电大【经济数学基础】形成性考核册参考答案

电大【经济数学基础】形成性考核册参考答案

《经济数学基础》形成性考核册（一）

一、填空题 1.lim

x sinx

x

x 0

___________________.答案：1

x2 1,

2.设f(x)

k,

x 0x 0

，在x 0处连续，则k ________.答案1

3.曲线y

x

+1在(1,1)的切线方程是答案:y=1/2X+3/2

4.设函数f(x 1) x2 2x 5，则f (x) ____________.答案2x 5.设f(x) xsinx，则f () __________

2π

.答案:

2

二、单项选择题

1. 当x 时，下列变量为无穷小量的是（ D ） A．ln(1 x) B．

x

2

x 1

C．e

1x

2

D．

sinxx

2. 下列极限计算正确的是（ B ） A.lim

xx

1 B.lim

x 0

x

x 0

x

1 C.limxsin

x 0

1x

1 D.lim

sinxx

x

1

3. 设y lg2x，则dy （ B ）． A．

12x

dx B．

1xln10

dx C．

ln10x

dx D．

1x

dx

4. 若函数f (x)在点x0处可导，则( B )是错误的．

A．函数f (x)在点x0处有定义 B．limf(x) A，但A f(x0)

x x0

C．函数f (x)在点x0处连续 D．函数f (x)在点x0处可微 5.若f() x，则f (x) （ B ）.

x1

A．

1x

2

B．

1x

2

C．

1x

D．

1x

三、解答题 1．计算极限

本类题考核的知识点是求简单极限的常用方法。它包括： ⑴利用极限的四则运算法则； ⑵利用两个重要极限；

⑶利用无穷小量的性质(有界变量乘以无穷小量还是无穷小量)

⑷利用连续函数的定义。 （1）lim

x 3x 2x 1

22

x 1

分析：这道题考核的知识点是极限的四则运算法则。

具体方法是：对分子分母进行因式分解，然后消去零因子，再利用四则运算法则限进行计算 解：原式=lim

(x 1)(x 2)(x 1)(x 1)

=lim

x 2x 1

x 1x 1

=

1 21 1

12

（2）lim

x 5x 6x 6x 8

2

2

x 2

分析：这道题考核的知识点主要是利用函数的连续性求极限。

具体方法是：对分子分母进行因式分解，然后消去零因子，再利用函数的连续性进行计算 解：原式=lim

(x 2)(x 3)(x 2)(x 4)

=lim

x 3x 4

x 2x 2

2 32 4

12

（3）lim

x 1x

x 0

分析：这道题考核的知识点是极限的四则运算法则。

具体方法是：对分子进行有理化，然后消去零因子，再利用四则运算法则进行计算 解：原式=lim

( x 1)( x 1)

x( x 1)

x 0

=lim

1 x 1x( x 1)

x 0

=lim

x 0

1 x 1

=

12

（4）lim

2x 3x 53x 2x 4

2

2

x

分析：这道题考核的知识点主要是函数的连线性。

22 0 02解：原式=lim

x 43 0 03

3 2

xx

sin3x

（5）lim

x 0sin5x

2

32

5

分析：这道题考核的知识点主要是重要极限的掌握。

具体方法是：对分子分母同时除以x，并乘相应系数使其前后相等，然后四则运算法则和重要极限进行计算

sin3x

333x

sin5x555x

limlim

sin3x

3133x

sin5x5155x

x 0

解：原式=lim

x 0

x 0

（6）lim

x 4sin(x 2)

2

x 2

分析：这道题考核的知识点是极限的四则运算法则和重要极限的掌握。

具体方法是：对分子进行因式分解，然后消去零因子，再利用四则运算法则和重要极限进行计算 解：原式=lim

(x 2)(x 2)sin(x 2)

lim(x 2) lim

x 2

x 2sin(x 2)

x 2x 2

4 1 4

1 xsin b, x

2．设函数f(x) a,

sinx

x

x 0x 0， x 0

问：（1）当a,b为何值时，f(x)在x 0处极限存在？

（2）当a,b为何值时，f(x)在x 0处连续.

