高数练习同济版

练习一

一．填空题（每小题4分，共24分）

?xy,(x,y)?(0,0),?221．函数f(x,y)??x?y 在点(0,0)处 ．

?0,(x,y)?(0,0)?（A）有二重极限但不连续．

（C）连续但不可偏导．

（B）不连续但可偏导． （D）连续且可偏导．

2．三元函数u?sin(xy)?cos(yz)在点?1,????,1?处的全微分4?du? ．

?z?x2?2y2, 3．曲线?在点(1,1,3)处的一个单位切向量

x?2y?z?6?为 ．

x2y24．设平面区域D：2?2?1?a?0,b?0?，则??(x?y)5d?? ．

abD5．设曲线L是三角形ABC区域的的正向边界，其中A、B、C的坐标分

别为(?1,0)、(1,0)、(0,1)，则2ycos2xdx?(sinxcosx?x)dy? ．

?L6．设an?（A）

(?1)n?1n?n?1,?2,??，则以下级数中收敛的是 ．

2n??(?1)n?1?n?1an． （B）?a． （C）?anan?1．

n?1n?1（D）

??an?1?n?1?an?．

二．微分及其应用（共16分）

y?0对应于z?1，7．（8分）设函数z?z(x,y)由方程f?x?y,xz??0确定，且x?1，

其中f(u,v)具有连续的偏导数，且fu(1,1)?fv(1,1)?0.求gradz(1,0)．

x2y28．（8分）设一个直椭圆锥体的锥面方程为?z?1??2?2ab（0?z?1，a?0,b?0），若将该直椭圆锥体切削成长方体（长方

2体的长、宽、高平行于坐标轴），试用Lagrange乘数法求所能获得的长方体的最大体积．

三．重积分及其应用（18分）

9．（8分）左图所示的是某一建筑物的

z 屋顶，它由曲面?1与?2拼接而成.?1是半

?1 ?2 O y x z 1 x y 径为1的半球面，?2是半径为2的半球面的一部分，试问该屋顶的面积是多少？

10．（10分）设立体?由旋转抛物面?：z?x?y与?在点(a,b,a?b)?a?0,b?0?处的切平面以及圆柱面

2222(x?a)2?(y?b)2?r2 ?r?0?所围成，证明?的体积V仅与圆柱面的半径r相关，而与点(a,b)的位置无关．

四．曲线与曲面积分（共18分）

11．（8分）求线密度为常数?的摆线L：?关于x轴的转动惯量（单位从略）．

12．（10分）设定向曲面?为锥面z??x?a(t?sint),（t??0,2??，a?0）

?y?a(1?cost)x2?y2（0?z?2）的下侧，求积分

I???(x?y)dydz?(y?z)dzdx?(z?x)dxdy

Σ五．无穷级数（共16分） 13．（8分）判别以下命题的真假：（在真命题后的括弧内填入“?”，否则填入“×”）

（1）如果（2）如果

?a?n收敛，那么部分和sn有界．

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

?an?1n??n?1?n发散，那么部分和sn有limsn??．

n??（3）如果liman?0，则

?an?1?n收敛．

?

（4）设f?x??1?cosx，那么

?n??a（5）设an?0，如果?an收敛，那么limn?1???1．

n??an?1nn?1n?1?1????1f??绝对收敛． ?（6）如果

?an?0?nx的收敛区间是(?R,R)，那么?anx3n?l（l是某自然数）的收敛

nn?0?区间是(?3R,3R)． （7）如果

? [ ]

?an?0?nx的收敛半径是R，那么?n(n?1)anxn?2的收敛半径也是R．

nn?2 [ ]

（8）如果f(x)在其定义域D内有各阶导数且x0?D，那么x?D时有

f(x)??n?1?f(n)(x0)?x?x0?n． n! [ ]

??k,0?x?,??1214．（8分）把?0,??上的函数f(x)??（常数k1,k2非零且k1?k2）

??k,?x??2?2?展开成余弦级数，并指出展开式成立的范围．

六．（共8分）

15A（8分）设正函数f(x)具有连续导数，且在区域D??x,y?x?0内积分

??y1xf(1)?与路径无关，满足，求f(x)． [yef(x)?]dx?lnf(x)dy?2xL15B.（8分）在平面x?y?z?1上求一直线，使它与直线交.

