概率论与数理统计第二版 答案 共43页 科学出版社 王松桂 张忠占

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习题2参考答案

2.1 X P

2 1/36

3 1/18

?4 1/12

5 6 7 8 9 10 11 1/18

12 1/36

1/9 5/3

6

1/6 5/3

6

1/9 1/1

2

ae?1?12.2解：根据?P(Xk?0?k)?1，得?aek?0??k?1，即

1?e?1。

故 a?e?1

2.3解：用X表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2,0.7) 用Y表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2,0.4) (1) 两人投中的次数相同

P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}=

C00.70.3?C20.40.6?C20.70.3?C20.40.6?C20.70.3?C20.40.6?0.3124202002111111220220(2)甲比乙投中的次数多

P{X>Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}=

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C10.70.3?C20.40.6?C20.70.3?C20.40.6?C20.70.3?C20.40.6?0.56282115?215?315?25110022200022201112.4解:（1）P{1≤X≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=(2) P{0.5

115?215?15

12.5

1k[1?()]111114解：（1）P{X=2,4,6,…}=2?4?6??2k=lim4?k??1222231?412?14?14

（2）P{X≥3}=1―P{X<3}=1―P{X=1}- P{X=2}=1?

2.6解：设Ai表示第i次取出的是次品，X的所有可能取值为0，1，2

P{X?0}?P{A1A2A3A4}?P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(A4|A1A2A3)=1820?1719?1618?1517?1219

P{X?1}?P{A1A2A3A4}?P{A1A2A3A4}?P{A1A2A3A4}?P{A1A2A3A4}?220?1819?1718?1617?1820?219?1718?1617?1820?1819?218?1617?1820?1719?1618?217?3295

P{X?2}?1?P{X?0}?P{X?1}?1?1219?3295?395

2.7解：(1)设X表示4次独立试验中A发生的次数，则X~B(4,0.4)

P(X?3)?P(X?3)?P(X?4)?C30.40.6?C40.40.6?0.1792 431404(2)设Y表示5次独立试验中A发生的次数，则Y~B(5,0.4)

P(X?3)?P(X?3)?P(X?4)?P(X?5)?C30.40.6?C50.40.6?C50.40.6?0.31744532441550

2.8 （1）X～P(λ)=P(0.5×3)= P(1.5)

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0 P{X?0}?1.50!e?1.5=e?1.5

（2）X～P(λ)=P(0.5×4)= P(2)

20P{X?2}?1?P{X?0}?P{X?1}?1?0!e?2?211!e?2?1?3e?2

2.9解：设应配备m名设备维修人员。又设发生故障的设备数为X，则X~B(180,0.01)。

依题意，设备发生故障能及时维修的概率应不小于0.99，即

P(X?m)?0.99，也即

P(X?m?1)?0.01

因为n=180较大，p=0.01较小，所以X近似服从参数为

??180?0.01?1.8的泊松分布。

查泊松分布表，得，当m+1=7时上式成立，得m=6。 故应至少配备6名设备维修人员。

2.10解：一个元件使用1500小时失效的概率为

1500P(1000?X?1500)??1000x21000dx??1000x1500?100013

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设5个元件使用1500小时失效的元件数为Y，则Y求的概率为

2380212P(Y?2)?C5()?()?5?0.3293331~B(5,)3。所

2.11解：(1)P(X P(0? P(2??2)?F(2)?ln2

X?3)?F(3)?F(0)?1?0?1

X?2.5)?F(2.5)?F(2)?ln2.5?ln2?ln1.25

(2)

?x?1f(x)?F?(x)???01?x?e其它

2.12

?a?1F(x)?F(0)，得?解：(1)由F(??)?1及limx?0?a?b?0，故a=1,b=-1.

(2)

??x?2f(x)?F?(x)??xe??02x?0 x?0(3) P( ?(1?e2.13（1）

ln4?X?ln16)?F(ln16)?F(ln4)

?ln162)?(1?e?ln42)?14?0.25

假设该地区每天的用电量仅有80万千瓦时，则该地区每天供电量不足的概率为：

P{0.8?X?1}??10.812x(1?x)dx?(6x?8x?3x)|223410.8?0.0272

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（2）假设该地区每天的用电量仅有90万千瓦时，则该地区每天供电量不足的概率为：

P{0.9?X?1}??10.912x(1?x)dx?(6x?8x?3x)|223410.9?0.0037

2.14解:要使方程x2?2Kx???2K?3?0有实根则使

(2K)2?4(2K?3)?0

解得K的取值范围为[??,?1]?[4,??],又随机变量K~U(-2,4)则有实根的概率为

[?1?(?2)?4?3]4?(?2)13p??

