精品解析：上海市华东师范大学第三附属中学2015-2022学年高二下

2015-2016学年上海市华师大三附中高二（下）期中数学试卷

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1. 椭圆2214

x y +=的焦距为__________. 2. 在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，11AA =，则直线1AC 与平面11ADD A 所成角的余弦值等于______．

3. 已知正三棱锥的底面边长为2，高为1，则该三棱锥的侧面积为__．

4. 若抛物线22y px =的焦点与双曲线22

13y x -=的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为__． 5. 若方程22

123x y k k

+=--表示双曲线，则实数k 的取值范围是__． 6. 求经过点P(6，－4)且被定圆O ：x 2＋y 2

＝20截得的弦长为2AB 的方程． 7. 已知某圆锥体的底面半径3r =，

沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为23

π的扇形，则该圆锥体的表面积是______．

8. 以下4个命题：

1）三个点可以确定一个平面；

2）平行于同一个平面的两条直线平行；

3）抛物线24y x =-对称轴为y 轴；

4）同时垂直于一条直线的两条直线一定平行；

正确命题个数为__． 9. 如图，已知PA ⊥平面ABC ，AC AB ⊥，AP BC =，30CBA ∠=?，D 、E 分别是BC 、AP 的中点，则异面直线AC 与DE 所成角的大小为__．

10. 已知P 是抛物线24y x =上的动点，F 是抛物线的焦点，则线段PF 的中点轨迹方程是__．

11. 10件产品中有8件正品，2件次品，从中任取3件，则恰好有一件次品的概率为__________.（结果用最简分数表示）

12. 盒子里装有大小质量完全相同且分别标有数字1、2、3、4的四个小球，从盒子里随机摸出两个小球，那么事件“摸出的小球上标有的数字之和为5”的概率是_______.

13. 如图，在矩形ABCD 中，E 为边AD 的中点，1AB =，2BC =，分别以A 、D 为圆心，1为半径作圆弧EB 、EC （E 在线段AD 上）．由两圆弧EB 、EC 及边BC 所围成的平面图形绕直线AD 旋转一周，则所形成的几何体的体积为__．

14. 已知AB 是椭圆()222210x y a b a b

+=>>的长轴，若把该长轴2010等分，过每个等分点作AB 的垂线，依次交椭圆的上半部分于点1P ，2P ，…，2009P ，设左焦点为1F ，则

()1111212009112010

F A F P F P F P F B +++???++=______. 二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写选项，选对得4分，否则一律得零分．

15. 以下四个命题中的假命题是（ ）

A. “直线是异面直线”的必要不充分条件是“直线a 、b 不相交”

B. 两直线“a //b”的充要条件是“直线a 、b 与同一平面α所成角相等”

C. 直线“a b ⊥”的充分不必要条件是“a 垂直于b 所在平面”

D. “直线a //平面α”的必要不充分条件是“直线a 平行于平面α内的一条直线”

16. 设椭圆的一个焦点为()3,0，且2a b =，则椭圆的标准方程为（ ）

A. 2214x y +=

B. 2

212x y += C. 2214y x += D. 2212

y x += 17. 若集合12,A A 满足12A A A ?=，则称12(,)A A 为集合A 的一个分拆，并规定：当且仅当12A A =时，12(,)A A 与21(,)A A 为集合A 的同一分拆，则集合{}123,,A a a a =的不同分拆的种数为（ ）

A. 27

B. 26

C. 9

D. 8

18. 设a 、b 是关于t 的方程2cos sin 0t t θθ-=的两个不相等实根，则过()2,A a a 、()2

,B b b 两点的直线与双曲线22

221cos sin x y θθ

-=的公共点个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，每题得分为12+16+16+16+18，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

19. 在长方体1111ABCD A B C D -中，14AB AA ==，3BC =，E 、F 分别是所在棱AB 、BC 的中点，

点P 是棱11A B 上的动点，联结EF ，1AC ．如图所示．

（1）求异面直线EF ，1AC 所成角的大小（用反三角函数值表示）；

（2）（理科）求以E 、F 、A 、P 为顶点的三棱锥的体积．

（文科）求以E 、B 、F 、P 为顶点的三棱锥的体积．

20. 在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0,3),(0,3)的距离之和等于4，设点P 的轨迹为曲线C （1）求曲线C 方程；

（2）设直线1y kx =+与C 交于,A B 两点，k 为何值时OA OB ⊥？

21. 如图，直三棱柱111ABC A B C -290ACB ∠=?，12

AA =1BC AC ==，O 为AB 的中点．求：

（1）圆柱的全面积；

（2）异面直线'AB 与CO 所成的角的大小；

（3）求直线'A C 与平面''ABB A 所成的角的大小．

22. 如图，长方体1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，14AA =，点P 为面11ADD A 的对角线1AD 上的动点（不包括端点）．PM ⊥平面ABCD 交AD 于点M ，MN BD ⊥于点N ．

（1）设AP x =，将PN 长表示为x 的函数；

（2）当PN 最小时，求异面直线PN 与11A C 所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）

23. 如图，曲线Γ由曲线22122:1(0,0)x y C a b y a b +=>>≤和曲线22222:1(0,0,0)x y C a b y a b

-=>>>组成，其中点12,F F 为曲线1C 所在圆锥曲线的焦点，点34,F F 为曲线2C 所在圆锥曲线的焦点．

（1）若23(2,0),(6,0)F F -，求曲线Γ的方程；

（2）如图，作直线l 平行于曲线2C 的渐近线，交曲线1C 于点,A B ，求证：弦AB 的中点M 必在曲线2C 的另一条渐近线上；

（3）对于（1）中的曲线Γ，若直线1l 过点4F 交曲线1C 于点,C D ，求1CDF ?的面积的最大值．

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