线性代数习题及答案

高数选讲线性代数部分作业

1．已知n阶方阵满足A2+2A-3I＝O，则(A+4I)-1为 .

2．设n阶方阵满足Am?I,m为正整数，又矩阵B?(Aij)n?n,其中Aij为行列式|A|中元素ａij 的代数余子式，则Bm为（ ）。

3．已知n阶方阵

?2??0A??0????0?22?2??11?1?01?1?，则A中所有元素的代数余子式之和为（ ）。

??????00?1??

4．设Ax?[?1,?2,?3,?4]x?b有通解k[1,-2,1,3]T+[2,1,1,4]T,其中k是任意常数，则方程组Bx?[?5,?2,?3,?4]x?b必有一个特解是（ ）

5．设A与B是n阶方阵，齐次线性方程组Ax＝0与Bx＝0有相同的基础解系?1,?2,?3，则在下列方程组中以?1,?2,?3为基础解系的是（ ） (A) (A?B)x?0 (B) ABx?0 (C) BAx?0 (D) ??B??x?0

?A???6．设A、B为四阶方阵，r(A)?4,r(B)?3,则r[AB]为( )

（A）1． （B）2. （C）3. （D）4 .

7．设n阶矩阵A与B等价，则（ ）成立。

(A)detA=detB (B) detA?detB (C)若detA?0，则必有detB?0(D) detA=－detB

8．设?1,?2,?3,?4是四维非零向量组，A?(?1,?2,?3,?4),A*是A的伴随矩阵，已知方程组

T

AX?0的基础解系为k（1，0，2，0）,则方程组A*X?0的基础解系为（ ） (A) ?1,?2,?3 (B) ?1??2,?2??3,?3??1

(C)?2,?3,?4 (D) ?1??2,?2??3,?3??4,?4??1

*

9．设A是m?n矩阵，则下列命题正确的是：（ ） （A） 若R(A)＝m，则齐次方程组Ax＝0只有零解。 （B） 若R(A)＝n，则齐次方程组Ax＝0只有零解。 （C） 若m

（D） 若m?n，则非齐次方程组Ax＝0要么无解，要么有唯一解，两者必居其一。

10．设?1,?2,?3是3维列向量，记矩阵A＝(?1,?2,?3)，B＝(?2,?3,?1)，C=2A-B， 已知|A|=1,则|C|为（ ）。

?a11x1?a12x2?a13x3?a14x4?a15??a21x1?a22x2?a23x3?a24x4?a2511．四元非齐次线性方程组?的通解为 ?a31x1?a32x2?a33x3?a34x4?a35?ax?ax?ax?ax?a43344445?411422??x＝（1，－1，0，1）T＋k（2，－1，1，0）T,k为任意常数，记?t?(a1t,a2t,a3t,a4t),i?1,2,3,4,5 则以下命题错误的是

（A）?4能由?1，?2，?3，?5线性表示 (B) ?4能由?1，?2，?3线性表示

(C) ?3能由?1，?2，?4，?5线性表示 (D) ?3能由?1，?2，?4线性表示

?x1?x2?ax3?4?212．知线性方程??x1?ax2?x3?a有无穷多解，求a的取值并求通解。

?x?x?2x??423?1

13．设A是n阶方阵，?1,?2是A的两个不同的特征值，?1,?2是A的对应于?1的线性无关特征向量，?1,?2是A的对应于?2的线性无关特征向量，证明?1,?2,?1,?2线性无关。

?1a1???14．已知矩阵A??a1b?的秩为1，且(0,1,?1)T是A的一个特征向量，（1）求参数a,b;

?1b1???（2）求可逆矩阵P和对角矩阵D，使得PAP?D.

15．设5阶实对称矩阵A满足A?5A?6E?0，其中E是5阶单位矩阵，已知A?2E的秩为2，

（1） 求行列式A?E的值；（2）判断A是否为正定矩阵？证明你的结论。 （2）A的特征值全为正数，所以A是正定矩阵。

2?116．17．

18．

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