数列求和及综合应用
更新时间:2023-12-17 01:22:01 阅读量: 教育文库 文档下载
数列求和及综合应用
解答题
1. (2014·湖北高考文科·T19)已知等差数列{an}满足:a1=2,且a1,a2,a5成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式.
(2)记Sn为数列{an}的前n项和,是否存在正整数n,使得Sn>60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由. 【解题指南】(1)由2,2+d,2+4d成等比数列可求得公差d,从而根据通项公式表示出数列{an}的通项. (2)根据{an}的通项公式表示出{an}的前n项和公式Sn,令Sn>60n+800,解此不等式. 【解析】(1)设数列{an}的公差为d,依题意,2,2+d,2+4d成等比数列,故有(2+d)=2(2+4d),
2
化简得d-4d=0,
2
解得d=0或d=4. 当d=0时,an=2;
当d=4时,an=2+(n-1)·4=4n-2,
从而得数列{an}的通项公式为an=2或an=4n-2. (2)当an=2时,Sn=2n. 显然2n<60n+800,
此时不存在正整数n,使得Sn>60n+800成立. 当an=4n-2时,Sn=
2
n[2?(4n?2)]2
=2n.
22
令2n>60n+800,即n-30n-400>0, 解得n>40或n<-10(舍去),
此时存在正整数n,使得Sn>60n+800成立,n的最小值为41. 综上,当an=2时,不存在满足题意的n.
当an=4n-2时,存在满足题意的n,其最小值为41.
2. (2014·湖北高考理科·T18)已知等差数列{an}满足: a1=2,且a1,a2,a3 成等比数列.
第 1 页 共 15 页
(1) 求数列{an}的通项公式.
(2) 记Sn 为数列{an}的前n 项和,是否存在正整数n,使得Sn?60n?800?若存在,求n的最小
值;若不存在,说明理由.
【解题指南】(Ⅰ)由2,2?d,2?4d成等比数列可求得公差d,从而根据通项公式表示出数列{an}的通项;
(Ⅱ)根据{an}的通项公式表示出{an}的前n项和公式Sn,令Sn?60n?800,解此不等式。 【解析】(1)设数列{an}的公差为d,依题意,d,2?d,2?4d成等比数列, 故有(2?d)2?2(2?4d)
2化简得d?4d?0,解得d?0或d?4
当d?0时,an?2
当d?4时,an?2?(n?1)?4?4n?2
从而得数列{an}的通项公式为an?2或an?4n?2。 (2)当an?2时,Sn?2n。显然2n?60n?800 此时不存在正整数n,使得Sn?60n?800成立。 当an?4n?2时,Sn?2n[2?(4n?2)]?2n2
22令2n?60n?800,即n?30n?400?0, 解得n?40或n??10(舍去),
此时存在正整数n,使得Sn?60n?800成立,n的最小值为41。 综上,当an?2时,不存在满足题意的n;
当an?4n?2时,存在满足题意的n,其最小值为41。 3. (2014·湖南高考理科·T20)(本小题满分13分)
已知数列{an}满足a1?1,|an?1?an|?pn,n?N*.
(1)若{an}是递增数列,且a1,2a2,3a3成等差数列,求p的值; (2)若p?
1
,且{a2n?1}是递增数列,{a2n}是递减数列,求数列{an}的通项公式. 2
【解题提示】(1)由{an}是递增数列,去掉绝对值,求出前三项,再利用a1,2a2,3a3成等差数列,得到关于p的方程即可;
第 2 页 共 15 页
(2) {a2n?1}是递增数列,{a2n}是递减数列,可以去掉绝对值,再利用叠加法求通项公式。 【解析】(1)因为{an}是递增数列,所以an?1?an?pn, 又a1?1,a2?p?1,a3?p2?p?1,
因为a1,2a2,3a3成等差数列,所以4a2?a1?3a3,4p?4?1?3p2?3p?3,3p2?p, 解得p?11,p?0,当p?0,an?1?an?0,与{an}是递增数列矛盾,所以p?。
33(2)因为{a2n?1}是递增数列,所以a2n?1?a2n?1?0, 于是?a2n?1?a2n???a2n?a2n?1??0① 由于
11?,所以a2n?1?a2n?a2n?a2n?1② 22n22n?12n?12n??1?③ ??1?由①②得?a2n?a2n?1??0,所以a2n?a2n?1????2?22n?1?1?因为{a2n}是递减数列,所以同理可得a2n?1?a2n?0,a2n?1?a2n?????2?an?1?ann?1??1?, ?2n2n?1??1??22n④由③④得
2n所以an?a1??a2?a1???a3?a2?????an?an?1?
