中国石油大学 大物2-1 9章习题解答03

习题9

9-1．选择题

1．一质点作简谐振动,振动方程为x=Acos(?t＋?)，当时间t =T?2(T为周期)时，质点的速度为（ ） (A) ?A?sin? (B) A?sin? (C) ?A?cos? (D) A?cos?

2．两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同, 第一个质点的振动方程为x1=Acos(?t＋?)。当第一个质点从相对平衡位置的正位移处回到平衡位置时, 第二个质点正在最大位移处, 则第二个质点的振动方程为（ ）

(A) x2=Acos(?t＋?+?/2) (B) x2=Acos(?t＋???/2) (C) x2=Acos(?t＋??3?/2) (D) x2=Acos(?t＋?+?)

3．轻弹簧上端固定，下系一质量为m1的物体,稳定后在m1的下边又系一质量为m2的物体，于是弹簧又伸长了Δx ，若将m2移去，并令其振动，则振动周期为（ ）

(A) T=2 ?m2?x

m1g(B) T=2 ?m1?x

m2g(C) T=12?(D) T=2 ?m1?x m2gm2?x ?m1?m2?g4．一个质点作简谐振动，振辐为A，在起始时刻质点的位移为A/2，且向x轴的正方向运动，此简谐振动的旋转矢量图为（ ）

? A O A/2 ? x O A A/2 x －A/2 A O x －A/2 O x ? (C) ? A (A) (B) (D)

5.用余弦函数描述一简谐振动,已知振幅为A，周期为T，初位相?=－?/3，则振动曲线为下图中的（ ）

x A A/2 O (A)

－A/2 x A A/2 (C) O －A/2 t T/2 (D)

A/2 O －A/2 －A T/2 t A A/2 (B) O －A/2 x T/2 t x t t T/2

6.一质点作谐振动,振动方程为x=Acos(?t+?),在求质点振动动能时,得出下面5个表达式：

(1) (1/2) m? 2A2sin2 (?t+?) (2) (1/2) m?2A2cos2 (?t+?) (3) (1/2) kA2 sin (?t+?) (4) (1/2) kA2 cos 2 (?t+?) (5) (2?2/T2) mA2 sin2 (?t+?)

其中m是质点的质量，k是弹簧的倔强系数，T是振动的周期。下面结论中正确的是（ ）

(A) (1)，(4) 是对的 (B) (2)，(4) 是对的 (C) (1)，(5) 是对的 (D) (3)，(5) 是对的 (E) (2)，(5) 是对的

7.有一悬挂的弹簧振子，振子是一个条形磁铁，当振子上下振动时，条形磁铁穿过一个闭合圆线圈A(如习题9-1(7)图所示), 则此振子作（ ）

(A) 等幅振动 (B) 阻尼振动 (C) 强迫振动 (D) 增幅振动

8.一圆频率为?的简谐波沿x轴的正方向传播, t=0时刻的波形如习题9-1(8)图所示，则t=0时刻, x轴上各质点的振动速度v与坐标x的关系图应为（ ）

v(m?s-1)

1 · x(m)

(B)

O v(m?s-1) 1 ·x(m) 习题9-1(8)图

A y(m) 1 u 2 t=0 x(m) N 9-1(7)图 习题

＜ ＜ k ＜＜ ＜ ＜ S A O ?A

(A)

O ?A v(m?s-1) (C)

O 1 · x(m) (D)

O v(m?s-1) · 1 x(m) －?A －?A 9.一平面简谐波沿x轴负方向传播，已知x=x0处质点的振动方程为y=Acos(?t+?0)。若波速为u，则此波的波函数为（ ）

(A) y=Acos{? [t－(x0－x)/u]+?0} (B) y=Acos{? [t－(x－x0)/u]+?0} (C) y=Acos{?t－[(x0－x)/u]+?0} (D) y=Acos{?t+[(x0－x)/u]+?0}