120012002.15解：X~P(λ)= P(

1000)

?1200x100?12(1) P{X?100}??1200e?dx?e|0?1?e

（2）P{X?300}???1200300e?1200dx?e?1200x?|300?e?32

（3）P{100?X?300}??3001200100e?1200dx?e?1200x300|100?e?12?e?32

121232P{X?100,100?X?300}?P{X?100}P{100?X?300}?(1?e?)(e??e?)

2.16解：设每人每次打电话的时间为X，X~E(0.5)，则一个人打电话超过10分钟的概率为

P(X?10)?

???100.5e?0.5xdx??e?0.5x??10?e?5

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又设282人中打电话超过10分钟的人数为Y，则Y因为n=282较大，p较小，所以Y近似服从参数为?泊松分布。

所求的概率为

P(Y?2)?1?P(Y?0)?P(Y?1)

~B(282,e?5)。

?282?e?5?1.9的

?1?e?1.9?1.9e?1.9?1?2.9e?1.9?0.56625

2.17解：(1)P(X?105)??(105?11012)??(?0.42)?1??(0.42)

?1?0.6628?0.3372

100?11012)(2)P(100?X?120)??(120?11012)??(

??(0.83)??(?0.83)?2?(0.83)?1?2?0.7967?1?0.5934

2.18解：设车门的最低高度应为a厘米，X~N(170,62)

P{X?a}?1?P{X?a}?0.01P{X?a}??(a?1706)?0.99

a?1706?2.33

a?184厘米

1C352.19解：X的可能取值为1,2,3。

因为P(XC4C2?1)?

35?610?0.6； P(X?3)??110?0.1；

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P(X?2)?1?0.6?0.1?0.3

所以X的分布律为

X P X的分布函数为

1 0.6 2 0.3 3 0.1 x?1?0??0.61?x?2 F(x)???0.92?x?3?1x?3? 2.20(1)

?2P{Y?0}?P{X?2}?0.2P{Y??}?P{X?0}?P{X??}?0.3?0.4?0.7 P{Y?4?}?P{X?23?2}?0.1 Y

qi

0 0.2

?2 4?2 0.1

0.7

(2)

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P{Y??1}?P{X?0}?P{X??}?0.3?0.4?0.7P{Y?1}?P{X??2}?P{X?3?2}?0.2?0.1?0.3

Y

qi

-1 0.7

1 0.3

2.21（1） 当?1?当1?x?1时，F(x)?P{X??1}?0.3

x?2时，F(x)?P{X??1}?P{X?1}?0.3?P{X?1}?0.8

P{X?1}?0.8?0.3?0.5

当x?2时，F(x)?P{XP{X?2}?1?0.8?0.2

??1}?P{X?1}?P{X?2}?0.8?P{X?2}?1

X P （2）

-1 0.3

1 0.5

2 0.2

P{Y?1}?P{X??1}?P{X?1}?0.3?0.5?0.8

P{Y?2}?P{X?2}?0.2

Y 1 2

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qi

0.8

12??x20.2

2.22?X~N(0,1)?fX(x)?e2

（1）设FY(y)，fY(y)分别为随机变量Y的分布函数和概率密度函数，则

y?12y?1FY(y)?P{Y?y}?P{2X?1?y}?P{X?}??(2??12?2e?x22dx

y?122对FY(y)求关于y的导数，得fY(y)?y?(??,?)

12?)e?(y?12)??122?e?(y?1)82

（2）设FY(y)，fY(y)分别为随机变量Y的分布函数和概率密度函数，则 当y?0时，F(y)?P{Y?y}?P{e?XY?y}?P{?}?0

当y?0时，有

??lnyFY(y)?P{Y?y}?P{e?X?y}?P{?X?lny}?P{X??lny}??12?e?x22dx

对FY(y)求关于y的导数，得

???fY(y)????012?e?(?lny)22(?lny)??12?ye?(lny)22y>0

y?0

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（3）设FY(y)，fY(y)分别为随机变量Y的分布函数和概率密度函数，则 当y?0时，F(y)?P{Y?y}?P{X2Y?y}?P{?}?0

当y>0时，FY(y)?P{Y?y}?P{X2?y}?P{?y?X?y}??y?y12?e?x22dx

对FY(y)求关于y的导数，得

(?1?e?fY(y)??2???0y)22(y)??12?e?(?y)22(?y)??12?ye?(lny)22y>0

y?0

2.23 ∵X?U(0,?)∴

?1?fX(x)????0?0?x??

