概率论第一章

第一章 概率论基础 第一

事件与样本空间

一 两类现象

1、确定性现象：在一定条件下，必然发生的现象。 2、随机现象：统计规律。 二 随机试验

1、重复性 2、确定性 3、随机性 三 样本空间

?={试验的所有可能结果} 样本点 ω

例1：从编号为1，2，3的球中，有放回地取两次，每次一只，考虑顺序，观察所取到的球。

解：?={11,12,13,21,22,23,31,32,33} 事件A：全有1号球 则 A ={11,12,13,21,31} 四 随机事件

定义：试验的某种结果称为随机事件，简称为事件。 一般用A,B,C表示。

注：1、随机事件通常是样本空间的子集。

2、事件的表示方法：①集合②文字叙述

3、一次试验的结果属于事件A，则称事件A在这次试验中发生。 4、基本事件 {ω} 不可能事件? 必然事件A=? 五 事件的关系与运算

设A,B是?的两个事件

1、包含：A?B 若事件A发生必然导致事件B发生。

2、相等：A=B

3、事件的并：A?B 事件A与B至少有一个发生。 4、事件的交：A?B或AB 事件A与B同时发生。

5、事件的差：A-B=A-(A?B) 事件A发生而事件B不发生。 6、若事件A与B不能同时发生，则称事件A与B互不相容。 7、若AB=?,且A?B=?，则称A与B互为对立事件。 8、运算定律：①交换律 A?B=B?A A?B=B?A

②结合律 A?B?C=A?(B?C) ABC=A (BC)

③分配律 A(B?C)=AB?AC A?B?C=(A?B)(A?C) ④摩根公式 A?B=A?B AB=A?B 例2：化简事件式 （A?B）（A?B） 解； 原式=AA?AB?B?BB =??AB?BA?B

=B(A?A)?B =B??B =B

例： 设A、B、C为三事件，用ABC表示下列事件 1、A、B、C都发生：ABC 2、AB发生，C不发生：ABC 3、至少一个发生：A?B?C

4、恰有一个发生： ABC?ABC?ABC 5、至少两个发生：AB?AC?BC 6、恰有两个发生：ABC?ACB?BCA 7、至多两个发生：A?B?C

六、事件域（?）：样本空间?的某些子集构成的集合类 （1）A? ??，则A? ? （2）A? ?,B? ?，则A?B? ?

定义：设?是样本空间?的某些子集构成的集合类，若满足 （1）?? ?

（2）若A? ?，则A? ?

（3）若Ai? ?，i=1,2,??n，则?Ai???

i?1?则称?为一个事件域（??域） 性质：1、????

2、若Ai???，i=1,2??，则?Ai???

i?1?

3、若Ai???，i=1,2??n，则?Ai???，?Ai???

i?1i?1nn4、若A???，B???，则A-B???

第二节 事件的概率

一、频率

[注]：频率的稳定性 二、概率

（一）公理化定义

定义：?为样本空间，?为事件域，对事件A???，赋予一个实数P(A) 与之对应，若集合函数P满足以下条件： （1）非负性，若A???，则P(A)>0 （2）归一性：P(?)=1

（3）可列可加性：若Ai???，i=1,2??，且AiAj=?，i?j，则P(?Ai)=?P(Ai)

i?1i?1??则称集合函数P为概率 （二）概率的性质 性质1：P（?）=0

证明：设?=Ai?F，i=1,2??，则AiAj=?，i?j，?Ai=?

i?1?

由可列可加性得P(?Ai)=?P(Ai)，即p(?)=?P(?)

i?1i?1i?1??? ? p(?)=0

[注]：若P(A)=0 不可得出A=0 若P(A)=1不可得出A=0

性质2：（有限可加性）设Ai∈?，i=1,2······n，且AiAj=?，i?j，则P（?Ai）

i?1n=?P(Ai)

i?1n性质3：P（A）=1-P（A）

性质4：若A?B，则P（A）?P（B），且P（A-B）= P（A）-P（B） [注]:对于任意的A，B∈?，有P（A-B）= P（A）-P（AB）

性质5：对于任意的A，B∈?，则P（A?B）= P（A）+P（B）-P（AB） 对于任意的A，B，C∈?，则P（A?B?C）= P（A）+P（B）+P（B）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC）