分析：本题考核的知识点有两点，一是函数极限、左右极限的概念。即函数在某点极限存在的充分必要条件是该点左右极限均存在且相等。二是函数在某点连续的概念。 解：（1）因为f(x)在x 0处有极限存在，则有

lim f(x) lim f(x)

x 0

x 0

又 limf(x) lim(xsin b) b

x 0

1

x 0

x

limf(x) lim

x 0

sinx

x 0

x

1

即 b 1

所以当a为实数、b 1时，f(x)在x 0处极限存在. （2）因为f(x)在x 0处连续，则有 limf(x) limf(x) f(0)

x 0

x 0

又 f(0) a，结合（1）可知a b 1 所以当a b 1时，f(x)在x 0处连续.

3．计算下列函数的导数或微分：

本题考核的知识点主要是求导数或（全）微分的方法，具体有以下三种： ⑴利用导数(或微分)的基本公式 ⑵利用导数(或微分)的四则运算法则 ⑶利用复合函数微分法 （1）y x 2 log

2

x

2

x 2，求y

2

分析：直接利用导数的基本公式计算即可。

解：y 2x 2xln2 （2）y

ax bcx d

1xln2

，求y

分析：利用导数的基本公式和复合函数的求导法则计算即可。 解：y

(ax b) (cx d) (ax b)(cx d)

(cx d)

2

=

a(cx d) (ax b)c

(cx d)

2

=

ad bc(cx d)

2

（3）y

13x 5

，求y

分析：利用导数的基本公式和复合函数的求导法则计算即可。 解：y [(3x 5)

12

]

12

(3x 5)

12

1

(3x 5)

32

(3x 5)

32

（4）y x xe，求y

x

分析：利用导数的基本公式计算即可。

1

解：y (x2) (xe)

x

12

x

12

e xe

xx

分析：利用导数的基本公式和复合函数的求导法则计算即可。 （5）y eaxsinbx，求dy

解：y (eax) sinbx eax(sinbx) eax(ax) sinbx eaxcosbx(bx) =aeaxsinbx beaxcosbx

dy y dx (ae

1

ax

sinbx be

ax

cosbx)dx

（6）y ex xx，求dy

分析：利用微分的基本公式和微分的运算法则计算即可。

1

1

3

1

解：y (ex) (x2) ex() x2

x2

1

13

3

1

exx

2

32

1

x2

dy y dx ( （7）y cos

exx

2

2

32

1

x2)dx

x e

x

，求dy

分析：利用导数的基本公式和复合函数的求导法则计算 解：y (cos

x

x) (e) sin

2

x2

x(x) e( x)

2

sin2x

x

2xe

x

2

（8）y sin

n

x sinnx，求y

分析：利用导数的基本公式和复合函数的求导法则计算

解：y [(sinx)n] (sinnx) n(sinx)n 1(sinx) cosnx(nx) n(sinx)n 1cosx ncosnx （9）y ln(x x2)，求y 分析：利用复合函数的求导法则计算 解：y

x

1 x1x

x

cot

1x

2

(x x)

x

2

1 x

2

1

(1 ((1 x)2) )

2

=

2

(1

12

1

(1 x)2

2

1

2x)

x

1 x

2

x x x

2

2

1 x

2

（10）y 2

1

x

2

x

2x

，求y

分析：利用导数的基本公式和复合函数的求导法则计算 解：y (2

sin

1x

) (x

12

1

) (x6) (2) 2

sin

1x

ln2(sin

1six2

1x

)