其它

（1）

当2ln??y??时

FY(y)?P{Y?y}?P{2lnX?y}?P{lnX2?y}?P{?}?0

当???y?2ln?时yFY(y)?P{Y?y}?P{2lnX?y}?P{lnX2?y}?P{X2?e}?P{X?ye}?y?e201?dx

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yy?1212e?(e)??fY(y)???2??0?对FY(y)求关于y的导数，得到

???y?2ln?

2ln??y??（2）

当y?1或 y?-1时，FY(y)?P{Y?y}?P{cosX?y}?P{?}?0

当?1?y?1时,FY(y)?P{Y?y}?P{cosX?y}?P{X?arccosy}???arccosy1?dx

对FY(y)求关于y的导数，得到

1?1???(arccosy)?2fY(y)????1?y??0?1?y?1 其它

（3）当y?1或 y?0时当0?y?1时，

FY(y)?P{Y?y}?P{sinX?y}?P{?}?0

FY(y)?P{Y?y}?P{sinX?y}?P{0?X?arcsiny}?P{??arcsiny?X??}??arcsiny01?dx?????arcsiny1?dx

对FY(y)求关于y的导数，得到

12?1??(??arcsiny)??arcsiny?2?fY(y)????1?y??00?y?1 其它

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习题3参考答案

3.1 P{1

Y X 2 0 1 2 3128

cc=3 5c3245223 cc=2 5c3245310 3.4（1）a=

91（2）

512

（3）

P{(X,Y)?D}??11?10dy?1?y019(6?x?y)dx?1?910[(6?y)x?12x]|21?y0dy

112111311882(y?6y?5)dy?(y?3y?5y)???|09327?9022962

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3.5解：（1）

F(x,y)???0yx02e?(2u?v)dudv??y0edv?2e0?vx?2udu?(?e?v|0)(?ey?2u|0)?(1?ex?y)(1?e?2x)（2）

P(Y?X)????0x?02e?(2x?y)dxdy?(2e?2x??02e?2xdx?edy?0?2x?x?v??02e23?2x(?e??y|0)dx23?13x??02e?2x(1?e?x)dx???0?2e?3x)dx?(?e|0)?e?3x|0?1?

3.6解：P(x2?y?a)?222??212x?y?a?(1?x?y)222??2?0d??a0r?(1?r)22dr

??2?0d??a01?(1?r)22d(1?r)??21??2??1122(1?r|)a0?1?11?a2?a221?a

3.7参见课本后面P227的答案 3.8 fX(x)??0fy(y)?110f(x,y)dy??3232xydy?232xy33|210?x2

2?20f(x,y)dx??20xydx?232y212x|20?3y

0?x?2?x?3y20?y?1,?fX(x)??2 fY(y)??

其它0??0,其它?3.9解：X的边缘概率密度函数fX(x)为：

答案仅供参考

①当x?1或x?0时，f(x,y)?0，

fY(y)??1y4.8y(2?x)dx?4.8y[2x?12x]|?4.8y[12y112?2y?12y]2fX(x)?0y?1或y?0

2x20?y?1fX(x)??x04.8y(2?x)dy?2.4y(2?x)|?2.4x(2?x)0②当0?x?1时，fX(x)??x04.8y(2?x)dy?2.4y(2?x)|?2.4x(2?x)

220xY的边缘概率密度函数fY(y)为： ① 当y?1或y?0时，f(x,y)?0，fY(y)?0 ② 当0?y?1时，

fY(y)??1y4.8y(2?x)dx?4.8y[2x?12x]|?4.8y[12y112?2y?12y]

2?2.4y(3?4y?y)

23.10 （1）参见课本后面P227的答案 （2）

?x6dy0?x?1?6（x1-x）0?x?1?=? fX(x)???x20其它其它???0?y6dx0?y?1???6（fY(y)???y =?其它???0?0y-y）0?y?1

其它

3.11参见课本后面P228的答案 3.12参见课本后面P228的答案

答案仅供参考

3.13（1）

0?x?1?220?x?1?22xy)dy?(x??2x?x fX(x)???0??33?0?0其它其它??0?y?20?y?2?12xy)dx?(x?fY(y)???03?0?

其它?1y??=?36?0?

