福建省惠安一中2012-2013学年高一上学期期中考试数学试题

惠安一中2012级高一年上学期期中考试试卷

考试科目 数学 满分150分 考试时间120分钟

2012.11.16

命题者： 审核者：

一、选择题:（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的）.

1．下列幂函数中为偶函数的是（ ）

A. 1

y x -= B. 12

y x = C. 3y x = D. 2

y x =

2．满足{

}{}5,3,13,1=?A 的所有集合A 的个数是（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

3．李明放学回家的路上，开始和同学边走边讨论问题，走的比较慢；然后他们索性停下来将问题彻底解决；最后他快速地回到了家。下列图象中与这一过程吻合得最好的是（ ）

4．设全集R U =，集合{

x x A =≤}3，{

x x B =＜x 或2-＞}5，那么如图所示的阴影部分所表示的集合为（ ）

A ．[)53，

- B.[]32，- C.[)23--， D.]

(∞-，3 5．设1

2

32,2()((2))log (1) 2.

x e x f x f f x x -??

=?-≥??＜，则的值为，（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

6．若0a <，则函数(1)1x

y a =--的图象必过点（ ）

A.(0,1)

B.（0，0）

C.（0，-1）

D.（1，-1）

7．函数()33x

x

f x -=-是（ ）

A ．奇函数，且在(,)-∞+∞上是增函数

B ．奇函数，且在(,)-∞+∞上是减函数

C ．偶函数，且在(,)-∞+∞上是增函数

D ．偶函数，且在(,)-∞+∞上是减函数

8．偶函数)0](,0[)(>a a x f 在上是连续的单调函数，0)(,0)()0(=

],[a a -内根的个数是（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．0个 9．若函数)(log a x y b +=（b >0且b 1≠）的图象过点（0，1）和（-1，0），则=+b a （ ） A ．3

B ．2

C ．4

D ． 时间

时间

时间

时间

A ． C ． D ．

B ．

10．设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，若当()+∞∈,0x 时，

x x f ln )(=，则满足0)(

A ．()0,∞-

B ．()1,0

C ．()1,∞-

D ．()()1,01,?-∞-

11．函数()ln ||f x x x =的图像大致是（ ）

12．若()()1,0,1,3N M -是一次函数)(x f 图象上的两点，那么(1)1f x +<的解集是（ ）

A ．(1,4) B. (-1,2) C. (),1(4,)-∞-?+∞ D.

(),1(2,)-∞-?+∞ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在答题卷中的横线上）.

13．已知3

()1f x ax bx =-+且(4)7f -=，则(4)f ＝ 。

14．设0.3333,0.3,log 0.3a b c ===，则,,a b c 的大小关系是 。 15．若函数)1,0()(≠>=a a a x f x 的反函数的图象过点)1,2(-，则=a ___________。

16．设函数)1lg()(2--+=a ax x x f ，给出下述命题：

①)(x f 有最小值； ②当0=a 时，)(x f 的值域为R ； ③)(x f 有可能是

偶函数；

④若)(x f 在区间[)+∞,2上单调递增，则实数a 的取值范围是[)+∞-,4；

其中正确命题的序号为___________。

三、解答题：（本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.

17． (本小题满分12分)设集合{},3+≤≤=a x a x A {}

,5,1>-<=x x x B 或分别就下列条

件，

求实数a 的取值范围：

（Ⅰ）A B ?≠?； （Ⅱ）A B A ?=。

18． (本小题满分12分) 计算下列各式的值： （Ⅰ）--121

445.00)2()49()53(e -++-； （Ⅱ）211log 522lg

5lg 2lg 502+++。

19．（本小题满分12分）已知).1,0(11log )(≠>-+=a a x

x x f a （Ⅰ）求)(x f 的定义域; （Ⅱ）判断)(x f 的奇偶性并予以证明;

（Ⅲ）写出)(x f 的单调区间。（不必证明）

20．（本小题满分12分）函数2()3,[0,2]f x x ax x =++∈

（Ⅰ）若2=a ，求)(x f 的最值，并说明当)(x f 取最值时的x 的值；

（Ⅱ）若()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围。

21．（本小题满分12分）某品牌茶壶的原售价为80元/个，今有甲、乙两家茶具店销售这种茶壶，甲店用如下方法促销：如果只购买一个茶壶，其价格为78元/个；如果一次购买两个茶壶，其价格为76元/个；… …，一次购买的茶壶数每增加一个，那么购买的全部茶壶的价格减少2元/个，但茶壶的售价不得低于44元/个；乙店一律按原价的75℅销售。现某茶社

要购买这种茶壶x 个，如果全部在甲店购买，则所需金额为1y 元；如果全部在乙店购买，则所需金额为2y 元。

（Ⅰ）分别求出1y 、2y 与x 之间的函数关系式；

（Ⅱ）该茶社去哪家茶具店购买茶壶花费较少？

22．（本小题满分14分）定义：若函数)(x f y =在某一区间D 上任取两个实数1x 、2x ，且21x x ≠，都有)2

(2)()(2121x x f x f x f +>+，则称函数)(x f y =在区间D 上具有性质L 。 （Ⅰ）写出一个．．在其定义域上具有性质L 的对数函数．．．．

（不要求证明）。 （Ⅱ）对于函数x x x f 1)(+

=，判断其在区间),0(+∞上是否具有性质L ？并用所给定义证明你的结论。 （Ⅲ）若函数21)(ax x x f -=

在区间（0，1）上具有性质L ，求实数a 的取值范围。

惠安一中2012级高一年上学期期中考试数学试卷

参考答案与评分标准

一、选择题:（本大题共12小题,每小题5分,共60分）.