12

x

32

16

x

56

0

2

1six

ln2(

)() xcosxx2

111

32

16

x

56

2ln2

xcosx

12

x

32

16

x

56

4.下列各方程中y是x的隐函数，试求y 或dy 本题考核的知识点是隐函数求导法则。 （1）x2 y2 xy 3x 1，求dy 解：方程两边同时对x求导得： (x) (y) (xy) (3x) (1) 2x 2yy y xy 3 0

y 2x 32y x

2

2

y

dy y dx

y 2x 32y x

xy

dx

（2）sin(x y) e 4x，求y

解：方程两边同时对x求导得：

( y) (x y) e cosx

xy

(xy) 4 cosx( y) (1 y ) e

xy

xy

(y xy ) 4

y (cos(x y) xe

xy

) 4 cos(x y) ye

y

4 cos(x y) yecos(x y) xe

xy

xy

5．求下列函数的二阶导数：

本题考核的知识点是高阶导数的概念和函数的二阶导数 （1）y ln(1 x2)，求y 解：y

11 x

2

(1 x)

2

2x1 x

2

2

2 2x

222

y (

2x1 x

2

)

2(1 x) 2x(0 2x)

(1 x)

2

2

(1 x)

（2）y

1 xx

1 xx

，求y 及y (1)

解：y () (x

12

1

) (x2)

12

x

32

12

x

12

y (

12

x

32

12

x

12

)

12

(

32

x

52

)

12

(

12

)x

32

34

x

52

14

x

32

=1

《经济数学基础》形成性考核册（二）

（一）填空题

1.若 f(x)dx 2x 2x c，则f(x) 2ln2 2. 2.

x

(sinx) dx2

3. 若 f(x)dx F(x) c，则 xf(1 x

4.设函数

ddx

)dx

12

F(1 x) c

2

e1

ln(1 x)dx 0

0x

2

5. 若P(x)

1 t

2

t，则P (x)

11 x

2

.

（二）单项选择题 1. 下列函数中，（ D ）是xsinx2的原函数． A．

12

cosx2 B．2cosx2 C．-2cosx2 D．-

12

cosx2

2. 下列等式成立的是（ C ）． A．sinxdx d(cosx) B．lnxdx d(

1x

) C．2dx

x

1ln2

d(2) D．

x

1x

dx dx

3. 下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（ C ）． A． cos(2x 1)dx， B． x x2dx C． xsin2xdx D． 4. 下列定积分中积分值为0的是（ D ）． A． 2xdx 2 B．

1 x1 x

2

dx

116 1

dx 15 C． cosxdx 0 D． sinxdx 0

5. 下列无穷积分中收敛的是（ B ）．

A．

1dx B．

12

dx C． edx D．

x

sinxdx

1

x

1

x

(三)解答题

1.计算下列不定积分 （1）

3xe

x

dx 解：原式

(3

x

1

3

x

e)

dx

ln3 1(e

) c 2

（3）

x 4x 2

dx 解：原式

(x 2)(x 2)

x 2

dx

1x2

2

2x c

（5） x2 x2

dx 解：原式

122

2

2 xd(2 x) 13 2

3(2 x)2 c （7） xsin

x2

dx 解：原式 2 xdcos

x2

1

（2）

(1 x)

2

x

dx

解：原式

1 2x x

2

x

dx

(x

-11

3

2

2x2

x2)dx

1

43

25

2x2 3

x2 5

x2 c

（4）

11 2x

dx 解：原式

1

1

2 1 2xd(1-2x)

12

ln 2x c

（6） sin

x

x

dx

解：原式 2 sixd

x

2cox c

（8） ln(x 1)dx

解：原式 xln(x 1)

x

x 1dx

xxx

2xco 4 co()

222 2co 4si c22

x

x

xln(x 1)

(1

1x 1

)dx

xln(x 1) x ln(x 1) c

2.计算下列定积分

1

（1） xx （2）

1

1 1

2

221

exx

2

x

1

解：原式

(1 x)dx

1

(x 1)dx 解：原式 exd(

1

2

1x

)