10.习题 9-1(10) 图所示为一平面简谐波在t=0时刻的波形图，该波的波速u=200 m?s-1，则P处质点的振动曲线为下图中的（ ）

0.1 O y(m) Pu

100t=0 x(m) 习题9-1(10)图

0.1 (A)

O yP/m t/s 2 (B)

0.1 O yp/m t/s 0.5 0.1 (C)

O yP/m t/s 0.5 (D)

0.1 O yP/m t/s 1

11.一列机械横波在t时刻的波形曲线如习题9-1(11)图所示，则该时刻能量为最大值的媒质质元的位置是（ ）

(A) o′，b ，d， f (B) a，c ，e，g (C) o′，d (D) b，f

y o′ ? O

y x

B A 习题9-1(13)图 x 时刻t的波形

? d

a e c ? ? ? b ? 习题9-1(11)图

波速u

g ? f ? O

12.一平面简谐波在弹性媒质中传播，在某一瞬时，媒质中某质元正处于平衡位置，此时它的能量是（ ） (A) 动能为零，势能最大 (B) 动能为零，势能为零 (C) 动能最大，势能最大 (D) 动能最大，势能为零

13.习题9-1(13)图所示为一平面简谐机械波在t时刻的波形曲线。若此时A点处媒质质元的振动动能在增大,则（ ）

(A) A点处质元的弹性势能在减小 (B) 波沿x轴负方向传播

(C) B点处质元的振动动能在减小 (D) 各点的波的能量密度都不随时间变化

14.某时刻驻波波形曲线如习题9-1(14)图所示,则a、b两点的相位差是（ ） (A) ? (B) ?/2 (C) 5? /4 (D) 0

15.沿相反方向传播的两列相干波，其波动方程为

y1=Acos2? (νt－x/?) y2=Acos2? (νt + x/?)

叠加后形成的驻波中,波节的位置坐标为（ ）

A O y a ? ? ?/2 －A · ? b · x 习题9-1(14)图 (A) x=±k? (B) x=±k?/2 (C) x=±(2k+1)?/2 (D) x=±(2k+1)?/4

16.一机车汽笛频率为750 Hz, 机车以时速90公里远离静止的观察者，设空气中声速为340m?s，则观察者听到声音的频率是 （ ）

(A) 810 Hz (B) 699 Hz (C) 805 Hz (D) 695 Hz 9-2．填空题

习题9-2(4)图

-1

＜ ＜ ＜ k ＜＜ ＜ ＜ ＜ ＜ ＜ ＜ ＜ ＜ ＜ ＜ m 1．将单摆摆球从平衡位置向位移正方向拉开，使摆线与竖直方向成一微小角度?，然后由静止放手任其振动，从放手时开始计时，若用余弦函数表示其运动方程，则该单摆振动的初位相为 。 2．用40N的力拉一轻弹簧，可使其伸长20cm，此弹簧下应挂 kg的物体，才能使弹簧振子作简谐振动的周期T=0.2?s。

3．一质点沿x轴作简谐振动，振动范围的中心点为x轴的原点。已知周期为T,振幅为A。 (1) 若t=0时质点过x=0处且朝x轴正方向运动,则振动方程为x= 。 (2) 若t=0时质点处于x=A/2处且朝x轴负方向运动,则振动方程为x= 。 4．一劲度系数为k的轻弹簧截成三等份，取出其中的两根，将它们并联在一起，下面挂一质量为m的物体，如习题9-2(4)图所示，则振动系统的频率为 。

5．频率为100Hz，传播速度为300m?s-1的平面简谐波，波线上两点振动的相位差为?/3，则此两点相距为 。

6．如习题9-2(6) 图所示，在竖直平面内半径为R的一段光滑圆弧此物体是否作谐振动 ，振动周期为

习题9-2(6)图 R O

轨道上放一小物体，使其静止于轨道的最低点。若触动小物体，使其沿圆弧形轨道来回作小幅度运动，问。

7．一弹簧振子，当位移是振幅的一半时，该振动系统的动能与总能量之比是 ；位移为 时，动能和势能各占总能的量一半。

8．一弹簧振子，弹簧的劲度系数k=25N?m-1，当物体以初动能0.2J和初势能0.6J振动时，谐振动的振幅为 ；位移为 时，势能与动能相等；位移是振幅之半时，势能为 。 9．一作简谐振动的振动系统，其质量为2kg，频率为1000Hz，振幅为0.5cm，则其振动能量为 。

