必修 第四章 圆与方程

中山市东升高中 高一数学◆必修2◆导学案 编写：贺联梅 校审：汤建郎

§4.1圆的标准方程

例 写出圆心为A(2,?3)，半径长为5的圆的方程，并判断点M1(5,?7),M2(?5,?1)是否在这个圆上.

小结：点M(x0,y0)与圆(x?a)2?(y?b)2?r2的关系的判断方法：

⑴(x0?a)2?(y0?b)2>r2，点在圆外； ⑵(x0?a)2?(y0?b)2=r2，点在圆上；

⑶(x0?a)2?(y0?b)2

变式:?ABC的三个顶点的坐标是A(5,1),B(7,?3) C(2,?8)，求它的外接圆的方程

反思：

1.确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a,b,r的方程组，求a,b,r或直接求出圆心(a,b)和半径r.

2.待定系数法求圆的步骤：（1）根据题意设所求的圆的标准方程为(x?a)2?(y?b)2?r2；（2）根据已知条件，建立关于a,b,r的方程组；（3）解方程组，求出a,b,r的值，并代入所设的方程，得到圆的方程.

例2 已知圆C经过点A(1,1)和B(2,?2),且圆心在直线l:x?y?1?0上,求此圆的标准方程.

※ 动手试试

学习目标 1. 掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程；

2. 会用待定系数法求圆的标准方程. 学习过程 一、课前准备 （预习教材P124~ P127，找出疑惑之处）

1.在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？

2.什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？

二、新课导学 ※ 学习探究

新知：圆心为A(a,b)，半径为r的圆的方程(x?a)2?(y?b)2?r2叫做圆的标准方程.

特殊：若圆心为坐标原点，这时a?b?0，则圆的方程就是x2?y2?r2

探究：确定圆的标准方程的基本要素？

※ 典型例题

王新敞 1 2008年下学期◆高一 月 日 班级： 姓名： 第四章 圆与方程 练1. 已知圆经过点P(5,1)，圆心在点C(8,?3)的圆的标准方程.

练2.求以C(1,3)为圆心，并且和直线3x?4y?7?0相切的圆的方程

三、总结提升 ※ 学习小结 一．方法规纳

⑴利用圆的标准方程能直接求出圆心和半径.

⑵比较点到圆心的距离与半径的大小，能得出点与圆的位置关系.

⑶借助弦心距、弦、半径之间的关系计算时，可大大化简计算的过程与难度.

二．圆的标准方程的两种求法：

⑴根据题设条件，列出关于a、b、r的方程组，解方程组得到a、b、r得值，写出圆的标准方程. ⑵根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程.

A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 已知A(2,4),B(?4,0)，则以AB为直径的圆的方程（ ）.

A．(x?1)2?(y?2)2?52 B．(x?1)2?(y?2)2?52 C．(x?1)2?(y?2)2?52 D．(x?1)2?(y?2)2?52

2. 点P(m2,5)与圆的x2?y2?24的位置关系是

（ ）.

A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不确定 3. 圆心在直线x?2上的圆C与y轴交于两点

C的方程为（ ）. A(0,?4)B,(?0,，则圆2) A．(x?2)2?(y?3)2?5B．(x?2)2?(y?3)2?25 C．(x?2)2?(y?3)2?5D．(x?2)2?(y?3)2?25

4. 圆关于(x?2)2?y2?5关于原点(0,0)对称的圆

的方程

5. 过点A(2,4)向圆x2?y2?4所引的切线方程 . 王新敞 课后作业 1. 已知圆的圆心在直线2x?y?0上，且与直线x?y?1?0切于点(2,?1)，求圆的标准方程.

2. 已知圆x2?y2?25 求：⑴过点A(4,?3)的切线方程. ⑵过点B(?5,2)的切线方程

王新敞王新敞§4.1圆的一般方程

学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.