12

(1 x)12 52

2

1 1

12

(x 1)

2

21

1

ex

1

21

2

e e2

（3）

e1

3

1x lnx

e1

3

x （4） 1

20

xcos2xdx

20

解：原式 2

2 lnx

x 1) 解：原式

1

2

xdsin2x

2 lnx 4 2 2

e1

3

1214

xsin2x

4

2

1

20

4

12

sin2xd(2x)

cos2x

2

（5） xlnxdx （6） (1 xe x)dx

1

e

解：原式

1

2

2

e1

lnxdx 解：原式

e1

2

40

dx

4

xde

x

11214

xlnxe

22

2

1214

e

1

xdx

4 xe

x

40

4

4

14

e

x

d( x)

e

2

4 4e

5 5e

4 4

e 1

(e 1)

《经济数学基础》形成性考核册（三）

（一）填空题

1

1.设矩阵A 3

2

0 21

436

5

2，则A的元素a23 __________ 1

________.答案：3

2.设A,B均为3阶矩阵，且A B 3，则 2ABT=________. 答案： 72

3. 设A,B均为n阶矩阵，则等式(A B)2 A2 2AB B2成立的充分必要条件是.答案：AB BA 4. 设A,B均为n阶矩阵，(I B)可逆，则矩阵A BX X的解X ______________.答案：(I B) 1A

1

.答案： 0

0

0 0 1

3

1

5. 设矩阵A 0

0

020

0

0，则A 1 __________ 3

120

（二）单项选择题

1. 以下结论或等式正确的是（ C ）．

A．若A,B均为零矩阵，则有A B

B．若AB AC，且A O，则B C

C．对角矩阵是对称矩阵

D．若A O,B O，则AB O 2. 设A为3 4矩阵，B为5 2矩阵，且乘积矩阵ACB A．2 4

B．4 2 C．3 5

T

有意义，则CT为（ A ）矩阵．

D．5 3

3. 设A,B均为n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ C ）． ` A．(A B)

1

A

1

B

1

， B．(A B)

1

A

1

B

1

C．AB BA D．AB BA

4. 下列矩阵可逆的是（ A ）． 1

A．0

0

220

3 1

3 B．1

3 1

002

1

1

1 C．

0

3

1 1

D． 0 21

2

2

5. 矩阵A 3

4

234

2

3的秩是（ B ）． 4

A．0 B．1 C．2 D．3

三、解答题 1．计算

（1）

2 51 0 3 12 1 3 0

1 1 = 0 31 0 0 0

2

5 0 0

0（2）

0

（3） 1

25

3 0

4 = 0 1 2

1

2．计算 1

1 1 解 1

1

22 3

22 3

3 1

21 2 2

243

243

4 2

3 6 1 3

41 2211

41 2

5

0 7

1912 4

7 2

0 6 7 3

41 2

5 5

0=1 7 3

3 1

21 2 2

31 1

4 2

3 6 1 35 7

0 7 7 0

1511 2

2

0 14

2

3．设矩阵A 1

0 1 1

1，B 1

1 03

2，求AB。 1

解 因为AB AB

2A 1

01B 1

31 1211

3 1

2

31 13-1 0 1

22 ( 1)0

2 3

1 11102-11

( 1)

