中考数学几何证明、计算题汇编及解析

1、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°,且AB=1，BC=2，tan∠ADC=2.

(1) 求证：DC=BC;

(2) E是梯形内一点，F是梯形外一点，且∠EDC=∠FBC，DE=BF，试判断△ECF的形状，并证明你的结论； (3) 在（2）的条件下，当BE：CE=1：2，∠BEC=135°时，求sin∠BFE的值.

AB[解析] （1）过A作DC的垂线AM交DC于M,

则AM=BC=2.

又tan∠ADC=2,所以DM?(2)等腰三角形.

E2?1.即DC=BC. 2FDC证明：因为DE?DF,?EDC??FBC,DC?BC. 所以，△DEC≌△BFC

所以，CE?CF,?ECD??BCF.

所以，?ECF??BCF??BCE??ECD??BCE??BCD?90? 即△ECF是等腰直角三角形.

（3）设BE?k,则CE?CF?2k，所以EF?22k. 因为?BEC?135?，又?CEF?45?，所以?BEF?90?. 所以BF?k2?(22k)2?3k

所以sin?BFE?k1?. 3k3

2、已知：如图，在□ABCD 中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G． （1）求证：△ADE≌△CBF；

（2）若四边形 BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论．

[解析] （1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠1＝∠C，AD＝CB，AB＝CD ． ∵点E 、F分别是AB、CD的中点， ∴AE＝

11AB ，CF＝CD ． 22∴AE＝CF

∴△ADE≌△CBF ．

（2）当四边形BEDF是菱形时， 四边形 AGBD是矩形．

∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC ． ∵AG∥BD ，

∴四边形 AGBD 是平行四边形．

∵四边形 BEDF 是菱形， ∴DE＝BE ． ∵AE＝BE ，

∴AE＝BE＝DE ．

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．

∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°， ∴2∠2＋2∠3＝180°． ∴∠2＋∠3＝90°． 即∠ADB＝90°． ∴四边形AGBD是矩形

3、如图13－1，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转．

（1）如图13－2，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，

猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；

（2）若三角尺GEF旋转到如图13－3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段

BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

F N D( F ) C D C C D N F O O O

G E A M B A A( G ) B( E ) B M E G

图13－1 图13－2

图13－3

[解析]（1）BM=FN．

证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，

∴ ∠ABD =∠F =45°，OB = OF． 又∵∠BOM=∠FON， ∴ △OBM≌△OFN ． ∴ BM=FN．

（2） BM=FN仍然成立．

（3） 证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，

∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF． ∴∠MBO=∠NFO=135°．

又∵∠MOB=∠NOF， ∴ △OBM≌△OFN ． ∴ BM=FN．

4、如图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于E，连结AD、BD、OC、OD，且OD＝5。

（1）若sin∠BAD?3，求CD的长； 5（2）若 ∠ADO：∠EDO＝4：1，求扇形OAC（阴影部分）的面积（结果保留?）。

[解析] （1）因为AB是⊙O的直径，OD＝5

所以∠ADB＝90°，AB＝10

BD AB3BD3?，所以BD?6 又sin∠BAD?，所以

5105在Rt△ABD中，sin∠BAD?AD?AB2?BD2?102?62?8

因为∠ADB＝90°，AB⊥CD

所以DE·AB?AD·BD，CE?DE 所以DE?10?8?6 所以DE?24 548 5

所以CD?2DE?（2）因为AB是⊙O的直径，AB⊥CD

所以CB?BD，AC?AD

所以∠BAD＝∠CDB，∠AOC＝∠AOD 因为AO＝DO，所以∠BAD＝∠ADO 所以∠CDB＝∠ADO

设∠ADO＝4x，则∠CDB＝4x

由∠ADO：∠EDO＝4：1，则∠EDO＝x 因为∠ADO＋∠EDO＋∠EDB＝90° 所以4x?4x?x?90? 所以x＝10°

所以∠AOD＝180°－（∠OAD＋∠ADO）＝100° 所以∠AOC＝∠AOD＝100°

⌒⌒⌒⌒S扇形OAC?100125???52?? 36018

5、如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G.