其它

对于0?y?2时，fY(y)?0，

xy所以

?6x2+2xy?20?x?1?0?x?1x??2?y3?f(x,y)????fX|Y(x|y)???1y ?fY(y)??36??其它其它?00??x?1时，fX(x)?0

对于0?所以fY|X?2xyx??3f(x,y)?(y|x)???22x2x?fX(x)?3??00?y?2

其它?3x?y?6x?2????????00?y?2

其它

11P{Y?12|X?12}??20fY|X(y|123?6?1212?ydy??213?125?ydy?)dy??20?20740

3.14 X

0 2 5 X的边缘分

答案仅供参考

Y 1 3 Y的边缘分布 由表格可知 P{X=1;Y=2}=0.25≠P{X=1}P{Y=2}=0.3225 故P{X?xi;Y?yi}?P{X?xi}P{Y?yi} 所以X与Y不独立 3.15 X Y 1 2 Y的边缘分布 由独立的条件P{X?xi;Y?yi}?P{X?xi}P{Y?yi}则

P{X?2;Y?2}?P{X?2}P{Y?2}

布 0.15 0.05 0.2 0.25 0.18 0.43 0.35 0.02 0.37 0.75 0.25 1 1 2 3 X的边缘分布 161312 19 118 1313 +a+b a a+ 91b b+118 1 答案仅供参考

P{X?2;Y?3}?P{X?2}P{Y?3}

?P{X?i}?1

可以列出方程

(13118??a?b)(1319?a)?a

(?b)(13?a?b)?b

13?a?b?1

a?0,b?0

2919解得a?,b?

?x?fX(x)??2?0?0?x?2 3.16 解（1）在3.8中

其它32

?3y20?y?1fY(y)??

其它?0当0?x?2， 0?y?1时，fX(x)fY(y)?xy?f(x,y)2

当x?2或x?0时，当y?1或y?0时，fX(x)fY(y)所以， X与Y之间相互独立。 （2）在3.9中，

?2.4x2(2?x)fX(x)???0?0?f(x,y)

0?x?1其它

0?y?1?2.4y(3?4y?y2)fY(y)??

其它?0当0?x?1，0?y?1时，

答案仅供参考

fX(x)fY(y)=2.4x(2?x)2.4y(3?4y?y)?5.76x(2?x)y(3?4y?y)

2222?f(x,y) ，所以X与Y之间不相互独立。

3.17解：

f?xx(x)??????f(x,y)dy?????x10xe(1?y)2dy?xe

fx,y)dy????xe?x11y(y)??????f(0(1?y)2dx?(1?y)2

f?x1x(x)?fy(y)?xe(1?y)2?f(x,y)

故X 与Y相互独立

3.18参见课本后面P228的答案

习题4参考答案

4.1 解：E(X)??xipi?1

iE(Y)??yipi?0.9

i∵甲机床生产的零件次品数多于乙机床生产的零件次品数，又∵两台机床的总的产量相同

∴乙机床生产的零件的质量较好。 4.2 解：X的所有可能取值为：3，4，5

答案仅供参考

P{X?3}?1CCCCCi35?0.1

2335P{X?4}??0.3

2435P{X?5}??0.6

E(X)??xipi?3?0.1?4?0.3?5?0.6?4.5

4.3参见课本230页参考答案 4.4解：

P{X?n}?p(1?p)?n?1,n?1,2,3......E(X)??ixipi??n?1np(1?p)n?1?p[1?(1?p)]2?1p

4.6参考课本230页参考答案 4.7解：设途中遇到红灯次数为X，则XE(X)?np?4?0.3?1.2~B(3,0.4)

4.8解

??E(X)????f(x)xdx

230001500 ?x?15000dx?2?1500?115002(x?3000)xdx

答案仅供参考

?500+1000 ?1500

4.9参见课本后面230页参考答案 4.10参见课本后面231页参考答案

4.11 解:设均值为?,方差为?2,则X~N(?,?)根据题意有:

2P(X?96)?1?P(X?96)

X??96?72 ?1?P(???)

?1??(t) ?2.3%

?(t)?0.997,解得t=2即?=12

所以成绩在60到84的概率为

P(60?X?84)?P(60-7212?X-??84-7212)?

??(1)-?(-1) ?2?(1)-1 ?2?0.8413 ?0.6826

4.12E(X2)?0?0.4?12?0.3?22?0.2?32?0.1?2

-1

答案仅供参考

2222E(5X?4)?4?0.4?(5?1?4)?0.3?(5?2?4)?0.2?(5?3?4)?0.1?14

4.13解：

E(Y)?E(2X)??2(?e)|?2?x0?0??02xedx?2?x??0xd(?e?x)?2[?xe?x|?0??edx]0??x?

E(Y)?E(e?2X)??e?2xedx??x??0e?3xdx??13e?3x|?0?13

4.14解：V?4?R33

?1?f(x)??b?a?0?设球的直径为X,则：

a?x?b其它

4?(E(V)?E(X23)3)?E(?6X)=?3ba?6x31b?adx??6?1b?a?14x4|ba??24(b?a)(b?a)224.15参看课本后面231页答案 4.16 解: f(x)?x?????f(x,y)dy??12y012yx2dy?4x

y23fy(y)??????f(x,y)dy??12y?4x01014dx?1245?12y

3E(X)??f????x(x)?xdx?dx?

