北师大版 一次函数的复习资料

主要讲解一次函数的知识点及其相关考点(内容来源于百度文库!自行整理稿!)

一次函数复习

第五章 位置的确定（必备知识：不熟悉以后专题练习下）

1.平面直角坐标系概念：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系，水平的数轴叫x轴或横轴；铅垂的数轴叫y轴或纵轴，两数轴的交点O称为原点。

2.点的坐标：在平面内一点P，过P向x轴、y轴分别作垂线，垂足在x轴、y轴上对应

的数a、b分别叫P点的横坐标和纵坐标，则有序实数对（a、b）叫做P点的坐标。

3.在直角坐标系中如何根据点的坐标，找出这个点，方法是由P（a、b），在x轴上找到坐标为a的点A，过A作x轴的垂线，再在y轴上找到坐标为b的点B，过B作y轴的垂线，两垂线的交点即为所找的P点。

有关点的位置知识点（学一次函数必备）（重点，请牢记） （1）、各象限内点的坐标的特征

点P(x,y)在第一象限 x 0,y 0 点P(x,y)在第二象限 x 0,y 0

点P(x,y)在第三象限 x 0,y 0 点P(x,y)在第四象限 x 0,y 0 （2）、坐标轴上的点的特征

点P(x,y)在x轴上 y 0，x为任意实数 P(x,y)在y轴上 x 0，y为任意实数

点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上 x，y同时为零，即点P坐标为（0，0） (3)、点到坐标轴及原点的距离

（1）点P(x,y)到x轴的距离等于y ；（2）点P(x,y)到y轴的距离等于x；（3）点P(x,y)到原点的距离等于x2 y2。

（4）、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征：

点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线（直线y=x）上 x与y相等； 点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上 x与y互为相反数 （5）、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征

平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。

（6）、关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征

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点P与点p’关于x轴对称 横坐标相等，纵坐标互为相反数，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P’（x，-y）； 点P与点p’关于y轴对称 纵坐标相等，横坐标互为相反数，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P’（-x，y）； 点P与点p’关于原点对称 横、纵坐标均互为相反数，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（-x，-y）。 一次函数相关知识点 1.一次函数的概念：函数

（，为常数，

）叫做的一次函数。

学习这个定义应明确下面几点：

（1）作为一次函数自变量的最高次数是1，且其系数不可。

（2）函数就成

（

（为常数，且

）中可以为任意常数，当

时，一次函数

，这两个条件缺一

），这时叫做的正比例函数，常数叫做因变

量与自变量的比例系数．因此正比例函数是一次函数的特例，但一次函数不一定是正比例函数。

2 一次函数的图象：（重点，请牢记）

（1）正比例函数y=kx的图象是经过（0，0），（1，k）的一条直线； （2）一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）(—k/b，0)的一条直线.

b. 0

k 0 b 0

b 0

1 2 3

b. 0

k 0 b 0

b 0

1 2 3

【遇到与图像有关联的：先看k值，后看b值,以明确大致走向】

3、一次函数的性质：（重点，请牢记）

在一次函数y=kx+b中，如果k>0，那么y的值随x的增大而增大；如果k<0，那么y的值随x的增大而减小。

4、一次函数的图像和性质小结（如果掌握上述方法，下面的表格不用背下来！但是心中一定要会绘制出来）

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5.解析式的确定：确定一次函数解析式的常用方法是待定系数法，它的一般步骤如下：

（1）写出函数解析式的一般形式：

（

），其中k，b是待定系数。

（2）把自变量与函数的对应值代入函数解析式中，得到关于待定系数k，b的方程或方程组。

（3）解方程或方程组求出待定系数k，b的值，从而写出一次函数的解析式。 6.有关平移问题（可能目前没接触，但是绝对是考试的重点！） （1）若两条直线y1=k1x+b1平行y2=k2x+b2，那么k1=k2，b1≠b2 （“左加右减、上加下减”）

. 向右平移n个单位 y=k（x-n）+b

向左平移n个单位 y=k（x+n）+b 向上平移n个单位 y =kx+b+n

向下平移n个单位 y =kx+b-n

（2）两条直线，当k值相同时，两直线平行，当b值相同时，两直线交与y轴上同一点。

考点1：一次函数概念的相关题目 1.函数:①y=-x x;②-1;③y=

1

51

;④y=x2+3x-1;⑤y=x+4;⑥y=3. 6x, 一次函2x

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数有___ __;正比例函数有____________(填序号). 2.*2.函数y=(k2-1)x+3是一次函数,则k的取值范围是( )

A.k≠1 B.k≠-1 C.k≠±1 D.k为任意实数． 3.y (m 3)x m2 9是正比例函数，则。 4.如果函数y (m 2)xm 1+1是一次函数，求m的值。

考点2：一次函数图像问题（经过的象限、判断k或b的范围）

1、若一次函数y kx b的函数值y随x的增大而减小，且图象与y轴的正半轴相交，那么对k和b的符号判断正确的是（ ）.