10．两个同方向的简谐振动曲线如习题9-2(10) 图所示,合振动的振幅为 ，合振动的振动方程为 。

11．一质点同时参与了两个同方向的简谐振动,它们的振动方程分别为

x1=0.05cos(? t+?/4) (m) x2=0.05cos(? t+19?/12) (m)

其合成运动的运动方程为x= 。 12．两谐振动的振动方程分别为 x1?5?10?2A2 A1 x x1(t) t T/2 T x2(t) 习题9-2(10)图 O co?0?3? (m) 4?st1x2?6?10cos?10t??4? (m)

?2其合振动的振幅和初相位分别为 和 。 13．一列余弦横波以速度u沿x轴正方向传播，t时刻波形曲线如习题9-2(13) 图所示，试分别指出图中A、B、C各质点在该时刻的运动方向：A ；B ; C 。

14. 已知一平面简谐波沿x轴正向传播,振动周期T=0.5s, 波长?=10m,振幅A=0.1 m。当t=0时波源振动的位移恰好为正的

最大值。若波源处为原点，则沿波传播方向距离波源为?/2处的振动方程为y= ；当t=T/2，x=?/4处质点的振动速度为 。 15．一平面简谐波，波速u=5m·s-1，t = 3s时波形曲线，如习题9-2(15)图所示，则x=0处的振动方程为 。

16．假设有一个点波源位于O点, 以点O为圆心作两个同心球面,它们的半径分别为R1和R2。若在两个球面上分别取相等的面积?S1和?S2，则通过它们的平均能流之比P P2= 。 117．在波长为?的驻波中，两个相邻波腹之间的距离为 。

18．在弹性介质中有一沿Ox轴正向传播的平面波，其波函数为y?0.01cos?4t??x??3? (m)，若在x=5.00m处有一介质分界面，且在分界面处反射波有半波损失，波的强度不衰减。试写出反射波的波函数 。

19．一弹性波在介质中传播的速度u=103 m?s-1，振幅A=1.0?10-4 m，频率?=103Hz。若该介质的密度为800kg?m3，该波的能流密度为 。

20．一弦上的驻波方程为y=3.00?10-2(cos1.6?x)?cos550?t (m)。

(1) 若将此波视为两列传播方向相反的波叠加而成，则两列波的振幅及波速分别为 和 ；

(2) 相邻波节之间的距离为 ;

(3) t=3.00?10-3s时，位于x=0.625m处质点的振动速度为 。 9-1．选择题

1．B；2．B；3．B；4．B；5．A；6．C；7．B；8．D；9．A；10．C；11．B；12．C；13．B；14．A；15．D；16．B 9-2．填空题 1．0 2．2

3．(1) Acos(2? t/T＋3?/2)；(2) x=Acos(2? t/T＋?/3)

0 y (102m)

－

y ·A ·B · C O u x 习题 9-2(13)图 u

x (m)

5 · · · · 15 · ·20 25 10

· －2 习题9-2(15)图

4．

12?6km 5．0.5m 6．是，2?gR

7．75%，x??22A

8．(1) 0.253m；(2) x=?0.179m；(3) 0.2J

2

9． 9.86?10J

10． A2?A1；y?Acos?11．x=0.05cos(?t-?/12) 12．7.81?10-2m；1.48rad 13．向下，向上，向上

14． y=0.1cos(4?t－?) (m )；-0.4? (m?s-1) 15．y=2×10－2cos(?t＋? ) (m )

216． R2

?2?t???