E(Y)??f????y(x)?ydy??12y3?12y4dy?35

1xE(XY)??????f(x,y)xydxdy???12x0?y?x?15y233dxdy??0?012xy3dydx?12

0?y?x?1E(X)?2??f(x)?xdx?

2?4x01dx?

答案仅供参考

E(Y)?22?????f(y)?y2dy??12y?12y02145dy?25

E(X?Y2)?E(X)?E(Y)?21615

4.17解

∵X与Y相互独立， ∴

E(XY)?E(X)E(Y)??10x2xdx?ye5?5?ydy?(5?y23x3|10)?yd(?e5?5?y)?23?(?ye5?y|?5???5e5?ydy)?23?[5?(?e)|]?5?23?(5?1)?4

4.18，4.19，4.20参看课本后面231，232页答案

4.21设X表示10颗骰子出现的点数之和，Xi(i?1,2,?10)表示第i颗骰子出现的点数，则X独立同分布的，又E(X所以E(X)?E(?i?1101010??i?1Xi，且X1,X2,?X10是

161616216)?1?i?2????6??

Xi)??E(Xi?1)?10?i216?35

4.22参看课本后面232页答案

4.23E(X2)?0?0.4?12?0.3?22?0.2?32?0.1?2

D(X)?E(X)?[E(X)]?2?1?1

222

答案仅供参考

E(Y)?0?0.3?1?0.5?2?0.2?3?0?1.3

2222D(Y)?E(Y)?[E(Y)]?1.3?0.9?0.49222

4.24

E(X)?2?20x2142xdx??42x(?214143x?1)dx?23116x4|20?[?116x?413x]|?1?324113?143

D(X)?E(X)?[E(X)]?2?4?

4.25

?1?x?1?1?11?xydy??fX(x)????14=?2

?0?0其它??221?1

?1?x?1其它

Var(X)?E(X)?[E(X)]?1213121213?12xdx?[?21?112xdx]2

??x3|1?1??x2|1?1?

?1?y?1?1?11?xydx??fY(y)????14=?2

?0?0其它??221?1

?1?y?1其它

Var(Y)?E(Y)?[E(Y)]?1213121213?12ydy?[?21?112ydy]2

??y3|1?1??y2|1?1?

434.26因为X~N(0,4),Y~U(0,4)所以有Var(X)=4 Var(Y)= 故：Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)=4+=

34163

43?28Var(2X-3Y)=4Var(X)+9Var(Y)= 4?4?9?4.27参看课本后面232页答案

答案仅供参考

4.28E(Z)?E(?1nE(X1)?1nX1?X2???Xnn1n)?E(1nX1n)?E(X2n)???E(Xnn)

E(X2)???E(Xn)?X1n??n??X2n

Xnn)

D(Z)?D(X1?X2???Xnn)?D()?D()???D(?1n2E(X1)?1n2E(X2)???1n2E(Xn)?1n2??n?2?2n

后面4题不作详解

习题5参考答案

5.3

解：用X表示每包大米的重量，，则E(X)???10,D(X)???0.1

i2ii100?Xi?1i~N(n?,n?)?N(100?10,100?0.1)2

~N(0,1)100100i100i?XZ?i?1?n?2?X?i?1?100?10??i?1Xi?100010n?100?0.1

100100P(990??i?1Xi?1010)?P(990?100010?X?i?1i?100010?1010?100010)

答案仅供参考

??(1010?100010)??(?1010?100010)??(10)??(?10)?2?(10)?1?0.9986

5.4解：因为V 服从区间[0,10]上的均匀分布，

iE(Vi)?0?102?5 D(V)?1210i20i?12?10012

2020?Vi~N[?E(Vi),?D(Vi)]?N(20?5,20?i?1i?110012)20i20i20i20?V??E(V)?VZ?i?120i?1?20?510012??Vi?1i?100~N(0,1)?i?1?i?1D(Vi)20?101532020P(V?105)?1?P(V?105)?1?P(?Vi?105)?1?P(i?1?Vi?1i?100?105?1001015310153)

?1??(105?10010153)?1??(0.387)?0.348

5.5解：方法1：用X表示每个部件的情

i况，则

?1,正常工作Xi??Xi~B(1,0.9)0,损坏?，

E(Xi)?p?0.9100,D(X)?p?(1?p)?0.9?0.1i?Xi?1i~N[np,np?(1?p)]?N(100?0.9,100?0.9?0.1)