解答：一.填空题（每小题4分，共24分）

x?1yz?2??垂直相11?1?xy?1. 函数f(x,y)??x2?y2?0?(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)在点(0,0)处 B .

（A）有二重极限但不连续 （C）连续但不可偏导 （B）不连续但可偏导

（D）连续且可偏导

2. 三元函数u?sinxy()?cosyz()在点?1,????,1?处的全微分du? 4??2?2dx?dz. 88?z?x2?2y23. 曲线? 在点(1,1,3)处的一个单位切向量为

?x?2y?z?6?2?1??,,0???

5?5? z ?1 ?2 O y x 第 9 题 x2y24. 设平面区域D：2?2?1，则??(x?y)5d?? 0 .

abD5. 设曲线L是三角形ABC的正向边界，其中A、B、C的坐标分别为(?1,0)、(1,0)、(0,1)，则

22ycosxdx?(sinxcosx?x)dy? —2 . ?L6. 设an??(?1)n?1nn?1，则以下级数中收敛的是 D .

（B）

（A）

?(?1)n?1an

?an?1?2n （C）

?aann?1?n?1 （D）

??an?1?n?1?an?

二.微分及其应用（共18分）

7.（8分）设函数f(u,v)有连续的偏导数，且fu(1,1)?fv(1,1)?0.如果函数z?z(x,y)由方程f?x?y,xz??0确定，且x?1，y?0对应于z?1，即z(1,0)?1，试求

gradz(1,0).

f?zfv zx??uxfvf zy??u

xfvgradz(1,0)?(?2,?1)

（2分） （2分） （2分）.

zx(1,0)??2 （1分）

zy(1,0)??1 （1分）

x2y28.（8分）设一个直椭圆锥体的锥面方程为?z?1??2?2ab（0?z?1），若将该直椭圆锥体切削成长方体（长方体的长、宽、高平

2 行于坐标轴），求所能获得的长方体的最大体积. 设长、宽、高分别为2x、2y、z，则满足

第 8 题 x2y2?z?1??2?2

ab2及目标函数V?4xyz

（2分）

?x2y2?2作L(x,y,z,?)?4xyz????z?1??2?2?，令Lx?0，Ly?0，Lz?0，L??0，

ab??（2分）

12a2b，y?，z? （3分）

3338ab故V的最大值为. （1分）

27解得驻点坐标x?三. 重积分及其应用（18分） 9.（8分）左图所示的是某一建筑物的屋顶，它由曲面?1与?2拼接而成.?1是半径为1的半球面，?2是半径为2的半球面的一部分，试问该屋顶的面积是多少？

?2的投影为D：1?x2?y2?4，?2的面积A2???D24?x?y（2分） （2分）

22d?

2?0

21

2（2分）

（2分）?4?4??212??

d??2?d?1???43

?1的面积为2?，故该屋顶的面积为43?2?

??10.（10分）设?是由旋转抛物面?：z?x2?y2与?在点(a,b,a2?b2)处的切平面以及圆柱面(x?a)2?(y?b)2?r2所围成的立体，证明?的体积V与点(a,b)的位置无关，而仅与圆柱面的半径r相关.

切平面方程z?2ax?2by?a?b

V???x2?y2?2ax?2by?a2?b2d?

D??22????

（3分） （2分） （2分）.