??T?R1217．?/2

18．y?0.01cos?4t??x?19．1.58?105W?m?2

20．(1) A=1.50?10?2m；343.8m?s-1；(2) 0.625m；(3) ?46.2 m?s-1

??4??(m) ?3?

9-3．一轻弹簧在60N的拉力下伸长30cm。现把质量为4kg物体悬挂在该弹簧的下端并使

之静止，再将物体向下拉10cm，然后释放并开始计时。试求： (1) 物体的振动方程；

(2) 物体在平衡位置上方5cm时弹簧对物体的拉力；

(3) 物体从第一次越过平衡位置时刻起，到它运动到上方5cm处所需要的最短时间。

[解] (1)取平衡位置为坐标原点，竖直向下为正方向，建立坐标系

k?60?200N/m?230?10k200??7.07rad/sm4A?0.1m

??设振动方程为 x?0.1cos?7.07t??? t?0时 x?0.1 0.1?0.1co?s ??0

故振动方程为 x?0.1cos?7.07t?(2)设此时弹簧对物体作用力为F，则

（m）

F?k??x??k?x0?x?

其中 x0?mg40??0.196m k200因而有 F?200??0.196?0.05??29.2N

(3)设第一次越过平衡位置时刻为t1，则

0?0.1cos?7.07t1? t1?0.5?7.07 第一次运动到上方5cm处时刻为t2 ，则

?0.05?0.1cos?7.07t2? t2?2??3?7.07? 故所需最短时间为：

?t?t2?t1?0.07s4

9-4．一质量为M的物体在光滑水平面上作谐振动，振幅12cm，在距平衡位置6cm处速度为24 cm?s-1，试求：周期T和速度为12 cm?s-1时的位移。

[解] (1) 设振动方程为x?Acos??t???cm

以A?12cm、x?6cm、v?24cm?s?1代入，得：

6?12cos??t??? 24??12?sin??t??? 利用sin2??t????cos2??t????1则

?6??24???????1 12?12?????解得 ???122432?3 T????2.72s 3?2(2) 以v?12cm?s代入，得：

12??12?sin??t?????163sin??t???

??t?????解得： sin所以 cos??t?????故 x?12cos??t????12???3 413 4???13????10.8cm 4??

9-5．一谐振动的振动曲线如习题9-5图所示，试求振动方程。

[解] 设x?Aco?s?t???

振

动

方

程

为

x (cm)10 t/ s根据振动曲线可画出旋转矢量图

0 ： 2 -5 -10 习题9-5图

由图可得：

??2?3

???故振动方程为 x?10cos?

??????5? ????2??t?32?12-A-A/2??x?5?t2????123?? （cm）9-6．一质点沿x轴作简谐振动，其角频率?=10 rad?s，试分别写出以下两种初始状态的

振动方程：

(1) 其初始位移x0＝7.5 cm，初始速度v0=75.0 cm?s； (2) 其初始位移x0＝7.5 cm，初速度v0=?75.0cm?s-1。

[解] 设振动方程为 x?Acos?10t??? (1) 由题意得： 7.5?Aco?s

-1

-1

75??10Asin?

解得：????4 A=10.6cm 故振动方程为：

x?10.6cos?10t??4?cm

(2) 同法可得： x?10.6cos?10t??4?cm

9-7．一轻弹簧在60 N的拉力作用下可伸长30cm，现将一物体悬挂在弹簧的下端并在它上面放一小物体，它们的总质量为4kg。待其静止后再把物体向下拉10cm，然后释放。试问：

(1) 此小物体是停止在振动物体上面还是离开它？

(2) 如果使放在振动物体上的小物体与振动物体分离，则振幅A需满足何条件?两者在何位置开始分离?