DDDBC BABCD BB

二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分.

13． —5 14． 15． 2

1 16． ②③ 三、解答题：（本大题共6小题，共74分）.

17． 解：（Ⅰ）∵φ≠?B A ∴1-+a 即1-a （6分） （Ⅱ）∵A B A =? ∴B A ? ∴13-<+a 或5>a 即4-a （12分）

18．解：（Ⅰ）原式= 2 +1-1+ 32+e- 2 =e+32; ……………………………6分

（Ⅱ）原式=5lg 12222)15(lg 2lg )5(lg ?+++ ………………………………9分

=522lg )2lg 5(lg 5lg +++15=+ (12)

19．解：（Ⅰ）由对数函数的定义知011>-+x

x 故f (x )的定义域为（-1，1）…………4分

（Ⅱ）),(11log 11log )(x f x

x x x x f a a

-=-+-=+-=- ∴ f (x )为奇函数………………8分 （Ⅲ）故当1a >时，()(1,1)f x -在区间单调递增；

当01a <<时，()(1,1)f x -在区间单调递减。…………………12分 20． 解：（Ⅰ）当2a =时，函数22

()23(1)2f x x x x =++=++

f (x )的对称轴为1x =-，f (x )在[0，2]上是增函数，…………………1分

当0x =时，min ()(0)3f x f ==；……………………………………3分

当2x =时， max ()(2)11f x f ==……………………………………5分

（Ⅱ）[法一]：若()0f x ≥恒成立，即230x ax ++≥对于[0,2]x ∈恒成立，

结合二次函数2()3f x x ax =++的图象与性质得： 2430a ?=-?≤或02

(0)30a f ?-≤???=≥?或222(2)2230

a f a ?-≥???=++≥?…………9分 解得φ∈≥≤≤-a a a 或或03232…………………11分

所以a 得取值范围是[)+∞-∈,32a 。……………12分

法二：当0=x 时，可得R a ∈，当(]2,0∈x 时，可得??? ??

+

-≥x x a 3，令(),3x x x g +=对(]2,0∈x ，可求得()()323max ==g x g ，从而32-≥a ，参考法一评分。

21．解：（Ⅰ）对甲茶具店而言：茶社购买这种茶壶x 个时，每个售价为x 280-元

则1y 与x 之间的函数关系式为:()()()

21802280018,*4418,*x x x x x x N y x x x N ?-=-+≤≤∈?=?>∈?? (无定义域或定义域不正确扣1分)

对乙茶具店而言：茶社购买这种茶壶x 个时，每个售价为60%7580=?元

则2y 与x 之间的函数关系式为:()*,0602N x x x y ∈≥=(无定义域或定义域不正确扣1分) ………………………6分

（Ⅱ）020*******

221≥+-=-+-=-x x x x x y y 100≤≤?x

答：茶社购买这种茶壶的数量小于10个时，到乙茶具店购买茶壶花费较少，茶社购买这种茶壶的数量等于10个时，到甲、乙两家茶具店购买茶壶花费一样多，茶社购买这种茶壶的数量大于10个时，到甲茶具店购买茶壶花费较少.（无答扣1分） ……………12分

22．解：（Ⅰ）12

log y x =（或其它底在（0，1）上的对数函数）。…………2分 （Ⅱ）函数x

x x f 1)(+=在区间),0(+∞上具有性质L 。…………4分 证明：任取1x 、2(0,)x ∈+∞，且21x x ≠ 则1212()()()22

f x f x x x f ++-=121212121112()()22x x x x x x x x ++++-++ 22121212

12121212121212()4()1222()2()

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++--=-==+++ 1x 、2(0,)x ∈+∞且21x x ≠，∴212()0x x ->，12122()0x x x x +>

即1212()()()22f x f x x x f ++->0，∴)2

(2)()(2121x x f x f x f +>+ 所以函数x

x x f 1)(+=在区间),0(+∞上具有性质L 。……………8分 （Ⅲ）任取1x 、2(0,1)x ∈，且21x x ≠ 则1212()()()22

f x f x x x f ++-=222121212121112()(())22x x ax ax a x x x x +-+---+ 2212121

212()()2()4

x x x x a x x x x --=-=+2

1212121212[2()]()4()a x x x x x x x x x x -+-+ 1x 、2(0,1)x ∈且21x x ≠，∴212()0x x ->，12124()0x x x x +>

要使上式大于零，必须12122()0a x x x x -+>在1x 、2(0,1)x ∈上恒成立， 即12122()a x x x x <+，∴1a ≤，即实数a 的取值范围为(,1]-∞……………14分

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