???(x?a)?(y?b)d???D?22?2?0d??r0??d? （3分）?2?r422或 V????(x?a)D2?(y?b)d????a?rdx2?a?r?b?r2?(x?a)2b?r?(x?a)22?(x?a)

?(y?b)2dy

（

2

?2????2(x?a)2r2?(x?a)2?a?r3?a?r?r2?(x?a)2????dx

3分）

14??r4?2221223?42?22 （3分） ?4??tr?t?r?t?dt?4r??sintcost?cost?dt?

00233????r???四. 曲线与曲面积分（共18分）

?x?a(t?sint) 11.（8分）求线密度为常数?的摆线L：?（t??0,2??，a?0）

y?a(1?cost)?关于x轴的转动量（单位从略）.

2?t222?（2分）?a(1?cost)2a|sin|dt （3Ix???yds．

02L分）

?16a3??0?sinudu?32a53?20256a3sinudu?

155 （3分）

12.（10分）设定向曲面?为锥面z??x2?y2（0?z?2）的下侧，求积分

I???(x?y)dydz?(y?z)dzdx?(z?x)dxdy．

???I???????(x?y)dydz?(y?z)dzdx?(z?x)dxdy ???????11?????3dV???(2?x)dxdy （3分）?4??8???4?

??1

（3分）

（2分+2分）

五. 无穷级数（共16分） 13.（8分）判别以下命题的真假：（在真命题后的括弧内填入“?”，否则填入“×”）

（1）如果[ ? ] （2）如果[ × ]

（3）如果liman?0，则

n???an?1??n收敛，那么部分和sn有界.

?an?1n发散，那么部分和sn有limsn??.

n??

?an?1?n收敛.

[ × ]

（4）设f?x??1?cosx，那么[ ? ]

（5）设an?0，如果[ × ] （6）如果

???1?n?1?n?1?1?f??绝对收敛. ?n?

?an收敛，那么limn?1?an?1???1.

n??an?

?an?0??nx的收敛区间是(?R,R)，那么?anx3n?l（l是某自然数）的收敛

nn?0区间是(?3R,3R).

[ ? ] （7）如果

?

?an?0nx的收敛边境半径是R，那么?n(n?1)anxn?2的收敛半径也是

nn?2R.[ ? ]

（8）如果f(x)在其定义域D内有各阶导数且x0?D，那么x?D时有

f(x)??n?1?f(n)(x0)?x?x0?n. n!

[ × ]

?k??114.（8分）把?0,??上的函数f(x)???k2??展开成余弦级数，并指出展开式成立的范围.

0?x??2（常数k1,k2非零且k1?k2）

?2?x??

把f(x)作偶延拓在再作周期延拓，f(x)满足收敛定理的条件，在x??2处间断.

???2?2 （2分） a0???k1dx???k2dx??k1?k2；

0??2????2?k1n?k2n??2?2?sinan???k1cosnxdx???k2cosnxdx???sin? ?n2n2??0??2?2?k1?k2?n??sin ，

?n2?2(k1?k2)(?1)m?1n?2m?1?或 ??. （2分） ?(2m?1)?0n?2m?k1?k22?k1?k2??n?故f(x)??sincosnx ?2?2n?1k1?k22?k1?k2??(?1)n?1或f(x) ??cos(2n?1)x， ?2?n?12n?1?????? x??0,???,??.

2??2??

（2分） （2分）

六. 分叉题（共8分）

15A.学《高等数学》者解答（8分）设正函数f(x)有连续导数，且在区域x?0内积分

?xyef(x)???L?1与路径无关，且满足f(1)?，求f(x).

2

由积分与路径无关的条件得 f??y?dx?lnf(x)dy x??1f??exf2 （3分） x1xex?ex?C1x令z?，得z??z?e，解得z? （3分）

xxf

1x由f(1)?，得C?2， （1分） . （1分） f(x)?x2(x?1)e?215B.学《微积分》者解答（8分）在平面x?y?z?1上求一直线，使它与直线x?1yz?2??垂直相交. 11?1 求出交点M0??3,2,?4?. （3分）

?????设所求直线的方向向量s??m,n,p?，则s?s1?0且s?n?0 ?m?n?p?0?，m?n?0，p?0，即s??1,?1,0? （3分） ??m?n?p?0?x?3??(y?2)?x?y?5故所求直线为?即? . （2分）

z??4z??4??