21

22

2

2 01

所以AB AB 2 0 0

（注意：因为符号输入方面的原因，在题4—题7的矩阵初等行变换中，书写时应把（1）写成①；（2）写

成②；（3）写成③；…）

1

4．设矩阵A 2

1

2

4

1，确定 的值，使r(A)最小。 0

1

1 解：2

1

2

1

4

2 , 3 1 0 1

1 2

21

4 2 1 1

3 1 2 0 1 1

0 0

2 1

4

4 7

3 2

4 4

7

1 0 0

2 19

4

4

0 4

当

94

时，r(A) 2达到最小值。

5 8 7 135414 15 5 15

35412422

2422

1 3

的秩。 0 3

1 5 2 4

7 8 5 1 1 0 0 0

4531 79002422

0 2 1 5 3 1 2 34 1 4 1 3 4 500

2 200

0 1 0 0

2 5

5．求矩阵A

1 4 2 5

解： A

1 4

1 0→ 0 0

5 8 7 1 727927

1 3 1 , 3 0 3 2 6 2 6

0 2 3 3 4 3 3 3 2 , 3 1 3

∴r(A) 2。 6．求下列矩阵的逆矩阵： 1

（1）A 3

1 1

解： AI 3

1 1

0 0 1 0 0

3 14 310

21 3001

11 1 523 301 301010 8342

1 1 21 1

100

010

0 2 1 3

3 1 1 0 1

1

0 0

310 1 0 0

0102 11001 1

0 01 13123

134 3 940 1427 3

13 1

010

0

2 3 20 1

0 3 2 4

2 1 2 1 0 1 3 2

2 3 1 2

9

18

1 2 37 9 3 1

1

7 ∴A 2

9 3

134

3

7 9

（2）A =

13

4 2

6 21

3

1． 1

13

解： AI 4

2 1

0

0 6 210 21

3 110 11

100 1 42010313 6

0 1 2 3 0 1

0

2 , 3 0 1

1

4 2 1 0 00 2101 201

0 11

100 12 4 3103 6130

0→ 1 0 1→ 0

2 1 4

3 1 2 1 1

1 100 130

1

00 13

0

3 2 2

0

112 61 2 3 1 0102 7 1 0

01

01

2

0

1

1

2

13

0 ∴A-1 =

2

7 1 0

1

2

7．设矩阵A 1

2

,B 1

2

35 23 ，求解矩阵方程XA B．

解： AI 1

210 1

210 1 2 2

2 2 1 10 5 3

5

1 1 3 0

1

3

1

0

1

3

∴A

1

52 3

1

∴X BA

1

12 52

10 2

3 3

1 =

1

1

四、证明题

1．试证：若B1,B2都与A可交换，则B1 B2，B1B2也与A可交换。

证：∵B1A AB1， B2A AB2

∴ B1 B2 A B1A B2A AB1 AB2 A B1 B2 即 B1 B2也与A可交换。

B1B2 A B1 B2A B1 AB2 B1A B2 A B1B2 即 B1B2也与A可交换.

2．试证：对于任意方阵A，A AT，AAT

,AT

A是对称矩阵。

证：∵ A A

T

T

AT

A

T

T

AT A A AT

2 1

∴A AT是对称矩阵。 ∵(AAT)T= AT

T

A

T

T

AA

∴AAT是对称矩阵。 ∵ ATA AT AT

T

T

AA

T

∴ATA是对称矩阵.

3．设A,B均为n阶对称矩阵，则AB对称的充分必要条件是：AB BA。 证： 必要性：

∵AT A ， BT B 若AB是对称矩阵，即 AB AB

T

而 AB BTAT BA 因此AB BA 充分性：

若AB BA，则 AB BTAT BA AB

T

∴AB是对称矩阵.

4．设A为n阶对称矩阵，B为n阶可逆矩阵，且B 1 BT，证明B 1AB是对称矩阵。 证：∵AT A B 1 BT

B

1

AB AB B

T

T

1T

B A B

T

T

T

T

B

1

AB

∴B 1AB是对称矩阵. 证毕.

《经济数学基础》形成性考核册（四）

（一）填空题 1.函数f(x)

4 x

1ln(x 1)

的定义域为___________________。答案：(1,2) 2,4 .

2. 函数y 3(x 1)的驻点是________，极值点是x=1；（1，0）；小。

p2

2

3.设某商品的需求函数为q(p) 10e

，则需求弹性Ep .答案：Ep=

p2

4.行列式

1

D 1

1

11 1

1

1 __________1

1 10

13t 1

6 2 0

__

.答案：4.

