高考数学必背知识点归纳与总结及例题解析 word下载

高考所有知识点

高中数学专题一 集合

一、集合有关概念

集合的中元素的三个特性：

(1)元素的确定性 互异性 无序性

(1)集合的表示方法：列举法与描述法。

◆ 注意：常用数集及其记法：

非负整数集（即自然数集） 记作：N

正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集

R

二、集合间的基本关系

1.“包含”关系—子集

注意：B A ?有两种可能（1）A 是B 的一部分，；（2）A 与

B 是同一集合。

反之: 集合A 不包含于集合B,或集合B 不包含集合A,记作

A ?

/B 或B ?/A 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)

即：① 任何一个集合是它本身的子集。A ?A

②真子集:如果A ?B,且A ≠ B 那就说集合A 是集合B 的真子

集，记作A B(或B A)

③如果 A ?B, B ?C ,那么 A ?C

④ 如果A ?B 同时 B ?A 那么A=B

3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真

子集。

◆ 有n 个元素的集合，含有2n 个子集，2n-1个真子集

◆ 高考试题

◆ 3．不等式0|)|1)(1(>-+x x 的解集是 （ ）

◆ A ．}10|{<≤x x

B ．0|{

C ．}11|{<<-x x

D ．1|{

14|{Z k k x x N ∈+==，则 （ ） A ．N M = B ．N M ? C ．N M ? D ．?=N M

6．设A 、B 、I 均为非空集合，且满足A ?B ?I ，则下列各式中错误．．

的是 （ ） A ．(I C A)∪B=I B ．(I C A)∪(I C B)=I

C ．A ∩(I C B)=φ

D ．(I C A) (I C B)= I C B

（2）设I 为全集，321S S S 、、是I 的三个非空子集，且I S S S =??321，则下面论断正确的是 ( )

（A ）Φ=??

）（321S S S C I （B ）123I I S C S C S ??（） （C ）123I I I C S C S C S ??=Φ （D ）123I I S C S C S ??（） ⑴、设集合{}20M x x x =-<，{}

2N x x =<，则 ( ) A ．M N =? B ．M N M =

C ．M N M =

D ．M N R =

5．设,a b R ∈，集合{1,,}{0,,}b a b a b a

+=，则b a -= ( ) A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-

1

．函数y ）

A ．{}|0x x ≥

B ．{}|1x x ≥

C ．{}{}|10x x ≥

D ．{}

|01x x ≤≤ （1）已知集合{1,2,3,4,5}A =，，则中所含元素的个数为 ( )

（A ）3 （B ）6 (C) 8 （D ）10

2.已知全信U ＝（1，2，3， 4，5），集合A ＝{}

23Z <-∈x x ,则集合C u A 等于 ( ) （A ）{}4,3,2,1 （B ）{}4,3,2 (C) {}5,1 (D) {}5

2．已知全集{12345}U =，，，，，集合2

{|320}A x x x =-+=，{|2}B x x a a A ==∈，，则集合()U A B e中元素的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

1．设不等式20x x -≤的解集为M ，函数()ln(1||)f x x =-的定义域为N ，则M N ?为

( )

（A ）[0，1） （B ）（0，1） （C ）[0，1] （D ）（-1，0] 、

1.集合A= {x ∣}，B ={}1x x <，则= （D ）

（A ）{}1x x > (B) {}1x x ≥ (C) {x ∣ } (D) {x ∣}

1. 集合，，则（ ） {(,)|,,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈B 12x -≤≤()R A B e12x <≤12x ≤≤

（A ） （B ） （C ） （D ）

1、设全集为R ，函数21)(x x f -=的定义域为M ，则M C R 为 ( )

A 、[]1,1-

B 、()1,1-

C 、(),1[]1,+∞-∞-

D 、(),1()1,+∞-∞-

答案 DBCBC –D

答案BBADC-

高中数学专题二 复 数

一．基本知识

【1】复数的基本概念

（1）形如a + b i 的数叫做复数（其中）；复数的单位为i ，它的平方等于－1，即.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部

实数：当b = 0时复数a + b i 为实数

虚数：当时的复数a + b i 为虚数；

纯虚数：当a = 0且时的复数a + b i 为纯虚数

（2）两个复数相等的定义：

（3）共轭复数：z a bi =+的共轭记作z a bi =-；

（4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z a bi =+，对应点坐标为(),p a b ；（象限的复习）

（5）复数的模：对于复数z a bi =+

，把z =z 的模；

【2】复数的基本运算

设111z a b i =+，222z a b i =+

（1） 加法：()()121212z z a a b b i +=+++；

（2） 减法：()()121212z z a a b b i -=-+-；

（3） 乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ?=-++ 特别22z z a b ?=+。 R b a ∈，1i 2-=0≠b 0≠b 00==?=+∈==?+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且

（4）幂运算：1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-??????