[解] (1)小物体停止在振动物体上不分离。

(2) 设在平衡位置弹簧伸长l0，则kl0?Mg

N60??200N?s-1 l0.3Mg4?9.8故 l0???0.196m

k200又 k?当小物体与振动物体分离时 kA?kl0??Mg?，即 A?l0，

故在平衡位置上方0.196m处开始分离。

9-8．一木板在水平面上作简谐振动，振幅是12cm，在距平衡位置6cm处，速度是24 cm?s-1。如果一小物块置于振动木板上，由于静摩擦力的作用，小物块和木板一起运动(振动频率不变)，当木板运动到最大位移处时物块正好开始在木板上滑动，试问物块与木板之间的静摩擦系数?是多大?

[解] 设振动方程为 x?12co?s?t??? 则： v??12?sin??t??? 以x=6cm v=24cm/s代入得：

6?12cos??t??? 24??12?sin??t???

解得 最大位移处： a?A?2

??43rad?s-1 3F?ma?mA?2

由题意，知 ?mg?mA?2

??A?2g?0.0653

9-9．两根劲度系数分别为k1和k2的轻弹簧串接后，上端固定，下端与质量为m的物体相连结，组成振动系统。当物体被拉离平衡位置而释放时，物体是否作谐振动? 若作谐振动，其周期是多少? 若将两弹簧并联，其周期是多少?

[解] (1) 串接：物体处平衡位置时，两弹簧分别伸长x10、x20

mg?k2x20 (1) k1x10?k2x20 (2)

取平衡位置为坐标原点，坐标向下为正，令物体位移为x，两弹簧再次伸长?x1、?x2，则

F?mg?k2?x20??x2?

由(1)知 F??k2?x2 (3) 又 k1?x1?k2?x2 (4)

?x1??x2?x (5)

由(4)、(5)得 ?x2?k1x (6)

k1?k2将(6) 代入(3)得 F??k1k2kx

1?k2看作一个弹簧 F??kx 所以 k?k1k2k?k

12因此物体做简谐振动，角频率

??kk1k2m?m?k 1?k2?周期 T?2???2?m?k1?k2?k

1k2(2) 并接：物体处于平衡位置时，mg?k1x0?k2x0 取平衡位置为坐标原点，向下为正，令物体有位移x 则 F?mg?k1x1?k2x2 式中x1、x2分别为两弹簧伸长

x1?x0?x x2?x0?x

所以 F?mg?k1?x0?x??k2?x0?x? 将(7)代入得 F???k1?k2?x 看作一个弹簧 F??kx 所以 k?k1?k2 因此该系统的运动是简谐振动。 其角频率 ??kkm?1?k2m 因此周期 T?2???2?mk?k

12(7) k1k2x0mOx

9-10．如习题9-10图所示，半径为R的圆环静止于刀口点O上，令其在自身平面内作微小的摆动。试求：

(1) 求其振动的周期；

(2) 求与其振动周期相等的单摆的长度。 [解] (1) 设圆环偏离角度为?

M??Rmgsin?

d2?M?J??J2

dt J?mR2?md2?2mR2

d2?2mR??Rmgsin??Rmg? 2dt2gd2????0 所作振动为简谐振动 dt22R??g 2R所以 T?2?2R g2R的摆长为2R。 g(2) 等效单摆周期为T?2?

9-11．如习题9-11图所示，有一水平弹簧振子，弹簧的劲度系数k=24N?m-1，重物的质量为m=6kg，重物静止在平衡位置上。设以一水平恒力F?10 N向左作用于物体(无摩擦)，使之由平衡位置向左运动了0.05 m，此时撤去力F。当重物运动到左方最大位置时开始计时，求物体的振动方程。

[解] 以平衡位置为坐标原点，向右为正方向建立坐标系, 设振幅为A，由功能原理可得

K

m

F

FS?kA2

因此 A??2FSk?122O

习题9-11图

12??2?10?0.0524??0.204m

???km?12?2rad?s-1

又因物体运动到左边最大位移处开始计时,故初相为?

s2t???故得运动方程为 x?0.204co?

m

A2???AA1 9-12．两个同方向、同频率的谐振动，其合振动的振幅为 20cm，合振动与第一个谐振动的相位差为?。若第一个谐振动的振幅为106试求第二个谐振动的振幅及第一、二两谐3cm，

振动的相位差。

[解] 由题意可画出两简谐振动合成的矢量图，由图知

A2?A12?A2?2A1Acos?6?10cm

2易证 A12?A2?A

故第一、二两振动的相位差为 ????