2

中山市东升高中 高一数学◆必修2◆导学案 编写：贺联梅 校审：汤建郎 学习目标 1. 在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程x2?y2?Dx?Ey?F?0表示心,1D2?E2?4F为半径的圆； 2D，2⑵当D2?E2?4F?0时，方程只有实数解x??圆的条件； 2．能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待定系数法求圆的方程； 3．培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力 EDE，即只表示一个点（-，-）;（3）当222D2?E2?4F?0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形 小结：方程x2?y2?Dx?Ey?F?0表示的曲线不y??王新敞 学习过程 一、课前准备 （预习教材P127~ P130，找出疑惑之处） 1．已知圆的圆心为C(a,b)，半径为r，则圆的标准方程 ，若圆心为坐标原点上，则圆的方程就是 2．求过三点A(0,0),B(1,1),C(4,2)的圆的方程. 二、新课导学 ※ 学习探究 问题1．方程x2?y2?2x?4y?1?0表示什么图王新敞一定是圆 只有当D2?E2?4F?0时，它表示的曲线才是圆，形如x2?y2?Dx?Ey?F?0的方程称为圆的一般方程 思考： 1．圆的一般方程的特点？ 2．圆的标准方程与一般方程的区别？ ※ 典型例题 例1 判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径. ⑴4x2?4y2?4x?12y?9?0； 王新敞王新敞形？方程x2?y2?2x?4y?6?0表示什么图形？ 问题2．方程x2?y2?Dx?Ey?F?0在什么条件下表示圆？ 新知：方程x2?y2?Dx?Ey?F?0表示的轨迹. DE⑴当D2?E2?4F?0时，表示以(?,?)为圆22 3 ⑵4x2?4y2?4x?12y?11?0. 例2 已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆上?x?1??y2?4运动，求线段AB的中点M的轨迹方程. ※ 动手试试 练1. 求过三点A(0,0),B(1,1),C(4,2)的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标. 22008年下学期◆高一 月 日 班级： 姓名： 第四章 圆与方程

练2. 已知一个圆的直径端点是A(x1,y1),B(x2,y2)，试求此圆的方程.

三、总结提升 ※ 学习小结

1．方程x2?y2?Dx?Ey?F?0中含有三个参变数，因此必须具备三个独立的条件，才能确定一个圆，还要注意圆的一般式方程与它的标准方程的转化.

2．待定系数法是数学中常用的一种方法，在以前也已运用过.例如：由已知条件确定二次函数，利用根与系数的关系确定一元二次方程的系数等.这种方法在求圆的方程有着广泛的运用，要求熟练掌握. 3． 使用待定系数法的一般步骤：⑴根据题意，选择标准方程或一般方程；⑵根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组；⑶解出a,b,r或D,E,F，代入标准方程或一般方程.

1. 若方程x2?y2?x?y?m?0表示一个圆，则有（ ）.

11A．m?2 B.m?2 C．m? D．m?

222. 圆x2?y2?4x?1?0的圆心和半径分别为（ ）.

A．(2,0),5B．(0,?2),5C．(0,2),5D．(2,2),5

23. 动圆x2?y2?(4m?2)x?2my?4m?4m?1?0的圆心轨迹是（ ）.

A．2x?y?1?0 B．x?2y?1?0 C．2x?y?1?0 D．x?2y?1?0

4. 过点C(?1,1),D(1,3)，圆心在x轴上的圆的方程是 .

5. 圆x2?y2?4x?5?0的点到直线3x?4y?20 ?0的距离的最大值为 . 课后作业 1. 设直线2x?3y?1?0和圆x2?y2?2x?3?0相交于A,B，求弦AB的垂直平分线方程.

2. 求经过点A(?2,?4)且与直线l:x?3y?26?0相切于点B(8,6)的圆的方程.

学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

§4.2直线、圆的位置关系

学习目标 1．理解直线与圆的几种位置关系；

2．利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求

4

中山市东升高中 高一数学◆必修2◆导学案 编写：贺联梅 校审：汤建郎

圆心到直线的距离；

3．会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系． 新知2：如果直线的方程为y?kx?m，圆的方程为(x?a)2?(y?b)2?r2，将直线方程代入圆的方程，

学习过程 一、课前准备 （预习教材P133~ P136，找出疑惑之处）

1．把圆的标准方程(x?a)2?(y?b)2?r2整理为圆的一般方程 . 把x2?y2?Dx?Ey?F?0(D2?E2?4F?0)整理为圆的标准方程为 .

2．一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径为30km的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？

3．直线与圆的位置关系有哪几种呢？

4．我们怎样判断直线与圆的位置关系呢？如何用直线与圆的方程判断它们之间的位置关系呢？

二、新课导学 ※ 学习探究

新知1：设直线的方程为l:ax?by?c?0，圆的方程为C:x2?y2?Dx?Ey?F?0，圆的半径为r，

DE圆心(?,?)到直线的距离为d，则判别直线与

22圆的位置关系的依据有以下几点： ⑴当d?r时，直线l与圆C相离； ⑵当d?r时，直线l与圆C相切； ⑶当d?r时，直线l与圆C相交；

5 消去y得到x的一元二次方程式Px2?Qx?R?0，那么：⑴当??0时，直线与圆没有公共点； ⑵当??0时，直线与圆有且只有一个公共点； ⑶当??0时，直线与圆有两个不同的公共点；

※ 典型例题

例1 用两种方法来判断直线3x?4y?6?0与圆(x?2)2?(y?3)2?4的位置关系.

例2 如图2,已知直线l过点M?5,5?且和圆

C:x2?y2?25相交,截得弦长为45,求l的方程

变式：求直线x?y?5?0截圆x2?y2?4x?4y?6 ?0所得的弦长.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/1ckd.html