答案仅供参考

100100100?Z?i?1Xi?np??i?1Xi?100?0.9??i?1Xi?903~N(0,1)np?(1?p)100?0.9?0.1

100100100P(?Xi?85)?1?P(?Xi?85)?1?P(i?1i?1?Xi?1i?90?85?9033)?1??(?55)??()?0.952533

方法2：用X表示100个部件中正常工作的部件数，则

X~B(100,0.9)

E(X)?np?100?0.9?90D(X)?np(1?p)?100?0.9?0.1?9X~N[np,np(1?p)]?N(90,9)Z?X?npnp(1?p?X?903~N(0,1)

Z?X?npnp(1?p?X?903~N(0,1)

X?903?85?903)P(X?85)?1?P(X?85)?1?P(?1??(?55)??()?0.952533

5.6略

习题6参考答案

答案仅供参考

6.1 6.3.1证明:

由错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。+b可得，对等式两边求和再除以n有

?Y?(aXi?1innn?i?1i?b)n 错误！未

找到引用源。 由于

错误！未找到引用源。

所以由错误！未找到引用源。 可得

Y1nY??Yini?11nX??Xini?1=n?Xani?1?inb=aX?b n6.3.2因为

n?(Yi?Y)i?12n??Yii?1n22?nY2??(aXi?b)i?12n2?n?aXi?b?

22??aXi?12i?2nabX?nb?(na2X?2nabX?nb2)

答案仅供参考

n??aXi?1n22i?na2X2?a2??Xni?122i?X2?

?a?(Xi?1n22i?2XiX?X2)

?a?(Xi?X)i?122

?(n?1)aS2X

?(n?1)SY2

2Y所以有S6.2 证明：

E(X)?1nn?aS22X

E(?i?1Xi)?n?n??

22Var(X)?1n2nnVar(?i?1Xi)?n?n??n2

X2in6.3（1）S2??(Xi?X)i?12n?1?1n?1n?i?1(X2i?2XiX?X2)?1n?1n(?i?1?2X?Xi?1?inX2)

答案仅供参考

?1n?1n(?i?1X2i?2X?nX?nX2)

?1n?1n(?i?1X2i?nX)2

（2）由于Var(X所以有E(XE(X)?(EX2i)?E(Xi)?(E(X22i))22

2)?i2(E(Xi))?Var(Xi)?2???

)2?Var(X)??22??n

222nE(?i?1(Xi?X)2)?n(???)?n(???)?(n?1)?n2

22两边同时除以（n-1）可得E(即 E(S)??

22?(Xi?X)i?1nn?1)??

6.4 同例6.3.3可知

P{|X-?|?0.3}?2?(0.3n?)-1?2?(0.3n)-1?0.95

得 ?(0.3n)?0.975查表可知0.3n=1.96

又n?Z 根据题意可知n=43

6.5解（1）记这25个电阻的电阻值分别为错误！未找到引用源。,它们来自均值为错

答案仅供参考

误！未找到引用源。=200欧姆，标准差为错误！未找到引用源。=10欧姆的正态分布的样本则根据题意有：

P{199?X?202}?P{199?2001025?X-??n?202?2001025}

?1}?P{?0.5?X-??n

??(1)??(?0.5)

?0.5328

(2)根据题意有

25P{?i?1Xi?5100}?P{25X?5100}?P{X-??n?2}??(2)?0.9772

6.6 解：（1）记一个月（30天）中每天的停机时间分别为错误！未找到引用源。，它们是来自均值为错误！未找到引用源。=4小时，标准差为错误！未找到引用源。=0.8小时的总体的样本。根据题意有：

P{1?X?5}?P{1?40.830?X-??n?5?40.830}

?P{?20.54?X-??n?6.846}

答案仅供参考

??(6.846)??(?20.54)

?1

（注：?(u)当u?6时，?(u)的值趋近于1，相反当u??6时，其值趋近于0） （2）根据题意有：

30P{?i?1Xi?115}?P{30X?115}?P{X-??n??1.14}??(?1.14)?1??(1.14)?0.1271

6.7证明：因为T错误！未找到引用源。 错误！

未找到引用源。，则，随机变量T?度函数为

?(f(t)?2?t?2?1??n?n??()?n??2)n?1?n?12的密Y/nX,???t?? 显然f(?t)?f(t)，则f(t)为偶

函数，则

E(T)??????f(t)tdt??0??f(t)tdt????0f(t)tdt????0f(?t)(?t)dt????0f(t)tdt?????0f(t)tdt????0f(t)tdt?0