时，方程组有唯一解. 答案：t 1.

5. 设线性方程组AX b，且

1

A 0

0

，则t__________

（二）单项选择题

1. 下列函数在指定区间( , )上单调增加的是（ B ）．

A．sinx B．e C．x D．3 – x 2. 设f(x)

A．

1x

1x

x

2

，则f(f(x)) （ C ）．

1x

2

B．

C．x D．x2

3. 下列积分计算正确的是（ A ）．

A．

1

e e

2

x x

1

dx 0 B．

1

e e

2

x x

1

23

dx 0 C． xsinxdx 0 D． (x x)dx 0

-1

-1

11

4. 设线性方程组Am nX b有无穷多解的充分必要条件是（ D ）．

A．r(A) r(A) m B．r(A) n C．m n D．r(A) r(A) n x1 x2 a1

5. 设线性方程组 x2 x3 a2，则方程组有解的充分必要条件是（ C ）．

x 2x x a

233 1

A．a1 a2 a3 0 B．a1 a2 a3 0 C．a1 a2 a3 0 D． a1 a2 a3 0

三、解答题

1．求解下列可分离变量的微分方程： (1) y e解:

dydx

x y

y

e e , e

x y

dy edx

x

e

y

dy

e

x

dx , e

y

e c

x

（2）

dydx

2

xe3y

x2

x

解: 3ydy xedx

3ydy

2

xde y xe

x3x

edx y xe

x3x

e c

x

2. 求解下列一阶线性微分方程：

（1）y x2 1y (x 1)