23n???1???1??1??1?????21222n?1?1?1????12??1???121?2nn?141??1?, ??332n?1n41??1?所以数列{an}的通项公式为an??. 332n?14. (2014·湖南高考文科·T17)(本小题满分12分)
n2?n,n?N?. 已知数列?an?的前n项和Sn?2 (1)求数列?an?的通项公式;
(2)设bn?2n???1?an,求数列?bn?的前2n项和.
an【解题提示】(1)利用an,Sn的关系求解,(2)分组求和。
第 3 页 共 15 页
【解析】(1)当n?1时,a1?S1?1;
n2?n(n?1)2?(n?1)??n, 当n?2时,an?Sn?Sn?1?22故数列?an?的通项公式为an?n (2)由(1)知,bn?2?n??1?n,记数列?b?的前2n项和为T
nn2n,
则T2n?(21?22???22n)?(?1?2?3?4???2n) 记A?2?2???2,B??1?2?3?4???2n,
122n2(1?22n)?22n?1?2, 则A?1?2B?(?1?2)?(?3?4)????[?(2n?1)?2n]?n
故数列?bn?的前2n项和T2n?A?B?22n?1?n?2
5.(2014·广东高考文科·T19)(14分)设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且Sn满足Sn2-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,n∈N*. (1)求a1的值.
(2)求数列{an}的通项公式. (3)证明:对一切正整数n,有
1111++…+<.
a1(a1?1)a2(a2?1)an(an?1)3【解题提示】(1)可直接令n=1. (2)用n表示出Sn,利用an=Sn-Sn-1(n≥2). (3)先对每一项进行放缩再裂项相消整理求和.
【解析】(1)令n=1,则S1=a1,S12-(12+1-3)S1-3(12+1)=0,即a12+a1-6=0, 解得a1=2或a1=-3(舍去). (2) Sn2-(n2+ n-3)Sn-3(n2+n)=0 可以整理为(Sn+3)[Sn-(n2+n)]=0,
第 4 页 共 15 页
因为数列{an}中an>0, 所以Sn≠-3,只有Sn=n2+n.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n, 而a1=2,所以数列{an}的通项公式为an=2n(n∈N*). (3)因为
111==·
an(an?1)2n(2n?1)411n(n?)2<
1·4111(n?)(n?1?)44,
111(n?)(n?1?)44所以
=
11n?4-
11n?1?4,
111++…+
a1(a1?1)a2(a2?1)an(an?1)?????????1??1??11??11?1
34n?33故对一切正整数n,有
1111++…+<.
a1(a1?1)a2(a2?1)an(an?1)36. (2014·浙江高考理科·T19)(本题满分14分)
aa?an??????已知数列an和bn满足122??n?N?.若?a?为等比数列,且
bn?na1?2,b3?6?b2. (1)求an与bn;
cn?11?n?N??c?Sanbn,记数列n的前n项和为n.
??(2)设
①求
Sn;
?②求正整数k,使得对任意n?N,均有Sk?Sn.
第 5 页 共 15 页
a1a2a3???an?(2)bn【解析】(1)由题意
b3?b26b?b?6a?(2)?(2)?8 323,知
n*an?a?2?a?2(n?N) q?2q??21n又由,得公比(舍去),所以数列的通项
所以a1a2a3???an?2n(n?1)2?(2)n(n?1),所以数列?bn?的通项bn?n(n?1)(n?N*) 1111111??n?(?)(n?N*)Sn??n*anbn2nn?1(n?N) n?12所以
cn?1?n(n?1)??1?nn(n?1)?2??
(2)①由(1)知
cn?②因为c1?0,c2>0,c3>0,c4>0; 当n≥5时,
n(n?1)5(5?1)n(n?1)(n?1)(n?2)(n?1)(n?2)≤<1??>0n5nn?1n?1222而2 得2
所以,当n≥5时,cn<0
*n?N综上,对任意恒有S4≥Sn,故k?4.