对于任意的Ai∈?，i=1,2······n，则P（·····(?1)?P(AA)+·

iji?jn?Ai?1ni）=

?P(A)-

ii?1nn?1P(?Ai)

i?1nn推论：对于任意的Ai∈?，i=1,2······n，，则P（?Ai）??P(Ai)

i?1i?1定义：设Ai∈?，i=1,2······n，是单调不减的事件列，即A1?A2?A3?......则可列并?Ai称为事件列{ An}的极限事件，记作?Ai=limAn

i?1i?1n??nn 设Bi∈?，i=1,2······n，是单调不增的事件列，即B1?B3?B3?......则可列交?Bi称为事件列{Bn }的极限事件，记作?Bi=limBn

i?1i?1n??nn定义：对于?的概率P，满足对?中的任意单调不减的事件列{ An}，有limP(An)=P

n???（limAn），则称P是下连续的

n?? 对于?的概率P，满足对?中的任意单调不增的事件列{Bn }，有limP(Bn)=P

n???（limBn），则称P是上连续的

n??性质7：（概率的连续性）设P是?上的概率，则P既是上连续又是下连续的 证明：首先证明下连续性

不妨设{ An}是单调不减的事件列

An=?Ai=?(Ai?Ai?1)，记A0?? limn??nni?1i?1 记Bi=Ai?Ai?1

则事件列{Bn }两两互不相容

由可列可加性P（limAn）=P（?Bi）=

n??ni?1?P(B)=

ii?1nn???lim?P(Bi)

i?1n 又由可列可加性得到

?P(B)=P（?B）=P（?(A?Aiiii?1i?1i?1n??nnni?1)）=P（An）

? P（limAn）= lim P（An）

n??? 再证下连续性

不妨设{ Cn}是单调不增的事件列 则{ Cn}是一个单调不减的事件列

则由不连续性P（limCn）=limP（Cn）=1-limP(Cn)………(1)

n???n???n??? 而P（limCn）=P（?Ci）=P（?Ci）=1-P（?Ci）……..(2)

n???nnni?1i?1i?1 由（1）（2）得，limP(Cn)=P（?Ci）=P（limCn）

n???ni?1n??? 所以P是连续的

定理：若P是?上的满足P(?)=1的非负集合函数，则P具有可列可加性的充要条件是P具有有限可加性，且P是下连续的。 证明：必要性显然成立，下面证明充分性

不妨设{An}是两两互不相容的事件列，即Ai∈?，i=1,2,??且

AiAj=?,i?j,由P的有限可加性，有P(?Ai)=?P?Ai?

i?1i?1nn 由于

??P?A?ii?1nin??n=P(

?Ai?1ini)≤1,所以证

?P?A?ii?1?一定收敛，则

?p(A)=lim?p(A)

i?1i?1

记Bn=?Ai，则事件列{ Bn}就是单调不减的事件列，且?Bn=?Ai，

i?1i?1i?1n??由

?P

?的

n??下

n??连

n??续

n性

nn??有

P(?Ai)=P(?Bn)=P(limBn)=limp?Bn?=limP(?Ai)=lim?P?Ai?=

i?1n?1i?1i?1?P?A?

ii?1?

所以P(?Ai)=?P?Ai? 所以P具有可列可加性

i?1i?1??三、概率的古典定义

定义：试验E个数是（1）试验的结果为有限个 （2）每个结果发生的可能性相

同，则称试验E为古典概型 定义：设（?,??,P）为概率空间，对任意A???,E为古典概型，则P（A）=m/n,

其中m,n分别表示事件A及样本空间?中的样本点个数

??注??：1 乘法原理 加法原理

2 排列与组合

不重复的排列：从m个不同的元素中，不放回的取m次，每次取一个元素，考虑顺序，总共有

m!种取法 m-n!??可重复的排列：从m个不同的元素中，有放回的取m次，每次取一个元素，考虑顺序，总共有mn种取法

不重复的组合：从m个不同的元素中，无放回的取n次，每次取一个元素，不考虑顺序，总共有cnm种取法

可重复的组合：从m个不同的元素中，有放回的取n次，每次取一个元素，不考虑顺序，总共有cm-1n+m-1种取法

例：一盒子中有12只球，其中9只是新的，第一次比赛时取出3只，使用后放

回，第二次比赛时也取出3只

（1）求第二次取出的都是新球的概率

（2）若第二次取出的都是新球，求第一次取出的3只球都是新球的概率 解：（1）设A1：“第一次取出的3只球中没有新球” A2：“第一次取出的3只球中有1只新球” A3：“第一次取出的3只球中有2只球”

“第一次取出的3只球都是新球”B：“第二次取到的球都是新球” A4：

1233C3C9C9C3C83P(A1)=3 P(B|A1)=3 P(A2)=3 P(B|A2)=3

C12C12C12C1221333C9C3C7C9C6P(A3)=3 P(B|A3)=3 P(A4)=3 P(B|A4)=3

C12C12C12C124P(B)=?P(Ai)P(B|Ai)

i?1

（2）P(A4|B)=

P(A4|B)P(A4)P(B|A4)=

P(B)P(B)

第三节 条件概率

例1：一盒中有3只白球，2只黑球，从中随机取两次，每次取一只（不放回）

求：⑴若第一次是白球，第二次是白球的概率。⑵若第一次是黑球，第二次是白球的概率。⑶第二次取出是白球的概率。⑷在第二次取出是白球的情况下，第一次是白球的概率。

解：⑴设A“第二次取出一只是白球”，B“第一次取出一只是白球”

2 则P(A/B)= C1=

41C3(2)P(A/B)=C=

C413141 2(3)P(B)=P(AB?AB) =P(AB) +P(AB) =P(A)P(B/A) +P(A)P(B/A)

3 =

5一、条件概率

1、定义：设（?,?,P）是概率空间，B???,且P(B)>0,则称事件B发生的条件下，事件A发生的概率为条件概率，记作P(A|B).