练习二

一．填空题（每小题3分，共18分）

?2f1．设f(x,y)?ln(x?y)，则

?x222? ．

(1,1)

2??y?x?1,2．曲线? 在点(1,2,3)处的一个单位切向量为 ． 2??z?3x3．设曲线Γ：x2?y2?4，则

?Γ1x?y22ds? ．

4．设曲线L是三角形ABC的正向边界，其中A、B、C的坐标分别为(?1,0)、

(1,0)、(0,1)，则?ycosxdx?(x?sinx)dy? ．

L5．设f(x)是周期为2?的周期函数，它在区间(??,?]上的表达式是

??1,???x?0, 则f(x)的傅里叶级数在x?2?处收敛于 ． f(x)??2?1?x,0?x??,6．设f?x??tan(?x)(?为常数)，那么级数

2n?1?1????1f??? ． ?n?1??n?（A）条件收敛 （B）绝对收敛

二．微分学（20分）

（C）发散

（D）收敛性取决于?

7.（10分）函数z?z(x,y)由方程sin?x?y??cos?xz??0确定，且z(1,?1)??2，求

?z?xx?1y??1与

?z?y.

x?1y??1 8.（10分）利用Lagrange乘数法，在椭球面x?2y?3z?6的位于第一卦限的部分上求一点M(x,y,z)，使乘积xyz取得最大值． 三．积分学（42分）

9.（10分）计算二重积分I?222D，其中是由双曲线x?y?1及直线y?0，xyd???222Dy?1所围成的平面区域.

10.（10分）求三重积分I????e?x2?y2dV，其中?是平面z?2与圆锥面

z?x2?y2围成的立体．

11．（12分）设曲线?是曲面z?1?x2?y2与平面z?1?x?y的交线． （1）写出?向xOy面投影的投影曲线L的方程（用参数方程表示）； （2）计算曲线积分(1?x2?y2)ds，并说明此曲线积分的几何意义．

?L12．（10分）设?是柱面x2?y2?4夹在平面z?0与z?2之间部分的外侧，计算曲面积分I???ydzdx?(z?1)dxdy．

?四．级数

13.（10分）把函数f(x)?1展开成x的幂级数，并指出展开式成立的区间．

(x?1)2五. 14．（10分）设动点M(x,y)从点(0,1)出发，沿一曲线运动．已知该曲线上任一点处的切向量恒与函数f(x,y)?x3?3xy2在该点的梯度向量gradf(x,y)平行，求动点的运动曲线方程．

练习三

一、填空与选择题：（每小题4分，共5小题，满分20分） 1、考虑函数f?x,y?的下面五个性质：

（1）f?x,y?在点?x0,y0?处连续；（2）f?x,y?在点?x0,y0?处的两个偏导数连续； （3）f?x,y?在点?x0,y0?处可微；（4）f?x,y?在点?x0,y0?处的两个偏导数存在； （5）f?x,y?在点?x0,y0?处任意方向的方向导数存在。