?2

9-13．质量为0.4kg的质点同时参与两个互相垂直的振动

x?8.0?10cos??t3??6??2（m）

y?6.0?10cos???t3??3? (m)

?2试求：(1) 质点的轨迹方程；(2) 质点在任一位置所受的作用力。

[解] (1) y方向的振动可化为

y?6.0?10?2sin??t3??6?

消去三角函数部分可得质点的轨迹方程为

y2x2??1 220.080.06(2) 由 x?8.0?10?2co?s?t3??6? 可得 ax??0.08同理 ay??0.06?29co?s?t3??6? co?s??t3??3?

?29因此 F?ma?maxi?ayj

???2??????m[0.08cos(t?)i?0.06cos(?t?)j]??0.483?xi?yj?93?36

N

9-14．一简谐波的周期T?0.5s，波长??10m，振幅A?0.1m。当t?0时刻，波源振动的位移

恰好为正方向的最大值。若坐标原点与波源重合，且波沿Ox轴正向传播；试求： (1)此波的波函数；

(2)

t1?T时刻x??处质点的位移；

4411(3)t?T时刻，x22??处质点的振动速度。 4[解] (1)由已知条件??1?2，可设波函数为： Tx y?Acos[2?(?t?)??]?0.1cos[2?(2t?x/10)??]

?由已知 t=0，x=0时，y=0.1m 故 0.1?0.1co?s 由此得

??0

因而波函数为

y?0.1cos[4?(t?x/20)](2) t1?T4，x1??4处:

(m)

y?0.1cos4?(1/8?10/80)?0.1(3) t2?T2，x2??4处，振动速度为

(m)

v2??0.4?sin4?(t?x/20)

??0.4?sin4?(1/4?10/80)??1.26m?s-1

9-15．一平面简谐波沿Ox轴正向传播，其振幅为A，频率为?，波速为u。设t=t?时刻的波形曲线如习题9-15图所示。试求： (1) x=0处质点的振动方程； (2) 该波的波函数。

[解] (1) 设x=0处该质点的振动方程为：

??t??) y?Acos2(由t?t?时波形和波速方向知，v?0，x＝0； t?t'时 2??t?????2

故 ???2??t???2 所以x=0处的振动方程为:

?2??t'+?y?Acos[2??(t?t?)??/2](m)

y(2) 该波的波函数为：

y?Acos[2??(t?t??x/u)??/2](m)

9-16．根据如习题9-16图所示的平面简谐波在t=0时刻的波形图，试求：

(1) 该波的波函数； (2) 点P处的振动方程。

[解] 由已知，得u?0.08m?s-1，??0.4m T??u?0.40.08?5s

(1) 设波函数为

y?0.04cos2[?(t/5?x/0.4)??] 当t=0，x=0时，由图知x?0,v?0 因此

???

?2 (或??3?) 2则波函数为

y?0.04cos[2?(t/5?x/0.4)??/2](2) 将P点坐标代入上式，得

(m)

?yyp?0.04cos(0.4?t?3?/2)(m)

?

9-17．一平面简谐波沿Ox轴正向传播，其振幅和角频率分别为A和?，波速为u，设t=0时的波形曲线如习题9-17图所示： (1) 写出该波的波函数；

(2) 求距点O分别为?和3?两处质点的振动方程；

88(3) 求距点O分别为?和3?的质点在t＝0时的振

88动速度。

[解] (1)由图知???2，故 波函数

??x??? y?Acos???t????

??u?2? (2) x?

