往特殊，一个动点在抛物线上，另一个动点在x轴（y轴）或对称轴或某一定直线上．设出抛物线上的动点坐标，另一个动点若在x轴上，纵坐标为0，则用平行四边形顶点纵坐标公式；若在y轴上，横坐标为0，则用平行四边形顶点横坐标公式．该动点哪个坐标已知就用与该坐标有关的公式．本例中点Q的纵坐标t没有用上，可以不设．另外，把在定直线上的动点看成一个定点，这样就转化为三定一动了，分别以三个定点构成的三条线段为对角线分类，分三种情况讨论.

例3 如图6，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4,0),B(0,-4),C(2,0)三点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；

（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．

解：（1）易求抛物线的解析式为y=

12

x+x-4； 2（2）s=-m2-4m(-4

（3）尽管是直接写出点Q的坐标，这里也写出过程．由题意知O(0,0)、B(0,-4). 由于点Q是直线y=-x上的动点，设Q(s,-s)，把Q看做定点；设P(m,①当以OQ为对角线时， ?0?s?0?m? 12?0?s??4?m?m?4?2?12

m+m-4). 2∴s=-2?25.

∴Q1(-2+25,2-25)，Q2(-2-25,2+25)；

图6

4

②当以BQ为对角线时， ?0?m?0?s? 12?0?m?m?4??4?s?2?∴s1=-4，s2=0(舍). ∴Q3(-4,4)；

③当以OB为对角线时， ?0?0?s?m? 12?0?4??s?m?m?4?2?∴s1=4，s2=0(舍). ∴Q4(4,-4).

综上，满足条件的点Q为Q1(-2+25,2-25)、Q2(-2-25,2+25)、Q3(-4,4)、Q4(4,-4).

反思：该题中的点Q是直线y=-x上的动点，设动点Q的坐标为(s,-s)，把Q看做定点，就可根据平行四边形顶点坐标公式列方程组了. 4 问题总结

这种题型，关键是合理有序分类：无论是三定一动，还是两定两动，统统把抛物线上的动点作为第四个动点，其余三个作为定点，分别以这三个定点构成的三条线段为对角线分类，分三种情况讨论，然后运用平行四边形顶点坐标公式转化为方程（组）．这种解法，不必画出平行四边形草图，只要合理分类，有序组合，从对角线入手不会漏解，条理清楚，而且适用范围广．其本质是用代数的方法解决几何问题，体现的是分类讨论思想、数形结合的思想.

5

如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两条直角边OA、OB分别在y轴和x轴上，并且OA、OB的长分别是方程x2—7x+12=0的两根(OA<0B)，动点P从点A开始在线段AO上以每秒l个单位长度的速度向点O运动；同时，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，设点P、Q运动的时间为t秒． (1)求A、B两点的坐标。

(2)求当t为何值时，△APQ与△AOB相似，并直接写出此时点Q的坐标．

(3)当t=2时，在坐标平面内，是否存在点M，使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．

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如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；

（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．

7

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+4与y轴交于A点，与x轴交于B点，抛物线C1：y=﹣x+bx+c过A、B两点，与x轴另一交点为C．

（1）求抛物线解析式及C点坐标．

（2）向右平移抛物线C1，使平移后的抛物线C2恰好经过△ABC的外心，抛物线C1、C2相交于点D，求四边形AOCD的面积．

（3）已知抛物线C2的顶点为M，设P为抛物线C1对称轴上一点，Q为抛物线C1上一点，是否存在以点M、Q、P、B为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出P点坐标；2

不存在，请说明理由．

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如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=x+bx+c经过A，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）． （1）求抛物线的解析式及点B坐标；

（2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E．求ME长的最大值；

（3）试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P，使以M，F，B，P为2

顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．

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