（1）求证：点F是BD中点； （2）求证：CG是⊙O的切线； （3）若FB=FE=2，求⊙O的半径．

[解析] (1)证明：∵CH⊥AB，DB⊥AB，∴△AEH∽AFB，△ACE∽△ADF

∴

EHAECE，∵HE＝EC，∴BF＝FD ??BFAFFD

(2)方法一：连接CB、OC，

∵AB是直径，∴∠ACB＝90°∵F是BD中点， ∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO ∴∠OCF=90°,∴CG是⊙O的切线---------6′

方法二：可证明△OCF≌△OBF(参照方法一标准得分) (3)解：由FC=FB=FE得：∠FCE=∠FEC 可证得：FA＝FG，且AB＝BG

1 由切割线定理得：（2＋FG）2＝BG×AG=2BG2 ○2 在Rt△BGF中，由勾股定理得：BG2＝FG2－BF2 ○

1、○2得：FG2-4FG-12=0 由○

解之得：FG1＝6，FG2＝－2（舍去）

∴AB＝BG＝42 ∴⊙O半径为22

6、如图，已知O为原点，点A的坐标为（4，3），

⊙A的半径为2．过A作直线l平行于x轴，点P在直线l上运动． （１）当点P在⊙O上时，请你直接写出它的坐标；

（２）设点P的横坐标为12，试判断直线OP与⊙A的位置关系，并说明理由.

[解析]

解: ⑴点P的坐标是（2,3）或（6,3）

⑵作AC⊥OP,C为垂足.

∵∠ACP=∠OBP=90,∠1=∠1

∴△ACP∽△OBP

?ACAP? OBOPAC8? 在Rt?OBP中,OP?OB2?BP2?153,又AP=12-4=8, ∴ 3153∴

∴AC=24?153≈1.94

∵1.94<2

∴OP与⊙A相交.

7、如图，延长⊙O的半径OA到B，使OA=AB，

C E DE是圆的一条切线，E是切点，过点B作DE的垂线， 垂足为点C. 求证：∠ACB=

1∠OAC. 3D O

A

B

[解析]

证明：连结OE、AE，并过点A作AF⊥DE于点F， （3分）

∵DE是圆的一条切线，E是切点， ∴OE⊥DC， 又∵BC⊥DE,

∴OE∥AF∥BC.

∴∠1=∠ACB，∠2=∠3.

∵OA=OE， ∴∠4=∠3. ∴∠4=∠2.

又∵点A是OB的中点， ∴点F是EC的中点. ∴AE=AC.

∴∠1=∠2. ∴∠4=∠2=∠1.

即∠ACB=

1∠OAC. 3?8、如图１，一架长4米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，梯子与地面的倾斜角α为60． ⑴求AO与BO的长；

⑵若梯子顶端A沿NO下滑，同时底端B沿OM向右滑行.

①如图2，设A点下滑到C点，B点向右滑行到D点，并且AC:BD=2:3，试计算梯子顶端A沿NO下滑多少米；

②如图３，当A点下滑到A’点，B点向右滑行到B’点时，梯子AB的中点P也随之运动到P’点．若∠POP’＝ 15，试求AA’的长．

?

[解析]

⑴Rt?AOB中,∠O=90,∠α=60 ∴,∠OAB=30，又ＡＢ＝4米，

???1AB?2米. 23OA?AB?sin60??4??23米. -------------- (3分)

2 ∴OB?

⑵设AC?2x,BD?3x,在Rt?COD中,

OC?23?2x,OD?2?3x,CD?4

根据勾股定理:OC2?OD2?CD2

∴?23?2x?2??2?3x?2?42 ------------- (5分)

∴13x2??12?83?x?0 ∵x?0 ∴13x?12?83?0

∴x?83?1213 ------------- (7分) AC=2x=163?2413 即梯子顶端A沿NO下滑了163?2413米. ---- (8分)

⑶∵点P和点P?分别是Rt?AOB的斜边AB与Rt?A'OB'的斜边A'B'的中点∴PA?PO，P'A'?P'O ------------- (9分) ∴?PAO??AOP,?P?A?O??A?OP?------- (10分) ∴?P?A?O??PAO??A?OP???AOP

∴?P?A?O??PAO??POP??15?

∵?PAO?30?

∴?P?A?O?45? ----------------------- (11分)

∴A?O?A?B??cos45??4?22?22----- (12分)

∴AA??OA?A?O?(23?22)米. -------- (13分)

⑵设AC?2x,BD?3x,在Rt?COD中,

OC?23?2x,OD?2?3x,CD?4

根据勾股定理:OC2?OD2?CD2

∴?23?2x?2??2?3x?2?42 ------------- (5分)

∴13x2??12?83?x?0 ∵x?0 ∴13x?12?83?0

∴x?83?1213 ------------- (7分) AC=2x=163?2413 即梯子顶端A沿NO下滑了163?2413米. ---- (8分)

⑶∵点P和点P?分别是Rt?AOB的斜边AB与Rt?A'OB'的斜边A'B'的中点∴PA?PO，P'A'?P'O ------------- (9分) ∴?PAO??AOP,?P?A?O??A?OP?------- (10分) ∴?P?A?O??PAO??A?OP???AOP

∴?P?A?O??PAO??POP??15?

∵?PAO?30?

∴?P?A?O?45? ----------------------- (11分)

∴A?O?A?B??cos45??4?22?22----- (12分)

∴AA??OA?A?O?(23?22)米. -------- (13分)

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