????s?t?? 时 y?Aco?4?8? x????3?s?t?? 时 y?Aco?4?8????yx?????A?sin???t???? ?t??u?2? (3) v? v1t?0x??8?8???2???A?sin?2????A?sin??A? ???242?? v1

t?03?x?83?8??2??????A?sin?2????A?sin??A? ?????242????y(m) 0.02 O u=20m?s-1 22Ay(m) 100m ?P x(m) Q P ? ? 20 40 习题9-18图 x(m) O -A 习题9-19图

9-18．如习题9-18图所示为一平面简谐波在t?0时刻的波形图，试画出点P处质点与点Q

处质点的振动曲线，并写出相应的振动方程。

[解] u?20m?s-1，??40m， T?P处振动曲线 振动方程

?u?40?2s 20???yP?0.20cos??t??2??(2) Q处的振动曲线

(m)

振动方程 yQ?0.20cos??t???(m)

9-19．如习题9-19图所示为一平面简谐波在t=0时刻的波形图。设简谐波的频率为250 Hz，

且此时质点P的运动方向向下。试求： (1) 该波的波函数；

(2) 在距点O为100m处质点的振动方程与振动速度表达式。

[解] (1) ??250Hz，??200m，又因P点运动方向向下，则波向左传播，设波函数为

y?Acos?2??250t??????x????? 200??t=0，x=0时 y??2A?Aco?s，则???

42?4（或由旋转矢量图知??因v0?0，所以取???4）

故波函数为y?Acos?2??250t?????x?????200?4??(m)

(2) x=100m时，

5?????100????Acos500?t? y?Acos?2??250t??????4200?4?????

v?当x=100m时，

???yx?????500?Asin?2??250t???? ?t200?4???5???v??500?Asin?500?t??4??9-20．如习题9-20图所示，两列波长均为?的相干简

谐波分别通过图中的点O1和O2，通过点O1的简谐波在M1M2平面反射后，与通过点O2简谐波在点P相遇。假定波在M1M2平面反射时有半波损失，O1和O2两点的振动方程分别为y10?Acos?t和y20?Acos?t，且

O1m?mP??8，O2P?3?，试求：

(m?s-1)

M1 M2 P ? O2 ? 习题9-20图 ? m O1 ? (1) 两列波分别在点P引起的振动方程；

(2) 点P的合振动方程(假定波在传播过程中无吸收)。

2?x1??[解] (1) y1P?Acos??t????

???2??8????Acos??t?????Acos??t???

???2??3???y2P?Acos??t???Acos?t

???(2) y合?y1P?y2P?Acos??t????Acos?t?0

9-21．如习题9-21所示，两相干波源S1和S2之间的距离为d=30m，且波沿Ox轴传播时

不衰减，x1=9m和x2=12m处的两点是相邻的两个因干涉而静止的点。试求两波的波长和两波源间的最小相位差。

[解] 由题意得 ??2(12?9)?6m

S1 ? S2 ? ????2??1?2??(r2?r1)?(2k?1)?O d x

习题9-21图

对x?9m处 r2?r1?12m

所以 ?2??1?(2k?1)??2?(r2?r1)??(2k?1)??4?(k?0,?1,?2?)

因此 (?2??1)min???

9-22．在均匀介质中，有两列余弦波沿Ox轴传播，波函数分别为y1?Acos2???t??y2?2Acos2???t?????x????和????????x????。试求Ox轴上合振幅最大与合振幅最小的点的位置。 ???[解] 合振幅最大点满足的条件是

2???t?x???2???t?x????2k?

可得 x??k? ?k?0,1,2,?? 合振幅最小点满足的条件是

122???t?x???2???t?x?????2k?1??

可得 x??2k?1? ?k?0,1,2,?? 4 9-23．一汽笛发出频率为1000Hz的声波，汽笛以10m?s-1的速率离开你而向着一悬崖运动，空气中的声速为340m?s-1。试求：

(1) 你听到直接从汽笛传来的声波的频率为多大? (2) 你听到从悬崖反射回来的声波的频率是多大?

u340?1000??971.4Hz

u??u340?10u330?1000??1030.3Hz (2) ?2??0u??u330?10[解] (1) ?1??0

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