任意角和弧度制及任意角的三角函数知识点与题型归纳DOC

●高考明方向

1.了解任意角的概念．

2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化 3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.

★备考知考情

1.三角函数的定义与三角恒等变换等相结合， 考查三角函数求值问题．

2.三角函数的定义与向量等知识相结合， 考查三角函数定义的应用．

3.主要以选择题、填空题为主，属中低档题.

一、知识梳理《名师一号》P47 知识点一 角的概念

?按旋转方向不同分为正角、负角、零角.

(1)分类?

?按终边位置不同分为象限角和轴线角.

(2)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.

《名师一号》P47 对点自测 1、2

1

注意： 1、《名师一号》P48 问题探究 问题1、2

相等的角终边相同，终边相同的角也一定相等吗？ 相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍．

角的表示形式是唯一的吗？

角的集合的表示形式不是唯一的，如：终边在y轴的负半轴上的角的集合可以表示为{x|x＝k·360°－90°，k∈Z}，也可以表示为{x|x＝k·360°＋270°，k∈Z}． (补充)

2、正角 > 零角 > 负角 3、下列概念应注意区分 小于90°的角；锐角；第一象限的角；0°～90°的角． 4、(1)终边落在坐标轴上的角 1）终边落在x轴非负半轴上的角 {x|x＝2kπ，k∈Z}

2）终边落在x轴非正半轴上的角 {x|x＝2kπ+π，k∈Z}

终边落在x轴上的角

{x|x＝kπ，k∈Z}

3）终边落在y轴非负半轴上的角

π

{x|x＝2kπ+2，k∈Z} 4）终边落在y轴非正半轴上的角

3π

{x|x＝2kπ+，k∈Z}

2

2

终边落在y轴上的角

π

{x|x＝kπ+2，k∈Z}

(2) 象限角 （自己课后完成）

知识点二 弧度的定义和公式

(1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角 叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：①弧度与角度的换算： 360°＝2π弧度；180°＝π弧度； ②弧长公式：l＝|α|r；

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③扇形面积公式：S扇形＝lr和|α|r2.

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关键：基本公式?180??rad

《名师一号》P47 对点自测 3

注意： 1、《名师一号》P48 问题探究 问题3

在角的表示中角度制和弧度制能不能混合应用？ 不能．在同一个式子中，采用的度量制度是一致的， 不可混用．

2、弧长公式与扇形面积公式

（扇形的圆心角为?弧度，半径为r）

3

?1lr 2(补充)（将扇形视为曲边三角形，记l为底，r为高）

知识点三 任意角的三角函数

(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交

于点P(x，y)，则sinα＝ ，cosα＝ ，tanα＝ (x≠0)． (补充)

1、广义的三角函数定义 弧长公式l?|?|r 扇形面积公式S?三角函数的定义让角?的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在角?的终边上任取一点，则角?的三角函数值如下：sin??y?ryx?y22cos??xx?rx2?y2tan??yx?x?0?OP?r?x2?y2?r?0?特别地，当OP?r?x2?y2?1时 2、各象限角的三角函数值符号规律： (补充)关键：立足定义 正弦……一二正，横为零 余弦……一四正，纵为零

sin??ycos??xtan??yx?x?0? 4

正切……一三正，横为零，纵不存在 3、特殊角的三角函数值（自己课后完成）

知识点三 任意角的三角函数

(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．

如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的 正弦线，余弦线和正切线

．

《名师一号》P47 对点自测 6

注意：

《名师一号》P48 问题探究 问题4

如何利用三角函数线解不等式 及比较三角函数值的大小？

(1)先找到“正值”区间，即0～2π间满足条件的范围，然后再加上周期．

(2)先作出角，再作出相应的三角函数线，最后进行比较

5

∵圆的半径为1，∴∠BAP＝2.

π

故∠DAP＝2－.

2?π?∴DP＝AP·sin?2－2?＝－cos2.

??

?π?∴PC＝1－cos2，DA＝APcos?2－2?＝sin2.

??

→＝(2－sin2,1－cos2)．

∴OC＝2－sin2，故OP

注意：《名师一号》P48 高频考点 例2 规律方法 1.利用定义求三角函数值．在利用三角函数的定义求角α的三角函数值时，若角α终边上点的坐标是以参数的形式给出的，则要根据问题的实际及解题的需要对参数进行分类讨论．任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P的位置无关．

2．三角函数值的符号及角的位置的判断．已知一角的三角函数值(sinα，cosα，tanα)中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置，注意终边在坐标轴上的特殊情况．

3．与向量等问题形成的交汇问题，抓住问题的实质，寻找相应的角度，然后通过解三角形求得解．

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练习：

若一个角α的终边在直线y??3x上， 求10sin??3的值。 cos?

答案：0

注意：立足定义是根本！

三角函数的定义是三角函数的基础，

由三角函数的定义可得同角三角函数的基本关系 及各象限角的三角函数值符号等。 利用三角函数的定义解题时应

先确定点的坐标及点的位置。

（四）以三角函数的定义为载体的创新问题 《名师一号》P49 特色专题

三角函数的概念是考查三角函数的重要工具，在高考命题中很少单独考查，但常结合三角函数的基础知识、三角恒等变换和向量等知识综合考查，涉及的知识点较多，且难度不大．

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【典例】 如图所示，质点P在半径为2 的圆周上逆时针运动，其初始位置为 P0(2，－2)，角速度为1，那么点 P到x轴的距离d关于时间t的函数 图象大致为( )

ABCD

【规范解答】 用t表示出OP与x轴正方向所成的角，然后利用三角函数的定义得到d的函数表达式即可．

π

∵P0(2，－2)，∴∠P0Ox＝.

4

π

按逆时针转时间t后，得∠POP0＝t，∠POx＝t－.

4

由三角函数定义，知点P的纵坐标为

?π?2sin?t－4?.

??

??π??

因此d＝2?sin?t－4??.

????

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π??π??

令t＝0，则d＝2?sin?－4??＝2，当t＝时，d＝0，

????4

故选C.

【名师点评】 解决本题的关键有以下两点： (1)结合圆周运动，准确理解题意，

π

根据三角函数定义，表示出d＝2sint－是关键．

4

(2)涉及函数图象判定问题，

结合函数的性质、特殊化思想是快捷求解的有效途径．

练习:《名师一号》P49对应训练

如图，已知l1⊥l2，圆心在l1上、半径为 1 m的圆O在t＝0时与l2相切于点A， 圆O沿l1以1 m/s的速度匀速向上移动， 圆被直线l2所截上方圆弧长记为x， 令y＝cosx，则y与时间t(0≤t≤1，单位：s)的函数y＝f(t)的图象大致为( )

ABCD

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解析 圆半径为1，设弧长x所对的圆心角为α，则

αx

α＝x，如图所示，cos＝1－t，即cos＝1－t，则y＝cosx

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x

＝2cos2－1＝2(1－t)2－1＝2(t－1)2－1(0≤t≤1)．其图象

2为开口向上，在[0,1]上的一段抛物线．

课后作业

计时双基练P241 基础1-11、培优1-4 课本P48-49变式思考1、2、3；对应训练

预习 第三章 第二节 同角三角函数的基本关系

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