人教版高中数学选修2-2学案：1.4生活中的优化问题举例

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1.4生活中的优化问题举例

【学习目标】

1.理解导数与最值的意义及求法，学会用导数知识解决实际问题； 2.提高综合运用导数知识解题的能力，培养化归转化的思想意识．

【新知自学】

知识回顾：

1.求函数y?f(x)在?a,b?上的最大值与最小值的步骤为： （1）求函数y?f(x)在?a,b?上的___________；

（2）将函数y?f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f?b?比较，其中_____的一个是最大值，_______的一个是最小值．当导数在其定叉域内只有一个极值点．从图象角度理解即只有一个波峰，即是单峰的，因而这个极值点就是最值点．不必考虑端点的函数值．

新知梳理：

1. 生活中经常遇到求_______、______、______等问题，通常称为优化问题． 2．利用导数解决优化问题的实质是利用导数求函数在闭区间上的________或_______________．

3. 用导数解决优化问题的一般步骤： (1)准确把握题意，构建___________； (2)结合实际，求函数的_____________； (3)利用____________________________． 感悟：

对点练习：

1.把长为60cm的铁丝围成矩形，长为 ，宽为 时，矩形面积最大．

2. 圆柱形金属饮料罐的容积为16?cm，它的高是________cm，底面半径是_________cm时可使所用材料最省.

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3.把长为100cm的铁丝分成两段，各围成正方形，怎样分法，能使两个正方形面积之各最小？

4.做一个容积为256L的方底无盖水箱，它的高为多少时材料最省？

【合作探究】

典例精析：

例1. 有一块边长为a的正方形铁板，现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做一个长方形的无盖容器。为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？

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例2.某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是0.8?r2分，其中r(单位：cm)是瓶子的半径．已知每出售1ml的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm．问题：

(1)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大? (2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小?

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规律总结：

（1）解有关函数最大值、最小值的实际问题，需要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式，并确定函数的定义区间；所得结果要符合问题的实际意义;

（2）根据问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较;

（3）相当多有关最值的实际问题用导数方法解决较简单.

【课堂小结】

【当堂达标】

1.已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－13

x＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( ) 3

A．13万件 B．11万件 C．9万件 D．7万件

2.以长为10的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为( ) A.10 B.15 C. 25 D.50

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3.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1?5.06x?0.15x2和L2?2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )万元．

A.45.606 B.45.6 C.45.56 D.45.51

4.矩形横梁的强度同它的断面的高的平方与宽的积成正比,要将直径为d的圆木据成强度最大的横梁，断面的宽度和高度应是多少？

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