请用符号“?”说明它们的关系： 。 2、设函数F?x,y,z?在点?x0,y0,z0?的某一邻域内 ，且 ，

F?x0,y0,z0??0，则方程F?x,y,z??0在点?x0,y0,z0?的某一邻域内恒能

，它满足条件 ，并有 。

3、设R为正实数，空间区域：Ω1：x?y?z?R,z?0；

2222Ω2：x2?y2?z2?R2,x?0,y?0,z?0，则下列等式必成立的是（ ）

（A）（C）

???xdv?4???xdv； （B）???ydv?4???ydv；

Ω1Ω2Ω1Ω2???zdv?4???zdv； （D）???xyzdv?4???xyzdv。

Ω1Ω2Ω1Ω24、设常数a?0，且数项级数

?u收敛，则级数???1?2nn?1n?1??nun（ ） n?a（A）发散； （B）绝对收敛； （C）条件收敛； （D）收敛性与数a有关。 5、设函数f?x??x2?0?x?1?，记其展开的正弦级数的和函数为S?x?，???x???，则S???1??等于（ ） ?2?1111； （B）； （C）?； （D）。

2424（A）?

二、计算题：（每小题7分，共7小题，满分49分）

?zy??2z?6、设z?f?xy,?，其中f具有二阶连续偏导数，求及。

?xx?x?y???8、计算曲线积分I???x7、计算二次积分I?0L1dy?23yyexdx。

2?y2?z2ds，其中L是点?1,?1,2?到点?2,1,3?的直线段。

?9、计算曲面积分I?2222z?x?y，其中为锥面在柱体x?y?2x内的部分。 zdS????10、将函数f?x??arctanx2展开成关于x的幂级数，并说明其收敛域。 11、求微分方程?ysinx?siny?dx??xcosy?cosx?dy?0的通解。 12、已知函数y?f?x?所确定的曲线过原点，且满足方程

f??x???f?t?dt?2x?cosx?1，

0x试求f?x?。

13、（本题满分10分）在曲面?：x?坐标轴上的截距之积为最大。

14、（本题满分11分）计算曲面积分I?333xdydz?ydzdx?zdxdy，其中?为 ???y?z?1上，求该曲面的切平面，使其在三个

z?a2?x2?y2?a?0?的上侧。

15、（本题满分10分）计算曲线积分I?向。

?Lydx?xdy，其中L为闭曲线x?y?1，取正22x?y练习四

一、填空与选择题：（每小题4分，共5小题，满分20分）

?xy,x2?y2?0,?221、设f?x,y???x?y 则函数f?x,y?在点?0,0?处（ ）

?x2?y2?0,?0,（A）连续； （B）偏导数fx?0,0?、fy?0,0?存在； （C）可微； （D）任意方向的方向导数存在。 2、函数z?z?x,y?由方程x2?2y2?z2?4x?2z?5?0所确定，则全微分

dz? 。

3、设R为正实数，空间区域：Ω：x2?y2?z2?R2,z?0； 则

????x?y?z?dv? 。

?4、设常数a?0，

?1a1?sin???n?，则（ ）

nn?n?1??（A）发散； （B）绝对收敛； （C）条件收敛； （D）收敛性与数a有关． 5、级数

1? 。 ?nn?12n!?二、计算题：（每小题7分，共7小题，满分49分）

?z?2z6、设z?f?2x?y,xy?，其中f具有二阶连续偏导数，求及．

?x?x?y7、计算二重积分I?8、计算曲线积分I?9、计算曲面积分I?10、将函数f?x??cosydxdy，其中区域D由曲线y?x及直线y?x所围。 ??yD??xL2?y2ds，其中L是圆周x2?y2?a2（a为正常数）。

?2???1?4zdS，其中?为曲面z?x2?y2上z?1的部分．

11?x1ln?arctanx?x展开成关于x的幂级数，并说明其收敛域． 41?x2dyy?1?2lnx?满足条件y?1??2的特解． 11、求微分方程dxx12、已知y1、y2、y3为二阶线性非齐次微分方程y???p?x?y??q?x?y?f?x?的三个线性无关的特解，试写出由y1、y2、y3组成的该方程的通解形式并说明理由。

2007-2008学年第二学期高数B卷

1、（本题满分6分）已知a?2，b?量积a?b .