【3】复数的化简

c di z a bi

+=+（,a b 是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：()()22ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b

++-++-==?=++-+ 对于()0c di z a b a bi +=

?≠+，当c d a b

=时z 为实数；当z 为纯虚数是z 可设为c di z xi a bi

+==+进一步建立方程求解 二． 例题分析

【变式2】（2010年全国卷新课标）已知复数z =

z z ?= A. 14 B.12

C.1

D.2 【例4】已知12z i =-，232z i =-+

（1） 求12z z +的值；

（2） 求12z z ?的值；

（3） 求12z z ?.

【变式1】已知复数z 满足()21z i i -=+，求z 的模.

【变式2】若复数()2

1ai +是纯虚数，求复数1ai +的模.

【例5】（2012年全国卷 新课标）下面是关于复数21z i =-+的四个命题：其中的真命题为（ ） 1:2p z =22:2p z i =3:p z 的共轭复数为1i +4:p z 的虚部为1- ()A 23,p p ()B 12,p p ()C ,p p 24

()D ,p p 34 【例6】若复数()312a i z a R i

+=∈-（i 为虚数单位）， （1） 若z 为实数，求a 的值

（2） 当z 为纯虚，求a 的值.

【变式1】设a 是实数，且112

a i i -++是实数，求a 的值..

【变式2】若()3,1y i z x y R xi

+=∈+是实数，则实数xy 的值是 . 【例7】复数cos3sin3z i =+对应的点位于第 象限

【变式1】是虚数单位,等于 ( ) A ．i

B ．-i

C ．1

D ．-1 【变式2】已知=2+i,则复数z=（）（A ）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i

【变式3】i 是虚数单位，若，则乘积的值是（A ）－15 （B ）－3 （C ）3 （D ）15【例8】（2012年天津）复数73i z i

-=+= （ ） （A ）2i + （Ｂ）2i - （Ｃ）2i -+ （Ｄ）2i --

【变式4】（2007年天津）已知i 是虚数单位，3

2i 1i

=- （ ） Ａ1i + Ｂ1i -+ Ｃ1i - Ｄ．1i --

【变式5】.（2011年天津）已知i 是虚数单位，复数

131i i --= （ ） A 2i +B 2i -C 12i -+D 12i --

【变式6】（2011年天津） 已知i 是虚数单位，复数

1312i i

-+=+（ ） (A)1＋i (B)5＋5i (C)-5-5i (D)-1－i

高中数学专题三 函数

（定义域、值域、映射、抽象函数、单调性、奇偶性、最值、极值、指数函数、对数函数、i 41i (

)1-i +1i

Z ＋17(,)2i a bi a b R i

+=+∈-ab

幂函数、一次、二次函数、反比例函数、导数）

第一章、函数的有关概念

1．函数的概念： y=f(x)，x∈A．自变量x;定义域A；函数值y，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域．

注意：

1．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无

关）；②定义域一致 (两点必须同时具备)

2．值域 : 先考虑其定义域

4．区间的概念

（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间

5．映射

A、B集合，对应法则f， A中的任意一个元素x，在集合B中

都有唯一确定的元素y与之对应，就称对应f：A→B为从集合A

→

到集合B的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象）B（象）”

对于映射f：A→B来说，则应满足：

(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；

(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；

(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

6.分段函数

补充：复合函数

如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称

为f、g的复合函数。

二．函数的性质

1.函数的单调性(局部性质)

（1）增函数

定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1

称为y=f(x)的单调增区间.

如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1

有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称

为y=f(x)的单调减区间.

（2）图象的特点

增函数上升，减函数下降.

(3).函数单调区间与单调性的判定方法

(A) 定义法：

○1任取x1，x2∈D，且x1

○2作差f(x1)－f(x2)；

(C)复合函数的单调性

其规律：“同增异减”

注意:不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.