7. (2014·上海高考理科·T23)已知数列{an}满足an?an?1?3an,n?N*,a1?1. (1)若a2?2,a3?x,a4?9,求x的取值范围; (2)若{an}是公比为q等比数列,Sn?a1?a2?取值范围; (3)若a1,a2,131?an,Sn?Sn?1?3Sn,n?N*,求q的
3,ak成等差数列,且a1?a2?,ak的公差.
?ak?1000,求正整数k的最大值,以及
k取最大值时相应数列a1,a2,【解题指南】
11(1)根据a2?a3?3a2,a3?a4?3a4可求得x的范围.(2)需对q分类讨论,若q?1,33易得符合题意,若q?1时,再通过放缩法解不等式组即得结论.(3).当k=1000,12d=0是一组解,故kmax?1000,根据an?an?1?3an,可得d??,然后根据a1?
32k?12a2??ak?1000,得到关于d的关系式,而d??得到关于k的不等式,2k?1解此不等式即得.【解析】
第 6 页 共 15 页
12(1)依题意,a2?a3?3a2,??x?6;331又a3?a4?3a4,?3?x?27;综上可得;3?x?6;311(2)由已知得,an?qn?1,又a1?a2?3a1,??q?3331n当q?1时,sn?n,sn?sn?1?3sn,即?n?1?3n,成立.33qn?111qn?1qn+1?1qn?1当12qn?2?0对于不等式qn?1?3qn+2?0,令n?1,得q2?3q?2?0,解得1?q?2又当1?q?2时,q?3?0?qn?1?3qn+2?qn(q?3)?2?(qq?3)?2?(q?1)(q?2)?0成立?1?q?211?qn111?qn1?qn+11?qn当?q?1时,sn?,sn?sn?1?3sn,即??331?q331?q1?q1?q?3qn?1?qn?2?0?此不等式即?n?1n?q?3q?2?03q?1?0,q?3?0n?3qn?1?qn?2=q(3q-1)-2<2qn?2?0qn?1?3qn+2?qn(q?3)?2?(qq?3)?2?(q?1)(q?2)?01??q?1时,不等式恒成立31综上,q的取值范围为?q?23(3)设公差为d,显然,当k?1000,d?0时,是一组符合题意的解,故kmax?10001+(k?2)d?1?(k?1)d?3(1?(k?2)d)3?(2k?1)d??2???(2k?5)d??222当k?1000时,不等式即d??,d??2k?12k?5则由已知得
第 7 页 共 15 页
22k?1k(k?1)da1?a2??ak?k??100022000?2k2?k?1000时,d???(kk?1)2k?1?d的取值范围为d??解得1000-999000?k?1000?999000?k?1999?k的最大值为1999,此时公差d?2000?2k19981????(kk?1)1999?19981999
8.(2014·江西高考文科·T17)已知数列的前n项和Sn=,n∈N*. (1)求数列的通项公式.
(2)证明:对任意的n>1,都有m∈N*,使得a1,an,am成等比数列. 【解题指南】(1)利用an=Sn-Sn-1(n≥2)解决. (2)a1,an,am成等比数列,转化为=a1·am.
【解析】(1)当n=1时a1=S1=1;当n≥2时an=Sn-Sn-1=-=3n-2,对n=1也满足, 所以的通项公式为an=3n-2;
(2)证明:由(1)得a1=1,an=3n-2,am=3m-2,要使a1,an,am成等比数列,需要=a1·am,
所以(3n-2)2=3m-2,整理得m=3n2-4n+2∈N*,所以对任意n>1,都有m∈N*使得=a1·am成立, 即a1,an,am成等比数列.
9 (2014·上海高考文科·T23)已知数列{an}满足an?an?1?3an,n?N*,a1?1. (2)若a2?2,a3?x,a4?9,求x的取值范围; (3)若{an}是等比数列,且am?131,求正整数m的最小值,以及m取最小值时相应1000{an}的公比;
(3)若a1,a2,【解题指南】
第 8 页 共 15 页
,a100成等差数列,求数列a1,a2,,a100的公差的取值范围.