2，a?b?2，且向量a与b交成钝角，试求数

?x?at?2、（本题满分6分）试求直线?y?b绕z轴旋转一周而成的旋转曲面方程，并指出当常数

?z?t?a、b不同时为零时曲面的名称.

?x?t3?23、（本题满分6分）试求函数u?x?y?z在曲线?y?2t在对应t?1点处正切线方向

?z??2t3?的方向导数.

4、（本题满分6分）计算二重积分

22???D?x,yx?y?x?y?. ，其中区域??x?ydxdy??D5、（本题满分6分）设函数u?x,y,z?在由球面Σ：x2?y2?z2?9所围的闭区域Ω上具

?2u?2u?2u有二阶连续偏导数，且?2?2?x?y?z，试求曲面积分2?x?y?z?u?u?udydz?dzdx?dxdy. ???x?y?zΣ2nn!6、（本题满分6分）利用级数的有关性质，求数列极限limn.

n??n7、（本题满分10分）试叙述多元函数连续性与偏导数存在性之间的关系，并指出函数

?xy,x2?y2?0,?22与g?x,y??x?y在点?0,0?处的连续性与偏导数存f?x,y???x?y?x2?y2?0?0,在性.

3338、（本题满分10分）设函数u?xez，其中z?z?x,y?由方程x?y?z?3xyz?02y3所确定，试求du??1,0?.

9、（本题满分12分）计算三重积分

???Ωx2?y2?z2?1dxdydz，其中区域

???x,y,z?x2?y2?z?4?x2?y2.

??10、（本题满分10分）计算曲线积分

?l?x?y?dx??x?y?dy，其中l为从点A??π,0?沿

x?y22??2??曲线y?cosx到点B??π?,0?的曲线段. 2??2211、（本题满分12分）试求面密度为常数?0的均匀上半球壳?：z?1?x?y对位于

原点的质量为常数m的质点的引力. 12、（本题满分10分）试求幂级数

答案：

1、（本题满分6分）已知a?2，b?量积a?b .

解：a?b?absina,b?22sina,b?2，故sina,b?????2n?0?nx2n?1的收敛域.

2，a?b?2，且向量a与b交成钝角，试求数

?2； （2分） 2cosa,b??2 （4分） 2?a?b?abcosa,b??22?2??2 （6分） 2?x?at?2、（本题满分6分）试求直线?y?b绕z轴旋转一周而成的旋转曲面方程，并指出当常数

?z?t?a、b不同时为零时曲面的名称.

解：旋转曲面方程为x?y?az?b， （3分） 当a?0，b?0时，曲面为旋转单叶双曲面；当a?0，b?0时，曲面为圆锥面； 当a?0，b?0时，曲面为圆柱面。 （6分）

22222?x?t3?23、（本题满分6分）试求函数u?x?y?z在曲线?y?2t在对应t?1点处正切线方向

?z??2t3?的方向导数.

解：??3t2,4t,?6t2，???t?1?34?6???3,4,?6?，e???,,??? （3分）

?616161??u??t?1?34?6?1 （6分） ?gradu?e???1,1,1???,,????61?616161?4、（本题满分6分）计算二重积分

???x?y?dxdy，其中区域D???x,y?xD2?y2?x?y.

?22?111???????22解：D??x,y?x?y?x?y???x,y??x????y????关于直线y?x

2??2?2???????对称，故

???x?y?dxdy????x?x?dxdy?0 （6分）

DD1?x???cos??2解二：设?， （2分）

1?y???sin?2????x?y?dxdy??D2?0d??120??cos???sin???d??0 （6分）

5、（本题满分6分）设函数u?x,y,z?在由球面Σ：x2?y2?z2?9所围的闭区域Ω上具

?2u?2u?2u有二阶连续偏导数，且???x?y?z，试求曲面积分

?x2?y2?z2?u?u?udydz?dzdx?dxdy. ???x?y?zΣ??2u?2u?2u??u?u?u?2?2?解：利用高斯公式，??dydz?dzdx?dxdy?????2??dv（3分） ?x?y?z?x?y?z???Σ?????x?y?z?dv?0 （6分）

