高中数学第二章圆锥曲线与方程22椭圆222第2课时椭圆方程及性质的

2.2.2 第2课时 椭圆方程及性质的应用

[课时作业] [A组 基础巩固]

x2y2

1．直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是( )

5mA．m>1 C．0

解析：∵直线y＝kx＋1恒过(0,1)点， 若5>m，则m≥1，若5

B．m≥1或0

x2y23

2．椭圆2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，若直线y＝kx与其一个交点的横坐标为b，则kab3

的值为( )

A．±1 B．±2 C．±解析：因为椭圆的离心率为

23

3

D．±3 3

3c3312222

，所以有＝，即c＝a，c＝a＝a－b，所以 3a333

b2＝a2.当x＝b时，交点的纵坐标为y＝kb，即交点为(b，kb)， b2k2b222132

代入椭圆方程2＋2＝1，即＋k＝1，k＝，所以k＝±，选C.

ab333

答案：C

x2y2

3．已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直

ab→→

线AB交y轴于点P.若AP＝2PB，则椭圆的离心率是( ) A.

3211 B. C. D. 2232

2

b??解析：由题意知：F(－c,0)，A(a,0)，B?－c，±?.

a??

∵BF⊥x轴，∴＝. APaPBcac1→→

又∵AP＝2PB，∴＝2即e＝＝. ca2

答案：D

1

4．若点(x，y)在椭圆4x＋y＝4上，则A．1 2

C．－3

3解析：由题意知

22

yx－2

的最小值为( ) B．－1 D．以上都不对

yx－2

的几何意义是椭圆上的点(x，y)与点(2,0)两点连线的斜率，∴当直线

yy＝k(x－2)与椭圆相切(切点在x轴上方)时，＝k最小．

x－2

??y＝k?x－2? 由?22

?4x＋y＝4 ?

22

2

整理得(4＋k)x－4kx＋4k－4＝0.

2323

(k＝舍去)时，符合题33

22222

Δ＝(－4k)－4(4＋k)(4k－4)＝16(4－3k)＝0，即k＝－意． 答案：C

22

5．已知椭圆C：＋y＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交椭圆C于点B，

2→→→

若FA＝3FB，则|AF|＝( ) A.2 B．2 C.3 解析：设点A(2，n)，B(x0，y0)． 由椭圆C：＋y＝1知a＝2，b＝1，

2∴c＝1，即c＝1.∴右焦点F(1,0)． →→由FA＝3FB，

得(1，n)＝3(x0－1，y0)． ∴1＝3(x0－1)且n＝3y0. 41∴x0＝，y0＝n.

33

将x0，y0代入＋y＝1，得

21?4?2?1?2

×??＋?n?＝1. 2?3??3?解得n＝1，

→22

∴|AF|＝?2－1?＋n＝1＋1＝2. 故选A. 答案：A

2

22

x2

2

D．3

x2

222

x2

2

6．如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在x轴上，且a－c＝3，那么椭圆的方程是________．

解析：若短轴的端点与两焦点组成一个正三角形，则a＝2c， 又a－c＝3， 故c＝3，a＝23， ∴b＝(23)－3＝9， 椭圆的方程为＋＝1.

129答案：＋＝1

129

7．设P，Q分别为圆x＋(y－6)＝2和椭圆＋y＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是

10________．

解析：如图所示，设以(0,6)为圆心，以r为半径的圆的方程为x2

2

2

2

2

2

2

x2y2

x2y2

x2

2

＋(y－6)＝r(r＞0)，与椭圆方程＋y＝1联立得方程组，消掉

10

x2

2

x2得9y2＋12y＋r2－46＝0.

令Δ＝12－4×9(r－46)＝0，解得r＝50， 即r＝52.

由题意易知P，Q两点间的最大距离为r＋2＝62. 答案：62

8．已知动点P(x，y)在椭圆

→→→

＋＝1上，若A点坐标为(3,0)，|AM|＝1，且PM·AM＝0，2516

2

2

2

x2y2

→

则|PM|的最小值是________．

解析：易知点A(3,0)是椭圆的右焦点． →→

∵PM·AM＝0， →→∴AM⊥PM.

→2→2→2→2

∴|PM|＝|AP|－|AM|＝|AP|－1，

→

∵椭圆右顶点到右焦点A的距离最小，故|AP|min＝2，

3

→

∴|PM|min＝3. 答案：3

9．已知椭圆的短轴长为23，焦点坐标分别是(－1,0)和(1,0)． (1)求这个椭圆的标准方程；

(2)如果直线y＝x＋m与这个椭圆交于不同的两点，求m的取值范围． 解析：(1)∵2b＝23，c＝1， ∴b＝3，a＝b＋c＝4. ∴椭圆的标准方程为＋＝1.

43

2

2

2

x2y2

y＝x＋m，??22

(2)联立方程组?xy＋＝1，??43

2

2

消去y并整理得7x＋8mx＋4m－12＝0.

若直线y＝x＋m与椭圆＋＝1有两个不同的交点，

43则有Δ＝(8m)－28(4m－12)＞0，即m＜7， 解得－7＜m＜7.

10．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，

54求△OAB的面积．

解析：椭圆的右焦点为F(1,0)， ∴lAB：y＝2x－2. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

2

2

2

x2y2

x2y2

y＝2x－2，??22由?xy＋＝1，??54

得3x－5x＝0，

2

5∴x＝0或x＝，

3

?54?∴A(0，－2)，B?，?， ?33?

1

∴S△AOB＝|OF|(|yB|＋|yA|)

21?4?5＝×1×?2＋?＝. 2?3?3

[B组 能力提升]

4

x2y2

1．已知F1，F2是椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左，右焦点，过F1的直线与椭圆相交于A，B两点，

ab若AB·AF2＝0，|AB|＝|AF2|，则椭圆的离心率为( ) A.6－3 B.3－2 C.3－1 D.2－1

解析：在Rt△ABF2中，设|AF2|＝m，则|AB|＝m，|BF2|＝2m，所以4a＝(2＋2)m. 又在Rt△AF1F2中，|AF1|＝2a－m＝6m. 2

62

23?2?

m，|F1F2|＝2c，所以(2c)2＝?m?2＋m2＝m2，则2c22?2?

→→→→＝

2c所以椭圆的离心率e＝＝＝6－3.

2a2

1＋

2答案：A

x2y212

2．设椭圆2＋2＝1(a>b>0)的离心率e＝，右焦点为F(c,0)，方程ax＋bx－c＝0的两个

ab2

实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)( ) A．必在圆x＋y＝2内 B．必在圆x＋y＝2上 C．必在圆x＋y＝2外 D．以上三种情形都有可能 1

解析： ∵e＝，

2∴a＝2c，

∴a＝4c，b＝a－c＝3c， ∴b＝3c，

方程ax＋bx－c＝0， 可化为2cx＋3cx－c＝0， 即2x＋3x－1＝0， ∴x1＋x2＝－31，x1x2＝－， 22

3

4

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

x21＋x2＝(x1＋x2)－2x1x2＝－2×?－?

2

?1???

7

＝<2， 4

∴P(x1，x2)必在圆x＋y＝2内．故选A.

5

2

2

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/1dlp.html