111(1)根据a2?a3?3a2,a3?a4?3a4可求得x的范围.(2)根据a1?a2?3a1可把q的范围求出,3331再根据通项将m用q表示出来,用放缩法求解.(3).根据an?an?1?3an,可得公差d的关系式,
3对n分类讨论可得.【解析】
12(1)依题意,a2?a3?3a2,??x?6;331又a3?a4?3a4,?3?x?27;综上可得;3?x?6;311(2)设公比为q,由已知得,an?qn?1,又a1?a2?3a1,??q?33311故am=qm?1=,??q?1100031333m?1?logq1000?1??1??1??1??7.281log1000qlgqlg3lg33?1117?m的最小值为8,故q?,?q?()7?107100010001+(n?2)d(3)设公差为d,由已知可得?1?(n?1)d?3(1?(n?2)d),3?(2n?1)d??2其中2?n?100,即??(2n?5)d??22令n?2得,-?d?2322当3?n?100时,不等式即d??,d??2n?12n?522?d????200?1199?2?综上,公差d的取值范围为??,2?.?199?10. (2014·山东高考理科·T19)
已知等差数列{an}的公差为2,前n项和为Sn,且S1,S2,S4成等比数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)令bn?(?1)n?14n,求数列{bn}的前n项和Tn. anan?1
【解题指南】(1)先设出等差数列的首项.然后根据已知条件可列方程组求得数列?an?的
第 9 页 共 15 页
通项公式.(2)利用裂项求和法求解,注意本题是将数列?bn?裂成两项之和,然后再分奇数和偶数来求数列?bn?的前n项和.
【解析】(I)d?2,S1?a1,S2?2a1?d,S4?4a1?6d,
2?S1,S2,S4成等比?S2?S1S4
解得a1?1,?an?2n?1 (II)bn?(?1)n?14n11?(?1)n?1(?) anan?12n?12n?1111111111当n为偶数时,Tn?(1?)?(?)?(?)????(?)?(?)335572n?32n?12n?12n?1所以Tn?1?12n? 2n?12n?1111111111当n为奇数时,Tn?(1?)?(?)?(?)????(?)?(?)335572n?32n?12n?12n?1所以Tn?1?12n?2? 2n?12n?1?2n,n为偶数??2n?1所以Tn??
?2n?2,n为奇数??2n?111. (2014·山东高考文科·T19)
在等差数列?an?中,已知d?2,a2是a1与a4等比中项. (Ⅰ)求数列?an?的通项公式; (Ⅱ)设bn?an?n?1?,记Tn??b1?b2?b3?2???1?bn,求Tn.
n【解题指南】(1)先设出等差数列的首项.然后根据已知条件可列方程组求得数列?an?的通项公式.(2)分奇数项和偶数项来讨论求数列的和.
【解析】: (Ⅰ)由题意知:
?an?为等差数列,设an?a1??n?1?d,?a2为a1与a4的等比中项
22?a2?a1?a4且a1?0,即?a1?d??a1?a1?3d?,?d?2 解得:a1?2
?an?2?(n?1)?2?2n
第 10 页 共 15 页
(Ⅱ)由 (Ⅰ)知:an?2n,bn?an(n?1)?n(n?1)
2①当n为偶数时:
Tn???1?2???2?3???3?4?????n?n?1??2??1?3??4??3?5?????n???n?1???n?1???2?2?4?2?6?2????n?2 ?2??2?4?6????n??2?n?nn2?2n2??2?22 ②当n为奇数时:
?2??1?3??4??3?5??????n?1????n?2??n??n?n?1? ?2?2?4?2?6?2?????n?1??2?n?n?1?
?2??2?4?6?????n?1???n?n?1??2?n?1?n?1n2?2n?12?2??n?n?1???22Tn???1?2???2?3???3?4?????n?n?1??n2?2n?1?,n为奇数??2T?2综上:n? ?n?2n,n为偶数??212.(2014·江西高考理科·T17)已知首项都是1的两个数列{an}{bn}(bn≠0,n∈N*),满足anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0.
(1)令cn=,求数列{cn}的通项公式. (2)若bn=3n+1,求数列{an}的前n项和Sn.
【解题指南】(1)将等式两端同时除以bnbn+1即可求解.
(2)由(1)及bn=3n+1可得数列{an}的通项公式,分析通项公式的特征利用错位相减法求Sn. 【解析】(1)因为bn≠0, 所以由anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0, 得-+2=0,即-=2,
所以cn+1-cn=2,所以{cn}是以c1==1为首项,2为公差的等差数列,
第 11 页 共 15 页
所以cn=1+(n-1)×2=2n-1. (2)因为bn=3n+1,cn=2n-1. 所以an=cnbn=(2n-1)3n+1.