A．k 0，b 0 B．k 0，b 0 C．k 0，b 0 D．k 0，b 0 2、已知函数y kx b的图象如图3，则y 2kx b的图象可能是（ ）.

A B C D

图3

3、已知一次函数y＝(a－1)x+b的图象如图4所示，那么a的取值范围是（ ） A.a＞1

图4

B.a＜1 C.a＞0 D.a＜0

ac

4.若 ab＞0，bc<0，则直线y=－－不通过（ ）

bb

A.第一象限 B.第一象限 C.第三象限 D.第四象限

5.如下图，同一坐标系中，直线l1: y=2x-3和l2: y=-3x+2的图象大致可能是（ ）。

（A）. ( B ) ( C ) ( D )

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6、一次函数y=kx+b 满足kb>0且ｙ随ｘ的增大而减小，则此函数的图象不经过（ ）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

7、若一次函数y=（3-k）x-k的图象经过第二、三、四象限，则k的取值范围是（ ） A、k>3 B、0<k≤3 C、0≤k<3 D、0<k<3 考点3：函数的增减性（比较大小或者判断k或b的范围）

1.点A(3,y1)和点B( 2,y2)都在直线y 2x 3上，则y1和y2的大小关系是（ ） A. y1 y2 B. y1 y2 C. y1=y2 D.不能确定

2. （2010 ·莆田）A(x1,y1)、B（x1,y2）是一次函数y=kx+2(k>0)图像上的不同的两点，若t=(x1 x2)(y1 y2)则（ ）

A . t 1 B. t 0 C. t o D. x 1

3.若正比例函数y=(1－2m)x的图象经过点（x1，y1）和点（x2，y2），当x1＜x2时，y1

＞y2 ，则m的取值范围是（ ） 11 A、m<0 B.m>0 C.m＜ D.m＞

22

4. 在函数 y＝kx（k＜0）的图象上有A（1，y1）、B（－1，y）、C（－2，y）三个点，则下列各式中正确（ ）

A、y1＜y2＜y3 B、y1＜y3＜y2 C、y3＜y2＜y1 D、y2＜y3＜y1

5. 若一次函数y mx |m 4|的图象与y轴的交点到原点的距离为8，且y随x的

增大而增大，则m的值为

A．12或－4

B．4或－12

C．－4

D．12

（ ）

6、已知点A(x1，y1)和点B(x2，y2)在同一条直线y=kx+b上，且k＜0．若x1＞x2，

则y1与y2的关系是( )

A、y1＞y2 B、y1=y2 C、y1＜y2 D、y1与y2的大小不确定 考点4：函数或图像上经过一点或交点的含义（带入方程（组）成立）

1.若函数y ax 2的图象与函数y bx 3的图象交于x轴上某一点，那么a:b的值

等于

（ ）

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A．

2 3

B．

2 3

C．

3 2

D．

3 2

2.点（-3，2），（a,a 1）在函数y kx 1的图像上，则k ___,a ___ 3.正比例函数的图像经过点（-3，5）,则函数的关系式是 。 4.若点（3，a）在一次函数y 3x 1的图像上，则a 。 5.一次函数y kx 1的图像经过点（-3，0）,则k= 。 6.函数y x m2与y 4x 1的图像交于x轴，则。

7．直线y=2x+b与x轴的交点坐标是（2，0），则关于x的方程2x+b=0的解是x=______ 8.在平面直角坐标系xOy中，点P(2，a)在正比例函数y

3a 5)位于第______象限． Q(a，

1

x的图象上，则点2

1

9. 若点（m，m＋3）在函数y=－x＋2的图象上，则m=____

2

10. （2011 桂林市）直线y kx 1一定经过点（ ）．

A．(1，0) B．(1，k) C．(0，k) D．(0，－1) 11.一次函数y=ax+b，若a+b=1，则它的图象必经过点（ ） A、(-1,-1) B、(-1, 1) C、(1, -1) D、(1, 1) 考点5：函数确定

用待定系数法求一次函数解析式是中考中的热点，是必考内容之一。其次是平移问题

1.在平面直角坐标系中，将直线y 2x 1向下平移4个单位长度后。所得直线的解析式为 ．

2.已知一次函数的图象与直线y=-x+1平行，且过点（8，2），那么此一次函数的解析式为 。

3.已知y与2x+1成正比例，且当x=3时，y=6，写出y与x的函数关系式 。 4.已知y+2与2x—1成正比例，且当x=1时，y=0.5，求函数解析式。 5.已知一次函数物图象经过A(-2,-3)，B(1,3)两点.