3

解:y e

2

dx x 1

2

dx 3 x 1

x 1 e e2ln x 1 dx c

x 1 e

3

2ln x 1

dx c x 1

2

x 1 dx c

x 1

2

1 2

x 1 2

c

（2）y

yx

2xsin2x

1 1

dx dx lnx x x 解:y e2xsin2x edx c e

2xsin2x e

lnx

dx c

1

x 2xsin2x dx c x

x

sin2xd2x c x cos2x c

3.求解下列微分方程的初值问题： (1)y e2x y,y(0) 0

dydx

y

解：

ee

2xy

2x

edy

y

e

2x

dx

e

12

e c

用x 0,y 0代入上式得： e

12

e c， 解得c

y

12

∴特解为：e

x

12

e

2x

12

(2)xy y e 0,y(1) 0 解：y

1x

y

1x

e

x

11x

dx e xdx x y e edx c

x

e lnx

1x

e e

xlnx

dx c

1x

e

x

dx c

1x

e

x

c

用x 1,y 0代入上式得：

0 e c 解得：c e ∴特解为：y

1x

e

x

c

（注意：因为符号输入方面的原因，在题4—题7的矩阵初等行变换中，书写时应把（1）写成①；（2）写成②；（3）写成③；…）

4.求解下列线性方程组的一般解： 2x3 x4 0 x1

（1） x1 x2 3x3 2x4 0

2x x 5x 3x 0

234 1 10

解：A= 11

2 1

2 35

1 2 1 1

3 1 2 2 3 10

01 0 1

2 11

1

3 2 1 1 1 10

01 00

2 10

1

1 0

所以一般解为

x1 2x3 x4

其中x3,x4是自由未知量。

x x x34 2

2x1 x2 x3 x4 1

（2） x1 2x2 x3 4x4 2

x 7x 4x 11x 5

234 1 2

解：A 1

1

127

1 1 4

1411

1

1 , 2 2 5

1

2 1

2 17

11 4

4111

2 2 1 2

3 1 1 1 5

1

0 0

2 55

13 3010

15

3 50

4 7765750

2 3

3 4 5 3 5 0

1

3 2 1

0

0

2 50

130

4 70

2 1

2

5 3 0

1

0 0

210 13 50

4750

2 3 5 0

1

1 2 2

0

0

416

x x x4

3 1

555因为秩A 秩 A =2，所以方程组有解，一般解为 337

x2 x3 x4

555

其中x3,x4是自由未知量。

5.当 为何值时，线性方程组

x1 x2 5x3 4x4 2

2x1 x2 3x3 x4 1

3x1 2x2 2x 3 3x4 3

7x1 5x2 9x3 10x4 有解，并求一般解。 1

1 542 1 1 542

2 1 2 解：A

2

13 11 3 1 3 0113 9 3

3 2 23 4 1 3 3 0113 9 3

7

5

910 0

2

26 18 14 1

1 542 108 5 1

3 2 1

4 2 2

0113 9 3 1 2 1 0113 9 3

00000

00000

00

8

0

8 可见当 8时，方程组有解，其一般解为

x 1 1 8x3 5x4 其中x x3,x42

3 13x3 9x是自由未知量。

4

6．a,b为何值时，方程组 x1 x2 x

3 1 x1 x2 2x3 2 x1

3x2 ax3 b

有唯一解、无穷多解或无解。

1

1 11

2 1 1 1

1 11

1

1解： A 2

3 1 1 1

1 2 02 11 3 2 2 02 1

3

a

b

0

4

a 1

b 1

0

根据方程组解的判定定理可知：

当a 3，且b 3时，秩 A <秩 A ，方程组无解；

当a 3，且b 3时，秩 A =秩 A

=2<3，方程组有无穷多解； 当a 3时，秩 A =秩A

=3，方程组有唯一解。

7．求解下列经济应用问题：

（1）设生产某种产品q个单位时的成本函数为：C(q) 100 0.25q2

6q（万元）, 求：①当q 10时的总成本、平均成本和边际成本；

11

11 a 3

b 3

②当产量q为多少时，平均成本最小？ 解:

① c q

100q

0.25q 6

c q 0.5q 6

当q 10时

总成本：c 10 100 0.25 102 6 10 185（万元） 平均成本：c 10

10010

0.25 10 6 18.5（万元）

边际成本：c 10 0.5 10 6 11（万元） ②c q

100q

2

0.25

令 c q 0得 q1 20

q2 20（舍去）

由实际问题可知，当q=20时平均成本最小。

（2）.某厂生产某种产品q件时的总成本函数为C(q) 20 4q 0.01q2（元），单位销售价格为p 14 0.01q（元/件），问产量为多少时可使利润达到最大？最大利润是多少． 解: R q pq 14q 0.01q

2

L q R q C q

14q 0.01q 20 4q 0.01q

2

2

10q 0.02q 20 L q 10 0.04q

令L q 0， 解得：q 250（件） L 250 10 250 0.02 250

2

2

20 1230（元）

因为只有一个驻点，由实际问题可知，这也是最大值点。所以当产量为250件时利润达到最大值1230元。

（3）投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为C (x) 2x 40(万元/百台)．试求产量由4百台增至6

百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低． 解: c c x

4 2x 40 dx

6

x 40x

2

64

2

100 （万元）

c x dx 2x 40 dx

x 40x c

∵固定成本为36万元 ∴c x x2 40x 36

c x x 40 c x 1

36x

2

36x

令c x 0 解得：x1 6,x2 6（舍去）

因为只有一个驻点，由实际问题可知c x 有最小值，故知当产量为6百台时平均成本最低。

（4）已知某产品的边际成本C (q)=2（元/件），固定成本为0，边际收入

R (q) 12 0.02q，求：

①产量为多少时利润最大？

②在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？

解: L x R x C x 12 0.02x 2 10 0.02x

令L x 0 解得：x 500（件）

L

500 10

550

0.02x dx 10x 0.01x

2

550500

10 550 0.01 550

2

10 500

0.01 500

2

=2470-2500=-25（元）

当产量为500件时利润最大，在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会减少25元。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/1cbe.html