所以Sn=1×32+3×33+5×34+…+(2n-1)3n+1,
3Sn=1×33+3×34+…+(2n-3)3n+1+(2n-1)3n+2, 作差得:-2Sn=32+2(33+34+…+3n+1)-(2n-1)3n+2
=9+2×-(2n-1)3n+2 =-[18+2(n-1)3n+2],
所以Sn=9+(n-1)3n+2.
13.(2014·安徽高考文科·T18)数列{an}满足a1?1,nan?1?(n?1)an?n(n?1),n?N?
a(1) 证明:数列{n}是等差数列;
n(2) 设bn?3n?an,求数列{bn}的前n项和Sn
【解题提示】 利用等差数列的定义、错位相消法分别求解。
aaaana=1,所以{n}是以1为首项,1 为公差【解析】(1)由已知可得n+1=n+1?n+1nn+1nn+1n的等差数列。
a(2)由(1)得n=1+(n-1)=n,所以an=n2,从而bn=n.3n,
nSn=1.31+2.32+3.33+...+n.3n
n3Sn=1.32+2.33+3.34+...(n-1)3++n.3n+1
将以上两式联立可得-2Sn=3+3+3+...+3-n.3n+1(2n-1).3+3所以Sn=
4123nn+13.(1-3n)1-2n).3n+1-3n+1(-n.3==
21-314. (2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学·T17)(本小题满分12分)已知数列?an?满足a1=1,an+1=3an+1.
第 12 页 共 15 页
1??(1)证明?an??是等比数列,并求?an?的通项公式.
2??(2)证明:
1113++…+<. a1a2an211”与“an+”的关系,得证,然后求得22【解题提示】(1)将an+1=3an+1进行配凑,得“an+1+{an}的通项公式.
?1?(2)求得??的通项公式,然后证得不等式.
?an?【解析】(1)因为a1=1,an+1=3an+1,n∈N*. 所以an+1+
111??=3an+1+=3?an??. 222??131??所以?an??是首项为a1+=,公比为3的等比数列.
222??13n3n?1所以an+=,所以an=.
222(2)
221111=n. =1,当n>1时, =n
1113++…+<.n∈N*. a1a2an215. (2014·四川高考理科·T19)设等差数列{an}的公差为d,点(an,b)n在函数f(x)?2x的图象上(n?N*).
(1)若a1??2,点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上,求数列{an}的前n项和Sn; (2)若a1?1,函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线在x轴上的截距为2?a{n}的前n 项和Tn. bn1,求数列ln2【解题提示】本题主要考查等差数列与等比数列的概念,等差数列与等比数列的通项公
第 13 页 共 15 页
式和前n项和、导数的几何意义等基础知识,考查运算求解能力.
【解析】(1)点(an,bn)在函数f(x)?2x的图象上,所以bn?2an,又等差数列{an}的公差为d,
bn?12an?1所以?an?2an?1?an?2d,
bn2b因为点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上,所以4b7?2a8?b8,所以2d?8?4?d?2,
b7n(n?1)d??2n?n2?n?n2?3n. 又a1??2,所以Sn?na1?2x(2)由f(x)?2x?f?(x)?2 ln2函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线方程为y?b2?(2a2ln2)(x?a2)
111?2?所以切线在x轴上的截距为a2?,从而a2?,故a2?2
ln2ln2ln2an从而an?n,bn?2n,n?n
bn2123nTn??2?3??n
22221123n Tn?2?3?4??n?1 22222111111n1nn?2所以Tn??2?3?4??n?n?1?1?n?n?1?1?n?1
2222222222n?2故Tn?2?n.
216. (2014·四川高考文科·T19)设等差数列{an}的公差为d,点(an,b)n在函数f(x)?2x的图象上(n?N?).
(1)证明:数列{bn}为等比数列;
(2)若a1?1,函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线在x轴上的截距为2?2{anbn}的前n项和Sn.