6.8 解：记??1.50，??25，则X错误！未找到引用源。N(?,?),n=25故

2P{140?X?147.5}?P{140-1502525?X-??n?147.5-1502525}

答案仅供参考

?P{-2?X-??n??0.5}

??(-0.5)-?(-2)

??(2)-?(0.5)

?0.2857

6.9 解：记这100人的年均收入为错误！未找

到引用源。，它们是来自均值为??1.5万元，标准差为??0.5万元的总体的样本，n=100则根据题意有： （1）P{X?1.6}?1?P{X?1.6}

?1?P{X-??n?1.6-1.50.5100}

?1?P{X-??n?2}

?1??(2)

?1?0.9772?0.0228

（2）

P{X?1.3}?P{X-??n?1.3-1.50.5100}?P{X-??n??4}??(?4)?1??(4)?1?1?0（3）

答案仅供参考

P{1.2?X?1.6}?P{1.2-1.50.5100?X-??n?1.6-1.50.5100}

??(2)-?(-6)

?0.9772?0?0.9772

6.10 解：根据题意可知此样本是来自均值为??12，标准差为??2的总体，样本容量为n=5 （1）依题意有

P{X?13}?1?P{X?13}?1?P{X-?13-1225X-??n?}?1?P{?n?1.12}?1??(1.12)?1?0.8686?0.1314

（2）要求样本的最小值小于10概率，即5个数中至少有一个小于10的概率，首先计算每个样本小于10的概率：

p?P(X?10)?P(X-???10-122)??(-1)?1-?(1)?1-0.8413?0.1587

设X是5个样本中小于10的样本个数则X服从二项分布B(5,0.1587)故有

PB(X?1)?1-P(X?0)?1-C50p?1?p?05?1?1?1?(1?0.1587)5?0.5785

即样本的最小值小于10的概率是0.5785.

答案仅供参考

（3）同（2）要求样本的最大值大于15的概率，即5个数中至少有一个大于15的概率，首先计算每个样本大于15的概率：

p?P(X?15)?1-P(X?15)?1?P(X-???15-122)?1??(1.5)?1-0.9332?0.0668

设X是5个样本中大于15的样本个数则X服从二项分布B(5,0.0668)故有

PB(X?1)?1-P(X?0)?1-C50p?1?p?05?1?1?1?(1?0.0668)5?0.2923

即样本的最大值大于15的概率是0.2923

习题7参考答案

7.1解因为:错误！未找到引用源。是抽自二项分布B（m,p）的样本，故都独立同分布所以有

E(X)?mp用样本均值X代替总体均值，则p的

X矩估计为p??m

答案仅供参考

7.2解：E(x)????0?e??x?xdx? 用样本均值x代替?1总体均值，则?的矩估计为

???1E(x)?1 x由概率密度函数可知联合密度分布函数

为：

nL(?)??e??x1??e??x2????e??xn??en???xii?1 对它们两边求对

数可得

nln(L(?))?ln(?ne???xii?1)?nln????i?1nxi 对?求导并令其

为0得

?ln(L(?))???n?1??i?1nxi?0 即可得?的似然估计值为

???11nn??i?1x xi7.3解:记随机变量x服从总体为[0,错误！未找到引用源。]上的均匀分布，则

E(X)?0??2??2 故错误！未找到引用源。的矩估

计为???2X

答案仅供参考

X的密度函数为p(x)??1故它的是似然函数为

L(?)?1nn??Ii?1{0?Xi???}1?nI{X(n)??}要使L(?)达到最大，首先

n一点是示性函数的取值应该为1，其次是1?尽可能大。由于1?是错误！未找到引用源。的单调减函数，所以错误！未找到引用源。的取值应该尽可能小，但示性函数为1决定了错误！未找到引用源。不能小于错误！未找到引用源。,因此给出错误！未找到引用源。的最大似然估计???错误！未找到引用源。

n（示性函数I=错误！未找到引用源。 ，错误！未找到引用源。=min{错误！未找到引用源。} 错误！未找到引用源。=max{错误！未找到引用源。}）

7.4解:记随机变量x服从总体为[错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。]上的均匀分布，则