注： （1）条件概率的计算公式P(A/B)=P(AB)/P(B)

（2） 计算方法

（3）区别有条件概率和无条件概率

例1：某型号的电视机，它使用3年的概率为0.6，使用5年的概率为0.4，一台电视机已使用3年，求它能使用5年的概率。 解：设A“使用3年”，B“使用5年” P(A)=0.6 P(B)=0.4

P(B/A)=P(AB)/P(B)=0.4/0.6=2/3

2、性质：①非负性：对?A???,有P(A/B) ≥0

②P(?/B)=1

③若Ai?F, Ai?Aj??，i≠j,i=1,2?，则有P(U?i?1A/B)=?p(

ii?1?A/B)

i二、乘法公式

若A,B∈?,且P(B)＞0，则P(AB)=P(B)P(A/B)

推广到n个事件的情况，若Ai∈?,i=1,2?n，且P(Ai)>0，则 P(A1A2?An)?P(A1)P(A2A3...An/A1)

=P(A1)P(A2/A1)P(A3A4...An/A1A2)

=P(A1)P(A2/A1)P(A3/A1A2)......P(An/A1A2...An?1)

例2、一盒中有r只红球,t只白球，从中任取4次，每次取一只，观察颜色后放回，同时放入a只与所取球颜色同色的球，求这4次一次为红红白白的概率。 解：设Ai“第i次是红球” i=1,2，3,4

则Ai“第i次是白球”，则所求概率为：

=

rr?att?a??? r?tr?t?ar?t?2ar?t?3a推广到N: 设Ai?F,i?1,2...n,AiAj??,i?j,

Ui?1nA??,B?F,B?B??B(UAi)?UBA，则

ii?1i?1innni?1i?1i?1nn P(B)?P{U(BAi)}??P(AiB)??P(Ai)P(B/Ai) 三、全概率公式和贝叶斯公式

定义：设Ai?F,i?1,2....n,AiAj??,i?j,Ui?1nA??,则AA....A称为样

i12n本空间?的一组划分。

定理：（?，?,P）为概率空间，A1A2....An为?的一组划分，且P(Ai)?0,

i?1,2,3...n，B?F,则P(B)??P(Ai)P(B/i?1nA)

i[注]：1、如何判断？条件？非条件？

2、如何设事件B及?的一组划分A1A2....An 3、求P(Ai)及P(B/Ai)

4、代入公式

例：一盒子中有3只黑球，2只白球，从中随机地取两次，每次取一只（放回），求第二次取到的一只是白球的概率 解：设A：“第一次取到的是白球”B：“第二次取到的是白球”，则

11C2C2P(B|A)= 1 P(B|A)=1

C5C5

第四节 独立性

一、两个时间的独立性

定义：（?，?，P）为概率空间，A,B???，若P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A与B相互独立

[注]：1、考虑事件的独立性和互不相容性

2、若P(A)>0,P(B)>0，则A,B互不相容与A,B相互独立不能同时成立

?A与B相互独立? 3、A与B相互独立??A与B相互独立

?A与B相互独立?P(AB) =P(A-AB)=P(A)-P(AB)=P(A)-P(A)P(B)=P(A)[1-P(B)]=P(A)P(B) P(AB)=P(A?B)=1-P(A?B)=1-[P(A)+P(B)-P(AB)]=1-P(A)-P(B) +P(A)P(B)=P(B)[P(A)-1]+1-P(A)=[1-P(A)][1-P(B)]=P(A)P(B) 4、概率为零的事件与任何事件相互独立 证明：A,B???，P(A)=0

?AB?A ?0?P(AB)?P(A)=0 ?P(AB)=0 ?P(AB)=P(A)P(B)=0 ?A与B相互独立

5、概率为1的事件与任何事件相互独立 6、A与B相互独立?P(A)=P(A|B)=P(A|B)

二、三个事件的独立性

定义：（?，?，P）为概率空间，A,B,C???，若P(AB)=P(A)P(B) P(AC)=P(A)P(C) P(BC)=P(B)P(C)，则称A,B,C两两相互独立

若A,B,C两两相互独立且P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，则称A,B,C相互独立 三、n个事件的独立性

定义：（?，?，P）为概率空间，Ai???，i=1,2??n，若对任意整数2?k?n?1及一组数1?i1?i2????ik?n，使得P(?Aij)=?P(Aij)且

j?1j?1knP(?Ai)=?P(Ai)，则称A1A2??An相互独立

i?1i?1nn

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