1,求数列ln2【解题提示】本题主要考查等差数列与等比数列的概念,等差数列与等比数列的通项公式和前n项和、导数的几何意义等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力. 【解析】(1)点(an,bn)在函数f(x)?2x的图象上,所以bn?2an?0,又等差数列{an}的
bn?12an?1公差为d,当n?1时,?an?2an?1?an?2d,所以,数列{bn}是首项为2a1,公比为2dbn2的等比数列.
x(2)由f(x)?2x?f?(x)?2 ln2函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线方程为y?b2?(2a2ln2)(x?a2)
111?2?所以切线在x轴上的截距为a2?,从而a2?,故a2?2,
ln2ln2ln2所以d?a2?a1?1,从而an?n,bn?2n,anbn2?n?4n,
第 14 页 共 15 页
于是Tn?1?4?2?42?3?43??n?4n ,
4Tn?1?42?2?43?3?44?所以Tn?4Tn?4?4?4?n?1(1?3n)4?4所以Tn?.
3?n?4n?1,
n?1234n?1?4(1?3n)4n?1?4n?1?n?4?. ?4?n?4?33n17. (2014·重庆高考文科·T16)已知?an? 是首项为1, 公差为2 的等差数列,Sn 表示?an?的前n 项和. (1)求an 及Sn
(2)设?bn?是首项为2 的等比数列,公比q 满足q2?(a4?1)q?S4?0. 求?bn?的通项公式及其前n项和Tn.
【解题提示】 直接根据等差等比数列的性质求解通项公式及前n 项和. 【解析】(1)因为?an? 是首项为1, 公差为2 的等差数列,所以
an?a1?(n?1)d?2n?1. 故Sn?1?3??(2n?1)?n(a1?an)n(1?2n?1)??n2. 22(2)由(1)得a4?7,S4?16.因为q2?(a4?1)q?S4?0.即q2?8q?16?0, 所以(q?4)2?0,从而q?4.
又因为b1?2, ?bn?是公比为4 的等比数列,所以
bn?b1qn?1?2?4n?1?22n?1.
b1(1?qn)2n从而?bn?的前n 项和Tn??(4?1).
1?q3
第 15 页 共 15 页
正在阅读:
数列求和及综合应用12-17
建筑基坑工程安全管理规范DB 45T960-201408-18
DOTA2新手成神之路 蝙蝠骑士攻略04-24
愉快的两小时作文300字06-25
《统计与可能性》练习题12-01
《人工智能导论》调研报告讲解05-10
经济型酒店的市场营销分析04-30
《农业企业管理》课程标准(种植类专业)06-04
- exercise2
- 铅锌矿详查地质设计 - 图文
- 厨余垃圾、餐厨垃圾堆肥系统设计方案
- 陈明珠开题报告
- 化工原理精选例题
- 政府形象宣传册营销案例
- 小学一至三年级语文阅读专项练习题
- 2014.民诉 期末考试 复习题
- 巅峰智业 - 做好顶层设计对建设城市的重要意义
- (三起)冀教版三年级英语上册Unit4 Lesson24练习题及答案
- 2017年实心轮胎现状及发展趋势分析(目录)
- 基于GIS的农用地定级技术研究定稿
- 2017-2022年中国医疗保健市场调查与市场前景预测报告(目录) - 图文
- 作业
- OFDM技术仿真(MATLAB代码) - 图文
- Android工程师笔试题及答案
- 生命密码联合密码
- 空间地上权若干法律问题探究
- 江苏学业水平测试《机械基础》模拟试题
- 选课走班实施方案
- 数列
- 求和
- 应用
- 综合
- 苏教版译林英语五年级下补充习题听力材料及答案
- 哈工大C语言课程设计
- 中小尺度气象学总结 - 图文
- 美术加试复习题
- 湖北省荆门市2013年中考真题文综试题(Word版,含答案) - 图文
- 中水回用应用于中药制造企业的可行性分析
- 钢结构油漆面积是按照钢材实际展开面积计算
- 2015海南省预防医学总结最新考试题库
- 加宽型轮椅项目可行性研究报告(目录) - 图文
- 合肥教育信息网:合肥十中招聘16人
- 自考金融法
- ArcEngine - 开发接口集
- 浅析如何提高新时期中学体育课的教学效果
- 网络题库
- 2013年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)(理科 试题卷与答案)
- 暖通设计常用估算指标汇总表
- 高考历史试题-2018年高考历史试题分类汇编 - 世界资本主义经济政策的调整 最新
- 韶关学院第三届“地球一小时”熄灯活动策划书(1)
- 七年级地理上册第三章第四节世界的气候(第2课时)教案(新版)新人教版
- 物理化学期末试题题库