⑴ 求这个一次函数的解析式.

⑵ 试判断点P(-1,1)是否在这个一次函数的图象上. ⑶ 求此函数与x轴、y轴围成的三角形的面积.

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6. (2011 浙江湖州) 已知：一次函数y kx b的图象经过M(0，2)，(1，3)两点． (l) 求k、b的值；

(2) 若一次函数y kx b的图象与x轴的交点为A(a，0)，求a的值．

7.已知长方形的周长为25，设它的长为x，宽为y，则y与x的函数关系为 。 8. 一某市市内出租车行程在 4km以内（含 4km）收起步费 8元，行驶超过4km时，每超过1 km，加收1．80元，当行程超出4km时收费y元与所行里程x(km）之间的函数关系式 。

9. 直线y kx 2经过点(4,y1)，且平行于直线y 2x 1,则y1＝___________，k＝______.

10. 已知弹簧的长度 y（厘米）在一定的限度内是所挂重物质量 x（千克） 的一次函数．现已测得不挂重物时弹簧的长度是6厘米，挂4千克质量的重物时，弹簧的长度是7.2厘米．求这个一次函数的关系式．

11. 等腰三角形的周长为12，底边长为y，腰长为x，求y与x之间的函数关系式，并求自变量x的取值范围．

12. 如图，已知正方形ABCD的边长为1，E为边CD的中点，P为正方形ABCD边上的动点，动点P从A出发，沿A--B--C--E运动，若P经过的路程为自变量x,ΔAPE的面积为y，求y关于x的函数。

P

x

13.已知一次函数y kx b的图象经过点( 2,5)，且它与y轴的交点和直线y 3

2

与y轴的交点关于x轴对称，那么这个一次函数的解析式为 . 考点6：一次函数和几何的关系

常考题型：1.看图识别信息（主要关注交点、起点等）

2.有关面积的计算（或者看典型例题2或者利用点到坐标轴的距离）。 注意2点：画出大致草图；注意距离是绝对值，可能出现分类讨论。

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例1：如图，lA lB分别表示A步行与B骑车在同一路上行驶的路程S与时间t的关系。 （1）B出发时与A相距 千米。（2分）

（2）走了一段路后，自行车发生故障，进行

修理，所用的时间是 小时。（2分） （3）B出发后 小时与A相遇。（2分） （4）若B的自行车不发生故障，保持出发时

的速度前进， 小时与A相遇，相遇点 离B的出发点 千米。在图中表示出 这个相遇点C。（6分）

（5）求出A行走的路程S与时间t的函数关系式。（写出过程，4分）

引例：函数y 5x 2与x轴的交点是 ，与y轴的交点是 ,与两坐标轴围成的三角形面积是 。

例2：在平面直角坐标系中,一次函数的图象与坐标轴围成的三角形,叫做此一次函数的坐标三角形.如图中的一次函数的图象与x,y轴分别交于点A,B,则△OAB为此函数的坐

3

标三角形. （1）求函数y＝ x＋3的坐标三角形的三条边长；

4

3

（2）若函数y＝ x＋b（b为常数）的坐标三角形周长为16,求此三角形面积.

4

第19题图

例3：（2010·北京）如图，直线y=2x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B. ⑴ 求A，B两点的坐标；

⑵ 过B点作直线BP与x轴相交于P，且使OP=2OA， 求ΔABP的面积.