8．函数的奇偶性（整体性质）

（1）偶函数

f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．

（2）．奇函数

都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．

（3）具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

利用定义判断函数奇偶性的步骤：

○

1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称； ○

2确定f(－x)与f(x)的关系； ○

3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．

注意：定义域关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称， (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .

9、函数的解析表达式

（1）要求两个变量之间的函数关系时，一是对应法则，二是定义域.

（2）求函数的解析式的主要方法有：

1) 凑配法

2) 待定系数法

3) 换元法

4) 消参法

10．函数最大（小）值（定义见课本p36页）

○

1（配方法） ○

2 利用图象 ○

3 利用函数单调性 题目练习：

1.求下列函数的定义域：

⑴y

⑵y =2.设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _

3.若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是

4.函数22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-??=-<

，若()3f x =，则x = 5.求下列函数的值域：

⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵ [1,2]x ∈

(3)y x =

y =6.已知函数2(1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式

7.已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则= 。

8.设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时

,()(1f x x =,则当(,0)x ∈-∞时()f x = 在R 上的解析式为 223y x x =+-()f x ()f x

9.求下列函数的单调区间：

⑴ 223y x x =++

⑵y = ⑶ 261y x x =--

10.判断函数13+-=x y 的单调性并证明你的结论．

11.设函数22

11)(x x x f -+=判断它的奇偶性并且求证：)()1(x f x f -=．

高中数学专题三 函数

（定义域、值域、映射、抽象函数、单调性、奇偶性、最值、极值、指数函数、对数函数、幂函数、一次、二次函数、反比例函数 、导数）

第二章 基本初等函数

一、指数函数

2．分数指数幂

正数的分数指数幂的意义，规定：

)

1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m ，)1,,,0(11

*>∈>==-n N n m a a a a n m n m

n m

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

3．实数指数幂的运算性质

（1）·

),,0(R s r a ∈>；

（2）

),,0(R s r a ∈>；

（3）

． r a s r r a a +=rs s r a a =)(s r r a a ab =)(),,0(R s r a ∈>

（二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念： )1,0(≠>=a a a y x

且，

函数的定义域为R ． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．

二、对数函数

（一）对数

1．对数的概念：

N x a log =（— 底数，— 真数，N a log — 对数式）

说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ；

○

2 x N N a a x =?=log ； 两个重要对数： ○

1 常用对数：以10为底的对数N lg ○

2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ．

（二）对数的运算性质

如果，且，0>M ，0>N ，那么：

○1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； ○

2 =N

M a log M a log －； ○3 n a M log n = )(R n ∈． 注意：换底公式

a

b b

c c a log log log = （，且；0>c ，且1≠c ；0>b ）． 利用换底公式推导下面的结论 （1）b m n b a n a m log log =

；（2）a b b a log 1log =． （二）对数函数

1、对数函数的概念：

0(log >=a x y a ，且)1≠a ，函数的定义域是（0，+∞）．

○

2 对数函数对底数的限制：0(>a ，且． 2、对数函数的性质： a N 0>a 1≠a N a log M a log 0>a 1≠a )1≠a

（三）幂函数

1、幂函数定义：αx

y=)

(R

a∈，其中α为常数．

2、幂函数性质归纳．

（1）图象都过点（1，1）；

（2）0

>

α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间)

,0[+∞上是

增函数

（3）0

<

α时，幂函数的图象在区间)

,0(+∞上是减函数．

例题：

1. 已知a>0，a0，函数y=a x与y=log a(-x)的图象只能是( )

2.计算：①=

64

log

2

log

27

3 ;②3

log

42

2+= ；2

log

2

27

log5

5

3

1

25+= ; 3.函数y=log

2

1

(2x2-3x+1)的递减区间为

4.若函数)1

0(

log

)(<

<

=a

x

x

f

a

在区间]

2,[a

a上的最大值是最小值的3倍，则a=

5.已知1

()log(01)