E(X)???2?2?3? 所以错误！未找到引用源。的矩2X 估计为???23

答案仅供参考

X的密度函数为p(x)??1故它的是似然函数为

L(?)?1nn??Ii?1{??Xi??2?}1?nI{??x(1)?x(n)??2?}1?nI{x(n)???2x(1)}

要使L(?)达到最大，首先一点是示性函数的

取值应该为1，其次是1?尽可能大。由于1?是错误！未找到引用源。的单调减函数，所以错误！未找到引用源。的取值应该尽可能小，但示性函数为1决定了错误！未找到引用源。不能小于错误！未找到引用源。,因此给出错误！未找到引用源。的最大似然估计???错误！未找到引用源。

nn7.5 解:似然函数为:L(?2n)??i?112??e?(Xi??)22?2?(2??2)e2?n?21?2?(Xi??)i?1n2

2它的对数为:lnL(?22)??n2ln(2?)?n2ln(?)?212?2i?1?(Xi??)n

对?求偏导并令它等于零有

?lnL(?)??22??n2?2?12?4i?1?(Xi??)?0n2

2解得?的似然估计值为 ??2?1ni?1?(Xi??)n2

答案仅供参考

7.6解:根据所给的概率密度函数是指数函数的密度函数可知

E(x)????-?xf(x)dx????0x?1?e?x?dx??

Var(X)??2

11 (1) E(??)?E(X)??

E(??2)?E(X1?2X2)?12(E(X1)?E(X2))?12?2???

13?3??? E(?E(?)?E(X31?2X23)?13(E(X1)?2E(X2))?13?3?????4)?E(X)?E(X1?X32?X3)?13(E(X1)?E(X2)?E(X3))?

故这四个估计都是错误！未找到引用源。的无偏估计.. （2）Var(??)?Var(X)??

211Var(??2)?Var(X1?2X2)?14(Var(X1)?Var(X2))?14?2?2??22

2Var(??)?Var(3X1?2X32)?19(Var(X1)?4Var(X2))?19?5?2?5?9

19?3?2Var(??4)?Var(X1?X2?3X3)?19(Var(X1)?Var(X2)?Var(X3))???32

答案仅供参考

故有 Var(??)?Var(??)?Var(??)?Var(??)

42317.7证明（1）因为X服从[错误！未找到引用源。]上的均匀分布，故

E(X)?????12???1 2 故样本均值不是错误！未找

E(X)?E(X)???12??到引用源。的无偏估计

（2）由（1）可知错误！未找到引用源。的矩估计为 ???X?1 211)?????? 故它是错误！又 E(??)?E(X?1未找222到引用源。无偏估计.

7.8解;因为Var(??)?E(c???(1?c)??)?c?1?(1?c)?2

222212要使Var(??)最小则对Var(??)关于c求一阶导并令

其等于零可得

?Var(??)?c?2c?21?2(1?c)?22?0

解得 c?

?2222?1??2答案仅供参考

因为对Var(??)关于c求二阶导可得

?2Var(??)?c2?2?21?2?22?0

故当c??2222?1??时Var(??)达到最小。

27.9 解(1)根据题意和所给的数据可得

??0.05,n?16,Z??2?Z0.025?1.96,?2?0.012,X?2.125

?nZ?0.01162?1.96?0.0049

2所以?的置信区间为

[X??nZ?2,X??nZ?]?[2.1252?0.0049,2.125?0.0049]?[2.1201,2.1299]

(2) ??0.05 n?16 X?2.125 tS215(0.025)?2.1315

???Xi?X151i?115??0.000293? 即S?0.0171

2所以?的置信区间为

[X?Snt15(?2),X?Snt15(?2)]?[2.125?0.017116?2.1315,2.125?0.017116?2.1315]?[2.116,2.1406]

7.10解:根据所给的数据计算: X?0.14125, Y?0.1392

答案仅供参考

S21?1??Xi?X3i?13??0.000008252 S22?1??Yi?Y4i?14??0.0000052

2则X 和Y构成的总体的方差为

S2?(m?1)S1?(n?1)S2m?n?222?0.0000065

所以?1??2置信系数??1?0.95?0.05的置信区间为

)S1m?1n,X?Y?tm?n?2([X?Y?tm?n?2(?2?2)S1m?1n]

=[X?Y?t(0.025)S714?15,X?Y?t7(0.025)S14?15]=[-0.002,0.006]

7.11 解: n?1000 ??1?0.95?0.05 Z??p?2?Z0.025?1.96 Yn?228

Yn?2n?0.238 则比例p的区间估计为：

Z??(1?p?)/n]?[0.238?1.960.238(1?0.238)/1000,0.238?1.960.238(1?0.238)/1000]p2??Z[p?(1?p?)/n,p??p =[0.202,0.254]

7.12 解：根据题意有，n?120 ??1?0.95?0.05

?1.96 X?7.5 Z?Z?20.025则?的置信区间为：

答案仅供参考

[X?Z?X/n,X?2Z?X/n]?[7.5?1.967.5/120,7.5?1.967.5/120]?[7.01,7.99]

2

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