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1.甲、乙二人沿相同的路线由A到B匀速行进，A，B两地间的路程为20km.他们行进的路程s（km）与甲出发后的时间t（h）之间的函数图像如图2所示.根据图像信息，下列说法正确的是（ ）

A.甲的速度是4km/h B.乙的速度是10km/h C.乙比甲晚出发1h D.甲比乙晚到B地3h 2.已知直线y1= 2x－6与y2= －ax+6在x轴上交于A，直线y = x与y1 、y2分别交于C、B。（1）求a；（2）求三条直线所围成的ΔABC的面积。

3.已知：一个正比例函数和一个一次函数的图像交于点P（-2、2）且一次函数的图

像与y轴的交点Q的纵坐标为4。 （1）求这两个函数的解析式；

（2）在同一坐标系中，分别画出这两个函数的图像； （3）求△PQO的面积。

考点7：一次函数与一次不等式的关系

常考题型： 比较大小：看图说话，抓住交点的x值

策划类型：需要依题意列不等式方程，或画图形或解不等式

引例：一次函数y kx b（k为常数且k 0）的图象如图所示，y=0时，x的取值： 则

使y 0成立的x的取值范围为 ．使y 0成立的x的取值范围为 ．

（例1）

例1：如图，直线l1：y x 1与直线l2：y mx n相交于点P（a，2），则关于x的不等式x 1≥mx n的解集为 ．

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1.已知一次函数y=kx+b的图象如图1－6－1所示，当x＜0时，y的取值范围是（ ） A、y＞0 B、y＜0 C、－2＜y＜0 D、y＜－2 例2：某单位急需用车，但又不准备买车，他

们准备和一个个体车主或一出租公司其中的一家签定月租车合同，设汽车每月行驶xkm，应付给个体车主的月费用是Y1元，应付给出租公司的月费用是Y2元，Y1、Y2分别与x之间的函数关系图象如图，观察图象回答下列问题：

（1） 每月行驶的路程在什么范围内，租公司的车合算？ （2） 每月行驶的路程等于什么时，租两辆车的费用相同？

（3） 如果这个单位每月行驶的路程为2300km，那么这个单位租哪家的车合算？

例3：已知亚美服装厂现有A种布料70米，B种布料52米，现计划用这种布料生产M、N两种型号的时装共80套，已知做一套M型号的时装需用A种布料0.6米，B种布料0.9米，可获利45元；已知做一套N型号的时装需用A种布料1.1米，B种布料0.4米，可获利50元．若设生产N型号的时装套数为x，用这批布料生产这两种型号的时装所获的总利润为y元．

（1）求y（元）与x（套）的函数关系式，并计算自变量x的取值范围； （2）亚美服装厂在生产这批时装中，当N型号的时装为多少套时，所获利润最大，最大利润是多少？ 思路分析

因为M、N两种型号的时装共80套，其中N型号的时装为x套，所以M型号的时装为（80－x）套，因此可以用x表示出生产所需的A、B两种布料数和总利润．根据A、B两种布料的总量可以求出自变量x的取值范围．在自变量x的取值范围内也就可以求出函数值y的最大值．

解：（1）y=45×（80－x）+50x，即y=5x+3600．

由题意得：0.6×（80－x）+1.1x≤70，且0.9×（80－x）+0.4x≤52， 解得40≤x≤44，

∵x为整数，∴x取40，41，42，43，44．

（注意x为整数，这样的自变量的取值范围与前面几题不一样） （2）∵y=5x+3600，

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∴y随x的增大而增大，（想一想，为什么） ∴当x=44时，y有最大值，其最大值为3820元．

∴当生产N型号的时装44套时，能使服装厂所获利润最大，最大利润是3820元．

课后习题

一、选择题：

1、下列函数中，y是x的正比例函数的是（ ）

x

C、y=2x2 D、y=-2x+1 3

2、已知函数y 3x 1，当自变量x增加m时，相应函数值增加（ ）

A、y=2x-1 B、y=

A、3m+1 B、3m C、m D、3m－1 3、一次函数y=-5x+3的图象经过的象限是（ ）

A、一、二、三 B、二、三、四 C、一、二、四 D、一、三、四 4、下面函数图象不经过第二象限的为 （ ）

A、 y=3x+2 B、 y=3x－2 C、y=－3x+2 D、 y=－3x－2 5、在下列函数中，（ ）的函数值先达到100． Ａ、y 2x 6

Ｂ、y 5x

Ｃ、y 5x 1 Ｄ、y 4x 2

6、一次函数y=kx+b的图象经过点（2，-1）和（0，3）， 那么这个一次函数的解析式为（ ）

A、y=-2x+3 B、y=-3x+2 C、y=3x-2 D、y=

1

x-3 2

7、直线y kx b经过一、二、四象限，则直线y bx k的图象只能是图4中的（ ） 8.若

与y k2x 4的交点在x轴上，那么

k1

等于（ ） k2

直线y k1x 1

11

A.4 B. 4 C. D.

