大学物理——韩永胜——08第六章机械振动

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第六章机械振动本章重点 简谐振动的动力学和运动学描述 简谐振动的相 简谐振动的旋转矢量图描述 简谐振动的合成物体在其稳定平衡位置附近所作的往复运动称为机械振动(简称振动)

振动的特殊性在哪里？中国药科大学物理教研室(Phys. Dept. C.P.U.)

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§6.1简谐振动(Simple Harmonic Oscillation)简谐振动：物体振动时，决定其位置的坐标按余弦(或正弦)函数规律随时间变化弹簧振子(spring oscillator)的例子

k

m F

x0xk为劲度系数(coefficient of stiffness)中国药科大学物理教研室(Phys. Dept. C.P.U.)

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简谐振动的动力学分析小幅振动满足胡克定律：

F kx

物体所受的合外力与和位移成正比，方向始终指向平衡位置，称为线性回复力。由牛顿第二定律：即：或：

kx ma

ma k x 0d x k x 0 2 dt m中国药科大学物理教研室(Phys. Dept. C.P.U.)

2

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k 2令 m该微分方程的通解为：

d x 2 x 0 2 dt

2

x Acos( t )其中A和 为待定常数该方程也称为简谐振动的运动学方程中国药科大学物理教研室(Phys. Dept. C.P.U.)

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速度和加速度dx ) v A sin( t ) A cos( t dt 2 dv A 2cos( t ) A 2cos( t ) a dt以上两式表明，速度和加速度随时间的变化也满足简谐运动的规律，但与位移有相位差：速度超前位移π/2,加速度与位移反相 xA

o-A T

t中国药科大学物理教研室(Phys. Dept. C.P.U.)

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简谐振动的振幅、周期、频率和相位A—振幅(amplitude)离开平衡位置的最大位移

—角频率 (或称圆频率)(angular frequency)在 2π秒时间内完成全振动的次数 T—周期 (period)完成一次全振动所花的时间，倒数为频率 显然：

T

1

2

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t+ —相(位相、相位) (phase)在一次完全振动过程中，不同时刻物体的运动状态不同，这种不同就反映在相的不同上。同时，当振幅(初始条件决定)和角频率(系统特征决定)确定时，振动物体在任意时刻的坐标、速度、加速度也都由相决定。所以，不同的相表示不同的运动状态。

—初相 (initial phase)反映初始时刻振动系统的运动状态(决定于初始条件),通常取值范围取为[0, 2 或[- , ]。

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相差(用相来比较两个同频率振动的步调)

x1 A1 cos( t 1 ) x2 A2 cos( t 2 )称： ( t 1 ) ( t 2 ) 1 1为振动1和2的相差两个振动的相差表达了两个振动之间的超前与落后的关系。当频率相同时，相

差决定于初相差。初相差为0或2 的整数倍时，称为同相；初相差为 的奇数倍时，称为反相。中国药科大学物理教研室(Phys. Dept. C.P.U.)

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振幅和初相的确定x A cos( t ) x A sin( t )当知道t=0时的坐标x0和速度v0时就可求得A和 ,不过要注意速度的方向性。由：

x0 A cos v0 A sin 2 v0 2 A x0 2 tan v0 x0 中国药科大学物理教研室(Phys. Dept. C.P.U.)

解得：

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简谐振动的旋转矢量图表示y旋转矢量的模为A, t=0时，旋转矢量与 x轴的夹角为 ,旋转矢量的角速度为 。

A

xP A cos( t )矢量端点在 x轴上的投影点作简谐振动！

t

P

x

旋转矢量的某一位置对应简谐振动的一个运动状态中国药科大学物理教研室(Phys. Dept. C.P.U.)

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例子：单摆(simple pendulum)例子：单摆(simple pendulum)

d s mg sin m 2 dt 2 d mg sin ml 2 s l dt在小幅振动时：2

2

O

l T s

sin

d g 0 2 l dt

mg

g l

T 2

l g中国药科大学物理教研室(Phys. Dept. C.P.U.)

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例子：复摆(complex pendulum)例子：复摆(complex pendulum)

M mgl d 2 mgl J 2 dt

od 2 2 dt 2

mgl 2令 J m gl J

l

*C

T 2π

J

mgl

mg(C点为质心)

m cos( t )

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简谐振动的能量

k m0x振子动能振子势能2

v

x

1 2 1 Ek mv m 2 A2 sin 2 ( t ) 2 2 1 2 1 2 E p kx kA cos 2 ( t ) 2 2

m k

1 2 E E k E P kA 2——振子的总能量为常量！中国药科大学物理教研室(Phys. Dept. C.P.U.)

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x

x A cos ttEp

E

Ek

1 2 E kA 2

t1、简谐振动系统的机械能守恒。 2、简谐振动系统的总能量与振幅的平方成正比。中国药科大学物理教研室(Phys. Dept. C.P.U.)

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势能和动能的平均值

1 Ek T 1 Ep T

0

T 0

1 1 2 2 2 kA sin ( t )d t kA 4 21 1 2 2 2 kA cos ( t )d t kA 4 2

T

简谐振动系统的势能和动能的平均值，皆等于总能量的一半。

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§6.2谐振动的合成同方向简谐振动的合成 1、两个同方向、同频率简谐振动的合成

声源1

P

声源2

P点的运动就是两个同方向振动的合成

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若两个 x方向的简谐振动的角频率都是

x1 A1 cos( t 1 )x2 A2 cos( t 2 )

A2

A

x x1 x2

2

A1

1

x

同方向、同频率简谐振动的合成仍是简谐振动：

x A

cos( t )中国药科大学物理教研室(Phys. Dept. C.P.U.)

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合振动的振幅与初相 A2

A

22 1

2

A1

1

x

A A A2 2 A1 A2 cos( 2 1)A1 sin 1 A2 sin 2 tan A1 cos 1 A2 cos 2中国药科大学物理教研室(Phys. Dept. C.P.U.)

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相互加强与相互减弱

A A A2 2 A1 A2 cos( 2 1)2 1 2

1、若两振动

同相

2 1 2k A A1 A22、若两振动

k 0, 1, 2, 合振幅最大反相

2 1 (2k 1) A A1 A2

k 0, 1, 2,

合振幅最小中国药科大学物理教研室(Phys. Dept. C.P.U.)

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例题两个同方向的简谐振动曲线(如图所示) 1、求合振动的振幅。2、求合振动的振动表达式。 x x1 (t ) A1 A2解 x2 (t )

AA1

xA2

T

t

两个简谐振动同方向，同频率 =2π/T,反相合振动振幅： A A2 A1

合振动初相：

2

2 t )合振动的振动表达式： x A2 A1 cos( T 2中国药科大学物理教研室(Phys. Dept. C.P.U.)

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2、两个同方向、不同频率简谐振动的合成因为振动频率不同，参与合成的两个振动的相位差不再恒定，因此，合成的旋转矢量的长度和转动角速度也将不断改变，合成后的运动不再是简谐振动，如图所示。 y

A2

2

1 A1

t

上述两个简谐振动的合成运动曲线——与初相位差还有关系！中国药科大学物理教研室(Phys. Dept. C.P.U.)

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/1e04.html