1a

x

f x a a

x

+

=>≠

-

且

，（1）求()

f x的定义域（2）求使()0

f x>

的x的取值范围高中数学专题三函数

（定义域、值域、映射、抽象函数、单调性、奇偶性、最值、极值、指数函数、对数函数、幂函数、一次、二次函数、反比例函数 、导数）

第三章 函数的应用

一、方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数

))((D x x f y ∈=的零点。

2、函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程实数

根，亦即函数)(x f y =的图象与轴交点的横坐标。

即：方程有实数根?函数的图象与轴有交

点?函数有零点．

3、函数零点的求法：

○

1 （代数法）求方程的实数根； ○

2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

4、二次函数的零点：

二次函数)0(2

≠++=a c bx ax y ．

（1）△＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图

象与轴有两个交点，二次函数有两个零点．

（2）△＝０，方程有两相等实根，二次函数的图

象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

（3）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点．

高考试题

8.（2007）若函数f(x)的反函数为f )(1x -,则函数f(x-1)与f )1(1--x 的图象可能是 （ D ）

11（2007）.f(x)是定义在（0，±∞）上的非负可导函数，且满足xf(x)+f(x)≤0,对任意正数a 、b ,若 a ＜b ，则必有 （ C ）

A.af(b) ≤bf(a)

B.bf(a) ≤af(b)

C.af(a) ≤f(b)

D.bf(b) ≤f(a)

0)(=x f x 0)(=x f )(x f y =x )(x f y =0)(=x f )(x f y =x 02=++c bx ax x 02=++c bx ax

x

13（2007）.=??? ??---++→112

12lim 21x x x x x 1/3 . 7（2008）．已知函数3()2

x f x +=，1()f x -是()f x 的反函数，若16mn =（m n ∈+R ，），则11()()f m f n --+的值为（A ）

A ．2-

B ．1

C ．4

D ．10 10（2008）．已知实数x y ，满足121y y x x y m ??-??+?

≥，≤，≤．如果目标函数z x y =-的最小值为1-，则实

数m 等于（ C ）

A ．7

B ．5

C ．4

D ．3

11 （2008）．定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y xy +=++（x y ∈R ，），(1)2f =，则(3)f -等于（ B ）

A ．2

B ．3

C ．6

D ．9

3.（2009

）函数()4)f x x =

≥的反函数为 （ B ） （A ）121()2(0)2

f x

x x -=+≥ (B) 121()2(2)2

f x x x -=+≥ （C ）121()4(0)2

f x x x -=+≥ (D) 121()4(2)2

f x x x -=+≥ 5.若3sin cos 0αα+=,则 21cos sin 2αα

+的值为 （ A ） （A ）103

（B ）53 （C ）23 (D) 2- 3（2011）．设函数()f x （x ∈R ）满足()()f x f x -=，(2)()f x f x +=，则函数()y f x =的图像是 （ ）

【解】选 B 由

()()f x f x -=得()y f x =是偶函数，所以函数()y f x =的图象关于y 轴对称，可知B ，D 符合；由(2)()f x f x +=得()y f x =是周期为2的周期函数，选项D 的图像的最小正周期是

4，不符合，选项B 的图像的最小正周期是2，符合，故选B ．

6．（2011）函数()cos f x x =在[0,)+∞内 （ ）

（A ）没有零点 （B ）有且仅有一个零点

（C ）有且仅有两个零点 （D ）有无穷多个零点

【解】选B （方法一）数形结合法，令()cos f x x =0=，cos x =，设函数y =cos y x =，它们在[0,)+∞的图像如图所示，显然两函数的图像的交点有且只有一个，所以函数

()cos f x x =在[0,)+∞内有且仅有一个零点；

（方法二）在[,)2x π

∈+∞上，1>，cos 1x ≤，所以()cos f x x =0>；

在(0,]

2x π∈，()sin 0f x x '=+>，所以函数()cos f x x =是增函数，又因为

(0)1f =-，()02

f π=>，所以()cos f x x =在[0,]2x π

∈上有且只有一个零点． 12（2011）．设n N +∈，一元二次方程240x x n -+=有整数．．

根的充要条件是n = ． 12．设n N +∈，一元二次方程240x x n -+=有整数．．

根的充要条件是n = ． 【分析】直接利用求根公式进行计算，然后用完全平方数、整除等进行判断计算．

【解】x =2=±，因为x 是整数，即2±数，且4n …，又因为n N +∈，取1,2,3,4n =，验证可知3,4n =符合题意；反之3,4n =时，可推

出一元二次方程240x

x n -+=有整数．．

根． 【答案】3或4

高中数学专题三 函数

（定义域、值域、映射、抽象函数、单调性、奇偶性、最值、极值、指数函数、对数函数、幂函数、一次、二次函数、反比例函数 、导数）

第四章、直线与方程

（1）直线的倾斜角

定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°

（2）直线的斜率

①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k

当 90=α时，k 不存在。

②过两点的直线的斜率公式：)(211

212x x x x y y k ≠--= （3）直线方程

①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x

注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y =y 1。

当直线的斜率为90°时，它的方程是x =x 1。

②斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b

③两点式：

112121y y x x y y x x --=--（1212,x x y y ≠≠）直线两点()11,y x ，()22,y x ④截矩式：1x y a b

+= 其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ,与y 轴交于点(0,)b ,即l 与x 轴、y 轴的截距分别为,a b 。 ⑤一般式：0=++C By Ax （A ，B 不全为0）