?2nn!6、（本题满分6分）利用级数的有关性质，求数列极限limn.

n??n2nn!解：取级数?n，

n?1n?2n?1?n?1?!n?1?un?122n!22?n?1?由lim（4分） ?lim?lim??1知级数?n收敛，nnn??un??n??e2n!n?1n?1?n1???nn?n?2nn!故limun?limn?0 （6分） n??n??n7、（本题满分10分）试叙述多元函数连续性与偏导数存在性之间的关系，并指出函数

?xy22,x?y?0,?2与g?x,y??x?y在点?0,0?处的连续性与偏导数存f?x,y???x?y2?x2?y2?0?0,在性.

解：多元函数连续性与偏导数存在性之间的关系为：无关条件（两个独立事件） （4分）

f?x,y?在点?0,0?处不连续但偏导数存在； （7分）

g?x,y?在点?0,0?处连续但偏导数不存在. （10分）8、（本题满分10分）设函数u?xez，其中z?z?x,y?由方程x3?y3?z3?3xyz?02y3所确定，试求du??1,0?.

解：当x??1,y?0时，z?1； （1分） 由3x?3z由3y?3z222?z?z?z?3yz?3xy?0，得?x?x?x??1,0???1 （3分）

2?z?z?z?3xz?3xy?0，得?y?y?y??1,0???1,0???1 （5分）

?u?z?u?2xeyz3?3x2eyz2，?x?x?x??5； （7分）

?u?z?u?x2eyz3?3x2eyz2，?y?y?ydu??u?udx?dy?x?y??1,0???2； （9分）

??1,0???1,0???5dx?2dy （10分）

9、（本题满分12分）计算三重积分

???Ωx2?y2?z2?1dxdydz，其中区域

???x,y,z?x2?y2?z?4?x2?y2.

解：???1??2，其中：?1??x,y,z?x2?y2?z?1?x2?y2，

?????2??x,y,z?1?x2?y2?z?4?x2?y2 （2分）

?????Ωx2?y2?z2?1dxdydz

????1?x2?y2?z2dxdydz????Ω1Ω2???x2?y2?z2?1dxdydz （4分）

???d??4sin?d???1?r?r2dr??d??4sin?d???r?1?r2dr （10分）

0000012??12??2??2?12?72?2?2??2??1????2??1? （12分）

????2?122?123??10、（本题满分10分）计算曲线积分

???l?x?y?dx??x?y?dy，其中l为从点A??π,0?沿

x2?y2??2??曲线y?cosx到点B??π?,0?的曲线段. ?2?2????π??π?2解：取l1：为从点B?,0?沿曲线y????x到点A??,0?的曲线段，l与l1所围

?2??2??2??Q?Py2?x2?2xy??区域记为D，在D内，。 （4分）

222?x?yx?y??故

?l?x?y?dx??x?y?dyx2?y2?l?l1??x?y?dx??x?y?dy??x?y?dx??x?y?dy

x2?y2?l1x2?y2???0dxdy??Dl1?x?y?dx??x?y?dy （8分）

x2?y2???dt??? （10分）

02211、（本题满分12分）试求面密度为常数?0的均匀上半球壳?：z?1?x?y对位于

?原点的质量为常数m的质点的引力.

解：由对称性知：Fx?Fy?0， （2分）

dFz?km?0zdS?x2?y2?z322?2， （4分）

1??z???z??其中dS?1?????dxdy?dxdy， （6分） ??y?22?x????1?x?y2?在xOy面上的投影为D??x,y?x2?y2?1，

Fz??????km?0zdS?x2?y2?z322??km?0??zdS?km?0??dxdy?km?0? （12分）

?D12、（本题满分10分）试求幂级数

?2n?0?nx2n?1的收敛域.

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