44

二、填空题：

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1、将直线y 4x 1的图象向下平移5个单位长度，得到直线____________. 2、写出一个经过点（1，-3）且y随x增大而增大的一次函数解析式 。 3、对于一次函数y 2x 3，当x_______时，图象在x轴下方.

4、一次函数y= -2x+4的图象与x轴交点坐标 是 ，与y轴交点坐标是 图象与坐标轴所围成的三角形面积是 . 5、若y (n 1)xn是正比例函数，则 6、函数y 2mx m2 4的图象经过原点，则

7、已知y (2m 1)xm 3是正比例函数，且y随x的增大而减小，则这个函数的解析式为 。

8、已知点A（a+2，1-a）在函数y=2x-1的图象上，则 9、b为 时，直线y 2x b与直线y 3x 4的交点在x轴上.

10、已知一次函数y=-x+a与y=x+b的图象相交于点（m，8），则a+b=_________． 11、已知m是整数，且一次函数y (m 4)x m 2的图象不过第二象限，则m为 .

12、在平面直角坐标系中，直线y 2x 3上有一点P到x轴的距离为3，那么这个点到y轴的距离为 ．

13、点A为直线y=－2x+2上的一点，且到两坐标轴距离相等，那么A点坐标为_____； 14、15、若点A(1,3)、B( 2,0)、C(2,a)在一条直线上，则a _____________； 16、某机动车出发前油箱内有油42升，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升。油箱中余油量Q（升）与行驶时间t（时）之间的函数关系 如图所示，根据下图回答问题： （1）机动车行驶 小时后加油；

2

（2）中途加油 升；

（3）写出直线CD的关系式

三、解答题：

m

y (m 2)x1、已知

2

3

3，当m为何值时，y是x的一次

函数？

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2、 已知函数y (2m 1)x3m

2

2

(n 2)

(1) 当m、n为何值时，其图象是过原点的直线；(2) 当m、n为何值时，其图象是过

(0，－2)点的直线；(3) 当m、n为何值时，其图象是过一、二、四象限的直线。

3、已知正比例函数y=k1x的图像与一次函数y=k2x-9的图像交于点P（3，-6）。（1）求k1和k2的值；（2）如果一次函数y=k2x-9的图像与x轴交于点A，求AOP的面积。

4、甲乙两地相距500千米，汽车从甲地以每小时80千米的速度开往乙地． (1)写出汽车离乙地的距离s(千米)与开出时间t(小时)之间的函数关系式，并指

出是否为一次函数．

(2)写出自变量t的取值范围．

(3)汽车从甲地开出多久，离乙地100千米?

5、如图8，在直角坐标系内，一次函数y kx b(kb 0,b 0)的图象分别与x轴、y轴和直线x 4相交于A、B、C三点，直线x 4与x轴交于点D，四边形OBCD（O

1

是坐标原点）的面积是10，若点A的横坐标是 ，求这个一

2

次函数解析式.

6、如图，A、B分别是x轴上位于原点左右两侧的点，点P

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（2，p）在第一象限，直线PA交y轴于点C（0,2），直线PB交y轴于点D，△AOP的面积为6；

（1）求△COP的面积；（2）求点A的坐标及p的值；

（3）若△BOP与△DOP的面积相等，求直线BD的函数解析式。

7、已知雅美服装厂现有A种布料70米，B种布料52米， 现计划用这两种布料生产M、N两种型号的时装共80套．已知做一套M型号的时装需用A种布料1. 1米，B种布料0.4米，可获利50元；做一套N型号的时装需用A种布料0.6米，B种布料0. 9米，可获利45元．设生产M型号的时装套数为x，用这批布料生产两种型号的时装所获得的总利润为y元． ①求y（元）与x（套）的函数关系式，并求出自变量的取值范围；

②当M型号的时装为多少套时，能使该厂所获利润最大？最大利润是多？

8、某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿度.本年度计划将电价调至0.55～0.75

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元之间，经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y（亿度）与（x—0.4）（元）成反比例，又当x=0.65时，y=0.8.

（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若每度电的成本价为0.3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？[收益=用电量×（实际电价－成本价）]

9、李明准备租用一辆出租车搞个体营运，现有甲乙两家出租车公司可以和他签订合同，设汽车每月行驶x千米，应付给甲公司的月租费y1元，应付给乙公司的月租费是y2元, y1、y2与x之间的函数关系的图象如图所示，请根据图象回答下列问题： (1)分别求出y1、y2与x之间的函数关系式

(2)根据每月的可能行驶里程，设计租用方案保证租用费最少. (3)若李明估计每月行驶的路程为2300千米时，哪家合算？

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