注意

平行于x 轴的直线：b y =（b 为常数）； 平行于y 轴的直线：a x =（a 为常数）；

（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线

（一）平行直线系

平行于已知直线0000=++C y B x A （00,B A 是不全为0的常数）的直线系：000=++C y B x A （C 为常数）

（二）过定点的直线系

（ⅰ）斜率为k 的直线系：()00x x k y y -=-，直线过定点()00,y x ；

（ⅱ）过两条直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222

=++C y B x A l 的交点的直线系方程为

()()0222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数），其中直线2l 不在直线系中。 （6）两直线平行与垂直

当111:b x k y l +=，222:b x k y l +=时，

212121,//b b k k l l ≠=?； 12121-=?⊥k k l l

注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。

（7）两条直线的交点

0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 相交

交点坐标即方程组???=++=++0

0222111C y B x A C y B x A 的一组解。 方程组无解21//l l ? ； 方程组有无数解?1l 与2l 重合

（8）两点间距离公式：设1122(,),A x y B x y ，（）

是平面直角坐标系中的两个点，

则||AB

（9）点到直线距离公式：一点)00,y x P 到直线0:1=++C By Ax l 的距离2200B

A C By Ax d +++=

（10）两平行直线距离公式

在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。

题目练习

例2.设曲线11x y x +=

-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（D ） A ．2

B ．12

C ．12-

D ．2- 例3.曲线y=x x +331在点（1，3

4）处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ A ） （A ）91 （B ） 92 （C ） 31 （D ）3

2 例4.已知直线1l 为曲线22-+=x x y 在点（1，0）处的切线， 2l 为该曲线的另一条切线，

且.21l l ⊥

（Ⅰ）求直线2l 的方程；

（Ⅱ）求由直线1l 、2l 和x 轴所围成的三角形的面积.

高中数学专题三 函数

（定义域、值域、映射、抽象函数、单调性、奇偶性、最值、极值、指数函数、对数函数、幂函数、一次、二次函数、反比例函数 、导数）

第五章 三角函数

12、同角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+= ()

sin 2tan cos ααα

= 13、三角函数的诱导公式： ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ．

()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-．

()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．

()5sin cos 2παα??-= ???，cos sin 2παα??-= ???

． ()6sin cos 2π

αα??+= ???，cos sin 2παα??+=- ???． 14、函数sin y x =的图象上所有点向左（右）平移?个单位长度，得到函数()sin y x ?=+的图象；再将函数()sin y x ?=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1

ω倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ω?=+的图象；再将函数()sin y x ω?=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ω?=A +的图象．

函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的

1ω倍（纵坐标不变），得到函数

sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移?ω个单位长度，得到函数()sin y x ω?=+的图象；再将函数()sin y x ω?=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ω?=A +的图象．

函数()()sin 0,0y x ω?ω=A +A >>的性质：

①振幅：A ；②周期：2π

ωT =；③频率：12f ωπ

==T ；④相位：x ω?+；⑤初相：?．

函数()sin y x ω?=A ++B ，当1x x =时，取得最小值为min y ；当2x x =时，取得最大值为max y ，则()max min 12y y A =-，()max min 12y y B =+，()21122x x x x T =-<．

,2x x k k ππ??≠+∈Z ????

24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：

⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；

⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；

⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；

⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ

--=+（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）； ⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=

-（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）． 25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：

⑴sin22sin cos ααα=．

⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα

=-=-=-（2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=

）． ⑶22tan tan 21tan ααα

=-．

26、()sin cos ααα?A +B =+，其中tan ?B

=A 27.正弦定理、余弦定理

正弦定理：在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，三角形外接圆的半径为R 。则有

△ABC，余弦定理可表示为：

同理，也可描述为：

高考试题

4（2007）.已知sin α=5

5，则sin 4α-cos 4α的值为 ( A ) （A ）-51 (B)-53 (C)51 (D) 5

3 16、（2012）（本小题满分12分）

已知向量)2

1,(cos -=x a ，)2cos ,sin 3(x x b =，R x ∈，设函数b a x f ?=)(. （Ⅰ）求)(x f 的最小正周期；

（Ⅱ）求)(x f 在]2

,0[π上的最小值和最大值.

17.（2007）（本小题满分12分） 设函数f (x )=a-b ,其中向量a =(m,cos2x ),b =(1+sin2x ,1),x ∈R ,且函数y=f (x )的图象经过点??

? ??2,4π， （Ⅰ）求实数m 的值；

（Ⅱ）求函数f (x )的最小值及此时x 的值的集合.

解：（Ⅰ）()(1sin 2)cos 2f x a b m x x ==++， 由已知πππ1sin cos 2422f m ????=++= ? ????

?，得1m =．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

π()1sin 2cos 2124f x x x x ??=++=++ ???，

∴当πsin 214x ??+=- ??

?时，()f x 的最小值为1 由πsin 214x ?

?+=- ???，得x 值的集合为3ππ8x x k k ??=-∈????

Z ，．

17．（2008）（本小题满分12分）

已知函数2()2sin cos 444

x x x f x =-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及最值； （Ⅱ）令π()3g x f x ?

?=+ ???

，判断函数()g x 的奇偶性，并说明理由．

解：（Ⅰ）2()sin 2sin )24x x f x =-sin 22x x =π2sin 23x ??=+ ???．

()

f x

∴的最小正周期

2π

4π

1

2

T==．

当

π

sin1

23

x

??

+=-

?

??

时，()

f x取得最小值2

-；当

π

s i n1

23

x

??

+=

?

??

时，()

f x取得最大值2．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

π

()2sin

23

x

f x

??

=+

?

??

．又

π

()

3

g x f x

??

=+

?

??

．

∴

1ππ

()2sin

233

g x x

??

??

=++

?

??

??

??

π

2sin

22

x

??

=+

?

??

2cos

2

x

=．

()2cos2cos()

22

x x

g x g x

??

-=-==

?

??

．

∴函数()

g x是偶函数．

17．（2009）（本小题满分12分）

已知函数()sin(),

f x A x x R

ω?

=+∈（其中0,0,0

2

A

π

ω?

>><<）的图象与x轴的

交点中，相邻两个交点之间的距离为

2

π

，且图象上一个最低点为

2

(,2)

3

M

π

-.

(Ⅰ)求()

f x的解析式；（Ⅱ）当[,]

122

x

ππ

∈，求()

f x的值域.

解（1）由最低点为

2

(,2)

3

M

π

-得A=2.

由x轴上相邻的两个交点之间的距离为

2

π

得

2

T

=

2

π

，即Tπ

=，

22

2

T

ππ

ω

π

===

由点

2

(,2)

3

M

π

-在图像上的

24

2sin(2)2,)1

33

ππ

??

?+=-+=-

即sin(

故

4

2,

32

k k Z

ππ

?π

+=-∈

11

2

6

k

π

?π

∴=-

又(0,),,()2sin(2)

266

f x x

πππ

??

∈∴==+

故

（2）

7

[,],2[,]

122636

x x

πππππ

∈∴+∈

当2

6

x

π

+=

2

π

，即

6

x

π

=时，()

f x取得最大值2；当

7

2

66

x

ππ

+=

即

2

x

π

=时，()

f x取得最小值-1，故()

f x的值域为[-1,2]

17．（2010）（本小题满分12分）

如图，A，B是海面上位于东西方向相聚53

3

+

（

）海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船达到D点需要多长时间？

解：由题意知5(3

AB=海里，

906030,904545,

DBA DAB

∠=?-?=?∠=?-?=?

∴180(4530)105

ADB

∠=?-?+?=?

在DAB

?中,由正弦定理得

sin sin

DB AB

DAB ADB

=

∠∠

，

∴

sin5(33)sin455(33)sin45

sin

AB DAB

DB

ADB

∠+?+?

===

∠

==

答：救援船到达D点需要1小时.

高中数学专题三函数

（定义域、值域、映射、抽象函数、单调性、奇偶性、最值、极值、指数函数、对数函数、幂函数、一次、二次函数、反比例函数、导数）

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